北京市豐臺區(qū)2015-2016學(xué)年度第一學(xué)期 初三數(shù)學(xué) 人教版九年級上冊（新）第24章 圓 綜合練習(xí)題 教師版 含答案

015年度第一學(xué)期 初三數(shù)學(xué) 第 24 章 圓 綜合 練習(xí) 題 一、 與圓有關(guān)的中檔題 ：與圓有關(guān)的證明（證切線為主）和計算（線段長、面積、三角函數(shù)值、最值等） 1. 如圖， O 的直徑， 弦， C ， E ， 2， 4 （ 1）求證： A B E A D B ，并求 長； （ 2）延長 F ，使 O ，連接 判斷直線 O 的位置關(guān)系，并說明理由 . 1解： C ， A B C C . ， A B C D 又 B A E D A B ， A B E A D B B 2 2 4 2 1 2A B A D A E A E E D A E 23 （舍負） （ 2）直線 O 相切 連接 O 的直徑， 90 在 中，由勾股定理，得 222 1 2 2 4 4 8 4 3B D A B A D 11 4 3 2 322B F B O B D 23， B F B O A B （或 B F B O A B O A ， 是等邊三角形， F 60O B A O A B ， 30F B A F ） 90O A F 又 點 A 在圓上， 直線 O 相切 2. 已知： 如圖，以等邊三角形 邊 直徑的 O 與邊 別交于點 D、 E，過點 D 作 足為 F （ 1）求證： O 的切線； （ 2）若等邊三角形 邊長為 4，求 長； （ 3）求圖中陰影部分的面積 1）證明：連接 是等邊三角形 ， C=60 ， A=60 ， D， 是等邊三角形 . 60 . 30 . 80 - 90 . O 的切線 . （ 2） 是等邊三角形， D=1. 中， 30， 1. 322 （ 3）連接 （ 2）同理可知 E 為 點 ， 2 1 1 2 33)(21 D O 32360 2602 形 322 33 O E 形直角梯形 3、如圖，已知 圓 O 的直徑 直于弦 點 E ，連接 延長交 點 F ，且 D （ 1）請證明： E 是 中點； （ 2）若 8，求 長 3、（ 1）證明：連接 如圖 D ， D 且 E， 過圓心 O D， D ， 是等邊三角形 30F C D 在 中， 12C， 12O E O B 點 E 為 中點 （ 2）解：在 中 8， 1 42O C A B 又 E ， 2 3241622 2 4 3C D C E 4如圖， O 的直徑，點 C 在 O 上， 60， P 是 一點，過 P 作 垂線與 延長線交于點 Q，連結(jié) 點 C 作 交 點 D 1）求證： 等腰三角形； （ 2）如果 O 的值 4 （ 1）證明：由已知得 0， 0， Q=30， 0 . 0， Q， 等腰三角形 . （ 2）解：設(shè) O 的半徑為 1，則 ， ， 121 3 . 等腰三角形 等腰三角形 等， C= 3 . C+ 3 ， 3121 B 332 312 P 1312 31 ， 3 . 5 已知 :如圖 , 半圓 O 的直徑 ,A 是 長線上的一點， 延長線于點 C, 交半圓O 于點 E， 且 E 為 中點 . （ 1）求證： 半圓 O 的切線； （ 2）若 6 6 2A D A E， ，求 長 （ 1）連接 E 為 中點， F O B E C B E . B ， O E B O B E . O E B C B E . C=90 . C=90 . 即 又 半圓 O 的半徑， 半圓 O 的切線 . （ 2）設(shè) O 的半徑為 x ， C ， 2 2 2( 6 ) ( 6 2 ) . 3x . 12A B A D O D O B . A O E A B C . C. 即 9312 4. 內(nèi)接于 O，過點 A 的直線交 ，交 延長線于點 D ， 且 P 1）求證： C ； （ 2）如果 60， O 的半徑為 1，且 P 為弧 中點，求 . （ 1）證明： 聯(lián)結(jié) P C. （ 2）由（ 1）知 C 0， 等邊三角形 0， 點， 2 0， 0， 徑， ， 2 ， 在 ，由勾股定理得 ， =3 7如圖， 在 ， C=90 , 平分 線， O 是 一 點 , 以 半徑 的 O 經(jīng)過 點 D. （ 1）求證： O 切線； （ 2）若 , , 求 長 . 7.（ 1）證明 : 如圖 1，連接 D, 分 C=90. O 的切線 . 圖 1 （ 2）解法一 : 如圖 2，過 D 作 E. C=90. 又 D, C, C=3. 在 ， 90,由勾股定 理，得 422 圖 2 設(shè) AC=x（ x0） , 則 AE=x. 在 ， C=90, D+, AB=x+4, 由勾股定理，得 82= (x+4) 2. 解得 x=6. 即 . 解法二 : 如圖 3，延長 E，使得 B. D, D=5. 在 ， 0, 由勾股定理，得 422 5 分 圖 3 t ， 0, D+, 由勾股定理 ， 得 . 即 82=() . 8 如圖 ， O 的直徑 ， O 的一條弦 ， 且 E， 連結(jié) （ 1）求證： （ 2）若 ， ，求 長 . 8、 證明：（ 1） 連結(jié) O 的直徑， A= 2 又 C， 1= A 2即： 解：（ 2）由（ 1）問可知， A= 2， E 又 ， E=4 0 9 如圖，已知 O 的直徑，點 A 、 F 在 O 上， ，垂足為 D ， E ，且 （ 1）求證： ； （ 2）如果53 54求 長 9 解： （ 1）延長 O 交于點 G 直徑 點 D， E， F （ 2）在 ， 3 設(shè) x， x，則 x， x，在 ，由勾股定理得 x 在 ，由勾股定理得 5 ， 222 )54()8()4( x=1（負舍） x=8 10如圖，已知直徑與等邊 的高相等的圓 O 分別與邊 切于點 D、 E，邊 圓心 O 與圓 O 相交于點 F、 G。 （ 1） 求證： C ； （ 2） 若 的邊長為 a，求 的面積 . 10. (1) 是等邊三角形 , 60B , 60A , 圓 O 的切線， D、 E 是切點， E. 60B D E , 60A ,有 (2)分別連結(jié) 點 H. 圓 O 的切線， D、 E 是切點， O 是圓心， 90A D O O E C ， E， C. A D O C E O ,有 C=12a . 圓 O 的直 徑等于 的高 ,得半徑 34 a, C+2a+ 34 a. , 6 0E H O C C , 30C O E ,38 a . 12 12 ( 34 a+12a) 38 a, 22336 4 3 2= 23 2 364 a . 11 如圖，在 ， 90 ，以 直徑的 O 交 點 P， Q 是 中點 （ 1）請你 判斷直線 O 的位置關(guān)系，并說明理由 ； （ 2） 若 A 30， 3，求 O 半徑的長 . 3題圖 11、解：（ 1） 直線 O 相切 . 連結(jié) O 的直徑 ， 90 . 又 Q 是 中點， Q= 3 4. 90， 2+ 4=90 . 1 2， 1+ 3=90 . 即 0 . 直線 O 相切 . （ 2） A 30， 3， 在 ，可求 . 在 ，可求 4 33. 2 33. O 半徑的長 為 2 33. 12如圖，已知點 線 ，點 12B， 若點 P 是 O 上的一個動點 ,且 30 ,3時，求 面積的最大值 12、解 :連結(jié) 由 C 是 中 點 ,且 12B,可證得 0. 則 O=60. 可求得 C=2. 過點 O 作 E，且延長 圓于點 F 則 P(F)E 是 上的最大的高 . 在 , 0, 解得 3. 所以 23 . 故 11 2 ( 2 3 )22 C P E . 即 23. 13如圖，等腰 ， C=13， 0，以 直徑作 O 交 點 D，交 點 G，過點D 作 O 的切線交 點 E，交 延長線與點 F. （ 1）求證： （ 2）求 F 的值 . 證明 ： （ 1）聯(lián)結(jié) D C B B O 的切線， O 的半徑 （ 2）聯(lián)結(jié) O 的直徑 0 F= C 2 ， 22 12A D A C C D C=G 12013A D B ， 120169 F=12016914 （應(yīng)用性問題）已知：如圖，為了 測量一種圓形零件的精度，在加工流水線上設(shè)計了用兩塊大小相同，且含有 30的直角三角尺按圖示的方式測量 . (1)若 O 分別與 于點 B、 C，且 C,若 O 與 切 . 求證 : O 與 切； (2)在滿足 (1)的情況下，當(dāng) 、 分別為 三分之一點時， 且 ，求 弧長 . （ 1）證明：連結(jié) 根據(jù)題意 , 0 . 在 , C,A,C, 所以 所以 90 . 則 圓的切線 . (2)因 90 , 且 30 , 則 120 . 又 1 13A C A F, 60 , 故 3. 所以 長為 33. 二、 圓與相似 綜合 3題圖 已知：如圖， O 的內(nèi)接 ， 5， 15， 交 延長線于 D， E. （ 1）求 D 的度數(shù)； （ 2）求證： 2A C A D C E； （ 3） 求 15 （ 1）解： 如圖 3， 連結(jié) O 的內(nèi)接 ， 5， 2 90 . C ， 45 . D = 45 . （ 2）證明： 45， D =45， D . C 2A C A D C E （ 3）解法一： 如圖 4， 延長 延長 線于 F，連結(jié) F= 90 . 15， 30 . 60， 30 . 12A. F 2B C B O O O F O F，即 . 解法二：作 M，設(shè) O 的半徑為 r，可得 32r， r， 30 ，3t a n 3 0 6M E O M r ， 233 r ， 33r ，所以 2A. 16 如圖 ， O 的直徑為 過半徑 中點 G 作弦 ，在 上取一點 D ，分別作直線，交直線 點 . 求 和 的度數(shù)； 求證： ； 如圖 ，若將垂足 G 改取為半徑 任意一點，點 D 改取在 上，仍作直線 ，分別交直線 點 時是否仍有 成立？若成立請證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由。 B 1） （第 16 題） （ 2） 16解：（ 1） ， . 在 中， ， 03 C . 60 又 E 的度數(shù)的度數(shù)的度數(shù)的度數(shù) , 12 0C D o F D M . （ 2）證明： 12 0C O o C O M , . 在 和 中， . M . 又 ， . （ 3） 結(jié)論仍 成立 . 證明如下： C D o F D M ， 又 的度數(shù)的度數(shù)的度數(shù)的度數(shù) C O E ， C O o F D M . ， 在 和 中， . M . . 三、 圓與三角函數(shù)綜合 17 已知 O 過點 D（ 4， 3），點 H 與點 D 關(guān)于 y 軸對稱，過 H 作 O 的切線交 y 軸于點 A（如圖 1）。 求 O 半徑； 求 的值； 如圖 2，設(shè) O 與 y 軸正半軸交點 P，點 E、 F 是線段 的動點（與 P 點不重合），聯(lián)結(jié)并延長 O 于點 B、 C，直線 y 軸于點 G，若 是以 底的等腰三角形，試探索 大小怎樣變化？請說明理由。 O 4 , 3 ) 4 , 3 )圖 1 圖 2 17 (1)點 4,3D 在 O 上， O 的半徑 5r 。 （ 2）如圖 1，聯(lián)結(jié) Q，則 結(jié) 3s i n s i O O H Q 。 （ 3）如圖 2，設(shè)點 D 關(guān)于 y 軸的對稱點為 H，聯(lián)結(jié) Q，則 又 F， 分 H 。 聯(lián)結(jié) 4 , 3 )4 ,3 )圖 1 圖 2 3s i n s i O O H Q 四、 圓與二次函數(shù)（或坐標系）綜合 18、 如圖 ， M 的圓心在 x 軸上，與坐標軸交于 A（ 0， 3 ）、 B（ 1， 0），拋物線 233y x b x c 經(jīng)過 A、 B 兩點 （ 1） 求拋物 線的函數(shù)解析式； （ 2） 設(shè) 拋物線的頂點為 P 試判斷點 P 與 M 的位置關(guān)系，并說明理由； （ 3） 若 M 與 y 軸的另一交點為 D，則由線段 段 弧 成的封閉圖形 面積是 多少？ 18 解：（ 1） 拋物線經(jīng)過點 A、 B， 解得 32 233 2 2）由 33 323 3 2 3 34)1(33 2 頂點 P 的坐標為（ 1，334） 在 , 3 , (1)2 =3, . , ,即點 O 的坐標為（ 1， 0） 34 2. 頂點 P 在圓外； （）連結(jié) 點 y 軸 , S . 由線段 段 弧 成的封閉圖形 面積 =扇形 面積 . 在 ,3, 0 . 封閉圖形 面積 = 21 2 0 43 6 0 319 如圖，在平面直角坐標系中， O 是原點， 以點 C（ 1， 1）為圓心， 2 為半徑作圓，交 x 軸于 A， B 兩點，開口向下的拋物線經(jīng)過點 A， B，且其頂點 P 在 C 上 （ 1）求 大??； （ 2）寫出 A， B 兩點的坐標； （ 3）試確定此拋物線的解析式； （ 4）在該拋物線上是否存在一點 D，使線段 相平分？若存在，求出點 D 的坐標；若不存在，請說明理由 19解： （ 1） 作 x 軸， H 為垂足 ，半徑 ， 0 0 20 （ 2） ，半徑 ， 3故 (1 3 0)A ， ， )031( ，B （ 3）由圓與拋物線的對稱性可知拋物線的頂點 P 的坐標為（ 1， 3） 設(shè)拋物線解析式為 2( 1) 3y a x ， 把點 )031( ，B 代入解析式， 解得 1a 所以 2 22y x x （ 4）假設(shè)存在點 D 使線段 相平分，則四邊形 平行四邊形 所以， D 且 D PC y 軸， 點 D 在 y 軸上 2 2，即 )20( ，D )20( ，D 滿足 2 22y x x ， 點 D 在拋物線上 存在 )20( ，D 使線段 相平分 20（ 以圓為幌子，二次函數(shù)為主的代幾綜合題 ） 如圖，半徑為 1 的 1O 與 x 軸交于 兩點，圓心12 0)， ，二次函數(shù) 2y x b x c 的圖象經(jīng)過 兩點，其頂點 為 F （ 1）求 的值及二次函數(shù)頂點 F 的坐標； （ 2）將二次函數(shù) 2y x b x c 的圖象先向下平移 1 個單位，再向左平移 2 個單位，設(shè)平移后圖象的頂點為 C ，在經(jīng)過點 B 和點 0, 3D 的直線 l 上是否存在一點 P ，使 的周長最小，若存在，求出點 5坐標；若不存在，請說明理由 . （ 1）由題意得， A (1 , 0) , B (3 , 0) . 則有 109 3 0 ， 解得 4, 二次函數(shù)的解析式為 22 4 3 2 1y x x x 頂點 F 的坐標為（ 2， 1） （ 2） 將 221 平移后的拋物線解析式為 2 ，其頂點為 C (0,0). 直線 l 經(jīng)過點 B （ 3， 0）和點 D （ 0， - 3）， 直線 l 的解析式為 3 作點 A 關(guān)于直線 l 的對稱點 A ，連接 、 ， 直線 l ，設(shè)垂足為 E ，則有 A E ， 由題意可知， 45 , 2， 45 ， 2A B 90 . 過點 A 作 垂線，垂足為 F ,四邊形 為矩形 3F A O B 3, 2A 直線 的解析式為 23. 2 , 的解為 9 , 直線 與直線 l 的交點為點 96,55P 五、 以圓為背景的 探究 性問題 21 下圖中 , 圖 (1)是一個扇形 其作如下劃分： 第一次劃分： 如圖 (2)所示，以 一半 長 為半徑畫弧交 點 點 作 平分線，交 點 C，交111， 得到扇形的總數(shù)為 6 個，分別為： 扇形 形形 形 形 形 第二次劃分： 如圖 (3)所示，在扇形 按上述劃分方式繼續(xù)劃分， 即以 長為半徑畫弧交 點 點 作 平分線，交111，交22以得到扇形的總數(shù)為 11 個； 第三次劃分： 如圖 (4)所示，按上述劃分方式繼續(xù)劃分； 依次劃分下去 . (1) 根據(jù)題意 , 完成右邊的表格； (2) 根據(jù)右邊的表格 , 請你判斷按上述劃分方式 , 能否得到扇形的總數(shù)為 2008個 ? 為什么 ? (3) 若圖 (1)中的扇形的圓心角 m，且扇形的半徑 長為 R 我們把 圖 (2)第一次劃分的圖形中，扇形11扇形11為第一次劃分的最小扇形，其面積記為 圖 (3)第二次劃分的最小扇形面積記為， 把 第 n 次劃分的最小扇形面積記為 求1值 . 21解：（ 1） 劃分次數(shù) 扇形總個數(shù) 1 6 2 11 3 16 4 21 n 5n+1 （ 2）不能得到 2008 個扇形，因為滿足 5n+1=2008 的正整數(shù) n 不存在； （ 3）2211112 2 2 23 6 0 3 6 0 8n n n m 22圓心角定理是“圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等”，記作 （如圖）； 圓心角定理也可以敘述成“圓心角度數(shù)等與它所對的弧及圓心角的對頂角所對的弧的和的一半”， 記作 1 ()2A O B A B C D（如圖）請回答下列問題： （ 1）如圖，猜測 A P B A B C D 與 、 有 怎 樣 的 等 量 關(guān) 系 ,并說明理由； （ 2）如圖，猜測 A P B A B C D