湖南省衡陽(yáng)市2016年高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)含答案解析_第1頁(yè)
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湖南省衡陽(yáng)市 2016 年高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科) (解析版) 一、選擇題 1設(shè) A=x| 1x 2, B=x|x a,若 AB,則 a 的取值范圍是( ) A a 2 B a 2 C a 1 D 1 a2 2如圖,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù) 應(yīng)的點(diǎn)分別是 A 和 B,則 =( ) A + i B + i C i D i 3為了考察兩個(gè)變量 x 和 y 之間的線性相關(guān)性,甲、乙兩同學(xué)各自獨(dú)立地做 100 次和 150次試驗(yàn),并且利用線性回歸方法,求 得回歸直線分別為 知兩個(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量 x 的觀測(cè)值的平均值都是 s,對(duì)變量 y 的觀測(cè)值的平均值都是 t,那么下列說(shuō)法正確的是( ) A s, t) B 交點(diǎn)不是( s, t) C D 4如圖, 雙曲線 =1( a 0, b 0)的左、右焦點(diǎn),過(guò) 直線 l 與雙曲線的左右兩支分別交于點(diǎn) A、 B若 等邊三角形,則雙曲線的離心率為( ) A 4 B C D 5上邊程序框圖的算法思路來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的 “更相減損術(shù) ”,執(zhí)行該程序框圖,若輸入的 a, b 分別為 15, 18,則輸出的 a 為( ) A 0 B 1 C 3 D 15 6一個(gè)三棱錐的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系 O 的坐標(biāo)分別是( 0, 0, 1),( 1, 0, 0),( 2, 2, 0),( 2, 0, 0),畫(huà)該三棱錐三視圖的俯視圖時(shí),從 x 軸的正方向向負(fù)方向看為正視方向,從 z 軸的正方向向負(fù)方向看為俯視方向,以 面為投影面,則得到俯視圖可以為( ) A B C D 7已知四個(gè)數(shù) 1, 2 成等差數(shù)列,四個(gè)數(shù) 1, 2 成等比數(shù)列,則點(diǎn) x1, 直線 y=x 的位置關(guān)系是( ) A 直線 y=x 的下方 B 直線 y=x 的下方, 直線 y=x 的上方 C 直線 y=x 的上方, 直線 y=x 的下方 D 在直線 y=x 的上方 8 角 A, B, C 所對(duì)的邊分別是 a, b, c(其中 c 為斜邊),分別以 a, b, c 邊所在的直 線為旋轉(zhuǎn)軸,將 轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積分別是 ( ) A 2= C D 9已知( 3x 1) n=a0+nN*),設(shè)( 3x 1) n, Tn=a1+a2+nN*), 大小關(guān)系是( ) A n 為奇數(shù)時(shí), n 為偶數(shù)時(shí), n 10設(shè)點(diǎn) P( x, y)是曲線 a|x|+b|y|=1( a 0, b 0)上的動(dòng)點(diǎn),且滿足,則 a+ b 的取值范圍為( ) A 2, +) B 1, 2 C 1, +) D( 0, 2 11已知函數(shù) f( x) =2數(shù) g( x) = 不存在 ,使得 f( g( 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為( ) A( 2, 3) B( 6, 0) C 2, 3 D 6, 0 12設(shè)函數(shù) x) =x) = , x) = ,x) = |2x) |,等差數(shù)列 , , , ) |( k=1,2, 3, 4),用 示數(shù)列 前 2014 項(xiàng)的和,則( ) A 1=2 B 1=2 C =2 D = 二、填空題 13已知 , ,則向量 在向量 上的投影為 14已知數(shù)列 足 ,則數(shù)列 通項(xiàng)公式為 15若函數(shù) f( x) =區(qū)間 上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 16已知集合 M=f( x) |x) y) =f( x+y) f( x y), x, yR,有下列命題 若 x) = 則 x) M; 若 x) =2x,則 x) M; 若 x) M,則 y=x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱; 若 x) M 則對(duì)于任意不等的實(shí)數(shù) 有 0 成立 其中所有正確命題的序號(hào)是 三、解答題 17( 12 分)( 2016 衡陽(yáng)一模)在 ,已知 , , ,延長(zhǎng) ,延長(zhǎng) E,連結(jié) ( 1)求角 B 的值; ( 2)若四邊形 面積為 ,求 最大值 18( 12 分)( 2016 河北區(qū)三模)直三棱柱 , B=, E, F 分別是 中點(diǎn), D 為棱 ( 1)證明: ( 2)是否存在一點(diǎn) D,使得平面 平面 成銳二面角的余弦值為 ?若存在,說(shuō)明點(diǎn) D 的位置,若不存在,說(shuō)明理由 19( 12 分)( 2016 江門(mén)模擬)如圖,李先生家住 H 小區(qū),他工作在 C 科技園區(qū),從家開(kāi)車(chē)到公司上班路上有 條路線, 線上有 個(gè)路口,各路口遇到紅燈的概率均為 ; 線上有 路口遇到紅燈的概率依次為 , ( 1)若走 線,求最多遇到 1 次紅燈的概率; ( 2)若走 線,求遇到紅燈次數(shù) X 的數(shù)學(xué)期望; ( 3)按照 “平均遇到紅燈次數(shù)最少 ”的要求,請(qǐng)你幫助李先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線,并說(shuō)明理由 20( 12 分)( 2016 衡陽(yáng)一模)已知橢圓 C: + =1( a b 0)過(guò)點(diǎn) A( , ),離心率為 ,點(diǎn) 別為其左右焦點(diǎn) ( 1)求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程; ( 2)若 x 上存在兩個(gè)點(diǎn) M, N,橢圓上有兩個(gè)點(diǎn) P, Q 滿足, M, N, P,Q, 點(diǎn)共線,且 四邊形 積的最小值 21( 12 分)( 2016 衡陽(yáng)一模)已知 a 為實(shí)數(shù),函數(shù) f( x) =4x ( 1)設(shè) g( x) =( a 2) x,若 ,使得 f( x) g( x)成立,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 ( 2)定義:若函數(shù) m( x)的圖象上存在兩點(diǎn) A、 B,設(shè)線段 中點(diǎn)為 P( 若 m( x)在點(diǎn) Q( m( 處的切線 l 與直線 行或重合,則函數(shù) m( x)是 “中值平衡函數(shù) ”,切線 l 叫做函數(shù) m( x)的 “中值平衡切線 ”試判斷函數(shù) f( x)是否是 “中值平衡函數(shù) ”?若是,判斷函數(shù) f( x)的 “中值平衡切線 ”的條數(shù);若不是,說(shuō)明理由 四 選修 4何證明選講 22( 10 分)( 2016 衡陽(yáng)一模)如圖, P 為圓外一點(diǎn), 圓的切線,切點(diǎn)為 D, 圓的一條直徑,過(guò)點(diǎn) P 作 垂線交圓于 C、 E 兩點(diǎn)( C、 D 兩點(diǎn) 在 同側(cè)),垂足為 F,連接 點(diǎn) G ( 1)證明: D; ( 2)若 D,求證:線段 相平分 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23( 2016 衡陽(yáng)一模)在極坐標(biāo)系中,曲線 C: =2a 0), l: ) = ,C 與 l 有且僅有一個(gè)公共點(diǎn) ( )求 a; ( ) O 為極點(diǎn), A, B 為 C 上的兩點(diǎn) ,且 ,求 |最大值 選修 4等式選講 24( 2016 福建校級(jí)模擬)設(shè)函數(shù) f( x) =|2x a|+|2x+1|( a 0), g( x) =x+2 ( 1)當(dāng) a=1 時(shí),求不等式 f( x) g( x)的解集; ( 2)若 f( x) g( x)恒成立,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 2016 年湖南省衡陽(yáng)市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科) 參考答案與試題解析 一、選擇題 1設(shè) A=x| 1x 2, B=x|x a,若 AB,則 a 的取值范圍是( ) A a 2 B a 2 C a 1 D 1 a2 【分析】 A=x| 1x 2, B=x|x a,若 AB,兩個(gè)集合有公共元素,得到兩個(gè)集合中所包含的元素有公共的元素,得到 a 與 2 的關(guān)系 【解答】 解: A=x| 1x 2, B=x|x a,若 AB, 兩個(gè)集合有公共元素, a 要在 2 的左邊, a 2, 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查集合關(guān)系中的參數(shù)問(wèn)題,本題解題的關(guān)鍵是可以借助于數(shù)軸來(lái)看出兩者之間的關(guān)系,注意端點(diǎn)處的值是否包含 2如圖,在復(fù)平面內(nèi), 復(fù)數(shù) 應(yīng)的點(diǎn)分別是 A 和 B,則 =( ) A + i B + i C i D i 【分析】 由圖形可得: 2 i, z2=i再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出 【解答】 解:由圖形可得: 2 i, z2=i = = = = i, 故選: C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的幾何意義,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題 3為了考察兩個(gè)變量 x 和 y 之間的線性相關(guān)性,甲、乙兩同學(xué)各自獨(dú)立地做 100 次和 150次試驗(yàn),并且利用線性回歸方法,求得回歸直線分別為 知兩個(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量 x 的觀測(cè)值的平均值都是 s,對(duì)變量 y 的觀測(cè)值的平均值都是 t,那么下列說(shuō)法正確的是( ) A s, t) B 交點(diǎn)不是( s, t) C D 【分析】 由題意知兩組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)都是( s, t),根據(jù)數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)一定在線性回歸直線上,得到回歸直線 過(guò)點(diǎn)( s, t),得到結(jié)論 【解答】 解: 兩組數(shù)據(jù)變量 x 的觀測(cè)值的平均值都是 s, 對(duì)變量 y 的觀測(cè)值的平均值都是 t, 兩組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)都是( s, t) 數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)一定在線性回歸直線上, 回歸直線 過(guò)點(diǎn)( s, t) 兩條直線有公共點(diǎn)( s, t) 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查線性回歸方程, 考查線性回歸方程過(guò)這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn),本題是一個(gè)基礎(chǔ)題,沒(méi)有運(yùn)算只有理論知識(shí)的應(yīng)用 4如圖, 雙曲線 =1( a 0, b 0)的左、右焦點(diǎn),過(guò) 直線 l 與雙曲線的左右兩支分別交于點(diǎn) A、 B若 等邊三角形,則雙曲線的離心率為( ) A 4 B C D 【分析】 由雙曲線的定義,可得 1A 1B=2a, a, a,c,再在 應(yīng)用余弦定理得, a, c 的關(guān)系,由離心率公式,計(jì)算即可得到所求 【解答】 解:因?yàn)?等邊三角形,不妨設(shè) F2=m, A 為雙曲線上一點(diǎn), 1A 1B=2a, B 為雙曲線上一點(diǎn),則 a, a, c, 由 ,則 , 在 應(yīng)用余弦定理得: 4622 得 故選: B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì),考查余弦定理的運(yùn)用,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題 5上邊程序框圖的算法思路來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的 “更相減損術(shù) ”,執(zhí)行該程序框圖,若輸入的 a, b 分別為 15, 18,則輸出的 a 為( ) A 0 B 1 C 3 D 15 【分析】 由循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn),先判斷,再執(zhí)行,分別計(jì)算出當(dāng)前的 a, b 的值,即可得到結(jié)論 【解答】 解:由 a=15, b=18,不滿足 a b, 則 b 變?yōu)?18 15=3, 由 b a,則 a 變?yōu)?15 3=12, 由 b a,則 a 變?yōu)?12 3=9, 由 b a,則 a 變?yōu)?9 3=6, 由 b a,則 a 變?yōu)?6 3=3, 由 a=b=3, 則輸出的 a=3 故選: C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查算法和程序框圖,主要考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的理解和運(yùn)用,以及賦值語(yǔ)句的運(yùn)用,屬于 基礎(chǔ)題 6一個(gè)三棱錐的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系 O 的坐標(biāo)分別是( 0, 0, 1),( 1, 0, 0),( 2, 2, 0),( 2, 0, 0),畫(huà)該三棱錐三視圖的俯視圖時(shí),從 x 軸的正方向向負(fù)方向看為正視方向,從 z 軸的正方向向負(fù)方向看為俯視方向,以 面為投影面,則得到俯視圖可以為( ) A B C D 【分析】 作出棱錐的直觀圖,找出各點(diǎn)在 面內(nèi)的投影得出俯視圖 【解答】 解:作出棱錐的直觀圖如圖所示: 則 A( 0, 0, 1)在平面 的投影為原點(diǎn) O, 三棱錐的俯視圖為等腰直角 中棱 側(cè)面 住,故化成虛線 故選: D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了三視圖的定義,簡(jiǎn)單幾何體的三視圖,屬于基礎(chǔ)題 7已知四個(gè)數(shù) 1, 2 成等差數(shù)列,四個(gè)數(shù) 1, 2 成等比數(shù)列,則點(diǎn) x1, 直線 y=x 的位置關(guān)系是( ) A 直線 y=x 的下方 B 直線 y=x 的下方, 直線 y=x 的上方 C 直線 y=x 的上方, 直線 y=x 的下方 D 在直線 y=x 的上方 【分析】 根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì),求出 值,并比較大小,根據(jù)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可 【解答】 解: 四個(gè)數(shù) 1, 2 成等差數(shù)列, 則 2=1+3d,即 d= ,則 + = + = 四個(gè)數(shù) 1, 2 成等比數(shù)列, 則 2= q= 1, 則 , ) 2= , 則 , ), , ), ( ) 3= 2, ,即 點(diǎn) 直線 y=x 的下方, ( ) 3= 4, ,即 點(diǎn) 直線 y=x 的下方, 故選: A 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查點(diǎn)與直線的位置關(guān)系的判斷,根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵 8 角 A, B, C 所對(duì)的邊分別是 a, b, c(其中 c 為斜邊),分別以 a, b, c 邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,將 轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積分別是 ( ) A 2= C D 【分析】 利用直角三角形的三邊分別為 a、 b、 c, a2+b2=c 為斜邊,分別求得 3 的值,可得結(jié)論 【解答】 解:因?yàn)橹苯侨切蔚娜叿謩e為 a、 b、 c, a2+b2= c 為斜邊, 則以邊 c 所在直線為軸,將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 ( ) 2c= 以邊 a 所在直線為軸,將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 以邊 b 所在直線為軸,將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 , 故選: D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查幾何體的體積的求法與大小關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于中檔題 9已知( 3x 1) n=a0+nN*),設(shè)( 3x 1) n, Tn=a1+a2+nN*), 大小關(guān)系是( ) A n 為奇數(shù)時(shí), n 為偶數(shù)時(shí), n 【分析】 由題意可得 n,令 x=0,可得 再令 x=1 可得 a0+a1+a2+,從而求得 Tn=a1+a2+較大小即可 【解答】 解:( 3x 1) n 展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為 n,令 x=1, Tn=a1+a2+ 1) n=2n( 1) n,( nN*), 所以 n 為奇數(shù)時(shí), n 為偶數(shù)時(shí), 故選: C 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,關(guān)于系數(shù)問(wèn)題常常采用變量賦值的方法,關(guān)鍵是根據(jù)要求的結(jié)果,選擇合適的數(shù)值代入 10設(shè)點(diǎn) P( x, y)是曲線 a|x|+b|y|=1( a 0, b 0)上的動(dòng)點(diǎn),且滿足,則 a+ b 的取值范圍為( ) A 2, +) B 1, 2 C 1, +) D( 0, 2 【分析】 曲線 a|x|+b|y|=1( a 0, b 0),對(duì) x, y 分類(lèi)討論,畫(huà)出圖菱形 ,設(shè) M( 1, 0), N( 1, 0),可得: 2|2 ,|2 ,轉(zhuǎn)化為含有 a, b 的不等式解出 a, b 的范圍,則答案可求 【解答】 解:曲線 a|x|+b|y|=1( a 0, b 0), 當(dāng) x, y0 時(shí),化為 ax+;當(dāng) x0, y0 時(shí),化為 ; 當(dāng) x0, y0 時(shí),化為 ax+;當(dāng) x0, y0 時(shí),化為 畫(huà)出圖象如圖,表示菱形 由 , 設(shè) M( 1, 0), N( 1, 0), 則 2|2 , |2 , , 2 , 解得 b1, a1, a+b1+1=2 a+b 取值范圍為 2, +) 故選: A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了直線方程、分類(lèi)討論思想方法、兩點(diǎn)之間的距離公式,考查了數(shù)形 結(jié)合思想方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題 11已知函數(shù) f( x) =2數(shù) g( x) = 不存在 ,使得 f( g( 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為( ) A( 2, 3) B( 6, 0) C 2, 3 D 6, 0 【分析】 先求導(dǎo),分別求出導(dǎo)函數(shù)的最值,再根據(jù)不存在 ,使得 f( =g( 得到關(guān)于 a 的不等式解得即可 【解答】 解: 函數(shù) f( x) =2數(shù) g( x) = f( x) =2a 2a, g( x) = 32 3( x+ ) 2+ , 不存在 ,使得 f( =g( 2a , 解得 6a0, 故選: D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和函數(shù)的最值問(wèn)題,以及不等式的解法,屬于中檔題 12設(shè)函數(shù) x) =x) = , x) = ,x) = |2x) |,等差數(shù)列 , , , ) |( k=1,2, 3, 4),用 示數(shù)列 前 2014 項(xiàng)的和,則( ) A 1=2 B 1=2 C =2 D = 【分析】 根等差數(shù)列的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性即可求出 問(wèn)題得以判斷 【解答】 解:等差數(shù)列 , , ,可知該數(shù)列為遞增數(shù)列,且 , , , 對(duì)于 x) =函數(shù)在 0, 1上單調(diào)遞增,于是有 ) 0, 于是 bn=) p1= =1 0=1, 對(duì)于 x),該函數(shù)在 0, 上遞增, 于是 P2= + = 0+ 0=1 對(duì)于 x),該函數(shù)在 0, 上遞減,在( , 1上為常數(shù) 類(lèi)似有 P3= =0) ) =3 1=2 對(duì)于 x),該函數(shù)在 0, 和 , 遞增,在 , 和 , 1上遞減,且是以 為周期的周期函數(shù), 故只需討論 0, 的情況,再 2 倍即可 仿前可知, + 2( =1 故 1, 綜上所述 1=2 , 故選: A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),函數(shù)的單調(diào)性,絕對(duì)值的性質(zhì),考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力,屬于難題 二、填空題 13已知 , ,則向量 在向量 上的投影為 【分析】 將 | |代入數(shù)量積公式得出 | | = 【解 答】 解: =2| | = 1, | | = 即向量 在向量 上的投影為 故答案為: 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了投影的定義,向量的數(shù)量積公式,屬于基礎(chǔ)題 14已知數(shù)列 足 ,則數(shù)列 通項(xiàng)公式為 1 【分析】 把已知遞推式兩邊同時(shí)除以 2n,得到數(shù)列數(shù)列 是以 1 為首項(xiàng),以 1 為公差的等差數(shù)列,由等差數(shù)列的 通項(xiàng)公式求出 【解答】 解: 滿足 , =1,( n2,且 nN*), =1, 數(shù)列 是以 1 為首項(xiàng),以 1 為公差的等差數(shù)列, =1+n 1=n, an=1, 當(dāng) n=1 時(shí), 成立, an=1, 故答案為: 1 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了數(shù)列遞推式,考查了等差關(guān)系的確定,是中檔題 15若函數(shù) f( x) =區(qū)間 上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 1,+) 【分析】 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系解 f( x) 0 恒成立即可 【解答】 解:函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f( x) = 函數(shù) f( x) =區(qū)間 上單調(diào)遞增, f( x) 0 在區(qū)間 上恒成立, 即 f( x) =, 即 即 a =x , 即 1, 則 a1, 故答案為: 1, +) 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵 16已知集合 M=f( x) |x) y) =f( x+y) f( x y), x, yR,有下列命題 若 x) = 則 x) M; 若 x) =2x,則 x) M; 若 x) M,則 y=x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱; 若 x) M 則對(duì)于任意不等的實(shí)數(shù) 總有 0 成立 其中所有正確命題的序號(hào)是 【分析】 可驗(yàn)證時(shí)否符合集合的公共屬性; 證明是奇函數(shù) 可用特例來(lái)否定是減函數(shù) 【解答】 解: 當(dāng) x) = 時(shí)可計(jì)算 x) y)與 f( x+y) f( x y)不恒等 當(dāng) f( x) =2x 時(shí), x) y) =f( x+y) f( x y)成立 令 x=y=0,得 f( 0) =0 令 x=0,則由 x) y) =f( x+y) f( x y)得: f( y) f( y) = y) 所以 f( x)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 如函數(shù) f( x)滿足條件: x) y) =f( x+y) f( x y),但在定義域上是增函數(shù) 故只有 正確 故答案為: 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查元素與集合的關(guān)系及函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷另外在解客觀題時(shí)可用特殊法,提高解題效率 三、解答題 17( 12 分)( 2016 衡陽(yáng)一模)在 ,已知 , , ,延長(zhǎng) ,延長(zhǎng) E,連結(jié) ( 1)求角 B 的值; ( 2)若四邊形 面積為 ,求 最大值 【分析】 ( 1)由余弦定理和已知條件求得 值,進(jìn)而求得 B ( 2)設(shè)出 示出 面積建立等式,根據(jù)基本不等式求得 最大值 【解答】 解:( 1)由余弦定理得: 所以 B= ( 2)設(shè) AE=x, CD=y, 則 S 28 = = ( 2+x)( 8+y) ( 2+x)( 8+y) =49, 33 x+2y8 , 330, 3, ,當(dāng)且僅當(dāng) x= , y=6 時(shí),等號(hào)成立 最大值為 9 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用,基本不等式的應(yīng)用在運(yùn)用基本不等式時(shí)注意條件的滿足 18( 12 分) ( 2016 河北區(qū)三模)直三棱柱 , B=, E, F 分別是 中點(diǎn), D 為棱 ( 1)證明: ( 2)是否存在一點(diǎn) D,使得平面 平面 成銳二面角的余弦值為 ?若存在,說(shuō)明點(diǎn) D 的位置,若不存在,說(shuō)明理由 【分析】 ( 1)先證明 后以 A 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 A 能寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo),由 與 共線可得 D( , 0, 1),所以 =0,即 ( 2)通過(guò)計(jì)算,面 法向量為 可寫(xiě)成 =( 3, 1+2, 2( 1 ),又面 法向量 =( 0, 0, 1),令 |, |= ,解出 的值即可 【解答】 ( 1)證明: 又 , 面 又 以 A 為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 A 則有 A( 0, 0, 0), E( 0, 1, ), F( , , 0), 0, 0, 1), 1, 0, 1), 設(shè) D( x, y, z), 且 0, 1,即( x, y, z 1) =( 1, 0, 0), 則 D( , 0, 1),所以 =( , , 1), =( 0, 1, ), = =0,所以 ( 2)結(jié)論:存在一點(diǎn) D,使得平面 平面 成銳二面角的余弦值為 理由如下: 設(shè)面 法向量為 =( x, y, z),則 , =( , , ), =( , 1), ,即 , 令 z=2( 1 ),則 =( 3, 1+2, 2( 1 ) 由題可知面 法向量 =( 0, 0, 1), 平面 平面 成銳二面角的余弦值為 , |, |= = ,即 = , 解得 或 (舍),所以當(dāng) D 為 點(diǎn)時(shí)滿足要求 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系、空間向量及其應(yīng)用,建立空間直角坐標(biāo)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,屬中檔題 19( 12 分)( 2016 江門(mén)模擬)如圖,李先生家住 H 小區(qū),他工作在 C 科技園區(qū),從家開(kāi)車(chē)到公司上班路上有 條路線, 線上有 個(gè)路口,各路口遇到紅燈的概率均為 ; 線上有 路口遇到紅燈 的概率依次為 , ( 1)若走 線,求最多遇到 1 次紅燈的概率; ( 2)若走 線,求遇到紅燈次數(shù) X 的數(shù)學(xué)期望; ( 3)按照 “平均遇到紅燈次數(shù)最少 ”的要求,請(qǐng)你幫助李先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線,并說(shuō)明理由 【分析】 ( 1)利用二項(xiàng)分布即可得出; ( 2)利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式及離散型隨機(jī)變量的期望計(jì)算公式即可得出; ( 3)由于走路線 服從二項(xiàng)分布即可得出期望,比較走兩條路的數(shù)學(xué)期望的大小即可得出要選擇的路線 【解答】 解:( 1)設(shè) “走 線最多遇到 1 次紅燈 ”為事件 A,包括沒(méi)有遇到紅燈和只遇到紅燈一次兩種情況 則 , 所以走 線,最多遇到 1 次紅燈的概率為 ( 2)依題意, X 的可能取值為 0, 1, 2 , , 隨機(jī)變量 X 的分布列為: X 0 1 2 P 所以 ( 3)設(shè)選擇 線遇到紅燈次數(shù)為 Y,隨機(jī)變量 Y 服從二項(xiàng)分布 Y ,所以 因?yàn)?以選擇 線上班最好 【點(diǎn)評(píng)】 熟練掌握二項(xiàng)分布列、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式及離散型隨機(jī)變量的期望計(jì)算公式及其意義是解題的關(guān)鍵 20( 12 分)( 2016 衡陽(yáng)一模)已知橢圓 C: + =1( a b 0)過(guò)點(diǎn) A( , ),離心率為 ,點(diǎn) 別為其左右焦點(diǎn) ( 1)求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程; ( 2)若 x 上存在兩個(gè)點(diǎn) M, N,橢圓上有兩個(gè)點(diǎn) P, Q 滿足, M, N, P,Q, 點(diǎn)共線,且 四邊形 積的最小值 【分析】 ( 1)由橢圓的離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程及 a, b, c 的關(guān)系,解方程,即可得到橢圓方程; ( 2)討論直線 斜率不存在,求得弦長(zhǎng),求得四邊形的面積;當(dāng)直線 率存在時(shí),設(shè)直線方程為: y=k( x 1)( k0)聯(lián)立拋物線方程和橢圓方程,運(yùn) 用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式,以及四邊形的面積公式,計(jì)算即可得到最小值 【解答】 解:( 1)由題意得: , b2= b=c, 因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn) A( , ), 則 + =1, 解得 c=1,所以 , 所以橢圓 C 方程為 ( 2)當(dāng)直線 率不存在時(shí),直線 斜率為 0, 易得 , 當(dāng)直線 率存在時(shí),設(shè)直線方程為: y=k( x 1)( k0) 與 x 聯(lián)立得 2) x+, 令 M( N( 則 , , | 即有 , 直線 方程為: y= ( x 1), 將直線與橢圓聯(lián)立得,( ) 4x+2 2, 令 P( Q( x3+, , 由弦長(zhǎng)公式 | , 代入計(jì)算可得 , 四邊形 面積 S= | , 令 1+k2=t,( t 1), 上式 = , 所以 最小值為 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查橢圓的方程和性質(zhì),主要考查橢圓的離心率和方程的運(yùn)用,同時(shí)考查直線和橢圓聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式,以及四邊形的面積的最小值的求法,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題 21( 12 分)( 2016 衡陽(yáng)一模)已知 a 為實(shí)數(shù),函數(shù) f( x) =4x ( 1)設(shè) g( x) =( a 2) x,若 ,使得 f( x) g( x)成立,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 ( 2)定義:若函數(shù) m( x)的圖象上存在兩點(diǎn) A、 B,設(shè)線段 中點(diǎn)為 P( 若 m( x)在點(diǎn) Q( m( 處的切線 l 與直線 行或重合,則函數(shù) m( x)是 “中值平衡函數(shù) ”,切線 l 叫做函數(shù) m( x)的 “中值平衡切線 ”試判斷函數(shù) f( x)是否是 “中值平衡函數(shù) ”?若是,判斷函數(shù) f( x)的 “中值平衡切線 ”的條數(shù);若不是,說(shuō)明理由 【分析】 ( 1)由題意可得( x a2x,記 F( x) =x 出導(dǎo)數(shù),求得最小值1,運(yùn)用參數(shù)分離可 得 a ,求出導(dǎo)數(shù),求得單調(diào)區(qū)間、極值和最值,即可得到 a 的范圍; ( 2)求出 f( x)的導(dǎo)數(shù),假設(shè) f( x)是 “中值平衡函數(shù) ”,則存在 A( f( , B( x2,f( ( 0 求出切線的斜率,運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式,可得,討論 a 是否為 0,構(gòu)造函數(shù)求出導(dǎo)數(shù),判斷單調(diào)性,結(jié)合新定義,即可得到所求 “中值平衡切線 ”的條數(shù) 【解答】 解:( 1)由 f( x) g( x),得 , 記 F( x) =x x 0), , 當(dāng) 0 x 1 時(shí), F( x) 0, F( x)遞減, 當(dāng) x 1 時(shí), F( x) 0, F( x)遞增; 所以 F( x) F( 1) =1 0, a ,記 , , , x 2=2( 1 +xx 0, 時(shí), G( x) 0, G( x)遞減; x( 1, e時(shí), G( x) 0, G( x)遞增; G( x) ( 1) = 1, aG( x) 1, 故實(shí)數(shù) a 的取值范圍為( , 1; ( 2)函數(shù) f( x)的定義域?yàn)椋?0, +), , 若函數(shù) f( x)是 “中值平衡函數(shù) ”, 則存在 A( f( , B( f( ( 0 使得 , 即 , ( ) 當(dāng) a=0 時(shí),( )對(duì)任意的 0 所以函數(shù) f( x)是 “中值平衡函數(shù) ”,且函數(shù) f( x)的 “中值平衡切線 ”有無(wú)數(shù)條; 當(dāng) a0 時(shí),有 = 設(shè) t= 1,則方程 在區(qū)間( 1, +)上有解, 記函數(shù) , 則 , 所以函數(shù) h( t)在區(qū)間( 1, +)遞增, h( 1) =0,所以當(dāng) t 1 時(shí), h( t) h( 1) =0, 即方程 在區(qū)間( 1, +)上無(wú)解,即函數(shù) f( x)不是 “中值平衡函數(shù) ”; 綜上所述,當(dāng) a=0 時(shí),函數(shù) f( x)是 “中值平衡函數(shù) ”, 且函數(shù) f( x)的 “中值平衡切線 ”有無(wú)數(shù)條; 當(dāng) a0 時(shí), f( x)不是 “中值平衡函數(shù) ” 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值,考查不等式恒成立問(wèn)題的解法,注意運(yùn)用分離參數(shù),考查新定義的理解和運(yùn)用,注意運(yùn)用分類(lèi)討論的思想方法,考查構(gòu)造函數(shù)的方法,屬于中檔題 四 選修 4何證明選講 22( 10 分)( 2016 衡陽(yáng)一模)如圖, P 為圓外一點(diǎn), 圓的切線,切點(diǎn)為 D, 圓的一條直徑,過(guò)點(diǎn) P 作 垂線交圓于 C、 E 兩點(diǎn)( C、 D 兩點(diǎn)在 同側(cè)),垂足為 F,連接 點(diǎn) G ( 1)證明: D; (

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