湖南省衡陽(yáng)市2016年高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）含答案解析

湖南省衡陽(yáng)市 2016 年高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） （解析版） 一、選擇題 1設(shè) A=x| 1x 2， B=x|x a，若 AB，則 a 的取值范圍是（ ） A a 2 B a 2 C a 1 D 1 a2 2如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 應(yīng)的點(diǎn)分別是 A 和 B，則 =（ ） A + i B + i C i D i 3為了考察兩個(gè)變量 x 和 y 之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩同學(xué)各自獨(dú)立地做 100 次和 150次試驗(yàn)，并且利用線性回歸方法，求 得回歸直線分別為 知兩個(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量 x 的觀測(cè)值的平均值都是 s，對(duì)變量 y 的觀測(cè)值的平均值都是 t，那么下列說(shuō)法正確的是（ ） A s， t） B 交點(diǎn)不是（ s， t） C D 4如圖， 雙曲線 =1（ a 0， b 0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò) 直線 l 與雙曲線的左右兩支分別交于點(diǎn) A、 B若 等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ） A 4 B C D 5上邊程序框圖的算法思路來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的 “更相減損術(shù) ”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入的 a， b 分別為 15， 18，則輸出的 a 為（ ） A 0 B 1 C 3 D 15 6一個(gè)三棱錐的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系 O 的坐標(biāo)分別是（ 0， 0， 1），（ 1， 0， 0），（ 2， 2， 0），（ 2， 0， 0），畫(huà)該三棱錐三視圖的俯視圖時(shí)，從 x 軸的正方向向負(fù)方向看為正視方向，從 z 軸的正方向向負(fù)方向看為俯視方向，以 面為投影面，則得到俯視圖可以為（ ） A B C D 7已知四個(gè)數(shù) 1， 2 成等差數(shù)列，四個(gè)數(shù) 1， 2 成等比數(shù)列，則點(diǎn) x1， 直線 y=x 的位置關(guān)系是（ ） A 直線 y=x 的下方 B 直線 y=x 的下方， 直線 y=x 的上方 C 直線 y=x 的上方， 直線 y=x 的下方 D 在直線 y=x 的上方 8 角 A， B， C 所對(duì)的邊分別是 a， b， c（其中 c 為斜邊），分別以 a， b， c 邊所在的直 線為旋轉(zhuǎn)軸，將 轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積分別是 （ ） A 2= C D 9已知（ 3x 1） n=a0+nN*），設(shè)（ 3x 1） n， Tn=a1+a2+nN*）， 大小關(guān)系是（ ） A n 為奇數(shù)時(shí)， n 為偶數(shù)時(shí)， n 10設(shè)點(diǎn) P（ x， y）是曲線 a|x|+b|y|=1（ a 0， b 0）上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則 a+ b 的取值范圍為（ ） A 2， +） B 1， 2 C 1， +） D（ 0， 2 11已知函數(shù) f（ x） =2數(shù) g（ x） = 不存在 ，使得 f（ g（ 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為（ ） A（ 2， 3） B（ 6， 0） C 2， 3 D 6， 0 12設(shè)函數(shù) x） =x） = ， x） = ，x） = |2x） |，等差數(shù)列 ， ， ， ） |（ k=1，2， 3， 4），用 示數(shù)列 前 2014 項(xiàng)的和，則（ ） A 1=2 B 1=2 C =2 D = 二、填空題 13已知 ， ，則向量 在向量 上的投影為 14已知數(shù)列 足 ，則數(shù)列 通項(xiàng)公式為 15若函數(shù) f（ x） =區(qū)間 上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 16已知集合 M=f（ x） |x） y） =f（ x+y） f（ x y）， x， yR，有下列命題 若 x） = 則 x） M； 若 x） =2x，則 x） M； 若 x） M，則 y=x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； 若 x） M 則對(duì)于任意不等的實(shí)數(shù) 有 0 成立 其中所有正確命題的序號(hào)是 三、解答題 17（ 12 分）（ 2016 衡陽(yáng)一模）在 ，已知 ， ， ，延長(zhǎng) ，延長(zhǎng) E，連結(jié) （ 1）求角 B 的值； （ 2）若四邊形 面積為 ，求 最大值 18（ 12 分）（ 2016 河北區(qū)三模）直三棱柱 ， B=， E， F 分別是 中點(diǎn)， D 為棱 （ 1）證明： （ 2）是否存在一點(diǎn) D，使得平面 平面 成銳二面角的余弦值為 ？若存在，說(shuō)明點(diǎn) D 的位置，若不存在，說(shuō)明理由 19（ 12 分）（ 2016 江門(mén)模擬）如圖，李先生家住 H 小區(qū)，他工作在 C 科技園區(qū)，從家開(kāi)車(chē)到公司上班路上有 條路線， 線上有 個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率均為 ； 線上有 路口遇到紅燈的概率依次為 ， （ 1）若走 線，求最多遇到 1 次紅燈的概率； （ 2）若走 線，求遇到紅燈次數(shù) X 的數(shù)學(xué)期望； （ 3）按照 “平均遇到紅燈次數(shù)最少 ”的要求，請(qǐng)你幫助李先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說(shuō)明理由 20（ 12 分）（ 2016 衡陽(yáng)一模）已知橢圓 C： + =1（ a b 0）過(guò)點(diǎn) A（ ， ），離心率為 ，點(diǎn) 別為其左右焦點(diǎn) （ 1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2）若 x 上存在兩個(gè)點(diǎn) M， N，橢圓上有兩個(gè)點(diǎn) P， Q 滿足， M， N， P，Q， 點(diǎn)共線，且 四邊形 積的最小值 21（ 12 分）（ 2016 衡陽(yáng)一模）已知 a 為實(shí)數(shù)，函數(shù) f（ x） =4x （ 1）設(shè) g（ x） =（ a 2） x，若 ，使得 f（ x） g（ x）成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 （ 2）定義：若函數(shù) m（ x）的圖象上存在兩點(diǎn) A、 B，設(shè)線段 中點(diǎn)為 P（ 若 m（ x）在點(diǎn) Q（ m（ 處的切線 l 與直線 行或重合，則函數(shù) m（ x）是 “中值平衡函數(shù) ”，切線 l 叫做函數(shù) m（ x）的 “中值平衡切線 ”試判斷函數(shù) f（ x）是否是 “中值平衡函數(shù) ”？若是，判斷函數(shù) f（ x）的 “中值平衡切線 ”的條數(shù)；若不是，說(shuō)明理由 四 選修 4何證明選講 22（ 10 分）（ 2016 衡陽(yáng)一模）如圖， P 為圓外一點(diǎn)， 圓的切線，切點(diǎn)為 D， 圓的一條直徑，過(guò)點(diǎn) P 作 垂線交圓于 C、 E 兩點(diǎn)（ C、 D 兩點(diǎn) 在 同側(cè)），垂足為 F，連接 點(diǎn) G （ 1）證明： D； （ 2）若 D，求證：線段 相平分 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23（ 2016 衡陽(yáng)一模）在極坐標(biāo)系中，曲線 C： =2a 0）， l： ） = ，C 與 l 有且僅有一個(gè)公共點(diǎn) （ ）求 a； （ ） O 為極點(diǎn)， A， B 為 C 上的兩點(diǎn) ，且 ，求 |最大值 選修 4等式選講 24（ 2016 福建校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù) f（ x） =|2x a|+|2x+1|（ a 0）， g（ x） =x+2 （ 1）當(dāng) a=1 時(shí)，求不等式 f（ x） g（ x）的解集； （ 2）若 f（ x） g（ x）恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 2016 年湖南省衡陽(yáng)市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題 1設(shè) A=x| 1x 2， B=x|x a，若 AB，則 a 的取值范圍是（ ） A a 2 B a 2 C a 1 D 1 a2 【分析】 A=x| 1x 2， B=x|x a，若 AB，兩個(gè)集合有公共元素，得到兩個(gè)集合中所包含的元素有公共的元素，得到 a 與 2 的關(guān)系 【解答】 解： A=x| 1x 2， B=x|x a，若 AB， 兩個(gè)集合有公共元素， a 要在 2 的左邊， a 2， 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查集合關(guān)系中的參數(shù)問(wèn)題，本題解題的關(guān)鍵是可以借助于數(shù)軸來(lái)看出兩者之間的關(guān)系，注意端點(diǎn)處的值是否包含 2如圖，在復(fù)平面內(nèi)， 復(fù)數(shù) 應(yīng)的點(diǎn)分別是 A 和 B，則 =（ ） A + i B + i C i D i 【分析】 由圖形可得： 2 i， z2=i再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出 【解答】 解：由圖形可得： 2 i， z2=i = = = = i， 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的幾何意義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題 3為了考察兩個(gè)變量 x 和 y 之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩同學(xué)各自獨(dú)立地做 100 次和 150次試驗(yàn)，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為 知兩個(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量 x 的觀測(cè)值的平均值都是 s，對(duì)變量 y 的觀測(cè)值的平均值都是 t，那么下列說(shuō)法正確的是（ ） A s， t） B 交點(diǎn)不是（ s， t） C D 【分析】 由題意知兩組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)都是（ s， t），根據(jù)數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)一定在線性回歸直線上，得到回歸直線 過(guò)點(diǎn)（ s， t），得到結(jié)論 【解答】 解： 兩組數(shù)據(jù)變量 x 的觀測(cè)值的平均值都是 s， 對(duì)變量 y 的觀測(cè)值的平均值都是 t， 兩組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)都是（ s， t） 數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)一定在線性回歸直線上， 回歸直線 過(guò)點(diǎn)（ s， t） 兩條直線有公共點(diǎn)（ s， t） 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查線性回歸方程， 考查線性回歸方程過(guò)這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題，沒(méi)有運(yùn)算只有理論知識(shí)的應(yīng)用 4如圖， 雙曲線 =1（ a 0， b 0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò) 直線 l 與雙曲線的左右兩支分別交于點(diǎn) A、 B若 等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ） A 4 B C D 【分析】 由雙曲線的定義，可得 1A 1B=2a， a， a，c，再在 應(yīng)用余弦定理得， a， c 的關(guān)系，由離心率公式，計(jì)算即可得到所求 【解答】 解：因?yàn)?等邊三角形，不妨設(shè) F2=m， A 為雙曲線上一點(diǎn)， 1A 1B=2a， B 為雙曲線上一點(diǎn)，則 a， a， c， 由 ，則 ， 在 應(yīng)用余弦定理得： 4622 得 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查余弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題 5上邊程序框圖的算法思路來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的 “更相減損術(shù) ”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入的 a， b 分別為 15， 18，則輸出的 a 為（ ） A 0 B 1 C 3 D 15 【分析】 由循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，先判斷，再執(zhí)行，分別計(jì)算出當(dāng)前的 a， b 的值，即可得到結(jié)論 【解答】 解：由 a=15， b=18，不滿足 a b， 則 b 變?yōu)?18 15=3， 由 b a，則 a 變?yōu)?15 3=12， 由 b a，則 a 變?yōu)?12 3=9， 由 b a，則 a 變?yōu)?9 3=6， 由 b a，則 a 變?yōu)?6 3=3， 由 a=b=3， 則輸出的 a=3 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查算法和程序框圖，主要考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的理解和運(yùn)用，以及賦值語(yǔ)句的運(yùn)用，屬于 基礎(chǔ)題 6一個(gè)三棱錐的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系 O 的坐標(biāo)分別是（ 0， 0， 1），（ 1， 0， 0），（ 2， 2， 0），（ 2， 0， 0），畫(huà)該三棱錐三視圖的俯視圖時(shí)，從 x 軸的正方向向負(fù)方向看為正視方向，從 z 軸的正方向向負(fù)方向看為俯視方向，以 面為投影面，則得到俯視圖可以為（ ） A B C D 【分析】 作出棱錐的直觀圖，找出各點(diǎn)在 面內(nèi)的投影得出俯視圖 【解答】 解：作出棱錐的直觀圖如圖所示： 則 A（ 0， 0， 1）在平面 的投影為原點(diǎn) O， 三棱錐的俯視圖為等腰直角 中棱 側(cè)面 住，故化成虛線 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了三視圖的定義，簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，屬于基礎(chǔ)題 7已知四個(gè)數(shù) 1， 2 成等差數(shù)列，四個(gè)數(shù) 1， 2 成等比數(shù)列，則點(diǎn) x1， 直線 y=x 的位置關(guān)系是（ ） A 直線 y=x 的下方 B 直線 y=x 的下方， 直線 y=x 的上方 C 直線 y=x 的上方， 直線 y=x 的下方 D 在直線 y=x 的上方 【分析】 根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)，求出 值，并比較大小，根據(jù)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可 【解答】 解： 四個(gè)數(shù) 1， 2 成等差數(shù)列， 則 2=1+3d，即 d= ，則 + = + = 四個(gè)數(shù) 1， 2 成等比數(shù)列， 則 2= q= 1， 則 ， ） 2= ， 則 ， ）， ， ）， （ ） 3= 2， ，即 點(diǎn) 直線 y=x 的下方， （ ） 3= 4， ，即 點(diǎn) 直線 y=x 的下方， 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查點(diǎn)與直線的位置關(guān)系的判斷，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵 8 角 A， B， C 所對(duì)的邊分別是 a， b， c（其中 c 為斜邊），分別以 a， b， c 邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將 轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積分別是 （ ） A 2= C D 【分析】 利用直角三角形的三邊分別為 a、 b、 c， a2+b2=c 為斜邊，分別求得 3 的值，可得結(jié)論 【解答】 解：因?yàn)橹苯侨切蔚娜叿謩e為 a、 b、 c， a2+b2= c 為斜邊， 則以邊 c 所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 （ ） 2c= 以邊 a 所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 以邊 b 所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 ， 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查幾何體的體積的求法與大小關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題 9已知（ 3x 1） n=a0+nN*），設(shè)（ 3x 1） n， Tn=a1+a2+nN*）， 大小關(guān)系是（ ） A n 為奇數(shù)時(shí)， n 為偶數(shù)時(shí)， n 【分析】 由題意可得 n，令 x=0，可得 再令 x=1 可得 a0+a1+a2+，從而求得 Tn=a1+a2+較大小即可 【解答】 解：（ 3x 1） n 展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為 n，令 x=1， Tn=a1+a2+ 1） n=2n（ 1） n，（ nN*）， 所以 n 為奇數(shù)時(shí)， n 為偶數(shù)時(shí)， 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，關(guān)于系數(shù)問(wèn)題常常采用變量賦值的方法，關(guān)鍵是根據(jù)要求的結(jié)果，選擇合適的數(shù)值代入 10設(shè)點(diǎn) P（ x， y）是曲線 a|x|+b|y|=1（ a 0， b 0）上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則 a+ b 的取值范圍為（ ） A 2， +） B 1， 2 C 1， +） D（ 0， 2 【分析】 曲線 a|x|+b|y|=1（ a 0， b 0），對(duì) x， y 分類(lèi)討論，畫(huà)出圖菱形 ，設(shè) M（ 1， 0）， N（ 1， 0），可得： 2|2 ，|2 ，轉(zhuǎn)化為含有 a， b 的不等式解出 a， b 的范圍，則答案可求 【解答】 解：曲線 a|x|+b|y|=1（ a 0， b 0）， 當(dāng) x， y0 時(shí)，化為 ax+；當(dāng) x0， y0 時(shí)，化為 ； 當(dāng) x0， y0 時(shí)，化為 ax+；當(dāng) x0， y0 時(shí)，化為 畫(huà)出圖象如圖，表示菱形 由 ， 設(shè) M（ 1， 0）， N（ 1， 0）， 則 2|2 ， |2 ， ， 2 ， 解得 b1， a1， a+b1+1=2 a+b 取值范圍為 2， +） 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了直線方程、分類(lèi)討論思想方法、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了數(shù)形 結(jié)合思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題 11已知函數(shù) f（ x） =2數(shù) g（ x） = 不存在 ，使得 f（ g（ 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為（ ） A（ 2， 3） B（ 6， 0） C 2， 3 D 6， 0 【分析】 先求導(dǎo)，分別求出導(dǎo)函數(shù)的最值，再根據(jù)不存在 ，使得 f（ =g（ 得到關(guān)于 a 的不等式解得即可 【解答】 解： 函數(shù) f（ x） =2數(shù) g（ x） = f（ x） =2a 2a， g（ x） = 32 3（ x+ ） 2+ ， 不存在 ，使得 f（ =g（ 2a ， 解得 6a0， 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和函數(shù)的最值問(wèn)題，以及不等式的解法，屬于中檔題 12設(shè)函數(shù) x） =x） = ， x） = ，x） = |2x） |，等差數(shù)列 ， ， ， ） |（ k=1，2， 3， 4），用 示數(shù)列 前 2014 項(xiàng)的和，則（ ） A 1=2 B 1=2 C =2 D = 【分析】 根等差數(shù)列的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性即可求出 問(wèn)題得以判斷 【解答】 解：等差數(shù)列 ， ， ，可知該數(shù)列為遞增數(shù)列，且 ， ， ， 對(duì)于 x） =函數(shù)在 0， 1上單調(diào)遞增，于是有 ） 0， 于是 bn=） p1= =1 0=1， 對(duì)于 x），該函數(shù)在 0， 上遞增， 于是 P2= + = 0+ 0=1 對(duì)于 x），該函數(shù)在 0， 上遞減，在（ ， 1上為常數(shù) 類(lèi)似有 P3= =0） ） =3 1=2 對(duì)于 x），該函數(shù)在 0， 和 ， 遞增，在 ， 和 ， 1上遞減，且是以 為周期的周期函數(shù)， 故只需討論 0， 的情況，再 2 倍即可 仿前可知， + 2（ =1 故 1， 綜上所述 1=2 ， 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，絕對(duì)值的性質(zhì)，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力，屬于難題 二、填空題 13已知 ， ，則向量 在向量 上的投影為 【分析】 將 | |代入數(shù)量積公式得出 | | = 【解 答】 解： =2| | = 1， | | = 即向量 在向量 上的投影為 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了投影的定義，向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題 14已知數(shù)列 足 ，則數(shù)列 通項(xiàng)公式為 1 【分析】 把已知遞推式兩邊同時(shí)除以 2n，得到數(shù)列數(shù)列 是以 1 為首項(xiàng)，以 1 為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的 通項(xiàng)公式求出 【解答】 解： 滿足 ， =1，（ n2，且 nN*）， =1， 數(shù)列 是以 1 為首項(xiàng)，以 1 為公差的等差數(shù)列， =1+n 1=n， an=1， 當(dāng) n=1 時(shí)， 成立， an=1， 故答案為： 1 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，是中檔題 15若函數(shù) f（ x） =區(qū)間 上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 1，+） 【分析】 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系解 f（ x） 0 恒成立即可 【解答】 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f（ x） = 函數(shù) f（ x） =區(qū)間 上單調(diào)遞增， f（ x） 0 在區(qū)間 上恒成立， 即 f（ x） =， 即 即 a =x ， 即 1， 則 a1， 故答案為： 1， +） 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵 16已知集合 M=f（ x） |x） y） =f（ x+y） f（ x y）， x， yR，有下列命題 若 x） = 則 x） M； 若 x） =2x，則 x） M； 若 x） M，則 y=x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； 若 x） M 則對(duì)于任意不等的實(shí)數(shù) 總有 0 成立 其中所有正確命題的序號(hào)是 【分析】 可驗(yàn)證時(shí)否符合集合的公共屬性； 證明是奇函數(shù) 可用特例來(lái)否定是減函數(shù) 【解答】 解： 當(dāng) x） = 時(shí)可計(jì)算 x） y）與 f（ x+y） f（ x y）不恒等 當(dāng) f（ x） =2x 時(shí)， x） y） =f（ x+y） f（ x y）成立 令 x=y=0，得 f（ 0） =0 令 x=0，則由 x） y） =f（ x+y） f（ x y）得： f（ y） f（ y） = y） 所以 f（ x）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 如函數(shù) f（ x）滿足條件： x） y） =f（ x+y） f（ x y），但在定義域上是增函數(shù) 故只有 正確 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查元素與集合的關(guān)系及函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷另外在解客觀題時(shí)可用特殊法，提高解題效率 三、解答題 17（ 12 分）（ 2016 衡陽(yáng)一模）在 ，已知 ， ， ，延長(zhǎng) ，延長(zhǎng) E，連結(jié) （ 1）求角 B 的值； （ 2）若四邊形 面積為 ，求 最大值 【分析】 （ 1）由余弦定理和已知條件求得 值，進(jìn)而求得 B （ 2）設(shè)出 示出 面積建立等式，根據(jù)基本不等式求得 最大值 【解答】 解：（ 1）由余弦定理得： 所以 B= （ 2）設(shè) AE=x， CD=y， 則 S 28 = = （ 2+x）（ 8+y） （ 2+x）（ 8+y） =49， 33 x+2y8 ， 330， 3， ，當(dāng)且僅當(dāng) x= ， y=6 時(shí)，等號(hào)成立 最大值為 9 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用在運(yùn)用基本不等式時(shí)注意條件的滿足 18（ 12 分） （ 2016 河北區(qū)三模）直三棱柱 ， B=， E， F 分別是 中點(diǎn)， D 為棱 （ 1）證明： （ 2）是否存在一點(diǎn) D，使得平面 平面 成銳二面角的余弦值為 ？若存在，說(shuō)明點(diǎn) D 的位置，若不存在，說(shuō)明理由 【分析】 （ 1）先證明 后以 A 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 A 能寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，由 與 共線可得 D（ ， 0， 1），所以 =0，即 （ 2）通過(guò)計(jì)算，面 法向量為 可寫(xiě)成 =（ 3， 1+2， 2（ 1 ），又面 法向量 =（ 0， 0， 1），令 |， |= ，解出 的值即可 【解答】 （ 1）證明： 又 ， 面 又 以 A 為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 A 則有 A（ 0， 0， 0）， E（ 0， 1， ）， F（ ， ， 0）， 0， 0， 1）， 1， 0， 1）， 設(shè) D（ x， y， z）， 且 0， 1，即（ x， y， z 1） =（ 1， 0， 0）， 則 D（ ， 0， 1），所以 =（ ， ， 1）， =（ 0， 1， ）， = =0，所以 （ 2）結(jié)論：存在一點(diǎn) D，使得平面 平面 成銳二面角的余弦值為 理由如下： 設(shè)面 法向量為 =（ x， y， z），則 ， =（ ， ， ）， =（ ， 1）， ，即 ， 令 z=2（ 1 ），則 =（ 3， 1+2， 2（ 1 ） 由題可知面 法向量 =（ 0， 0， 1）， 平面 平面 成銳二面角的余弦值為 ， |， |= = ，即 = ， 解得 或 （舍），所以當(dāng) D 為 點(diǎn)時(shí)滿足要求 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系、空間向量及其應(yīng)用，建立空間直角坐標(biāo)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題 19（ 12 分）（ 2016 江門(mén)模擬）如圖，李先生家住 H 小區(qū)，他工作在 C 科技園區(qū)，從家開(kāi)車(chē)到公司上班路上有 條路線， 線上有 個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率均為 ； 線上有 路口遇到紅燈 的概率依次為 ， （ 1）若走 線，求最多遇到 1 次紅燈的概率； （ 2）若走 線，求遇到紅燈次數(shù) X 的數(shù)學(xué)期望； （ 3）按照 “平均遇到紅燈次數(shù)最少 ”的要求，請(qǐng)你幫助李先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說(shuō)明理由 【分析】 （ 1）利用二項(xiàng)分布即可得出； （ 2）利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式及離散型隨機(jī)變量的期望計(jì)算公式即可得出； （ 3）由于走路線 服從二項(xiàng)分布即可得出期望，比較走兩條路的數(shù)學(xué)期望的大小即可得出要選擇的路線 【解答】 解：（ 1）設(shè) “走 線最多遇到 1 次紅燈 ”為事件 A，包括沒(méi)有遇到紅燈和只遇到紅燈一次兩種情況 則 ， 所以走 線，最多遇到 1 次紅燈的概率為 （ 2）依題意， X 的可能取值為 0， 1， 2 ， ， 隨機(jī)變量 X 的分布列為： X 0 1 2 P 所以 （ 3）設(shè)選擇 線遇到紅燈次數(shù)為 Y，隨機(jī)變量 Y 服從二項(xiàng)分布 Y ，所以 因?yàn)?以選擇 線上班最好 【點(diǎn)評(píng)】 熟練掌握二項(xiàng)分布列、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式及離散型隨機(jī)變量的期望計(jì)算公式及其意義是解題的關(guān)鍵 20（ 12 分）（ 2016 衡陽(yáng)一模）已知橢圓 C： + =1（ a b 0）過(guò)點(diǎn) A（ ， ），離心率為 ，點(diǎn) 別為其左右焦點(diǎn) （ 1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2）若 x 上存在兩個(gè)點(diǎn) M， N，橢圓上有兩個(gè)點(diǎn) P， Q 滿足， M， N， P，Q， 點(diǎn)共線，且 四邊形 積的最小值 【分析】 （ 1）由橢圓的離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程及 a， b， c 的關(guān)系，解方程，即可得到橢圓方程； （ 2）討論直線 斜率不存在，求得弦長(zhǎng)，求得四邊形的面積；當(dāng)直線 率存在時(shí)，設(shè)直線方程為： y=k（ x 1）（ k0）聯(lián)立拋物線方程和橢圓方程，運(yùn) 用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及四邊形的面積公式，計(jì)算即可得到最小值 【解答】 解：（ 1）由題意得： ， b2= b=c， 因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn) A（ ， ）， 則 + =1， 解得 c=1，所以 ， 所以橢圓 C 方程為 （ 2）當(dāng)直線 率不存在時(shí)，直線 斜率為 0， 易得 ， 當(dāng)直線 率存在時(shí)，設(shè)直線方程為： y=k（ x 1）（ k0） 與 x 聯(lián)立得 2） x+， 令 M（ N（ 則 ， ， | 即有 ， 直線 方程為： y= （ x 1）， 將直線與橢圓聯(lián)立得，（ ） 4x+2 2， 令 P（ Q（ x3+， ， 由弦長(zhǎng)公式 | ， 代入計(jì)算可得 ， 四邊形 面積 S= | ， 令 1+k2=t，（ t 1）， 上式 = ， 所以 最小值為 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運(yùn)用，同時(shí)考查直線和橢圓聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及四邊形的面積的最小值的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題 21（ 12 分）（ 2016 衡陽(yáng)一模）已知 a 為實(shí)數(shù)，函數(shù) f（ x） =4x （ 1）設(shè) g（ x） =（ a 2） x，若 ，使得 f（ x） g（ x）成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 （ 2）定義：若函數(shù) m（ x）的圖象上存在兩點(diǎn) A、 B，設(shè)線段 中點(diǎn)為 P（ 若 m（ x）在點(diǎn) Q（ m（ 處的切線 l 與直線 行或重合，則函數(shù) m（ x）是 “中值平衡函數(shù) ”，切線 l 叫做函數(shù) m（ x）的 “中值平衡切線 ”試判斷函數(shù) f（ x）是否是 “中值平衡函數(shù) ”？若是，判斷函數(shù) f（ x）的 “中值平衡切線 ”的條數(shù)；若不是，說(shuō)明理由 【分析】 （ 1）由題意可得（ x a2x，記 F（ x） =x 出導(dǎo)數(shù)，求得最小值1，運(yùn)用參數(shù)分離可 得 a ，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間、極值和最值，即可得到 a 的范圍； （ 2）求出 f（ x）的導(dǎo)數(shù)，假設(shè) f（ x）是 “中值平衡函數(shù) ”，則存在 A（ f（ ， B（ x2，f（ （ 0 求出切線的斜率，運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式，可得，討論 a 是否為 0，構(gòu)造函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，結(jié)合新定義，即可得到所求 “中值平衡切線 ”的條數(shù) 【解答】 解：（ 1）由 f（ x） g（ x），得 ， 記 F（ x） =x x 0）， ， 當(dāng) 0 x 1 時(shí)， F（ x） 0， F（ x）遞減， 當(dāng) x 1 時(shí)， F（ x） 0， F（ x）遞增； 所以 F（ x） F（ 1） =1 0， a ，記 ， ， ， x 2=2（ 1 +xx 0， 時(shí)， G（ x） 0， G（ x）遞減； x（ 1， e時(shí)， G（ x） 0， G（ x）遞增； G（ x） （ 1） = 1， aG（ x） 1， 故實(shí)數(shù) a 的取值范圍為（ ， 1； （ 2）函數(shù) f（ x）的定義域?yàn)椋?0， +）， ， 若函數(shù) f（ x）是 “中值平衡函數(shù) ”， 則存在 A（ f（ ， B（ f（ （ 0 使得 ， 即 ， （ ） 當(dāng) a=0 時(shí)，（ ）對(duì)任意的 0 所以函數(shù) f（ x）是 “中值平衡函數(shù) ”，且函數(shù) f（ x）的 “中值平衡切線 ”有無(wú)數(shù)條； 當(dāng) a0 時(shí)，有 = 設(shè) t= 1，則方程 在區(qū)間（ 1， +）上有解， 記函數(shù) ， 則 ， 所以函數(shù) h（ t）在區(qū)間（ 1， +）遞增， h（ 1） =0，所以當(dāng) t 1 時(shí)， h（ t） h（ 1） =0， 即方程 在區(qū)間（ 1， +）上無(wú)解，即函數(shù) f（ x）不是 “中值平衡函數(shù) ”； 綜上所述，當(dāng) a=0 時(shí)，函數(shù) f（ x）是 “中值平衡函數(shù) ”， 且函數(shù) f（ x）的 “中值平衡切線 ”有無(wú)數(shù)條； 當(dāng) a0 時(shí)， f（ x）不是 “中值平衡函數(shù) ” 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用分離參數(shù)，考查新定義的理解和運(yùn)用，注意運(yùn)用分類(lèi)討論的思想方法，考查構(gòu)造函數(shù)的方法，屬于中檔題 四 選修 4何證明選講 22（ 10 分）（ 2016 衡陽(yáng)一模）如圖， P 為圓外一點(diǎn)， 圓的切線，切點(diǎn)為 D， 圓的一條直徑，過(guò)點(diǎn) P 作 垂線交圓于 C、 E 兩點(diǎn)（ C、 D 兩點(diǎn)在 同側(cè)），垂足為 F，連接 點(diǎn) G （ 1）證明： D； （