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1、2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽1承諾書(shū)我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則我們完全明白,在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式(包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等)與隊(duì)外的任何人(包括指導(dǎo)教師)研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道,抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的 資料(包括網(wǎng)上查到的資料),必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參 考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾,嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則,以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為,我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是(從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)): _A_我們的參賽報(bào)名號(hào)為(如果賽區(qū)設(shè)置
2、報(bào)名號(hào)的話):_J0903_所屬學(xué)校(請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名):_ 西北工業(yè)大學(xué)_參賽隊(duì)員(打印并簽名):1._葛振振_2. _張浩_3. _王超_指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人(打印并簽名): 呂全義_日期:2010年_9月10日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)(由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)):2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽2編號(hào)專用頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)(由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)):賽區(qū)評(píng)閱記錄(可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用):評(píng)閱人評(píng)分OOnOOOOOOO備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)(由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)):全國(guó)評(píng)閱編號(hào)(由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)):1儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定摘要通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐,許多儲(chǔ)
3、油罐在使用一段時(shí)間后罐 體的位置會(huì)發(fā)生變位。本文主要分析和討論了儲(chǔ)油罐變位對(duì)罐容表的影響。解決本題的關(guān)鍵是求出在不同變位參數(shù)下儲(chǔ)油罐的儲(chǔ)油量與油位高度的對(duì)應(yīng)關(guān) 系,難點(diǎn)是積分問(wèn)題。對(duì)于問(wèn)題一,本文利用多重積分【與三角變換分別求出了小橢圓 型儲(chǔ)油罐無(wú)變位和發(fā)生縱向變位時(shí)罐容表的標(biāo)定函數(shù),其中無(wú)變位時(shí)的相對(duì)誤差均為3%左右,發(fā)生縱向變位時(shí)的相對(duì)誤差小于5.2%。然后通過(guò)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較求出了修正函數(shù), 修正后兩種情況下的相對(duì)誤差均減小到0.02%以下。接著對(duì)比修正后的無(wú)變位和有變位 時(shí)的標(biāo)定函數(shù),來(lái)研究?jī)?chǔ)油罐變位對(duì)罐容表的影響,發(fā)現(xiàn)油位咼度近似為儲(chǔ)油罐咼度的 一半時(shí)兩種情況下的儲(chǔ)油量差別最大。然后本
4、文給出了小橢圓型儲(chǔ)油罐變位后油位高度 間隔為1 cm的罐容表標(biāo)定值。對(duì)于問(wèn)題二,本文仍然利用多重積分的方法求解實(shí)際儲(chǔ)油罐無(wú)變位和有變位時(shí)罐 容表的標(biāo)定函數(shù)。在利用此標(biāo)定函數(shù)求解兩個(gè)變位參數(shù)時(shí),建立以相對(duì)誤差最小為目標(biāo) 函數(shù)的優(yōu)化模型。模型求解的過(guò)程中,利用數(shù)值積分【2】和計(jì)算機(jī)模擬搜索的方法(其中 :-和的搜索范圍均為00,100,步長(zhǎng)均為0.10)找出了最優(yōu)的變位參數(shù):縱向傾斜角度2.10,橫向偏轉(zhuǎn)角度=4.6,此時(shí)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差均達(dá)到了0.22%以下。本 文還對(duì)問(wèn)題二的模型進(jìn)行了精度檢驗(yàn),相對(duì)誤差也均在0.22%以下。最后本文給出了實(shí)際儲(chǔ)油罐變位后油位高度間隔為1 cm的罐容表標(biāo)定值
5、。本文建立的模型簡(jiǎn)單易懂,所用算法也比較清晰,得出的結(jié)果對(duì)儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別 與罐容表標(biāo)定有一定的指導(dǎo)意義。關(guān)鍵詞:標(biāo)定函數(shù),多重積分,數(shù)值積分,計(jì)算機(jī)模擬,最小二乘法2、 問(wèn)題重述通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐,并且一般都有與之配套的“油位計(jì) 量管理系統(tǒng)”,采用流量計(jì)和油位計(jì)來(lái)測(cè)量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù),通過(guò)預(yù) 先標(biāo)定的罐容表(即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系)進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算,以得到罐內(nèi)油 位高度和儲(chǔ)油量的變化情況。許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后,由于地基變形等原因,使罐體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾 斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化(以下稱為變位),從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定,需 要定期對(duì)罐容
6、表進(jìn)行重新標(biāo)定。 題目中分別給出了一種典型的儲(chǔ)油罐尺寸及形狀示意圖(其主體為圓柱體, 兩端為球冠體) ,罐體縱向傾斜變位和橫向偏轉(zhuǎn)的示意圖,以及小 橢圓型型儲(chǔ)油罐示意圖(兩端平頭的橢圓柱體)。請(qǐng)用數(shù)學(xué)建模方法研究解決以下儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的冋題。(1)為了掌握罐體變位后對(duì)罐容表的影響,利用題中給的小橢圓型型儲(chǔ)油罐,分 別對(duì)罐體無(wú)變位和傾斜角為:=4.10的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn),題目的附件1給出了 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。知條件建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對(duì)罐容表的影響, 并給出罐體變位后油 位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。(2)對(duì)于題中給的實(shí)際儲(chǔ)油罐,試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型,即罐
7、內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)(縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度1)之間的一般關(guān)系。 再利用罐體變位后在進(jìn)出油過(guò)程中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)(題中附件2給出),根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù),并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步利用附件2中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡P偷恼_性與方法的可靠性。二、基本假設(shè)1、假設(shè)在短時(shí)間范圍內(nèi),儲(chǔ)油罐的變位參數(shù) ,:基本保持不變。2、 假設(shè)地基變形等原因只使罐體發(fā)生小角度變位(變位參數(shù) :1均小于100)3、假設(shè)儲(chǔ)油罐內(nèi)的油的重量大小不影響變位參數(shù)。4、假設(shè)忽略其他因素對(duì)油高的影響,如儲(chǔ)油罐內(nèi)的氣壓、溫度等。三、符號(hào)說(shuō)明a小橢圓型儲(chǔ)油罐截面橢圓的
8、長(zhǎng)半軸長(zhǎng)b小橢圓型儲(chǔ)油罐截面橢圓的短半軸長(zhǎng)Viping小橢圓型儲(chǔ)油罐無(wú)變位時(shí)的儲(chǔ)油量Vbian小橢圓型儲(chǔ)油罐發(fā)生變位時(shí)的儲(chǔ)油量Vzong實(shí)際儲(chǔ)油罐無(wú)變位時(shí)的儲(chǔ)油量V zong實(shí)際儲(chǔ)油罐發(fā)生變位時(shí)的儲(chǔ)油量注:其它符號(hào)在文中均有說(shuō)明,這里便不一一列寫(xiě)3四、問(wèn)題分析本題的核心就是求解不同情況下儲(chǔ)油罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)(縱向傾斜 角度:和橫向偏轉(zhuǎn)角度1)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,而求解的重點(diǎn)和難點(diǎn)是不規(guī)則體積的多重 積分的計(jì)算。用一定的方法求解出這些對(duì)應(yīng)關(guān)系后,在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,儲(chǔ)油罐變位識(shí) 別和罐容表標(biāo)定冋題就能得到解決。問(wèn)題一中首先對(duì)幾何形狀相對(duì)簡(jiǎn)單的小橢圓型形儲(chǔ)油罐進(jìn)行實(shí)驗(yàn),來(lái)研究罐體變位后對(duì)罐
9、容表的影響。由于本問(wèn)題中儲(chǔ)油罐幾何圖形簡(jiǎn)單,而且只考慮了縱向傾斜角:,利用在自定義坐標(biāo)下的多重積分, 就可以分別求出儲(chǔ)油罐無(wú)變位以及發(fā)生縱向傾斜:角 度時(shí)儲(chǔ)油量與油位高度的對(duì)應(yīng)關(guān)系。根據(jù)這兩個(gè)關(guān)系,對(duì)比儲(chǔ)油罐無(wú)變位和發(fā)生傾斜變 位時(shí)在同一油位高度時(shí)的儲(chǔ)油量,就可研究出儲(chǔ)油罐變位后對(duì)罐容表的影響,也就可以 對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定了。問(wèn)題二對(duì)實(shí)際儲(chǔ)油罐進(jìn)行研究,其幾何形狀更為復(fù)雜,而且同時(shí)了考慮縱向傾斜和橫向 偏轉(zhuǎn)兩個(gè)方向的變位。首先利用多重積分,求解出實(shí)際儲(chǔ)油罐無(wú)變位以及發(fā)生縱向和橫 向變位時(shí)儲(chǔ)油量與油位高度的對(duì)應(yīng)關(guān)系,再用數(shù)值積分和計(jì)算機(jī)模擬搜索的方法求出變 位參數(shù)并進(jìn)行檢驗(yàn),最后利用求出的變位
10、參數(shù),對(duì)罐容表進(jìn)行分析,重新標(biāo)定罐容表。五、模型的建立與求解5.1問(wèn)題一5.1.1模型的建立與求解(1)無(wú)變位時(shí)罐容表的標(biāo)定a、罐容表標(biāo)定函數(shù)的求解小橢圓型儲(chǔ)油罐無(wú)變位時(shí),罐內(nèi)的油面與罐體平行,如下圖所示。為了方便計(jì)算此時(shí)的儲(chǔ)油量,建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系,在此坐標(biāo)系下小 橢圓型油罐左側(cè)面橢圓的方程為:2 2三.(y )a b式中a為橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng),b 為短半軸長(zhǎng)。求儲(chǔ)油量時(shí),先對(duì)油體的截面上的z,y 進(jìn)行二重積分得到截面殘缺橢圓的面積, 再沿著x軸方向?qū)積分便得到無(wú)變位時(shí)小橢圓儲(chǔ)油罐的儲(chǔ)油量:.45 h zVping.0ydzdydx圖(1)小橢圓型儲(chǔ)油罐正面示意圖圖(2)小橢圓型油罐
11、左側(cè)面示意圖4帶入各個(gè)參數(shù)求解罐內(nèi)油體的體積:h _b2.45arcs inb_2h-bh-b=1.225ab(2arcsinsi n(2arcsin)亠,)(1)bb把本題中的 a=0.89,b=0.6 以及 h 值帶入上式,就可以得到儲(chǔ)油罐內(nèi)儲(chǔ)油量與與油 位高度的關(guān)系,此時(shí)理論計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值的相對(duì)誤差均在3%左右。b、標(biāo)定函數(shù)的修正由于在理論計(jì)算中未考慮油罐的厚度,以及油位探針,進(jìn)油口,出油口等其他東西 所占的體積,所以理論計(jì)算值與實(shí)際的實(shí)驗(yàn)值必然存在偏差,而且此偏差與油位高度密 切相關(guān),下面就找出在儲(chǔ)油罐無(wú)變位時(shí)的修正函數(shù)。設(shè)儲(chǔ)油罐內(nèi)實(shí)際的油量為Vshi(初始量與累加進(jìn)油量之和),理論油
12、量與實(shí)際油量 之差為Vcha“哋-Vshi,標(biāo)定的修正函數(shù)為 f (h)。由于我們只關(guān)心在一定油位高度時(shí)儲(chǔ)油罐內(nèi)油量的體積大小,與進(jìn)出的油量無(wú)關(guān),所以在這里只利用無(wú)變位進(jìn)油時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求解標(biāo)定的修正函數(shù)。根據(jù)無(wú)變位進(jìn)油時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到Vcha與 h 對(duì)應(yīng)關(guān)系,如圖(3)2.45 h zdydx利用三角變換,令 y=b(sinr)二次遷),帶入上式化簡(jiǎn)得:Vping= 2ab0-4.9ab(- -si n2r)24h_b arcsinb兀 巧Vping = .0.0*dzdydx2.45(y-b)25圖(3)無(wú)變位進(jìn)油時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到Vcha與 h 對(duì)應(yīng)關(guān)系根據(jù)上圖的規(guī)律,設(shè)修正函數(shù) f(h)為
13、關(guān)于 h 三次函數(shù),利用最小二乘法對(duì)曲線進(jìn)行6擬合得:f(h) = -8.387 10- h30.0001503 h20.05842 h-1.744擬合的相關(guān)指數(shù)為1標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.1779,可見(jiàn)擬合效果非常好 這樣我們就得到了修正后罐容表的標(biāo)定函數(shù):8.387 10” h30.00015030.05842 h1.744修正后標(biāo)定函數(shù)的理論值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差均不足0.02%,達(dá)到了很高的精度(2)有變位時(shí)罐容表的標(biāo)定a、罐容表標(biāo)定函數(shù)的求解小橢圓型儲(chǔ)油罐縱向變位后,油面不再與罐體平行,為了解決問(wèn)題方便,此時(shí)仍然 在罐體上建立坐標(biāo)系,如圖(3)和圖(4)。Vphg=19.6ab(2arcsin
14、sin( 2arcsin圖(3)有變位時(shí)儲(chǔ)油罐正面示意圖 由于儲(chǔ)油罐只發(fā)生小角度變位,所以在 能有三種情況種情況,把坐標(biāo)系轉(zhuǎn)擺正后如圖圖(4)有變位時(shí)儲(chǔ)油罐左側(cè)面示意圖:0,h 取不同的值(0 乞 h 乞 1.2)時(shí)只可 () -()。圖(5)油量很少時(shí)的示意圖圖(6)油量適中時(shí)的示意圖7圖(7)油量很大時(shí)的示意圖首先研究最普遍的情況,即儲(chǔ)油罐內(nèi)的油量適中時(shí)儲(chǔ)油量與油位高度的關(guān)系。求解 儲(chǔ)油量時(shí)與未變位時(shí)的情況類似,依然利用多重積分而且積分過(guò)程相同,只是在求殘缺 的橢圓的面積時(shí)在 y軸方向上的積分上限是個(gè)與x有關(guān)的變量 y。變位時(shí)罐容表的標(biāo)定 函數(shù)的具體的求解過(guò)程如下:油面與 x y 平面相交
15、的直線方程為 y =kx h 0.4 ( k = tan :)。直線與x軸的交 點(diǎn)為嚴(yán)嚴(yán)4tan-h, o),易知在油量適中的情況下0.4tan:大于油罐的長(zhǎng)度2.45tanatanam。先對(duì)z再對(duì) y 積分,得到不同的殘缺橢圓的面積,再沿x軸方向上對(duì)x積分便得到有變位時(shí)小橢圓型儲(chǔ)油罐的儲(chǔ)油量:2.45y z00jdzdydx帶入各個(gè)參數(shù)求解有變位時(shí)罐內(nèi)油體的體積:2.45y z仏新壬00. jdzdydx2.45y=2abdydxJ0J0JJIJT令 y = b(1 si n r ),當(dāng) y = b(1 si n )=kx h -0.4k 時(shí),對(duì)等式兩邊取微分得 dx=bcosrdY,帶入上
16、式化簡(jiǎn)得:k2.4502小 eVbian=2abf兀cos日dBdx02q1二=ab (Fsin2) dxp22q1二bcos1二ab(亍sinR)bcop22k寸sincos丁sin寸-cos寸)k2382.05k h T、/h 0.4k b、式中p =arcsin(),q 二 arccos(),且k =-tan -。bb把 a =0.89, b =0.6 以及 h 和的值帶入上式,就可以得到此時(shí)油罐內(nèi)儲(chǔ)油量與與油9位高度的關(guān)系,此時(shí)理論計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值的相對(duì)誤差均在小于5.2%。當(dāng)油量很少時(shí), 油面直線會(huì)與x軸交點(diǎn)x坐標(biāo)一一.4伽伽: 小于2.45。 求油體的體 tana積時(shí)把x的積分上限2
17、.45變?yōu)?.4tan:,便得到此時(shí)罐容表的標(biāo)定函數(shù):tanaJI(v sinCOS T sin v2q =arccos(0:4k),且 k = tan 二。b當(dāng)油量很多時(shí),運(yùn)用補(bǔ)償法如圖(8)圖(8)儲(chǔ)油補(bǔ)償示意圖此時(shí)儲(chǔ)油量為整個(gè)油罐的體積減去空氣的體積,即Vbia=V-Vkong。經(jīng)計(jì)算得,圖中 h與 h 的關(guān)系為 h=1.2-1.05k-h。此時(shí)罐容表的標(biāo)定函數(shù):式中 p,q =arccos(h_0.4k_b),且 h= 1.2-1.05k - h,2b當(dāng)::0 時(shí),帶入0 時(shí)在 x=1.65 處的 y 值,就可以得到不同情況下儲(chǔ)油量與油位 高度的對(duì)應(yīng)關(guān)系,不再贅述b、標(biāo)定函數(shù)的修正根據(jù)
18、無(wú)變位進(jìn)油時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到Xha與 h 對(duì)應(yīng)關(guān)系,如圖(9)ab2Vbian-Vkong2- 1*嚴(yán)心5近曲二cosFP2.45二ab10圖(9)Vcha與 h 對(duì)應(yīng)關(guān)系11根據(jù)上圖的規(guī)律,設(shè)修正函數(shù)f(h)為關(guān)于 h 三次函數(shù),利用最小二乘法對(duì)曲線進(jìn)行擬合得:f(h) =2.88910Jh-0.001028 h21.024 h -222.4擬合的相關(guān)指數(shù)為1,標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.1779,擬合的效果也非常好這樣我們就得到了修正后罐容表的標(biāo)定函數(shù):2.889 10” h-0.001028 h21.024h-222.42.05k h -1h -0.4k -b 口 丄式中 p =arcsin(),q =
19、arccos(),且k =-tan 二。bb修正后標(biāo)定函數(shù)的理論值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差均不足0.02%,達(dá)到了很高的精度。5.1.2變位對(duì)罐容表的影響上面分別求出了未變位以及發(fā)生縱向變位時(shí)的儲(chǔ)油罐的罐容表標(biāo)定函數(shù),為了分析變位對(duì)罐容表的影響,我們同時(shí)畫(huà)出兩種不同情況下儲(chǔ)油量與油位高度的函數(shù)關(guān)系圖, 如圖(10):圖(10)未發(fā)生變位和發(fā)生變位儲(chǔ)油量與油位高度的關(guān)系圖通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)儲(chǔ)油罐的小角度變位對(duì)罐容表產(chǎn)生了影響,在油位高度為儲(chǔ)油罐高度 的一半時(shí)誤差最大,這是因?yàn)樵诖宋恢糜兔娴膶挾茸畲?,油?h 很小的偏差就能對(duì)顯示 儲(chǔ)油量產(chǎn)生較大的影響。5.1.3重新標(biāo)定罐容表有了上面的分析,就可以得到變位
20、后的罐容表的標(biāo)定值(油位高度間隔為1cm,如表(1)。表(1)小橢圓型儲(chǔ)油罐變位后罐容表標(biāo)定值(其余見(jiàn)附錄表一)油位高度/mm罐內(nèi)的油量/L400924.45410960.41420996.844301033.744010714501108.84601146.94701185.4abiLWh二cosFp=2124801224.34901263.65.2問(wèn)題二5.2.1無(wú)變位時(shí)罐容表的標(biāo)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中給了一定高度下的顯示油量容積,即在此油位高度下,儲(chǔ)油罐沒(méi)有發(fā)生 變位時(shí)的儲(chǔ)油量。為了研究非油因素的影響,我們先研究在儲(chǔ)油罐未發(fā)生變位時(shí)的情形。(1)標(biāo)定函數(shù)的求解儲(chǔ)油罐未發(fā)生變位時(shí),油面與罐體相平行,
21、如圖(11)所示。以左邊的球冠的球心 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,簡(jiǎn)單計(jì)算可得左邊球罐體所在的球面的方程為x2y2z2=2.64圖(11)未發(fā)生變位時(shí)實(shí)際儲(chǔ)油罐的示意 求此時(shí)儲(chǔ)油罐內(nèi)儲(chǔ)油量時(shí)分兩步計(jì)算,先求球冠部分的儲(chǔ)油量: 運(yùn)用多重積分先對(duì)z積分,再對(duì)x積分,得到弓形橫截面的面積, 分便得到左邊球罐體內(nèi)的儲(chǔ)油量:h 4.5 -0.625zVguan一64#JZdxdy(2.64 - y2)arccosr.625- 0.625 2.25 - y2dy2.64 - y再求中間圓柱體部分的儲(chǔ)油量:求該部分儲(chǔ)油量的積分方式與問(wèn)題一中平放時(shí)的情況相同,用同樣的方式得中間圓柱部分的儲(chǔ)油量:h1.5 丄h1
22、.5 丄Vzhu=18arcsin9si n( 2arcsin) 9 二1.51.5于是得到儲(chǔ)油罐平放時(shí)罐容表標(biāo)定函數(shù):Vzong2VgUanVzhu(2.64-y2)arccos ,0.6250.625$2.25 y22.64-y2h 1.5丄h 1.5丄18arcsin9si n( 2arcsin ) 9:1.51.5再沿 y 軸方向積h 4.5h 4513(2)標(biāo)定函數(shù)的修正考慮到實(shí)際情況各種因素的影響,需要根據(jù)附件2的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)罐容表的標(biāo)定函數(shù) 進(jìn)行修正。把附件2中的油位高度 h 帶入到式(6)中,把該結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的顯示 油量值比較,便得到誤差Vchazong-Vshi。與實(shí)際數(shù)據(jù)
23、對(duì)比發(fā)現(xiàn)誤差VCha均小于0.8L, 這可能是實(shí)際油罐中的氣壓溫度等各種復(fù)雜情況抵消了油罐厚度,進(jìn)出油罐等的影響。 通過(guò)此數(shù)據(jù)可以認(rèn)為在本問(wèn)題中儲(chǔ)油罐發(fā)生變位時(shí)也無(wú)需再對(duì)罐容量的標(biāo)定函數(shù)進(jìn)行 修正。522有變位時(shí)罐容表的標(biāo)定(1)罐容表標(biāo)定函數(shù)的求解實(shí)際儲(chǔ)油罐發(fā)生變位后,多了縱向變位參數(shù):和橫向變位參數(shù)對(duì)罐容表標(biāo)定函數(shù) 的影響。在求解此時(shí)油罐的罐容表標(biāo)定函數(shù)時(shí), 先考慮:的影響,實(shí)際油位高度 H 與顯 示的油位高度 h 關(guān)系為H二Rzhu* (h-Rzhu)cos 1,在下面的計(jì)算中只利用 H 即可。具體 的求解過(guò)程如下:左端球罐體儲(chǔ)油量的求解:以左邊球冠的球心為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,首先求
24、解油面與x 一 y 平面的交線y=kx+t 與直線 y=1.5 的交點(diǎn)(x;hang1.5),以及 y = kx+t 與圓x2+ y2=2.64的交點(diǎn)(Xi,yj。分一下情況進(jìn)行討論:如果y,cO,左端球冠的儲(chǔ)油量:-0.62521-Vzuo二 (2.64 x2)(一 sin2:-)dxx2 2式中甲=arcsinkx+t。丁 2.64 -x2如果y10,左端球冠的儲(chǔ)油量:V V V zuo gua n zuoo3 25- x,-0.625o1兀二黛(1.625 xj2( -)(2.64 x2)( 一sin2 一)dx3x122kx t 式中 =arcs in =J2.64-x2右端球罐體儲(chǔ)油
25、量的求解:以右邊球冠所在球的球心為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系x22從1小兀Vyou二.0.625(2.64 -x )C:,sin2 :)dxk(x 6.75) t式中二arcsi n (2.64-x2如果y20,右端球冠的儲(chǔ)油量:Xi此時(shí)油面直線與 X-y 平面交線的方程為:y = k( x 6.75) t,該直線與圓罐內(nèi)儲(chǔ)油量的方發(fā)類似: 如果y2:0,右端球冠的儲(chǔ)油量:x2x2y 2.64的交點(diǎn)為 區(qū)2)。與求解左邊球1423 25 + x_0.62521-TT(1.625-X2)2(-)(2.64 -x2)( sin2一)dx3x22中間圓柱中儲(chǔ)油量的求解:此時(shí)與問(wèn)題一中有變位時(shí)的情形完全類似,
26、用同樣的方式得到中間圓柱的儲(chǔ)油量:3.375 r c C 兀 c13=qVzhu=(日sin B ” + COST ”sinB ”一一 cos 日)P,uk23P,7.375k+t、q = arccos()。Rzhu所以實(shí)際儲(chǔ)油罐變位時(shí)的罐容表標(biāo)定函數(shù):Vzon*VzuoVyoV(2)變位參數(shù):的求解由于實(shí)際儲(chǔ)油罐變位時(shí)儲(chǔ)油量用解析的方法無(wú)法求得,為了求出變位參數(shù),我們利 用附錄2中前302組實(shí)驗(yàn),采用數(shù)據(jù)數(shù)值積分和計(jì)算機(jī)MATLAB件模擬搜索的方法找 出了符合一定精度的變位參數(shù)。下面是本問(wèn)題關(guān)于數(shù)值積分選取合理步長(zhǎng)的算法:步驟1:任意選取 d0作為初始步長(zhǎng)進(jìn)行積分得到相應(yīng)的積分值f0。d0步
27、驟2:選取步長(zhǎng) d1=再次進(jìn)行積分得到相應(yīng)積分值f1。2步驟3:檢驗(yàn)f0與f1的相對(duì)誤差,如果相對(duì)誤差較小即再減小步長(zhǎng)對(duì)精度的提高 作用不明顯則轉(zhuǎn)到步驟4;否則,令 d1=-并且f0=f1,然后轉(zhuǎn)到步驟2。2步驟4:輸出積分值f1。在模擬搜索兩個(gè)定位參數(shù)時(shí),取:和1的搜索范圍均為O0,1O0,步長(zhǎng)均為0.10, 再讓計(jì)算機(jī)設(shè)置一定的相對(duì)誤差值。本題搜索的優(yōu)化模型如下:|V -Vmin:g=max ,i = 2,3.3O2s.tW,=V;_1-Wi,i =2,3.3O2Vi =V;ong(h),i=1,2.302式中 g 為目標(biāo)函數(shù),V,為第 i 次出油后的實(shí)際剩余油量,V為通過(guò)模型得到的第 i
28、 次 出油后的剩余油量,w為第 i 次的出油量根據(jù)上述模型,利用MATLA軟件求出滿足一定精度的兩個(gè)變位參數(shù),其中=2.1,-=4.60,最大的相對(duì)誤差不到0.22%。(3) 模型正確性和可靠性的檢驗(yàn)將上面得到的兩個(gè)變位參數(shù)帶入到實(shí)際儲(chǔ)油罐發(fā)生變位時(shí)的罐容表標(biāo)定函數(shù)中。利用附錄2中后面的301組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn),最大的相對(duì)誤差仍不會(huì)超過(guò)0.22%,可見(jiàn)本問(wèn) 題建立的模型精度是很咼的。(4) 重新標(biāo)定后罐容表表(2)實(shí)際儲(chǔ)油罐變位后重新標(biāo)定罐容表(其余見(jiàn)附錄表二)式中 p = arcsin(-0.625k tRzhu(7)Vyou15油位高度/mm儲(chǔ)油量/L100380.00242001116.94
29、43002294.7924003785.9655005523.3036007466.4697009585.09380011854.1190014251.73100016758.29六、模型的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn):(1) 問(wèn)題一及問(wèn)題二都有較為準(zhǔn)確的表達(dá)式。(2) 問(wèn)題一模型的精度高而且有準(zhǔn)確的解析式。 缺點(diǎn):(1) 問(wèn)題一中未精確考慮度角度變化對(duì)罐容表的影響。(2) 問(wèn)題二模型的求解因?yàn)樾枰F舉法而花費(fèi)較長(zhǎng)的運(yùn)行時(shí)間。(3) 問(wèn)題二的模型精度容易受數(shù)值積分的影響而產(chǎn)生微小的的波動(dòng)。七、模型的推廣本文題的研究方法可以運(yùn)用到實(shí)際生活求解不規(guī)則容器的體積中去,同時(shí)對(duì)其他 容器的罐容表標(biāo)定問(wèn)題有一定的指導(dǎo)意義。參考文獻(xiàn):1王綿森 馬知恩,工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ),北京:高等教育出版社,2006年。2孫亮,MATLAB語(yǔ)言與控制系統(tǒng)仿真,北京:北京工業(yè)大學(xué)出版社,2001年3聶玉峰 王振海,計(jì)算方法,西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2009年。16附錄表一小橢圓型儲(chǔ)油罐變位后的罐容表標(biāo)定值油位高度/mm儲(chǔ)油量/L100380.00242001116.9443002294.7924003785.9655005523.3036007466.4697009585.09380011854.1190014251.73100016758.29110019355.641200
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