線性系統(tǒng)理論講義PPT課件

1、1,第一部分: 線性系統(tǒng)時間域理論,第二章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2.1 狀態(tài)和狀態(tài)空間,線性系統(tǒng)時間域理論是以時間域數(shù)學(xué)模型為系統(tǒng)描述,直接在時間域內(nèi)分析和綜合線性系統(tǒng)的運(yùn)動和特性的一種理論和方法,系統(tǒng)動態(tài)過程的數(shù)學(xué)描述,1/4,1/50,2,1).系統(tǒng)的外部描述,外部描述常被稱作為輸出輸入描述,例如.對SISO線性定常系統(tǒng):時間域的外部描述,復(fù)頻率域描述即傳遞函數(shù)描述,2)系統(tǒng)的內(nèi)部描述,狀態(tài)空間描述是系統(tǒng)內(nèi)部描述的基本形式,需要由兩個數(shù)學(xué)方程表征, 狀態(tài)方程和輸出方程,3)外部描述和內(nèi)部描述的比較,一般的說外部描述只是對系統(tǒng)的一種不完全描述,不能反映黑箱內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不能控或不能觀測的部分

2、. 內(nèi)部描述則是系統(tǒng)的一種完全的描述,能夠完全反映系統(tǒng)的所有動力學(xué)特性,2/4,2/50,3,2.1 基本概念,2.1.1 定義,表示系統(tǒng) 時刻的狀態(tài),4,為,5,7)狀態(tài)空間表達(dá)式： (5)+ (6,狀態(tài)變量的特點(diǎn),1)獨(dú)立性：狀態(tài)變量之間線性獨(dú)立,2)多樣性：狀態(tài)變量的選取并不唯一，實(shí)際上存在無窮多種方案,6,4)現(xiàn)實(shí)性：狀態(tài)變量通常取為涵義明確的物理量,5)抽象性：狀態(tài)變量可以沒有直觀的物理意義,2.1.2 狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式,1)線性系統(tǒng),7,2.2 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,電路系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫示例,以上方程可表為形如,描述系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)變量之間關(guān)系的方程組稱為系統(tǒng)的

3、狀態(tài)空間表達(dá)式（動態(tài)方程或運(yùn)動方程），包括狀態(tài)方程（描述輸入和狀態(tài)變量之間的關(guān)系）和輸出方程（描述輸出和輸入、狀態(tài)變量之間的關(guān)系,1/7,5/50,8,機(jī)電系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫示例,上式可表為形如,2/7,6/50,9,連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,動態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,線性時不變系統(tǒng),線性時變系統(tǒng),3/7,7/50,10,連續(xù)時間線性系統(tǒng)的方塊圖,4/7,8/50,11,人口分布問題狀態(tài)空間描述的列寫示例,假設(shè)某個國家,城市人口為107,鄉(xiāng)村人口為9x107,每年4%的城市人口遷移去鄉(xiāng)村, 2%的鄉(xiāng)村人口遷移去城市,整個國家的人口的自然增長率為1,設(shè)k為離散時間

4、變量, x1(k)、x2(k)為第k年的城市人口和鄉(xiāng)村人口, u(k)為第k年所采取的激勵性政策控制手段,設(shè)一個單位正控制措施可激勵5x104城市人口遷移鄉(xiāng)村,而一個單位負(fù)控制措施會導(dǎo)致5x104鄉(xiāng)村人口去城市, y(k)為第k年全國人口數(shù),寫成矩陣形式,5/7,9/50,12,離散時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,狀態(tài)空間描述形式,離散時間線性時不變系統(tǒng),離散時間線性時變系統(tǒng),6/7,10/50,13,離散系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的特點(diǎn),一是:狀態(tài)方程形式上的差分型屬性（即：狀態(tài)方程為差分方程。） 二是:描述方程的線性屬性。（狀態(tài)方程和輸出方程的右端，對狀態(tài)x和輸入u都 呈現(xiàn)為線性關(guān)系。） 三是:變量取值

5、時間的離散屬性（所有變量只能在離散時刻k取值,離散時間線性系統(tǒng)的方塊圖,7/7,11/50,14,2.3.連續(xù)變量動態(tài)系統(tǒng)按狀態(tài)空間描述的分類,線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng),設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,向量函數(shù),若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一個組成元素為x、u的非線性函數(shù),該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng),若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部組成元為x、u的線性函數(shù),該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng),對于線性系統(tǒng),非線性系統(tǒng)可以用泰勒展開方法化為線性系統(tǒng),1/2,12/50,15,時變系統(tǒng)和時不變系統(tǒng),若向量f,g不顯含時間變量t,即,該系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng),若向量f,g顯含時間變量t,即,該系統(tǒng)稱為時變系

6、統(tǒng),連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng),當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的輸入變量,狀態(tài)變量和輸出變量取值于連續(xù)時間點(diǎn),反映變量間因果關(guān)系的動態(tài)過程為時間的連續(xù)過程,該系統(tǒng)稱為連續(xù)時間系統(tǒng),當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的輸入變量,狀態(tài)變量和輸出變量只取值于離散時間點(diǎn),反映變量間因果關(guān)系的動態(tài)過程為時間的不連續(xù)過程,該系統(tǒng)稱為離散時間系統(tǒng),確定性系統(tǒng)和不確定性系統(tǒng),稱一個系統(tǒng)為確定性系統(tǒng),當(dāng)且僅當(dāng)不論是系統(tǒng)的特性和參數(shù)還是系統(tǒng)的輸入和擾動,都是隨時間按確定的規(guī)律而變化的,稱一個動態(tài)系統(tǒng)為不確定性系統(tǒng),或者系統(tǒng)的特性和參數(shù)中包含某種不確定性,或者作用于系統(tǒng)的輸入和擾動是隨機(jī)變量,2/2,13/50,16,2.4 由系統(tǒng)輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空

7、間描述,由輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述,對于單輸入,單輸出線性時不變系統(tǒng),其微分方程描述,其傳遞函數(shù)描述,可以導(dǎo)出其狀態(tài)空間描述為,1/18,14/50,17,結(jié)論1,給定單輸入,單輸出線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出描述,其對應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情況導(dǎo)出,1)m=n,即系統(tǒng)為真情形,證明：設(shè),2/18,15/50,18,可見,3/18,16/50,19,令,有,4/18,17/50,20,2)mn,即系統(tǒng)為嚴(yán)真情形,寫成矩陣形式,5/18,18/50,21,結(jié)論2,給定單輸入,單輸出線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出描述,其對應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情況導(dǎo)出,1)m=0情形,此時輸入輸出描述為,選

8、取n個狀態(tài)變量,6/18,19/50,22,其對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為,7/18,20/50,23,則狀態(tài)空間表達(dá)式為,選擇狀態(tài)變量,24,2)m0情形,此時輸入輸出描述為,a,8/18,21/50,25,其對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為,其中,9/18,22/50,26,b,改寫為,令,10/18,23/50,27,結(jié)論3,給定單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述為,其極點(diǎn)即分母方程的根,為兩兩互異實(shí)數(shù)，則對應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情形導(dǎo)出,1) mn，即系統(tǒng)為嚴(yán)真情形,對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為,11/18,24/50,28,2) m=n，即系統(tǒng)為真情形,令,對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為,12/18,25/5

9、0,29,由方塊圖描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述,例1,設(shè)系統(tǒng)方塊圖如下，試列寫其狀態(tài)空間描述,解,上圖等效為,指定狀態(tài)變量組后，列寫變量間的關(guān)系方程,13/18,26/50,30,寫成矩陣形式,例2,設(shè)單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,試列寫其狀態(tài)空間表達(dá)式,14/18,27/50,31,解,可畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下,寫出變量之間的關(guān)系,15/18,28/50,32,寫成矩陣形式,16/18,29/50,33,也可以畫出結(jié)構(gòu)圖為,可寫出系統(tǒng)的動態(tài)方程為,17/18,30/50,34,例3,設(shè),畫出結(jié)構(gòu)圖,動態(tài)方程為,18/18,31/50,35,2.4 組合系統(tǒng),2.4.1 并聯(lián),系統(tǒng)如圖，二子系統(tǒng)并聯(lián)連接,

10、36,特點(diǎn),37,38,2.4.2 反饋,系統(tǒng)如圖，二子系統(tǒng)并聯(lián)連接,39,特點(diǎn),1) 動態(tài)反饋,40,傳遞矩陣,41,2.5 線性時不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu),特征多項式,連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng),1) 特征多項式,均為實(shí)常數(shù),2) 特征方程式,3) 凱萊-哈密爾頓（Caley-Hamilton）定理,1/6,32/50,這一定理揭示了線性時不變系統(tǒng)一特性：對系統(tǒng)矩陣A，有且僅有 為線性無關(guān)，所有 都可表示為它們的線性組合,42,4) 最小多項式,的各個元多項式之間互質(zhì),定義（s）為系統(tǒng)矩陣A的最小多項式，最小多項式（s）也滿足凱萊-哈密爾頓定理，即（A）=0,5) 系統(tǒng)矩陣的循環(huán)性,如果系統(tǒng)矩陣A的

11、特征多項式(s)和最小多項式（s）之間只存在常數(shù)類型的公因子k，即,則稱系統(tǒng)矩陣A是循環(huán)的,6) 特征多項式的計算,2/6,33/50,43,基于跡計算的特征多項式迭代算法,基于分解計算的特征多項式迭代算法,3/6,34/50,44,特征值,1) 特征值的代數(shù)屬性,系統(tǒng)特征值就是使特征矩陣(sIA)降秩的所有s值,2) 特征值集,對n維線性時不變系統(tǒng)，有且僅有n個特征值，特征值的全體構(gòu)成系統(tǒng)的特征值集,3) 特征值的形態(tài),特征值的形態(tài)要么為實(shí)數(shù)，要么為共軛復(fù)數(shù),4) 特征值類型,系統(tǒng)特征值可區(qū)分為“單特征值”和“重特征值”兩種類型,4/6,35/50,45,5) 特征值的代數(shù)重數(shù),代數(shù)重數(shù)i

12、代表特征值集中值為i 的特征值個數(shù),6) 特征值的幾何重數(shù),7) 特征值重數(shù)和類型的關(guān)系,對n 維線性時不變系統(tǒng)，若i A為單特征值，則其代數(shù)重數(shù)i和幾何重數(shù)i之間必 有,特征向量和廣義特征向量,5/6,36/50,46,1) 特征向量的幾何特性,2) 特征向量的不唯一性,3) 單特征值所屬特征向量的屬性,對n維線性時不變系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣A的屬于特征值1、2、n的相應(yīng)一組特征向量v1、v2、vn為線性無關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)特征值1、2、n為兩兩互異,廣義特征向量,對n維線性時不變系統(tǒng)，設(shè)i為nn維系統(tǒng)矩陣A的一個i重特征值，則,6/6,37/50,47,結(jié)論4,特征值為兩兩互異的情形,2.6 狀態(tài)方程的

13、約當(dāng)規(guī)范形,對n個特征值1、2、n兩兩互異的n維線性時不變系統(tǒng)，基于n個特征向量構(gòu)造變換陣p=v1、v2、vn，則狀態(tài)方程,可通過線性非奇異變換,而化為約當(dāng)規(guī)范形,包含復(fù)數(shù)特征值情形的對角線規(guī)范形（略,1/3,38/50,48,結(jié)論5,特征值包含重值的情形,對包含重特征值的n維線性時不變系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)的特征值,那么，基于相應(yīng)于各特征值的廣義特征向量組所組成的變換陣Q，令,可將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為約當(dāng)規(guī)范形,2/3,39/50,49,其中，Ji為相應(yīng)于特征值i 的約當(dāng)塊,3/3,40/50,50,2.7 由狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣,傳遞函數(shù)矩陣,定義：單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)，在零初始條件下，輸

14、出變量拉普拉斯變換和輸入變量拉普拉斯變換之比，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即,多輸入多輸出線性時不變系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出變量拉普拉斯變換和輸入變量拉普拉斯變換因果關(guān)系,稱G(s)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣,其中,1/4,41/50,51,1) G(s)的函數(shù)屬性,傳遞函數(shù)矩陣G(s)在函數(shù)屬性上是復(fù)變量s的qp有理分式矩陣,2) G(s)的真性和嚴(yán)真性,當(dāng)且僅當(dāng)G(s)是真或嚴(yán)真時，G(s)才是物理上可實(shí)現(xiàn)的,3) G(s)的特征多項式和最小多項式,4) G(s)的極點(diǎn),G(s)的極點(diǎn)定義為方程式,的根,2/4,42/50,52,5) G(s)的循環(huán)性,若,稱G(s)是循環(huán)的,6) G(s)正則性和奇

15、異性,G(s)基于(A,B,C,D)的表達(dá)式,考慮連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng),則,設(shè)G(s)的首一化特征多項式為G(s)，A的特征多項式為(s)，若,必有,若系統(tǒng)能控能觀測，則,表G(s)的極點(diǎn)集合G，A的特征值集合，若G，則G；若系統(tǒng)能控能觀測，則G=,3/4,43/50,53,結(jié)論7,G(s)的實(shí)用計算關(guān)系式,令,則,4/4,44/50,54,2.8 線性系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的特性 結(jié)論8,坐標(biāo)變換的實(shí)質(zhì)是把系統(tǒng)在空間一個坐標(biāo)系上的表征化為另一個坐標(biāo)系上的表征,坐標(biāo)變換的幾何含義和代數(shù)表征,線性時不變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為,引入坐標(biāo)變換,則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,1/3,45/50,55,結(jié)論9,

16、線性時不變系統(tǒng)引入坐標(biāo)變換，其傳遞函數(shù)矩陣在線性非奇異變換下保持不變,定義：稱具有相同輸入和輸出的兩個同維線性時不變系統(tǒng)代數(shù)等價，當(dāng)且僅當(dāng)它們的系統(tǒng)矩陣之間滿足狀態(tài)空間描述坐標(biāo)變換中給出的關(guān)系,代數(shù)等價的系統(tǒng)的基本特征是具有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)特性，如特征多項式、特征值、極點(diǎn)、穩(wěn)定性、能控性、能觀測性等,2/3,46/50,56,結(jié)論10,線性時變系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的特性,對線性時變系統(tǒng),引入坐標(biāo)變換,P(t)為可逆且連續(xù)可微，則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,3/3,47/50,57,2.9 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述和傳遞函數(shù)矩陣,設(shè),子系統(tǒng)并聯(lián),兩個子系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)并聯(lián)聯(lián)接的條件,1/3,48/50,58

17、,并聯(lián)后,子系統(tǒng)串聯(lián),兩個子系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)串聯(lián)聯(lián)接的條件是,串聯(lián)后,2/3,49/50,59,子系統(tǒng)反饋聯(lián)接,設(shè),兩個子系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)輸出反饋聯(lián)接的條件是,反饋聯(lián)接后,3/3,50/50,60,第三章 線性系統(tǒng)的運(yùn)動分析,31 引言,從數(shù)學(xué)的角度，運(yùn)動分析的實(shí)質(zhì)就是求解系統(tǒng)的狀態(tài)方程。以解析形式或數(shù)值分析形式，建立系統(tǒng)狀態(tài)隨輸入和初始狀態(tài)的演化規(guī)律,解的存在性和唯一性條件,設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程,如果系統(tǒng)矩陣A(t),B(t)的所有元在時間定義區(qū)間t0,t上為時間t的連續(xù)實(shí)函數(shù)，輸入u(t)的所有元為時間t的連續(xù)實(shí)函數(shù)，那么狀態(tài)方程的解x(t)存在且唯一,從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，上述條件可減弱為,系統(tǒng)矩陣A(t)的各個元

18、ij(t)在時間區(qū)間t0,t上為絕對可積，即,輸入矩陣B(t)的各個元ij(t)在時間區(qū)間t0,t上為平方可積，即,1/2,1/29,61,輸入u(t)的各個元uk(t)在時間區(qū)間t0,t上為平方可積，即,條件可一步合并為要求B(t) u(t)的各元在時間區(qū)間t0,t上絕對可積,2/2,2/29,62,32 連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的運(yùn)動分析,系統(tǒng)的零輸入響應(yīng),令輸入u(t)=0而得到系統(tǒng)自治狀態(tài)方程,結(jié)論1. 系統(tǒng)自治狀態(tài)方程的解，具有以下形式,其中,若初始時間取為t00則,1/12,3/29,63,線性定常齊次狀態(tài)方程的解,線性定常齊次狀態(tài)方程的解又稱為自由解、零輸入響應(yīng)。 狀態(tài)方程： 給定

19、初始時刻 時的狀態(tài)向量值： 則 任意時刻的狀態(tài)： 此即齊次狀態(tài)方程的解。 若初始時刻 則其解為： 標(biāo)量方程： 證明：與標(biāo)量微分方程的求解類似，先假設(shè)齊次狀態(tài)方程的解X（t）為t的向量冪級數(shù)形式，即： 假設(shè),64,則： 代入齊次狀態(tài)方程得： 兩邊比較系數(shù)，有,65,其中， 把 代入 得： 上式括號內(nèi)是一個nn矩陣，它是一個矩陣指數(shù)函數(shù)，記為 ，即： 于是，齊次狀態(tài)方程的解可表示為,66,矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),4）設(shè)A和F為兩個同維可交換方陣，即AF=FA,則有,2/12,4/29,67,矩陣指數(shù)函數(shù)的算法,1：定義法,2：特征值法,1）若,則,2）若,則,3/12,5/29,68,3）若,其中,則

20、,其中,4/12,6/29,69,例,5/12,7/29,70,例,6/12,8/29,71,3：有限項展開法,設(shè)1、2、n為A的n個互異特征值,而,從中可求出1、2、n,若i為l重特征值，則相應(yīng)的l個方程為,7/12,9/29,72,例,令,8/12,10/29,73,4：預(yù)解矩陣法,系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動規(guī)律的基本表達(dá)式,設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,有表達(dá)式,對初始時刻t0=0情形有表達(dá)式,9/12,11/29,74,非齊次狀態(tài)方程的解,狀態(tài)方程,75,基于特征結(jié)構(gòu)的狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式,設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,A的屬于12n線性無關(guān)右特征向量組,A的屬于12n線性無關(guān)左特征向量組,12n為A的n個兩兩相異的

21、特征值,右特征向量矩陣,10/12,12/29,76,結(jié)論,對特征值兩兩相異一類n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，基于特征結(jié)構(gòu)的矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的表達(dá)式,左特征向量矩陣,顯然,11/12,13/29,77,結(jié)論,對特征值兩兩相異一類n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，基于特征結(jié)構(gòu)的零輸入響應(yīng)x0u(t)零初態(tài)響應(yīng)x0 x(t)以及狀態(tài)運(yùn)動規(guī)律x(t)的表達(dá)式為,12/12,14/29,78,3.3連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,設(shè)連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)方程為,基本解陣,矩陣方程,的解陣,稱為連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)(1)的基本解陣,其中H為任意非奇異實(shí)常陣,結(jié)論：(1). 基本解陣不唯一 (2)

22、. 由系統(tǒng)自治方程,的任意n個線性無關(guān)解為列可構(gòu)成一個基本解陣,3).連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)(1)的一個可能的基本解陣為,1/7,15/29,79,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,矩陣方程,的解陣(t-t0,稱為連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)(1)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,結(jié)論,1:連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)(1)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可由基本解陣定出,2:狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 (t-t0) 唯一，與基本解陣的選取無關(guān),3:狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的形式為,基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的系統(tǒng)響應(yīng)表達(dá)式,2/7,16/29,80,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的特性,3/7,17/29,81,線性時變系統(tǒng)的輸出為,假設(shè)初始條件為零，輸入信號中，ui(t)為單位脈沖信號,其余的輸入信號為零。即

23、,則輸出為,3.4連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣,4/7,18/29,82,定義：表hi j(t-)為第j個輸入端在時刻加以單位脈沖(t-)而所有其他輸入為零時，在第i個輸出端的脈沖響應(yīng)，對p維輸入，q維輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)矩陣定義為零初始條件下以脈沖響應(yīng) hi j(t-)為元構(gòu)成的一個輸出響應(yīng)矩陣,結(jié)論：對p維輸入，q維輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，假設(shè)初始狀態(tài)為零，則系統(tǒng)在任意輸入u作用下的輸出響應(yīng)y(t)為,5/7,19/29,83,脈沖響應(yīng)矩陣和狀態(tài)空間描述,結(jié)論：對連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)(A.B.C.D)，設(shè)初始狀態(tài)為零，則系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣為,結(jié)論：兩個代數(shù)等價

24、的連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)具有相同的脈沖響應(yīng)矩陣 兩個代數(shù)等價的連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)具有相同的“輸出零狀態(tài)響應(yīng)”和“輸出零輸入響應(yīng),結(jié)論：對連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，其脈沖響應(yīng)矩陣H(t)和傳遞函數(shù)矩陣G(s)之間有如下關(guān)系,6/7,20/29,84,例,求脈沖響應(yīng)矩陣,解,也可以利用傳遞矩陣的拉氏反變換求得,7/7,21/29,85,3.5連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的運(yùn)動分析,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,設(shè)連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，狀態(tài)方程為,對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，矩陣方程,的解矩陣(t,t0)稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,矩陣方程,的解矩陣(t)稱為基本解陣,其中H為任意非奇異實(shí)常值矩陣,1/3,22/29,86,結(jié)論：基本

25、解陣不唯一 對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，其一個基本解陣可由系統(tǒng)自治狀態(tài)方程,的任意n個線性無關(guān)解為列構(gòu)成,對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，其一個基本解陣,結(jié)論：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為唯一,2/3,23/29,87,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì),系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng),結(jié)論：對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，狀態(tài)方程的解,脈沖響應(yīng)矩陣,結(jié)論：對零初始狀態(tài)的連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)矩陣,結(jié)論：對零初始狀態(tài)的連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，其輸出響應(yīng)為,3/3,24/29,88,3.6 連續(xù)時間線性系統(tǒng)的時間離散化,基本約定,1）對采樣方式的約定 采樣方式取為以常數(shù)T為周期的等間隔采樣，采樣時間寬度比采樣周期T小得多。 2）對采樣周期T大小的約定 滿

26、足Shamnon采樣定理給出的條件 3）對保持方式的約定 零階保持方式,基本結(jié)論,給定連續(xù)時間線性時變系統(tǒng),則其在基本約定下的時間離散化描述為,1/3,25/29,89,其中,結(jié)論,給定連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng),則其在基本約定下的時間離散化描述為,其中,結(jié)論,時間離散化屬性：時間離散化不改變系統(tǒng)的時變或時不變屬性 離散化系統(tǒng)屬性：不管系統(tǒng)矩陣A(t)或A是非奇異或奇異，其離散化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣G(k)和G必為非奇異,2/3,26/29,90,例,線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,設(shè)采樣周期T=1秒，試求其離散化狀態(tài)方程,解,3/3,27/29,91,37 離散時間線性系統(tǒng)的運(yùn)動分析,不管是時變差分方程，還

27、是時不變差分方程，都可采用迭代法求解。其思路是：基于系統(tǒng)狀態(tài)方程，利用給定的或定出的上一采樣時刻狀態(tài)值，迭代地定出下一個采樣時刻的系統(tǒng)狀態(tài),定義：矩陣方程(k+1)=G(k)(k,m), (m,m)=I的解陣(k,m)稱為離散時間線性時變系統(tǒng)x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 矩陣方程(k+1)=G(k) ,(0)=I的解陣(k),稱為離散時間線性時不變系統(tǒng)x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,結(jié)論：離散時間線性時變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：（k,m）=G(k-1)G(k-2)G(m) 離散時間線性時不變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為,結(jié)論：(k,m)非奇異=G(i)

28、,I=m,m+1,k-1均為非奇異 (k)非奇異=G非奇異 對連續(xù)時間線性系統(tǒng)的時間離散化系統(tǒng)，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣必為非奇異,1/2,28/29,92,結(jié)論：對離散時間線性時變系統(tǒng)，其解為,對離散時間線性時不變系統(tǒng)，其解為,定義：對離散時間線性時不變系統(tǒng),x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) y(k)=Cx(k)+Du(k,脈沖傳遞函數(shù)矩陣,定義為零初始條件下，滿足,的一個qp有理分式矩陣,結(jié)論：離散時間線性時不變系統(tǒng)，脈沖傳遞函數(shù)矩陣為,2/2,29/29,93,第四章線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性,41 能控性和能觀測性的定義,線性定常系統(tǒng)(A,B,C)，對任意給定的一個初始狀態(tài)x(t0)，如果在

29、t1 t0的有限時間區(qū)間t0,t1內(nèi)，存在一個無約束的控制矢量u(t)，使x(t1)=0，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)是能控的。 可見系統(tǒng)的能控性反映了控制矢量u(t)對系統(tǒng)狀態(tài)的控制性質(zhì),與系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān),定義,1/3,1/45,94,能控性，能達(dá)性定義,對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng),如果存在一個時刻,以及一個無約束的容許控制u(t,使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=x0轉(zhuǎn)移到x(t1)=0，則稱非零狀態(tài)X0在t0時刻為能控,如果存在一個時刻t1J,t1t0,以及一個無約束的容許控制u(t),tt0,t1,使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=0轉(zhuǎn)移到x(t1)=xf0,則稱非零狀態(tài)xf在t0時刻為能達(dá),

30、對連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性等價；對離散時間線性時不變系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)，若系統(tǒng)矩陣為非奇異，則能控性和能達(dá)性等價；對連續(xù)時間線性系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性一般為不等價,定義：對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng),和指定初始時刻t0J，如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時刻t0J都為能控/能達(dá)，稱系統(tǒng)在時刻t0為完全能控/能達(dá),2/3,2/45,95,定義：對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng),和指定初始時刻t0J，如果狀態(tài)空間中存在一個非零狀態(tài)或一個非空狀態(tài)集合在時刻t0J為不能控/能達(dá)，稱系統(tǒng)在時刻t0為不完全能控/能達(dá),定義：若系統(tǒng)的能控/能達(dá)性與初始時刻t0的選取無關(guān)，或系統(tǒng)在任意初始時刻t0J均為完全能控/能達(dá)

31、，則稱系統(tǒng)為一致完全能控/能達(dá),能觀測性定義,對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)和指定初始時刻t0J,如果存在一個時刻t1J，t1t0，使系統(tǒng)以x(t0)=x0為初始狀態(tài)的輸出y(t)恒為零，即y(t)0，tt0,t1，則稱非零狀態(tài)x0在時刻t0為不能觀測；如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時刻t0都不為不能觀測，則稱系統(tǒng)在時刻t0為完全能觀測；如果狀態(tài)空間中存在一個非零狀態(tài)或一個非零狀態(tài)集合在時刻t0為不能觀測，則稱系統(tǒng)在時刻t0為不完全能觀測；如果系統(tǒng)對任意時刻均為完全能觀測，即能觀測性與初始時刻t0的選取無關(guān)，則稱系統(tǒng)為一致完全能觀測,該系統(tǒng)是不完全能觀測的,由于,可見系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)的能觀測性與x(t

32、0)的能觀測性是等價的,3/3,3/45,96,42 連續(xù)時間線性系統(tǒng)的能控性判據(jù),結(jié)論1,線性時變系統(tǒng),在t0時刻是狀態(tài)完全能控的充分必要條件是下列格蘭姆矩陣,為非奇異矩陣,證明,充分性,為非奇異時，系統(tǒng)能控,說明系統(tǒng)是能控的,1/8,4/45,97,反證法,必要性,是奇異的，且系統(tǒng)能控，看能否導(dǎo)出矛盾的結(jié)果,由于,是奇異的，故,的行向量在t0,t1上線性相關(guān)，必存在非零的行向量，使在t0,t1區(qū)間成立，若選擇非零的初始狀態(tài)x(t0)= T,則,說明=0,矛盾,2/8,5/45,98,結(jié)論2,連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng),完全能控的充分必要條件是，存在時刻t10，使格拉姆矩陣,為非奇異,結(jié)論3：n

33、 維連續(xù)時間線性時變系統(tǒng),設(shè)A(t),B(t)對t為n-1階連續(xù)可微，定義,則系統(tǒng)在時刻t0J完全能控的一個充分條件為，存在一個有限時刻t1J，t1t0，,使,3/8,6/45,99,結(jié)論4,對n 維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為能控性判別矩陣,滿秩，即rankQ c=n,結(jié)論5,n 維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為： rankSI-AB=n,或,為系統(tǒng)特征值,結(jié)論6：n 維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為：矩陣A不存在與B所有列正交的非零左特征向量，即對矩陣A所有特征值i，使同時滿足TA= i T ， TB=0 的左特征向量T=0,4/8,

34、7/45,100,結(jié)論7：對n維線性時不變系統(tǒng)，若A為對角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是B中不包含零行向量,結(jié)論8：對n維線性時不變系統(tǒng)，若A為約當(dāng)陣，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是：特征值互異的約當(dāng)塊最后一行對應(yīng)的B陣中，該行元素不全為零。 特征值相同的各約當(dāng)塊最后一行對應(yīng)的B陣各行向量線性無關(guān),5/8,8/45,101,例,圖示電路，判斷系統(tǒng)能控性條件,解,選取狀態(tài)變量x1=iL，x2=uC，得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,6/8,9/45,102,R1R4=R2R3）時，系統(tǒng)不能控。否則系統(tǒng)能控,例,系統(tǒng)能控的充分必要條件是向量組bl11、bl12、bl13線性無關(guān)以及bl21線

35、性無關(guān)（即不為零,7/8,10/45,103,定義：令,對完全能控連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，定義能控性指數(shù)為： 使“rankQk=n”成立的最小正整數(shù)k,結(jié)論9：對完全能控單輸入連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，則系統(tǒng)能控性指數(shù)n,結(jié)論10：對完全能控多輸入連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，設(shè)rankB=r，則能控性指數(shù)滿足,設(shè),為矩陣A的最小多項式次數(shù)，則,結(jié)論11：多輸入連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，且rankB=r,則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為,8/8,11/45,104,43 連續(xù)時間線性系統(tǒng)的能觀測性判據(jù),結(jié)論1,線性時變系統(tǒng)在t0時刻是狀

36、態(tài)完全能觀測的充分必要條件是下列格蘭姆矩陣,為非奇異矩陣,結(jié)論2,連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是，存在時刻t10，使格拉姆矩陣,為非奇異,1/5,12/45,105,結(jié)論3,n 維連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)設(shè)A(t),C(t)對t為n-1階連續(xù)可微，定義,則系統(tǒng)在時刻t0J完全能觀測的一個充分條件為，存在一個有限時刻t1J，t1t0，,使,2/5,13/45,106,結(jié)論4,對n 維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為能觀測性判別矩陣,滿秩，即rankQ o=n,結(jié)論5,n 維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為,或,為系統(tǒng)特征值,結(jié)論6：n維連續(xù)時間

37、線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為：矩陣A不存在與C所有行正交的非零右特征向量，即對矩陣A所有特征值，使同時滿足,的右特征向量,3/5,14/45,107,結(jié)論7：對n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，若A為對角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是C陣中不包含零列向量,結(jié)論8：對n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，若A為約當(dāng)陣，系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是： 特征值互異的約當(dāng)塊第一列對應(yīng)的C陣中，該列元素不全為零。 特征值相同的約當(dāng)塊第一列對應(yīng)的C陣中，各列向量線性無關(guān),4/5,15/45,108,定義：令,完全能觀測n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能觀測性指數(shù)定義為 使“rankQk=

38、n”成立的最小正整數(shù),結(jié)論9：對完全能觀測單輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，則能觀測性指數(shù)為n,結(jié)論10：對完全能觀測多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為q，設(shè)rankC=m，則,設(shè),為矩陣A的最小多項式次數(shù)，則,結(jié)論11：對多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，設(shè)rankC=m，則系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是,5/5,16/45,109,4.4 離散時間線性系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù),時變系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù),定義,離散時間線性時變系統(tǒng),如果對初始時刻hJk 和任意非零初始狀態(tài)X(h)=X0都存在時刻lJk,lh和對應(yīng)輸入u(k),使輸入作用下系統(tǒng)狀態(tài)在時刻lJk達(dá)到

39、原點(diǎn)，即有X(l)=0,則稱系統(tǒng)在時刻h完全能控,如果對初始時刻h和任意非零狀態(tài)Xl，都存在時刻lJk,lh和對應(yīng)輸入u(k)，使輸入作用下由初始狀態(tài)X(h)=0出發(fā)的系統(tǒng)運(yùn)動在時刻lJk達(dá)到Xl，則稱系統(tǒng)在時刻h完全能達(dá),結(jié)論1 離散時間線性時變系統(tǒng)在時刻h完全能達(dá)的充分必要條件為，存在時刻lJk,lh，使格蘭姆矩陣,為非奇異,1/8,17/45,110,結(jié)論2 若系統(tǒng)矩陣G(k)對所有 kh,l-1 非奇異，則離散時間線性時變系統(tǒng)在時刻hJk完全能控的充分必要條件為，存在時刻lJk,lh，使格蘭姆矩陣,為非奇異,若系統(tǒng)矩陣G(k)對一個或一些kh,l-1奇異。格蘭姆矩非奇異為系統(tǒng)在時刻h完

40、全能控的一個充分條件,若系統(tǒng)矩陣G(k) 對所有kh,l-1非奇異，則系統(tǒng)能控性和能達(dá)性等價,若離散時間線性時變系統(tǒng)為連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的時間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價,2/8,18/45,111,時不變系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性判據(jù),結(jié)論3 離散時間線性時不變系統(tǒng),系統(tǒng)完全能達(dá)的充分必要條件為，存在時刻l 0，使格蘭姆矩陣,為非奇異,若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為存在時刻l 0，使格蘭姆矩陣 為非奇異。若系統(tǒng)矩陣G奇異，則上述格蘭姆矩陣非奇異為系統(tǒng)完全能控的充分條件,3/8,19/45,112,結(jié)論4 n維離散時間線性時不變系統(tǒng),系統(tǒng)完全能達(dá)的充分必要條件為矩陣,滿秩

41、,若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為 rankQkc=n,若系統(tǒng)矩陣G奇異，rankQkc=n 為系統(tǒng)完全能控的一個充分條件,結(jié)論5 對于單輸入離散時間線性時不變系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)完全能控時，可構(gòu)造如下一組輸入控制,則系統(tǒng)必可在n步內(nèi)由任意非零初態(tài)X(0)，轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)，通常稱這組控制為最小拍控制,若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則離散時間線性時不變系統(tǒng)能控性和能達(dá)性等價,若離散時間線性時不變系統(tǒng)為連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的時間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價,4/8,20/45,113,例,設(shè)單輸入線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,試判斷系統(tǒng)的能控性，若初始狀態(tài)x(0)=2,1,0T，確定使x(

42、3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性,解,系統(tǒng)是能控的,5/8,21/45,114,令,若令,無解。即不存在控制序列u（0），u（1）能夠使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(0)=2,1,0T轉(zhuǎn)移到x(2)=0,6/8,22/45,115,時變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù),結(jié)論6 離散時間線性時變系統(tǒng)在時刻hJk完全能觀測的充分必要條件為，存在一個離散時刻lJk,l h,使格蘭姆矩陣,為非奇異,時不變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù),結(jié)論7 離散時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為，存在一個離散時刻l0,使格蘭姆矩陣,為非奇異,7/8,23/45,116,結(jié)論8 n 維離散時間線性時不變系

43、統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為,滿秩,結(jié)論9 若單輸出離散時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測，則利用n步輸出值就可構(gòu)造出相應(yīng)的初始狀態(tài),8/8,24/45,117,4.5 對偶性,定義：對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng),其對偶系統(tǒng)定義為如下形式的一個連續(xù)時間線性時變系統(tǒng),其中,狀態(tài)X為n維行向量,協(xié)狀態(tài)為n維行向量 輸入u為p維列向量,輸入為q 維行向量 輸出Y為q維列向量,輸出為p 維行向量,結(jié)論10 :原構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,與對偶系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,之間滿足如下關(guān)系,1/2,25/45,118,結(jié)論11 設(shè)為原構(gòu)線性系統(tǒng), d為對偶線性系統(tǒng),則有,完全能控 d 完全能觀測,完全能觀測 d 完全能控,2/2

44、,26/45,119,4.6離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測性的條件,設(shè)連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng),對應(yīng)的時間離散化系統(tǒng),其中G=eAT H,A的特征值,結(jié)論12 如果連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）不能控（不能觀測），則對任意采樣周期T離散化后的系統(tǒng)（G、H、C）也是不能控（不能觀測）的,證明,用反證法,設(shè)連續(xù)系統(tǒng)不能控，而對于某采樣T離散化后的系統(tǒng)卻是能控的。則,rankH、GH、G2H、Gn-1H=n,1/3,27/45,120,容易驗證,為可交換陣，故,由于eAiT可用I、A、A2、An-1線性表示，故,連續(xù)系統(tǒng)是能控的，矛盾,本定理也可敘述為： 如果離散化后的系統(tǒng)是能控（能觀測）的，則離散化前的連

45、續(xù)系統(tǒng)一定是能控（能觀測）的,2/3,28/45,121,結(jié)論13 ：設(shè)連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）能控（能觀測），則離散化后的系統(tǒng)也能控（能觀測）的必要條件是,不是A的特征值。其中k為非零整數(shù),結(jié)論14 對時間離散化，使采樣周期T的值,則時間離散化系統(tǒng)能控的充分必要條件是,eATB為行線性無關(guān),結(jié)論15 連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，其時間離散化系統(tǒng)保持完全能控/完全能觀測的一個充分條件為，采樣周期T滿足如下條件：對A的任意兩個特征值1、2，不存在非零整數(shù)k，使,成立,對于單輸入單輸出系統(tǒng)，本定理是充分必要的,3/3,29/45,122,4.7能控性、能觀測性與傳遞函數(shù)的關(guān)系,結(jié)論16 如果A的特征值互

46、不相同，則系統(tǒng)（A、B、C）為能控且能觀測的充分必要條件是：傳遞矩陣G（s）的分母|sI-A|與分子之間不發(fā)生因子相消,結(jié)論17 單輸入、單輸出系統(tǒng)（A、b、c）是能控且能觀測的充分必要條件是：傳遞函數(shù)G（s）的分母|sI-A|與分子之間不發(fā)生因子相消,結(jié)論18 單輸入、單輸出系統(tǒng)（A、b、c），如果A的特征值互不相同，若傳遞函數(shù)存在零、極點(diǎn)對消，則系統(tǒng)或是狀態(tài)不能控或是狀態(tài)不能觀測的；若傳遞函數(shù)不存在零、極點(diǎn)對消，則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控且完全能觀測的,證明：單輸入、單輸出系統(tǒng)動態(tài)方程為,如果A的特征值互不相同，則一定可利用非奇異線性變換，使A成為對角陣。即,1/4,30/45,123,狀態(tài)方程

47、可寫為,在初始條件為零的情況下，拉氏變換得,對輸出方程拉氏變換,此式即為傳遞函數(shù)的部分分式,2/4,31/45,124,若傳遞函數(shù)存在零、極點(diǎn)對消，傳遞函數(shù)的部分分式中應(yīng)缺少相應(yīng)項。如傳遞函數(shù)中相消的零、極點(diǎn)為s-k，則說明fkk=0，k=0，fk 0系統(tǒng)是不能控的；fk=0，k0，系統(tǒng)是不能觀測的；k=0，fk=0，系統(tǒng)是既不能控也不能觀測的。若傳遞函數(shù)不存在零、極點(diǎn)對消，傳遞函數(shù)的部分分式中，應(yīng)有fkk0（k=1、2、n）系統(tǒng)是既能控又能觀測的,3/4,32/45,125,例,設(shè)單輸入、單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù),由于存在零、極點(diǎn)對消，系統(tǒng)不可能是既能控又能觀測的,結(jié)論19 如果多輸入、多輸出系

48、統(tǒng)的狀態(tài)向量與輸入向量之間的傳遞矩陣,的各行在復(fù)數(shù)域上線性無關(guān)，則系統(tǒng)是能控的。（充分必要條件,結(jié)論20 如果多輸入、多輸出系統(tǒng)的輸出向量與初始狀態(tài)向量X（0）之間的傳遞矩陣,的各列在復(fù)數(shù)域上線性無關(guān)，則系統(tǒng)是能觀測的。（充分必要條件,4/4,33/45,126,48能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形：SISO情形,結(jié)論21：連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能控性和能觀測性在線性非奇異變換下保持不變。能控性指數(shù)，能觀測性指數(shù)也保持不變,定義 一個單輸入系統(tǒng)，如果其A、b陣具有如下形式,則系統(tǒng)一定能控。這種形式的A、b陣稱為能控標(biāo)準(zhǔn)形,1/5,34/45,127,結(jié)論22：對完全能控n維單輸入單輸出連續(xù)時間線性時

49、不變系統(tǒng),則通過變換矩陣,2/5,35/45,128,可將系統(tǒng)變換成能控規(guī)范形，即,導(dǎo)出,3/5,36/45,129,定義 一個單輸出系統(tǒng)，如果其A、c陣具有如下形式,則系統(tǒng)一定能觀測，此時的A、c陣稱為能觀測標(biāo)準(zhǔn)形,結(jié)論23：對完全能觀測的n 維單輸入單輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，其能觀測規(guī)范形可基于線性非奇異變換,導(dǎo)出,4/5,37/45,130,其中,5/5,38/45,131,49 能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形MIMO情形,旺納姆能控規(guī)范形，旺納姆能觀測規(guī)范形 龍伯格能控規(guī)范形，龍伯格能觀測規(guī)范形,1/1,39/45,132,410連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解,系統(tǒng)按能控性分解,設(shè)不能

50、控系統(tǒng)的動態(tài)方程為,其能控性矩陣的秩為 rn，選出其中r個線性無關(guān)列，再加任意n-r個列，構(gòu)成非奇異變換T-1,其中,1/6,40/45,133,經(jīng)非奇異變換后，系統(tǒng)的動態(tài)方程寫為,于是可得能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為,不能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為,2/6,41/45,134,例,已知,試按能控性進(jìn)行規(guī)范分解,解,系統(tǒng)不完全能控，取,能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為,不能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為,3/6,42/45,135,系統(tǒng)按能觀測性分解,設(shè)不能觀測系統(tǒng)的動態(tài)方程為,其能觀測性矩陣的秩為ln，選出其中l(wèi)個線性無關(guān)行，再加任意n-l個行，構(gòu)成非奇異變換T,能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為,不能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為,4/6,43/45

51、,136,系統(tǒng)按能控性和能觀測性的標(biāo)準(zhǔn)分解,設(shè)系統(tǒng)（A、B、C）不能控、不能觀測，可先對系統(tǒng)按能控性分解，即令,再分別對能控子系統(tǒng)、不能控子系統(tǒng)按能觀測性分解,最后得到,5/6,44/45,137,經(jīng)T-1變換后，系統(tǒng)的動態(tài)方程為,能控、能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為,能控、不能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為,不能控、能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為,不能控、不能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為,6/6,45/45,138,第5章 系統(tǒng)運(yùn)動的穩(wěn)定性,51 外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性,定義：稱一個系統(tǒng)的外部穩(wěn)定（BIBO）是指對任何一個有界輸入u(t),即： u(t)1,的任意輸入u(t)，對應(yīng)的輸出y(t)均為有界，即,結(jié)論1：對零初始

52、條件p維輸入和q維輸出連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，tt0,+）則t0時刻系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為，存在一個有限正常數(shù)，使對一切tt0,+)脈沖響應(yīng)矩陣H(t,)所有元均滿足關(guān)系式,證明,考慮SISO情形,充分性,1/4,1/18,139,必要性,采用反證法，即系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定，卻存在某個t1使,可以取,有,矛盾,結(jié)論2：對零初始條件p維輸入和q維輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，令t0=0,則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為：存在一個有限正常數(shù)，使脈沖響應(yīng)矩陣H(t)所有元均滿足關(guān)系式,2/4,2/18,140,結(jié)論3：對零初始條件p維輸入和q維輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，令初始時刻t0=0,則系

53、統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為：真或嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部,定義：稱連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)在t0為內(nèi)部穩(wěn)定，是指由時刻t0任意非零初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)Xou(t)對tt0,+)有界，并滿足漸近屬性，即,結(jié)論4：設(shè)n維連續(xù)時間線性時變自治系統(tǒng),系統(tǒng)在t0時刻內(nèi)部穩(wěn)定的充分必要條件為：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t,t0)對所有tt0,+為有界，并滿足,結(jié)論5：對n維連續(xù)時間線性時不變自治系統(tǒng),內(nèi)部穩(wěn)定的充分必要條件為,或矩陣A所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，即：Rei(A)0,3/4,3/18,141,內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性的關(guān)系,結(jié)論6：對連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，內(nèi)部穩(wěn)定BIBO穩(wěn)定，反

54、之不成立。 若系統(tǒng)能控且能觀測，則內(nèi)部穩(wěn)定BIBO穩(wěn)定,4/4,4/18,142,52 李亞普諾夫意義下運(yùn)動的穩(wěn)定性的一些基本概念,李亞普諾夫第一方法：間接法 李亞普諾夫第二方法：直接法 自治系統(tǒng)：沒有輸入作用的一類動態(tài)系統(tǒng),平衡狀態(tài)：狀態(tài)空間中滿足,的一個狀態(tài),李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定,稱自治系統(tǒng),的孤立平衡狀態(tài)Xe=0在時刻t0為李亞普諾夫意義下穩(wěn)定，如果對任給一個實(shí)數(shù)0，都對應(yīng)存在另一位賴于和t0的實(shí)數(shù)(,t0)0，使得滿足不等式X0-Xe(,t0)的任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的受擾運(yùn)動(t；x0,t0)都滿足不等式,t；x0,t0)-Xe,穩(wěn)定的幾何解釋 李亞普諾夫意義下一致穩(wěn)定 時不變系統(tǒng)的

55、穩(wěn)定屬性 李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的實(shí)質(zhì),1/2,5/18,143,漸近穩(wěn)定,稱自治系統(tǒng),的孤立平衡狀態(tài)Xe=0在時刻t0為漸近穩(wěn)定，如果) Xe=0在時刻t0為李亞普諾夫意義下穩(wěn)定，）對實(shí)數(shù)(,t0)0和任給實(shí)數(shù)0使得滿足不等式X0-Xe(,t0)的任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的受擾運(yùn)動(t；x0,t0)滿足不等式(t；x0,t0)-Xe,不穩(wěn)定,稱自治系統(tǒng),的孤立平衡狀態(tài)Xe=0在時刻t0為不穩(wěn)定，如果不管取實(shí)數(shù)0為多么大，都不存在對應(yīng)一個實(shí)數(shù)(,t0)0，使得滿足不等式X0-Xe(,t0)的任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的受擾運(yùn)動(t；x0,t0)滿足不等式(t；x0,t)-Xe,不管初始偏差有多大，系統(tǒng)總是

56、穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍穩(wěn)定的。 不管初始偏差有多大，系統(tǒng)總是漸近穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。大范圍漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)只能有一個平衡狀態(tài)。 為了滿足穩(wěn)定條件，初始偏差有一定限制，則稱系統(tǒng)是小范圍穩(wěn)定的。 對于線性系統(tǒng)，若在小范圍穩(wěn)定，則必大范圍穩(wěn)定；若在小范圍漸近穩(wěn)定，則必大范圍漸近穩(wěn)定,2/2,6/18,144,53李亞普諾夫第二方法的主要定理,結(jié)論7：對連續(xù)時間非線性時變自治系統(tǒng),X=0為系統(tǒng)平衡狀態(tài)，若可構(gòu)造對x和t具有連續(xù)一階偏倒數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x,t)，V(0,t)=0，且對狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)X滿足如下條件,V(x,t)正定且有界，即存在兩個連續(xù)的非減標(biāo)量函數(shù)(x)和(x)，

57、(0)0，(0)0，使對所有tt0,)有：(x)V(x,t)(x)0 ) V(x,t)對時間t的導(dǎo)數(shù)負(fù)定且有界。 )當(dāng)x，有V(x,t) 則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=0為大范圍一致漸近穩(wěn)定,結(jié)論8：對連續(xù)時間非線性時不變自治系統(tǒng),X=0為系統(tǒng)平衡狀態(tài)，若可構(gòu)造對x具有連續(xù)一階偏倒數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x)，V(0)=0，且對狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)X滿足如下條件,V(x)為正定 ) 為負(fù)定 )當(dāng)x，有V(x) 則系統(tǒng)原點(diǎn)的平衡狀態(tài)x=0為大范圍一致漸近穩(wěn)定,1/4,7/18,145,例,設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為,坐標(biāo)原點(diǎn)是系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)，試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性,解,取一正定的標(biāo)量函數(shù),為一負(fù)定的標(biāo)量函數(shù)，且 系

58、統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的,2/4,8/18,146,結(jié)論9 小范圍漸近穩(wěn)定性定理 對連續(xù)時間非線性時變自治系統(tǒng)，若可構(gòu)造對x和t具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個標(biāo)量函數(shù)V(x,t),V(0,t)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點(diǎn)的一個吸引區(qū)，使對所有非零狀態(tài)x和所有tt0,)滿足如下條件,V(x,t)為正定且有界,為負(fù)定且有界,則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=0在域內(nèi)為一致漸近穩(wěn)定,結(jié)論10小范圍漸近穩(wěn)定性定理 對連續(xù)時間非線性時不變自治系統(tǒng)，若可構(gòu)造對x具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個標(biāo)量函數(shù)V(x),V(0)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點(diǎn)的一個吸引區(qū)，使對所有非零狀態(tài)x滿足如下條件： V(x)為正定,為負(fù)定,則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=

59、0在域內(nèi)為漸近穩(wěn)定,3/4,9/18,147,結(jié)論11 小范圍漸近穩(wěn)定性定理 對連續(xù)時間非線性時不變自治系統(tǒng)，若可構(gòu)造對x具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個標(biāo)量函數(shù)V(x),V(0)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點(diǎn)的一個吸引區(qū)，使對所有非零狀態(tài)x滿足如下條件： V(x)為正定,為負(fù)半定,對任意非零x0,則原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=0在域內(nèi)為漸近穩(wěn)定,結(jié)論 12不穩(wěn)定性定理 對連續(xù)時間非線性時變自治系統(tǒng)，若可構(gòu)造對x和t具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個標(biāo)量函數(shù)V(x,t),V(0,t)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點(diǎn)的一個吸引區(qū)域，使對所有非零狀態(tài)x和所有tt0,)滿足如下條件： （）V(x,t)為正定且有界； （） 為正定且有界；

60、則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=0為不穩(wěn)定,4/4,10/18,148,54 構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)的規(guī)則化方法,變量梯度法,設(shè)連續(xù)時間非線性時不變系統(tǒng),Xe=0為系統(tǒng)孤立平衡狀態(tài),1)設(shè)V(x)的梯度為,2)設(shè)梯度V(x)對應(yīng)于有勢場，則旋度rotV(x)=0，即,3)由,4)由(2),(3)定出V(x,5,1/3,11/18,149,6)判斷V(x)計算結(jié)果的正定性,克拉索夫斯基方法,設(shè)連續(xù)時間非線性時不變系統(tǒng),Xe=0為系統(tǒng)孤立平衡狀態(tài),系統(tǒng)雅可比矩陣,克拉索夫斯基指出：如果存在一個對稱正定矩陣B，使對稱陣S（x）=BJ（x）+ BJ（x）T是負(fù)定的，那么平衡狀態(tài)x=0是漸近穩(wěn)定的，系統(tǒng)的李雅普諾夫函