第四章 幾何非線性問(wèn)題

1、第四章第四章 幾何非線性問(wèn)題幾何非線性問(wèn)題 4.1 非線性問(wèn)題的簡(jiǎn)述非線性問(wèn)題的簡(jiǎn)述 非線性問(wèn)題非線性問(wèn)題 幾何非線性：大位移問(wèn)題（小應(yīng)變） 幾何非線性：大位移問(wèn)題（小應(yīng)變） 材料非線性：材料塑性變形（橡皮）材料非線性：材料塑性變形（橡皮） 接觸非線性：接觸問(wèn)題接觸非線性：接觸問(wèn)題 4.2 牛頓牛頓拉斐遜方法解非線性方程拉斐遜方法解非線性方程 非線性方程非線性方程 ： 任何具有一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)任何具有一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù) ，在，在 點(diǎn)作一階泰點(diǎn)作一階泰 勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，它在勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，它在 點(diǎn)的線性近似公式：點(diǎn)的線性近似公式： 0 x x n x n x n n n xx dx d xx 非線性方

2、程非線性方程 ，在，在 附近的近似方程是線性方程：附近的近似方程是線性方程： 設(shè)設(shè) ，則解為：，則解為： 此為牛頓此為牛頓拉斐遜迭代公式。拉斐遜迭代公式。 0 xn x 0 n n n xx dx d x 0 n dx d 11 1 nnn n n n xxx dx d x x 1 . 4 x x xx 1n x 1n x n x n x oo n dx d 0 dx d a b 修正的牛頓修正的牛頓拉斐遜方法迭代公式：拉斐遜方法迭代公式： 11 0 1 nnn n n xxx dx d x x 2 . 4 在每次迭代時(shí)，在每次迭代時(shí)， 值是不變的。值是不變的。 由于幾何非線性問(wèn)題，平衡方程必

3、須由變形后的幾何由于幾何非線性問(wèn)題，平衡方程必須由變形后的幾何 位置所描述，因此，結(jié)構(gòu)的剛度矩陣是幾何變形的位置所描述，因此，結(jié)構(gòu)的剛度矩陣是幾何變形的 函數(shù)，結(jié)構(gòu)的平衡方程為：函數(shù)，結(jié)構(gòu)的平衡方程為： 式中：式中： x 0 1 FK 3 . 4 KK 單自由度系統(tǒng)：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)： 令令 用牛頓用牛頓拉斐遜方法求解：拉斐遜方法求解： ，則迭代公式：，則迭代公式： 0 1 FK4 . 4 KK KF 0 1 FF 5 . 4 0 nn n FF d d 11 6 . 4 11 nnn 如圖：如圖： 按線性理論求解位移按線性理論求解位移 作為第一次近似，若載荷作為第一次近似，若載荷 不不 因變形而

4、改變它的數(shù)值和方向，則：因變形而改變它的數(shù)值和方向，則： 是曲線是曲線 的斜率，代表切線剛度。的斜率，代表切線剛度。 x xo 1 F 1 B 11 A 22 A 1 1 F T K d dF d d T K KF 從從 點(diǎn)作曲線點(diǎn)作曲線 的切線交直線的切線交直線 于于 點(diǎn)，點(diǎn)， 取取 點(diǎn)的橫坐標(biāo)是點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 。 則：則： 與（與（4.6）比較，）比較， 是位移的第二次近似值，依此類(lèi)推，是位移的第二次近似值，依此類(lèi)推， 不斷重復(fù)，得如下迭代公式：不斷重復(fù)，得如下迭代公式： 1 BKF 1 FF 2 A 2 A 2 2 12 1111 1 12 11 FFBA K BA T 1121 FFK

5、T 2 11 111 nnn nnT FFK 稱(chēng)為切線剛度法。稱(chēng)為切線剛度法。 v修正的牛頓修正的牛頓拉斐遜法，由于每次迭代不改變它拉斐遜法，由于每次迭代不改變它 的剛度值，稱(chēng)為等剛度法。的剛度值，稱(chēng)為等剛度法。 v在每次迭代時(shí)，牛頓在每次迭代時(shí)，牛頓拉斐遜法要求形成切線剛拉斐遜法要求形成切線剛 度矩陣，如果該問(wèn)題有許多自由度，計(jì)算工作量大，度矩陣，如果該問(wèn)題有許多自由度，計(jì)算工作量大， 收斂快。修正的牛頓收斂快。修正的牛頓拉斐遜法在迭代時(shí)剛度矩拉斐遜法在迭代時(shí)剛度矩 陣保持常量，收斂慢。陣保持常量，收斂慢。 v載荷增量法，把載荷分成許多小的載荷部分或增量，載荷增量法，把載荷分成許多小的載荷部

6、分或增量， 在每個(gè)載荷水平上，使用一次牛頓在每個(gè)載荷水平上，使用一次牛頓拉斐遜迭代，拉斐遜迭代， 迭代次數(shù)等于載荷水平的數(shù)目。迭代次數(shù)等于載荷水平的數(shù)目。 4.3 幾何非線性的一般性討論幾何非線性的一般性討論 虛功原理：外力因虛位移所作的功等于結(jié)構(gòu)因虛應(yīng)變虛功原理：外力因虛位移所作的功等于結(jié)構(gòu)因虛應(yīng)變 所產(chǎn)生的應(yīng)變能。所產(chǎn)生的應(yīng)變能。 內(nèi)力外力矢量和；內(nèi)力外力矢量和； 其中：其中： 為所有載荷列陣；為所有載荷列陣； 為虛位移；為虛位移； 為虛應(yīng)變。為虛應(yīng)變。 0 1 Fddvdd TTT 7 . 4 1 F d d 應(yīng)變的增量形式，位移和應(yīng)變的關(guān)系為：應(yīng)變的增量形式，位移和應(yīng)變的關(guān)系為： 代入

7、（代入（4.7）式，消去）式，消去 ，得非線性問(wèn)題的一般平，得非線性問(wèn)題的一般平 衡方程為：衡方程為： 在大位移的情況下，應(yīng)變和位移的關(guān)系是非線性的，在大位移的情況下，應(yīng)變和位移的關(guān)系是非線性的， 是是 的函數(shù)。的函數(shù)。 是由線性應(yīng)變引起的；是由線性應(yīng)變引起的； 是由非線性應(yīng)變引起的。是由非線性應(yīng)變引起的。 dBd 8 . 4 T d 0 1 FdvB T 9 . 4 B L BBB 0 10. 4 0 B L B 其應(yīng)力其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：應(yīng)變關(guān)系為： 其中：其中： 為材料的彈性矩陣；為材料的彈性矩陣； 為初應(yīng)變列陣；為初應(yīng)變列陣； 為初應(yīng)力列陣。為初應(yīng)力列陣。 對(duì)（對(duì)（4.9）求微分：）求

8、微分： 利用（利用（4.11）和（）和（4.8），不考慮初應(yīng)變和初應(yīng)力的影），不考慮初應(yīng)變和初應(yīng)力的影 響，有：響，有： 00 D 11. 4 D 0 0 dvdBdvBdd TT 12. 4 dBDdDd 從（從（4.10），有：），有： 為小位移線性剛度矩陣。為小位移線性剛度矩陣。 L BdBd dKdvBdd T L 13. 4 L T KKdvBDBK 0 14. 4 0 K dvBDBBDBBDBK T LL T L T L00 16. 4 （4.13）式中第一式，可以寫(xiě)成：）式中第一式，可以寫(xiě)成： 為關(guān)于應(yīng)力水平的對(duì)稱(chēng)矩陣，稱(chēng)初應(yīng)力矩陣或幾為關(guān)于應(yīng)力水平的對(duì)稱(chēng)矩陣，稱(chēng)初應(yīng)力矩陣或幾 何剛度矩陣。何剛度矩陣。 （4.13）式可以寫(xiě)成：）式可以寫(xiě)成： dKdvBd T L 17. 4 K dKdKKKd TL 0 牛頓牛頓拉斐遜迭代總結(jié)：拉斐遜迭代總結(jié)： v、用線性彈性解作為、用線性彈性解作為 的第一次近似值的第一次近似值 ； v、通過(guò)定義、通過(guò)定義 和式（和式（4.11）給出的應(yīng)力）給出的應(yīng)力 ，利，利 用式（用式（4.9）計(jì)算）計(jì)算 ； v、確定切線剛度矩陣、確定