33 二維連續(xù)型隨機變量及其概率密度

1、1vrc .),(YX),(yxf),(YX),(YXxoy),(yxf xydvduvufyxF),(),(),(YX2按定義，按定義，概率密度概率密度具有以下性質(zhì)具有以下性質(zhì) Gxoy),(YXGGdxdyyxfGYXP),(),(),(yxf),(yx2( , )( , )F x yf x yx y ( , )0f x y n (1)1),(),( Fdxdyyxf3由性質(zhì)（由性質(zhì)（4 4）和（）和（1.11.1），如圖），如圖3-33-3，在，在 的連續(xù)點處有的連續(xù)點處有),(yxfyxyyYyxxXxPyx,lim00),(),(),(),(1lim00yxFyyxFyxxFyyxx

2、Fyxyx),(),(2yxfyxyxF4這表示若這表示若 在點在點 連續(xù)，則當(dāng)連續(xù)，則當(dāng) 很小時很小時, ,即即 落在小長方形落在小長方形 內(nèi)的概率近似內(nèi)的概率近似地等于地等于),(yxf),(yxyx ,yxyxfyyYyxxXxP),(,(, )X Y,(,(yyyxxxyxyxf),(),(yxfz xoy),(GYXPG( , )zf x y5例例 1 1 若二維隨機變量若二維隨機變量 具有概率密度具有概率密度 ),(YX1,( , )0,DSf x y,),(其它Dyx 其中其中 為區(qū)域為區(qū)域 的面積，則稱的面積，則稱 服從服從 區(qū)域上的均勻分布特別地，設(shè)區(qū)域上的均勻分布特別地，設(shè)

3、 在以圓在以圓點為中心、點為中心、 為半徑的圓域為半徑的圓域 上服從均勻分上服從均勻分布，求二維聯(lián)合概率密度布，求二維聯(lián)合概率密度. .DSD),(YXD),(YXrR解：解：6解解222ryxcyxf),(222ryx0),(yxfc12rcdxdyccdxdyRR21rc., 0,1),(2222其它時當(dāng)ryxryxf7例例2 2 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量 具有概率密度具有概率密度 (1)(1)求分布函數(shù)求分布函數(shù)(2)(2)求概率求概率. .),(YX(2)2,0,0( , ),0,x yexyf x y其它解：解：8解解),(YX),(GYXXYGxoyxy 2()01(, )(

4、, )23xyyGP YXPX YGf x y dxdydyedx( , )( , )yxF x yf x y dxdy (2)00.2,0,0,0,yxx yedxdy xy 其它2(1)(1),0,0( , ),0,xyeexyF x y其它9 例例3 3 二維隨機變量二維隨機變量 的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為 求求 (1)(1)系數(shù)系數(shù) ; ; (2) (2)隨機變量隨機變量 落在圓落在圓 內(nèi)的概率內(nèi)的概率 ),(YX.0),(),(22222222時當(dāng)時當(dāng)，RyxRyxyxRcyxfc),(YX222ayx(0)aR解：解：10解解 1),(dxdyyxf22222()1xyRcRxydx

5、dy200()1RcdRr rdr133Rc33Rc223200332()(1)3aaadRr rdrRRR極坐標(biāo)）2222222233()xyaP xyaRxydxdyR11( , )( , )xyf x yf u v dvdu yX xXdudvvufxFxF),(),()(X( )( )( , )XXdfxFxf x y dydxY( )(, )( , )yYFyFydyf x y dxY( )( )( , )YYdfxFyf x y dxdy12例例4 4 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量 在以圓點為中心、在以圓點為中心、 為半為半徑的圓域徑的圓域 上服從均勻分布，求上服從均勻分布，求 及

6、及 的邊緣概率的邊緣概率密度密度. .),(YXrRXY解：解：13., 0,1),(2222其它時當(dāng)ryxryxfX其它當(dāng), 0,21)(22222222rxrxrdyrxfxrxrX其它當(dāng), 0,21)(2222y2222ryryrdxryfyryrY),(YX14例例5 5 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量 的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 求邊緣概率密度求邊緣概率密度. .),(YX4.8 (2),01,0( , ),0,yxxyxf x y其它解：解：15解解 對任意對任意10 x10 xxxXxxdyxydyyxfxf020)2(4 . 2)2(8 . 4),()(0 x 1x xXd

7、yxf000)(10 y其它, 010),2(4 . 2)(2xxxxfX22.4 (34),01( ).0,Yyyyyfy其它121)43(4 . 2)2(8 . 4),()(yyYyyydxxydxyxfyf16其中其中 ，其中，其中 都是常數(shù)，都是常數(shù)，且且 . .我們稱我們稱 為服從參數(shù)為服從參數(shù)為為 的二維正態(tài)分布（這五個參數(shù)的意的二維正態(tài)分布（這五個參數(shù)的意義將在下一章說明），記為義將在下一章說明），記為 試求二維正態(tài)隨機變量的邊緣概率密度試求二維正態(tài)隨機變量的邊緣概率密度. .),(YX),()()(2)()1 (21exp121),(2222212121212221yxyyxx

8、yxf)()(expxfexf,212111, 0, 021),(YX,2121221212(, )(,).X YN 例例6 6 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量 的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為解：解：17解解 22221122221122()()()()(1)2xxyy 2112221212)()()()1 (xyxdyyyxx2222212121212221)()(2)()1 (21exp121dyxyx21122212122221)()()1 ()1 (21exp121( )( , )Xfxf x y dy222221212121)()(2)(yyxx18dyxyx211222212122

9、1)1 (21exp2)(exp121dyxyx2112222121221)1 (21exp2)(exp12111222)()(11xytyx2211dydt222112211()()222111122xxteedtex22222)(221)(xYeyfy19 我們看到二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是我們看到二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布，并且都不依賴于參數(shù)一維正態(tài)分布，并且都不依賴于參數(shù) ，亦即對，亦即對于給定的于給定的 不同的對應(yīng)不同的二維正態(tài)分不同的對應(yīng)不同的二維正態(tài)分布，它們的邊緣分布卻都是一樣的布，它們的邊緣分布卻都是一樣的. .這一事實表明，這一事實表明，僅由關(guān)于僅由關(guān)于

10、 和關(guān)于和關(guān)于 的邊緣分布，一般來說是不的邊緣分布，一般來說是不能確定隨機變量能確定隨機變量 和和 的聯(lián)合分布的的聯(lián)合分布的. .,2121XYXY20),(YX),(YX),(yxfyY XY, 0 yYP),(YX0jjyYPpYjyXix, 2 , 1,iyYxXPjijijjjijippyYPyYxXPyYxXP)(),(1,2,i ，21這就啟發(fā)我們，對于二維連續(xù)型分布，規(guī)定在條這就啟發(fā)我們，對于二維連續(xù)型分布，規(guī)定在條件件 下下 的的條件分布條件分布為如下連續(xù)型分布：為如下連續(xù)型分布：yY X),(YX),(yxf),(YXY)(yfYy( )0Yfy )(),(yfyxfYyY

11、X( , )()( )X YYf x yfx yfydxyfyxfdxyxfxYxYX)(),()(yY X22記為記為 或或yYxXP)(yxFYX( , )()( )xX YYf x yFx yP XxYydxfy( , )()0( )X YYf x yfx yfy( , )1()( , )1( )( )X YYYf x yfx y dxdxf x y dxfyfy23 類似地，規(guī)定在條件類似地，規(guī)定在條件 下下 的條件分布的條件分布為一個連續(xù)型分布，它的概率密度函數(shù)和分布為一個連續(xù)型分布，它的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為函數(shù)分別為 xX Y( , )()( )yY XXf x yFy x

12、dyfx)(xfX),(YXX( , )()( )Y XXf x yfy xfx(3.6)24例例 7 7 隨機變量隨機變量 在矩形域在矩形域 服從均勻分布，求服從均勻分布，求 及及 的條件概率密度的條件概率密度. .),(YXdycbxa,XY解：解：25解解 按題意按題意 具有聯(lián)合概率密度具有聯(lián)合概率密度),(YX1,()()( , )0,axb cydba dcf x y其它)(dycyyY X1,( , )()( )0,.X YYaxbf x yfx yabfyxaxb或)(bxaxxX Y1,( , )()( )0,Y XXcydf x yfy xcdfxycyd或,X Y26例例8

13、 8 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量 在以圓點為中心、在以圓點為中心、 為半為半徑的圓域徑的圓域 上服從均勻分布，分別求關(guān)于上服從均勻分布，分別求關(guān)于 及及 的條件概率密度的條件概率密度. .),(YXrRXY解：解：27解解 我們有當(dāng)我們有當(dāng) 時：時： ， 當(dāng)當(dāng) 時：時： . . 其中其中c c為常數(shù)為常數(shù). . 222ryxcyxf),(222ryx( , )0f x y X2222222212,( )0,rxrxXrxdyxrfxrrxr22222221,( , )0,.xyrxyrrf x y當(dāng)當(dāng)28同理得同理得 的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為Y2222222221,( )0,ryry

14、Yrydxyrfyrryr當(dāng)當(dāng)X( , )()( )X YYf x yfx yfy222222, 0,21yrxyrxyr當(dāng)當(dāng)Y( , )()( )Y XXf x yfy xfx222222, 0,21xryxryxr當(dāng)當(dāng)yY XxX Y29),(yxF)(xFX)(yFY),(YXyx,yYPxXPyYxXP( , )( )( )XYF x yFx Fyxy( , )( )( )XYf x yfx fy30例例9 9 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量 在在 上服從均勻上服從均勻分布，問分布，問 與與 是否相互獨立？是否相互獨立？),(YX222ryxXY),(YX(2)2,00( , )0,x

15、yexyf x y其它、解：解：解：解：31解解 易求得易求得 具有概率密度：具有概率密度： ),(YX, 0,1),(2222222ryxryxryxf當(dāng)當(dāng)., 0,21)(22222222ryryryrdxryfyryrY當(dāng)當(dāng)Y事實上事實上, ,如如 服從區(qū)域服從區(qū)域 上的均勻分布，則只有上的均勻分布，則只有當(dāng)當(dāng) 為矩形區(qū)域：為矩形區(qū)域： 時，時， 與與 分別服從分別服從 上的均勻分布，且上的均勻分布，且 與與 獨立，反之亦然獨立，反之亦然. .),(YXDDdycbxa,XY,dcbaXYrxrxrxrdyrxfxrxrX當(dāng)當(dāng), 0,21)(22222222X)()(),(yfxfyxf

16、YXXY32解解 (2)202,0( )( , )0,0 x yxXedyexfxf x y dyx(2)2022,0( )( , )0,0 x yyYedxeyfyf x y dxy)()(),(yfxfyxfYXXY33例例11 11 二維正態(tài)隨機變量二維正態(tài)隨機變量 的概率密度為的概率密度為 求證求證 相互獨立等價于相互獨立等價于 . .),(YX),(,121),(2222212121212)()(2)()1 (21221yxeyxfyyxxXY、0解：解：34證證 僅僅證證明明二二維維正正態(tài)態(tài)分分布布的的特特殊殊情情形形 ，它它 的的概概率率密密度度為為), 1 , 1 , 0 ,

17、0(N2221(2)2(1)21( )( , )21xx y yXfxf x y dyedy222()22(1)2121xyxeedy),.(121),()2()1 (212222yxeyxfyxyx0),(YX221()21( , ).(,)2xyf x yexy 35作代換作代換 便得關(guān)于便得關(guān)于 的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為,12xyvX)(212)(222222xedveexfxvxXX).1 , 0(NY221( )()2yYfyey Y).1 , 0(N36因此，如果因此，如果 ，則對于所有的，則對于所有的 有有 ，因而隨機變量，因而隨機變量 和和 是相互是相互獨立的獨立的.

18、.0yx,XY( , )( )( )XYf x yfx fyYX( , ),( ),( )XYf x yfxfyyx,( , )( )( )XYf x yfx fy0, 0yx2112210222221(2)2(1)2221112221xyxx y yeee37二維正態(tài)隨機變量二維正態(tài)隨機變量 ， 和和 相互獨立充分必要條相互獨立充分必要條件為件為 . .),(YXXY0XY、( )( )( , )()( )( )( )XYX YXYYfx fyf x yfx yfxfyfy( )( )( , )()( )( )( )XYY XYXXfx fyf x yfy xfyfxfx38nnnxxx,21121122( ,),nnnF x xxP Xx XxXxnn),(21nXXX39若存在非負函數(shù)若存在非負函數(shù) 使對于任意實數(shù)使對于任意實數(shù) 有有),(21nxxxfnxxx,21nxxxnnxddxd