兩個(gè)重要極限教案(修改稿)

1、江蘇省惠山職業(yè)教育中心校 公開課教案 教者 徐明 科目 數(shù)學(xué) 班級(jí) 課題 兩個(gè)重要極限（一） 課型 時(shí)間 地點(diǎn) 教材分析 兩個(gè)重要極限是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限、函數(shù)的極限以及函 數(shù)極限的四則運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的， 它是解決極限計(jì)算問題的 一個(gè)有效工具，也是今后研究初等函數(shù)求導(dǎo)公式的一個(gè)工具， 所以兩個(gè) 重要極限是后繼學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。 學(xué)情分析 一方面，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的極限以及函數(shù)極限的運(yùn)算法則， 會(huì) 用因式分解約去非零因子、有理化分子或分母這兩種方法計(jì)算“ 0 0 型”函數(shù)的極限，具備了接受新知識(shí)的基礎(chǔ)；另一方面，學(xué)生理性思維 能力相對(duì)較弱，對(duì)函數(shù)極限概念的理解還比較淺顯， 運(yùn)用極限

2、思維解決 問題的能力有限。 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能：讓學(xué)生了解公式lim i -1的證明過程，正確理解 0 x 公式，知道公式應(yīng)用的條件，熟練運(yùn)用公式及其變形式解決有關(guān)函數(shù)極 限的計(jì)算。 過程與方法：通過教師引導(dǎo)，學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、分析討論和 練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、舉一反三的能力，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)換元法、轉(zhuǎn) 化思想、數(shù)型結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的重要作用。 情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過對(duì)這一重要極限公式的研究， 進(jìn)一步認(rèn)識(shí) 數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié) 的良好思維品質(zhì)。 教學(xué)重點(diǎn) 正確理解公式lim 沁 =1，并能運(yùn)用公式及其變形式解決有關(guān)函 T X 數(shù)極限的計(jì)算。 江

3、蘇省惠山職業(yè)教育中心校 教學(xué)難點(diǎn) sin x 公式lim s =1的證明、公式及其變形式靈活運(yùn)用。 Y X 江蘇省惠山職業(yè)教育中心校 本節(jié)課米用實(shí)驗(yàn)法、討論法以及講練結(jié)合的教學(xué)方法。 通過復(fù)習(xí)函 數(shù)極限的定義以及函數(shù)極限的運(yùn)算法則， 配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)， 強(qiáng)化學(xué)生對(duì) 極限概念的理解和運(yùn)算能力。在公式的引入上通過設(shè)疑引導(dǎo)學(xué)生嘗試、 討論、猜想，并借助多媒體動(dòng)畫幫助學(xué)生理解結(jié)論， 鍛煉學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué) 教法學(xué)法 工具解決數(shù)學(xué)問題的意識(shí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。對(duì)于公式的證明，所 涉及的內(nèi)容比較多，邏輯性較強(qiáng)，在老師的引導(dǎo)下了解論證過程。 在公 式的運(yùn)用上按照循序漸進(jìn)的原則， 設(shè)計(jì)梯度、降低難度，留出學(xué)生的思

4、考空間，讓學(xué)生去嘗試、聯(lián)想、探索，以獨(dú)立思考和相互交流相結(jié)合的 形式，在教師的指導(dǎo)下分析和解決問題，幫助學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)。 課前準(zhǔn)備 教師：多媒體課件；學(xué)生：計(jì)算器。 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生雙邊活 動(dòng) 復(fù)習(xí)導(dǎo)入 1、說說當(dāng)XT X。時(shí)，函數(shù)f(X)的極限的定義。 教師引導(dǎo)， 如果當(dāng)X無限接近于定值X。時(shí)，函數(shù)f(x)無限接近 學(xué)生回憶口 于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A稱為函數(shù)f(x)當(dāng)XT Xo時(shí) 述，為了解 的極限，記作lim f(x)=A。 XTO 公式的證 明、正確計(jì) 2、lim f(x) = A的充要條件是什么？ X3X0 算有關(guān)函數(shù) lim f(x)=A = lim f (x) =

5、lim J (x) = A 極限作鋪 3、說出函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則。 墊，達(dá)到溫 法則1:設(shè)lim f (x) = A,lim g(x) =B, 故知新的目 則lim f (x) +g(x) = lim f (x) +lim g(x) = A + B 法則 2:設(shè) lim f (x) = A, lim g(x) = B, 則lim f(x) g(x) =lim f (x) lim g(x) = A B 法則3：設(shè) lim f (x) = A,lim g(x) = B,且B 式 0, 的。 則 lim 迪=lim f(x) = A g(x) lim g(x) B x + 5 x2 4、求下列函

6、數(shù)的極限：Xim 2 : x 3 x -4 -2 江蘇省惠山職業(yè)教育中心校 一、問題的提出 “0型”極限的計(jì)算方法，至怕前為止，我們學(xué)過 0 因式分解約去非零因子，有理化分子或分母這兩種方法。 是不是所有的“ 0型”都可以用這兩種方法解決呢？ 0 問題：如何求lim Sinx ? T X （學(xué)生使用計(jì)算器進(jìn)行實(shí)驗(yàn)） 、動(dòng)態(tài)演示，驗(yàn)證猜想 作單位圓 O,設(shè).AOB 二 x,（0 ： x ：）,則弧 AB = x,作 BC - 2 于C ,則BC二sin x，拖動(dòng)點(diǎn)B，改變x的大小，觀察泄 x 值的變化趨勢(shì)。 得出結(jié)論：lim sin x = 1 x-jp x 三、證明猜想 過程見課本Ri -卩5

7、2 強(qiáng)調(diào)：極限中函數(shù) 沁 的分子分母都是當(dāng)x 0時(shí) x 的無窮小。 這里的自變量x是用弧度度量的，以后引用 這個(gè)極限時(shí)必須用弧度作單位。新授 學(xué)生分組鞏 固練習(xí) 設(shè)疑激趣 分組討論 教師視情況 引導(dǎo)學(xué)生使 用計(jì)算器代 入進(jìn)行近似 計(jì)算，并猜 想。 0利用幾何畫 板事先制作 課件， 拖動(dòng) 動(dòng)點(diǎn)，讓學(xué) 生觀察比值 的變化，驗(yàn) 證猜想。體 會(huì)數(shù)形結(jié)合 思想的作用 教師講授證 明過程，學(xué) 生理解識(shí) 記，記住公 江蘇省惠山職業(yè)教育中心校 回顧反思：1、此例用到了變量替換（換元），變量替換后在利用這個(gè)極限求較復(fù)雜函數(shù)的極限時(shí), 式特征。 須注意所有含有自變量的表達(dá)形式應(yīng)一致。 lim = 1 x 0 si

8、n x 四、公式的應(yīng)用 例1:求lim sin X 7 3X l imtanx T X 解： limsinlim(1 sinX) T 3x T 3 x 1 sin x 1 1 lim 1 = 3X 10 X 3 3 lim = lim( )= lim lim 1 T X X COsX T X 7 COsX =1 1=1 回顧反思：1、求此類函數(shù)的極限其關(guān)鍵是把此函數(shù)轉(zhuǎn)化 為sinx與另一個(gè)函數(shù)的乘積，若另一個(gè)函數(shù)的極限可求, X 則可求出此函數(shù)的極限。 當(dāng) XT 0 時(shí)，x、sin x、tanx 為等價(jià)無窮小 lim tan X =1。 x sin x 例 2:求 lim Sin 3X _0

9、limtan3x t sin 2X 解： sin3x lim X 0 X =帆3 sin 3X 3 )=3 lim 30 tan3x lim = lim - tan3x 2X x0 sin 2x X 10 2 3X sin 2X 3 tan 3X . 2X lim 2 3X )0 3X lim 2X 10 sin2 x in 3X =3 3X 教師引導(dǎo)鼓 勵(lì)學(xué)生發(fā)表 觀點(diǎn)。 第 （1） 小題學(xué)生獨(dú) 立思考，第 （2）小題教 師引導(dǎo)并板 書。 學(xué)生嘗試， 教師引導(dǎo)。 體會(huì)換元 法、轉(zhuǎn)化思 想在數(shù)學(xué)解 題中的重要 作用。 江蘇省惠山職業(yè)教育中心校 一定要注意變量的變化趨勢(shì)可能會(huì)發(fā)生變化。 2、 函

10、數(shù)變形后要注意系數(shù)的變化，防止計(jì)算錯(cuò)誤。 師生回顧歸 3 、一般地lim sin ax a tan ax a 納交流解題 lim ， bx b bx b 經(jīng)驗(yàn) lim X 一 tan ax a - =。 少 sin bx b 例3:求lim 1 - cosx 2 x x 2 綜合運(yùn)用， .1cosx 廣 2sin2. 1 2=1lim sin =1 解 2 提咼分析、 p x2 2 一 x 2 2 1 2丿 解決問題的 回顧反思：利用公式 y求函數(shù)極限，有時(shí)不僅 能力 要進(jìn)行變量替換，還要利用三角函數(shù)公式進(jìn)行變形。 課堂練習(xí) 練習(xí)：求下列極限： sin x 金tan 3x lim - lim - xT 5x T x sin 5x lim - 1 - cos2x lim 2 xT tan3x xT x2 小結(jié) 1. s