2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定解析

1、2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽1承諾書我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的 資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參 考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： _A_我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報(bào)名號(hào)的話）：_J0903_所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜篲 西北工業(yè)大學(xué)_參賽隊(duì)員（打印并簽名）：1._葛振振_2. _張浩_3. _王超_指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人（打印并簽名）： 呂全義_日期：2010年_9月10日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽2編號(hào)專用頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分OOnOOOOOOO備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：1儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定摘要通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，許多儲(chǔ)

3、油罐在使用一段時(shí)間后罐 體的位置會(huì)發(fā)生變位。本文主要分析和討論了儲(chǔ)油罐變位對(duì)罐容表的影響。解決本題的關(guān)鍵是求出在不同變位參數(shù)下儲(chǔ)油罐的儲(chǔ)油量與油位高度的對(duì)應(yīng)關(guān) 系，難點(diǎn)是積分問(wèn)題。對(duì)于問(wèn)題一，本文利用多重積分【與三角變換分別求出了小橢圓 型儲(chǔ)油罐無(wú)變位和發(fā)生縱向變位時(shí)罐容表的標(biāo)定函數(shù)，其中無(wú)變位時(shí)的相對(duì)誤差均為3%左右，發(fā)生縱向變位時(shí)的相對(duì)誤差小于5.2%。然后通過(guò)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較求出了修正函數(shù)， 修正后兩種情況下的相對(duì)誤差均減小到0.02%以下。接著對(duì)比修正后的無(wú)變位和有變位 時(shí)的標(biāo)定函數(shù)，來(lái)研究?jī)?chǔ)油罐變位對(duì)罐容表的影響，發(fā)現(xiàn)油位咼度近似為儲(chǔ)油罐咼度的 一半時(shí)兩種情況下的儲(chǔ)油量差別最大。然后本

4、文給出了小橢圓型儲(chǔ)油罐變位后油位高度 間隔為1 cm的罐容表標(biāo)定值。對(duì)于問(wèn)題二，本文仍然利用多重積分的方法求解實(shí)際儲(chǔ)油罐無(wú)變位和有變位時(shí)罐 容表的標(biāo)定函數(shù)。在利用此標(biāo)定函數(shù)求解兩個(gè)變位參數(shù)時(shí)，建立以相對(duì)誤差最小為目標(biāo) 函數(shù)的優(yōu)化模型。模型求解的過(guò)程中，利用數(shù)值積分【2】和計(jì)算機(jī)模擬搜索的方法（其中 :-和的搜索范圍均為00,100，步長(zhǎng)均為0.10）找出了最優(yōu)的變位參數(shù)：縱向傾斜角度2.10，橫向偏轉(zhuǎn)角度=4.6，此時(shí)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差均達(dá)到了0.22%以下。本 文還對(duì)問(wèn)題二的模型進(jìn)行了精度檢驗(yàn)，相對(duì)誤差也均在0.22%以下。最后本文給出了實(shí)際儲(chǔ)油罐變位后油位高度間隔為1 cm的罐容表標(biāo)定值

5、。本文建立的模型簡(jiǎn)單易懂，所用算法也比較清晰，得出的結(jié)果對(duì)儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別 與罐容表標(biāo)定有一定的指導(dǎo)意義。關(guān)鍵詞：標(biāo)定函數(shù)，多重積分，數(shù)值積分，計(jì)算機(jī)模擬，最小二乘法2、 問(wèn)題重述通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，并且一般都有與之配套的“油位計(jì) 量管理系統(tǒng)”，采用流量計(jì)和油位計(jì)來(lái)測(cè)量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過(guò)預(yù) 先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油 位高度和儲(chǔ)油量的變化情況。許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾 斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需 要定期對(duì)罐容

6、表進(jìn)行重新標(biāo)定。 題目中分別給出了一種典型的儲(chǔ)油罐尺寸及形狀示意圖（其主體為圓柱體， 兩端為球冠體） ，罐體縱向傾斜變位和橫向偏轉(zhuǎn)的示意圖，以及小 橢圓型型儲(chǔ)油罐示意圖（兩端平頭的橢圓柱體）。請(qǐng)用數(shù)學(xué)建模方法研究解決以下儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的冋題。（1）為了掌握罐體變位后對(duì)罐容表的影響，利用題中給的小橢圓型型儲(chǔ)油罐，分 別對(duì)罐體無(wú)變位和傾斜角為：=4.10的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，題目的附件1給出了 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。知條件建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對(duì)罐容表的影響， 并給出罐體變位后油 位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。（2）對(duì)于題中給的實(shí)際儲(chǔ)油罐，試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐

7、內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度1）之間的一般關(guān)系。 再利用罐體變位后在進(jìn)出油過(guò)程中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)（題中附件2給出），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步利用附件2中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。二、基本假設(shè)1、假設(shè)在短時(shí)間范圍內(nèi)，儲(chǔ)油罐的變位參數(shù) ，：基本保持不變。2、 假設(shè)地基變形等原因只使罐體發(fā)生小角度變位（變位參數(shù) ：1均小于100）3、假設(shè)儲(chǔ)油罐內(nèi)的油的重量大小不影響變位參數(shù)。4、假設(shè)忽略其他因素對(duì)油高的影響，如儲(chǔ)油罐內(nèi)的氣壓、溫度等。三、符號(hào)說(shuō)明a小橢圓型儲(chǔ)油罐截面橢圓的

8、長(zhǎng)半軸長(zhǎng)b小橢圓型儲(chǔ)油罐截面橢圓的短半軸長(zhǎng)Viping小橢圓型儲(chǔ)油罐無(wú)變位時(shí)的儲(chǔ)油量Vbian小橢圓型儲(chǔ)油罐發(fā)生變位時(shí)的儲(chǔ)油量Vzong實(shí)際儲(chǔ)油罐無(wú)變位時(shí)的儲(chǔ)油量V zong實(shí)際儲(chǔ)油罐發(fā)生變位時(shí)的儲(chǔ)油量注：其它符號(hào)在文中均有說(shuō)明，這里便不一一列寫3四、問(wèn)題分析本題的核心就是求解不同情況下儲(chǔ)油罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜 角度:和橫向偏轉(zhuǎn)角度1）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而求解的重點(diǎn)和難點(diǎn)是不規(guī)則體積的多重 積分的計(jì)算。用一定的方法求解出這些對(duì)應(yīng)關(guān)系后，在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，儲(chǔ)油罐變位識(shí) 別和罐容表標(biāo)定冋題就能得到解決。問(wèn)題一中首先對(duì)幾何形狀相對(duì)簡(jiǎn)單的小橢圓型形儲(chǔ)油罐進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，來(lái)研究罐體變位后對(duì)罐

9、容表的影響。由于本問(wèn)題中儲(chǔ)油罐幾何圖形簡(jiǎn)單，而且只考慮了縱向傾斜角:，利用在自定義坐標(biāo)下的多重積分， 就可以分別求出儲(chǔ)油罐無(wú)變位以及發(fā)生縱向傾斜:角 度時(shí)儲(chǔ)油量與油位高度的對(duì)應(yīng)關(guān)系。根據(jù)這兩個(gè)關(guān)系，對(duì)比儲(chǔ)油罐無(wú)變位和發(fā)生傾斜變 位時(shí)在同一油位高度時(shí)的儲(chǔ)油量，就可研究出儲(chǔ)油罐變位后對(duì)罐容表的影響，也就可以 對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定了。問(wèn)題二對(duì)實(shí)際儲(chǔ)油罐進(jìn)行研究，其幾何形狀更為復(fù)雜，而且同時(shí)了考慮縱向傾斜和橫向 偏轉(zhuǎn)兩個(gè)方向的變位。首先利用多重積分，求解出實(shí)際儲(chǔ)油罐無(wú)變位以及發(fā)生縱向和橫 向變位時(shí)儲(chǔ)油量與油位高度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，再用數(shù)值積分和計(jì)算機(jī)模擬搜索的方法求出變 位參數(shù)并進(jìn)行檢驗(yàn)，最后利用求出的變位

10、參數(shù)，對(duì)罐容表進(jìn)行分析，重新標(biāo)定罐容表。五、模型的建立與求解5.1問(wèn)題一5.1.1模型的建立與求解（1）無(wú)變位時(shí)罐容表的標(biāo)定a、罐容表標(biāo)定函數(shù)的求解小橢圓型儲(chǔ)油罐無(wú)變位時(shí)，罐內(nèi)的油面與罐體平行，如下圖所示。為了方便計(jì)算此時(shí)的儲(chǔ)油量，建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，在此坐標(biāo)系下小 橢圓型油罐左側(cè)面橢圓的方程為：2 2三.（y ）a b式中a為橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，b 為短半軸長(zhǎng)。求儲(chǔ)油量時(shí)，先對(duì)油體的截面上的z，y 進(jìn)行二重積分得到截面殘缺橢圓的面積, 再沿著x軸方向?qū)積分便得到無(wú)變位時(shí)小橢圓儲(chǔ)油罐的儲(chǔ)油量：.45 h zVping.0ydzdydx圖（1）小橢圓型儲(chǔ)油罐正面示意圖圖（2）小橢圓型油罐

11、左側(cè)面示意圖4帶入各個(gè)參數(shù)求解罐內(nèi)油體的體積:h _b2.45arcs inb_2h-bh-b=1.225ab（2arcsinsi n（2arcsin）亠，）（1）bb把本題中的 a=0.89,b=0.6 以及 h 值帶入上式，就可以得到儲(chǔ)油罐內(nèi)儲(chǔ)油量與與油 位高度的關(guān)系，此時(shí)理論計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值的相對(duì)誤差均在3%左右。b、標(biāo)定函數(shù)的修正由于在理論計(jì)算中未考慮油罐的厚度，以及油位探針，進(jìn)油口，出油口等其他東西 所占的體積，所以理論計(jì)算值與實(shí)際的實(shí)驗(yàn)值必然存在偏差，而且此偏差與油位高度密 切相關(guān)，下面就找出在儲(chǔ)油罐無(wú)變位時(shí)的修正函數(shù)。設(shè)儲(chǔ)油罐內(nèi)實(shí)際的油量為Vshi（初始量與累加進(jìn)油量之和），理論油

12、量與實(shí)際油量 之差為Vcha“哋-Vshi，標(biāo)定的修正函數(shù)為 f （h）。由于我們只關(guān)心在一定油位高度時(shí)儲(chǔ)油罐內(nèi)油量的體積大小，與進(jìn)出的油量無(wú)關(guān)，所以在這里只利用無(wú)變位進(jìn)油時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求解標(biāo)定的修正函數(shù)。根據(jù)無(wú)變位進(jìn)油時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到Vcha與 h 對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖（3）2.45 h zdydx利用三角變換，令 y=b（sinr）二次遷），帶入上式化簡(jiǎn)得:Vping= 2ab0-4.9ab(- -si n2r)24h_b arcsinb兀 巧Vping = .0.0*dzdydx2.45(y-b)25圖（3）無(wú)變位進(jìn)油時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到Vcha與 h 對(duì)應(yīng)關(guān)系根據(jù)上圖的規(guī)律，設(shè)修正函數(shù) f（h）為

13、關(guān)于 h 三次函數(shù)，利用最小二乘法對(duì)曲線進(jìn)行6擬合得：f(h) = -8.387 10- h30.0001503 h20.05842 h-1.744擬合的相關(guān)指數(shù)為1標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.1779，可見(jiàn)擬合效果非常好 這樣我們就得到了修正后罐容表的標(biāo)定函數(shù)：8.387 10” h30.00015030.05842 h1.744修正后標(biāo)定函數(shù)的理論值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差均不足0.02%,達(dá)到了很高的精度（2）有變位時(shí)罐容表的標(biāo)定a、罐容表標(biāo)定函數(shù)的求解小橢圓型儲(chǔ)油罐縱向變位后，油面不再與罐體平行，為了解決問(wèn)題方便，此時(shí)仍然 在罐體上建立坐標(biāo)系，如圖（3）和圖（4）。Vphg=19.6ab(2arcsin

14、sin( 2arcsin圖（3）有變位時(shí)儲(chǔ)油罐正面示意圖 由于儲(chǔ)油罐只發(fā)生小角度變位，所以在 能有三種情況種情況，把坐標(biāo)系轉(zhuǎn)擺正后如圖圖（4）有變位時(shí)儲(chǔ)油罐左側(cè)面示意圖:0，h 取不同的值（0 乞 h 乞 1.2）時(shí)只可 （） -（）。圖（5）油量很少時(shí)的示意圖圖（6）油量適中時(shí)的示意圖7圖(7)油量很大時(shí)的示意圖首先研究最普遍的情況，即儲(chǔ)油罐內(nèi)的油量適中時(shí)儲(chǔ)油量與油位高度的關(guān)系。求解 儲(chǔ)油量時(shí)與未變位時(shí)的情況類似，依然利用多重積分而且積分過(guò)程相同，只是在求殘缺 的橢圓的面積時(shí)在 y軸方向上的積分上限是個(gè)與x有關(guān)的變量 y。變位時(shí)罐容表的標(biāo)定 函數(shù)的具體的求解過(guò)程如下：油面與 x y 平面相交

15、的直線方程為 y =kx h 0.4 ( k = tan :)。直線與x軸的交 點(diǎn)為嚴(yán)嚴(yán)4tan-h, o),易知在油量適中的情況下0.4tan：大于油罐的長(zhǎng)度2.45tanatanam。先對(duì)z再對(duì) y 積分，得到不同的殘缺橢圓的面積，再沿x軸方向上對(duì)x積分便得到有變位時(shí)小橢圓型儲(chǔ)油罐的儲(chǔ)油量：2.45y z00jdzdydx帶入各個(gè)參數(shù)求解有變位時(shí)罐內(nèi)油體的體積：2.45y z仏新壬00. jdzdydx2.45y=2abdydxJ0J0JJIJT令 y = b(1 si n r )，當(dāng) y = b(1 si n )=kx h -0.4k 時(shí)，對(duì)等式兩邊取微分得 dx=bcosrdY，帶入上

16、式化簡(jiǎn)得：k2.4502小 eVbian=2abf兀cos日dBdx02q1二=ab (Fsin2) dxp22q1二bcos1二ab(亍sinR)bcop22k寸sincos丁sin寸-cos寸)k2382.05k h T、/h 0.4k b、式中p =arcsin()，q 二 arccos()，且k =-tan -。bb把 a =0.89, b =0.6 以及 h 和的值帶入上式，就可以得到此時(shí)油罐內(nèi)儲(chǔ)油量與與油9位高度的關(guān)系，此時(shí)理論計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值的相對(duì)誤差均在小于5.2%。當(dāng)油量很少時(shí)， 油面直線會(huì)與x軸交點(diǎn)x坐標(biāo)一一.4伽伽： 小于2.45。 求油體的體 tana積時(shí)把x的積分上限2

17、.45變?yōu)?.4tan：，便得到此時(shí)罐容表的標(biāo)定函數(shù)：tanaJI(v sinCOS T sin v2q =arccos(0:4k)，且 k = tan 二。b當(dāng)油量很多時(shí)，運(yùn)用補(bǔ)償法如圖（8）圖（8）儲(chǔ)油補(bǔ)償示意圖此時(shí)儲(chǔ)油量為整個(gè)油罐的體積減去空氣的體積，即Vbia=V-Vkong。經(jīng)計(jì)算得，圖中 h與 h 的關(guān)系為 h=1.2-1.05k-h。此時(shí)罐容表的標(biāo)定函數(shù)：式中 p，q =arccos(h_0.4k_b)，且 h= 1.2-1.05k - h，2b當(dāng):：0 時(shí)，帶入0 時(shí)在 x=1.65 處的 y 值，就可以得到不同情況下儲(chǔ)油量與油位 高度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，不再贅述b、標(biāo)定函數(shù)的修正根據(jù)

18、無(wú)變位進(jìn)油時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到Xha與 h 對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖（9）ab2Vbian-Vkong2- 1*嚴(yán)心5近曲二cosFP2.45二ab10圖（9）Vcha與 h 對(duì)應(yīng)關(guān)系11根據(jù)上圖的規(guī)律，設(shè)修正函數(shù)f（h）為關(guān)于 h 三次函數(shù)，利用最小二乘法對(duì)曲線進(jìn)行擬合得:f（h） =2.88910Jh-0.001028 h21.024 h -222.4擬合的相關(guān)指數(shù)為1,標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.1779，擬合的效果也非常好這樣我們就得到了修正后罐容表的標(biāo)定函數(shù)：2.889 10” h-0.001028 h21.024h-222.42.05k h -1h -0.4k -b 口 丄式中 p =arcsin（），q =

19、arccos（），且k =-tan 二。bb修正后標(biāo)定函數(shù)的理論值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差均不足0.02%,達(dá)到了很高的精度。5.1.2變位對(duì)罐容表的影響上面分別求出了未變位以及發(fā)生縱向變位時(shí)的儲(chǔ)油罐的罐容表標(biāo)定函數(shù)，為了分析變位對(duì)罐容表的影響，我們同時(shí)畫出兩種不同情況下儲(chǔ)油量與油位高度的函數(shù)關(guān)系圖， 如圖（10）：圖（10）未發(fā)生變位和發(fā)生變位儲(chǔ)油量與油位高度的關(guān)系圖通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)儲(chǔ)油罐的小角度變位對(duì)罐容表產(chǎn)生了影響，在油位高度為儲(chǔ)油罐高度 的一半時(shí)誤差最大，這是因?yàn)樵诖宋恢糜兔娴膶挾茸畲?，油?h 很小的偏差就能對(duì)顯示 儲(chǔ)油量產(chǎn)生較大的影響。5.1.3重新標(biāo)定罐容表有了上面的分析，就可以得到變位

20、后的罐容表的標(biāo)定值（油位高度間隔為1cm，如表（1）。表（1）小橢圓型儲(chǔ)油罐變位后罐容表標(biāo)定值（其余見(jiàn)附錄表一）油位高度/mm罐內(nèi)的油量/L400924.45410960.41420996.844301033.744010714501108.84601146.94701185.4abiLWh二cosFp=2124801224.34901263.65.2問(wèn)題二5.2.1無(wú)變位時(shí)罐容表的標(biāo)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中給了一定高度下的顯示油量容積，即在此油位高度下，儲(chǔ)油罐沒(méi)有發(fā)生 變位時(shí)的儲(chǔ)油量。為了研究非油因素的影響，我們先研究在儲(chǔ)油罐未發(fā)生變位時(shí)的情形。（1）標(biāo)定函數(shù)的求解儲(chǔ)油罐未發(fā)生變位時(shí)，油面與罐體相平行，

21、如圖（11）所示。以左邊的球冠的球心 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，簡(jiǎn)單計(jì)算可得左邊球罐體所在的球面的方程為x2y2z2=2.64圖（11）未發(fā)生變位時(shí)實(shí)際儲(chǔ)油罐的示意 求此時(shí)儲(chǔ)油罐內(nèi)儲(chǔ)油量時(shí)分兩步計(jì)算，先求球冠部分的儲(chǔ)油量： 運(yùn)用多重積分先對(duì)z積分，再對(duì)x積分，得到弓形橫截面的面積, 分便得到左邊球罐體內(nèi)的儲(chǔ)油量：h 4.5 -0.625zVguan一64#JZdxdy(2.64 - y2)arccosr.625- 0.625 2.25 - y2dy2.64 - y再求中間圓柱體部分的儲(chǔ)油量:求該部分儲(chǔ)油量的積分方式與問(wèn)題一中平放時(shí)的情況相同，用同樣的方式得中間圓柱部分的儲(chǔ)油量：h1.5 丄h1

22、.5 丄Vzhu=18arcsin9si n( 2arcsin) 9 二1.51.5于是得到儲(chǔ)油罐平放時(shí)罐容表標(biāo)定函數(shù)：Vzong2VgUanVzhu(2.64-y2)arccos ,0.6250.625$2.25 y22.64-y2h 1.5丄h 1.5丄18arcsin9si n( 2arcsin ) 9:1.51.5再沿 y 軸方向積h 4.5h 4513(2)標(biāo)定函數(shù)的修正考慮到實(shí)際情況各種因素的影響，需要根據(jù)附件2的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)罐容表的標(biāo)定函數(shù) 進(jìn)行修正。把附件2中的油位高度 h 帶入到式(6)中，把該結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的顯示 油量值比較，便得到誤差Vchazong-Vshi。與實(shí)際數(shù)據(jù)

23、對(duì)比發(fā)現(xiàn)誤差VCha均小于0.8L， 這可能是實(shí)際油罐中的氣壓溫度等各種復(fù)雜情況抵消了油罐厚度，進(jìn)出油罐等的影響。 通過(guò)此數(shù)據(jù)可以認(rèn)為在本問(wèn)題中儲(chǔ)油罐發(fā)生變位時(shí)也無(wú)需再對(duì)罐容量的標(biāo)定函數(shù)進(jìn)行 修正。522有變位時(shí)罐容表的標(biāo)定(1)罐容表標(biāo)定函數(shù)的求解實(shí)際儲(chǔ)油罐發(fā)生變位后，多了縱向變位參數(shù)：和橫向變位參數(shù)對(duì)罐容表標(biāo)定函數(shù) 的影響。在求解此時(shí)油罐的罐容表標(biāo)定函數(shù)時(shí)， 先考慮：的影響，實(shí)際油位高度 H 與顯 示的油位高度 h 關(guān)系為H二Rzhu* (h-Rzhu)cos 1，在下面的計(jì)算中只利用 H 即可。具體 的求解過(guò)程如下：左端球罐體儲(chǔ)油量的求解：以左邊球冠的球心為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，首先求

24、解油面與x 一 y 平面的交線y=kx+t 與直線 y=1.5 的交點(diǎn)(x；hang1.5)，以及 y = kx+t 與圓x2+ y2=2.64的交點(diǎn)(Xi,yj。分一下情況進(jìn)行討論：如果y,cO，左端球冠的儲(chǔ)油量：-0.62521-Vzuo二 (2.64 x2)(一 sin2:-)dxx2 2式中甲=arcsinkx+t。丁 2.64 -x2如果y10，左端球冠的儲(chǔ)油量:V V V zuo gua n zuoo3 25- x,-0.625o1兀二黛(1.625 xj2( -)(2.64 x2)( 一sin2 一)dx3x122kx t 式中 =arcs in =J2.64-x2右端球罐體儲(chǔ)油

25、量的求解：以右邊球冠所在球的球心為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系x22從1小兀Vyou二.0.625(2.64 -x )C：,sin2 ：)dxk(x 6.75) t式中二arcsi n (2.64-x2如果y20，右端球冠的儲(chǔ)油量：Xi此時(shí)油面直線與 X-y 平面交線的方程為：y = k( x 6.75) t，該直線與圓罐內(nèi)儲(chǔ)油量的方發(fā)類似： 如果y2：0，右端球冠的儲(chǔ)油量：x2x2y 2.64的交點(diǎn)為 區(qū)2)。與求解左邊球1423 25 + x_0.62521-TT(1.625-X2)2(-)(2.64 -x2)( sin2一)dx3x22中間圓柱中儲(chǔ)油量的求解：此時(shí)與問(wèn)題一中有變位時(shí)的情形完全類似，

26、用同樣的方式得到中間圓柱的儲(chǔ)油量：3.375 r c C 兀 c13=qVzhu=(日sin B ” + COST ”sinB ”一一 cos 日)P，uk23P,7.375k+t、q = arccos()。Rzhu所以實(shí)際儲(chǔ)油罐變位時(shí)的罐容表標(biāo)定函數(shù):Vzon*VzuoVyoV(2)變位參數(shù):的求解由于實(shí)際儲(chǔ)油罐變位時(shí)儲(chǔ)油量用解析的方法無(wú)法求得，為了求出變位參數(shù)，我們利 用附錄2中前302組實(shí)驗(yàn)，采用數(shù)據(jù)數(shù)值積分和計(jì)算機(jī)MATLAB件模擬搜索的方法找 出了符合一定精度的變位參數(shù)。下面是本問(wèn)題關(guān)于數(shù)值積分選取合理步長(zhǎng)的算法：步驟1:任意選取 d0作為初始步長(zhǎng)進(jìn)行積分得到相應(yīng)的積分值f0。d0步

27、驟2:選取步長(zhǎng) d1=再次進(jìn)行積分得到相應(yīng)積分值f1。2步驟3:檢驗(yàn)f0與f1的相對(duì)誤差，如果相對(duì)誤差較小即再減小步長(zhǎng)對(duì)精度的提高 作用不明顯則轉(zhuǎn)到步驟4;否則，令 d1=-并且f0=f1,然后轉(zhuǎn)到步驟2。2步驟4:輸出積分值f1。在模擬搜索兩個(gè)定位參數(shù)時(shí)，取:和1的搜索范圍均為O0,1O0，步長(zhǎng)均為0.10， 再讓計(jì)算機(jī)設(shè)置一定的相對(duì)誤差值。本題搜索的優(yōu)化模型如下：|V -Vmin:g=max ，i = 2,3.3O2s.tW，=V；_1-Wi,i =2,3.3O2Vi =V；ong(h),i=1,2.302式中 g 為目標(biāo)函數(shù)，V，為第 i 次出油后的實(shí)際剩余油量，V為通過(guò)模型得到的第 i

28、 次 出油后的剩余油量，w為第 i 次的出油量根據(jù)上述模型，利用MATLA軟件求出滿足一定精度的兩個(gè)變位參數(shù)，其中=2.1，-=4.60，最大的相對(duì)誤差不到0.22%。(3) 模型正確性和可靠性的檢驗(yàn)將上面得到的兩個(gè)變位參數(shù)帶入到實(shí)際儲(chǔ)油罐發(fā)生變位時(shí)的罐容表標(biāo)定函數(shù)中。利用附錄2中后面的301組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，最大的相對(duì)誤差仍不會(huì)超過(guò)0.22%,可見(jiàn)本問(wèn) 題建立的模型精度是很咼的。(4) 重新標(biāo)定后罐容表表（2）實(shí)際儲(chǔ)油罐變位后重新標(biāo)定罐容表（其余見(jiàn)附錄表二）式中 p = arcsin(-0.625k tRzhu(7)Vyou15油位高度/mm儲(chǔ)油量/L100380.00242001116.94

29、43002294.7924003785.9655005523.3036007466.4697009585.09380011854.1190014251.73100016758.29六、模型的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：（1） 問(wèn)題一及問(wèn)題二都有較為準(zhǔn)確的表達(dá)式。（2） 問(wèn)題一模型的精度高而且有準(zhǔn)確的解析式。 缺點(diǎn)：（1） 問(wèn)題一中未精確考慮度角度變化對(duì)罐容表的影響。（2） 問(wèn)題二模型的求解因?yàn)樾枰F舉法而花費(fèi)較長(zhǎng)的運(yùn)行時(shí)間。（3） 問(wèn)題二的模型精度容易受數(shù)值積分的影響而產(chǎn)生微小的的波動(dòng)。七、模型的推廣本文題的研究方法可以運(yùn)用到實(shí)際生活求解不規(guī)則容器的體積中去，同時(shí)對(duì)其他 容器的罐容表標(biāo)定問(wèn)題有一定的指導(dǎo)意義。參考文獻(xiàn)：1王綿森 馬知恩，工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)，北京：高等教育出版社，2006年。2孫亮，MATLAB語(yǔ)言與控制系統(tǒng)仿真，北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社，2001年3聶玉峰 王振海，計(jì)算方法，西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2009年。16附錄表一小橢圓型儲(chǔ)油罐變位后的罐容表標(biāo)定值油位高度/mm儲(chǔ)油量/L100380.00242001116.9443002294.7924003785.9655005523.3036007466.4697009585.09380011854.1190014251.73100016758.29110019355.641200