第56講解析法證幾何題

1、第56講解析法證幾何題解析法是利用代數(shù)方法解決幾何問題的一種常用方法其一般的順 序是：建立坐標系，設出各點坐標及各線的方程，然后根據(jù)求解或求證 要求進行代數(shù)推算.它的優(yōu)點是具有一般性與程序性，幾何所有的平面 幾何問題都可以用解析法獲解，但對于有些題目演算太繁.此外，如果建立坐標系或設點坐標時處理不當，也可能增加計算 量建系設點坐標的一般原則是使各點坐標出現(xiàn)盡量多的0 ,但也不可死搬教條，對于一些“地位平等”的點、線，建系設點坐標時，要保持 其原有的“對稱性”.A類例題例1 如圖，以直角三角形 ABC的斜邊 AB及直角邊 BC為邊向三角形兩側作正方形 ABDE、CBFG .求證：DC丄FA .分

2、析 只要證kcD kAF = - 1，故只要求 點D的坐標.證明 以C為原點， CB為x軸正方向建立直角坐標系.設A(0 , a), B(b , 0), D(x , y).則直線 AB的方程為ax + by- ab= 0 .故直線 BD的方程為bx ay- (b b a 0) = 0 , 即 bx ay b2 = 0 .ED方程設為ax + by + C = 0 .由AB、ED距離等于|AB|，得|C + ab|,a2+ b2解得 C = ±a2 + b2) ab.如圖，應舍去負號.所以直線 ED方程為ax + by+ a2 + b2 ab = 0 . 解得x = b a , y =

3、 b .(只要作DH丄x軸，由 DBHBAC就可得到這個結果).即 D(b a， b).b 一 a b因為 kAF = " , kcD =，而 kAF kcD = 1 .所以 DC _L FA .bb a例2 .自 從BC的頂點A引BC的垂線，垂足為 D，在AD上任取 一點H，直線 BH交AC于E , CH交AB于F .試證：AD平分ED與DF所成的角.證明 建立直角坐標系，設A(0 , a), B(b , 0) , C(c , 0),H(0 , h),于是BH :xb+h = 1AC :x+y = 1ca過BH、AC的交點E的直線系為1) + 屏 + y 1) = 0 .c a以(

4、0, 0)代入，得入+卩=0 .x確定待定系數(shù)，這實際上并不失為一種通法.例3 證明：任意四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和再加上對角線中點連線的平方的4倍.證明在直角坐標系中，設四邊形四個頂點的坐標為“(xi, yi),A3(X3, y3), A4(X4, y4).由中點公式知對角中點的坐標 yi+ y3X2 + X4 y2+ y4A2(X2, y2)Xi + X3 為B(丄尸X3一X2一X4)2+(Xi -X3)2+X22+X 3+X 4-X1X22XIX2,) , c() 2 2 2 2=(x1x2)+(x2x3)+(x3x4)+(x4X1),yi + y3y2 + y4同理有

5、4(22)+(y1y3)+(y2y4)=(y1 y2)2+(y2y3)2+(y3y4)2+(y4 y1)2,兩式相加得：|AiA2f + |A2A3|2 + |A3A4|2 + |A4Ai|2 = 4|BC|2 + |AiA3|2 + |A2A4|2 說明本題純幾何證法并不容易，而采用解析法，只需要簡單的計算便達到目的另外本例中巧妙地抓住了各點的“對稱性”，設了最為一般的形式，簡化了計算.情景再現(xiàn)C1 .如圖，O O的弦CD平行于直 徑AB，過C、D的圓的切線交于點P，直線 AC、BC分別交直線 OP于 Q、R .求證：|PQ| = |PR| .2 .自圓M外一點E作圓的切線， 切點為F，又作

6、一條割線 EAB，交圓M 于A、B，連結 EF的中點0與B，交圓M于D , ED交圓M于C .求證：AC / EF .3 . CH是從BC中邊 AB上的高，H為垂足，點 K、P分別是H 關于邊AC和BC的對稱點.證明：線段 KP與AC , BC（或它們的延長線 ）的交點是 AABC高 線的垂足.B類例題例4 . P、Q在AABC的R將AABC的周長分為三等分.2> 9 .以A為原點,BC = a ,AB邊上,R在AC邊上，并且P , Q ,求證:證明 設ABSapqrSaabc 如圖， =c ,直線 AB CA = b ,為x軸，建立直角坐標系.Q（q,o), p(p , o)P = 3

7、 (a + b + c), AR = PQ AP從而yR=AR =穿.yc AC b由于 2Sapqr = yR(q p), 2Saabc = XByc ,(q p)(q 2p)Sapqr所以SAPQRyR(q P)ycxBbC=q 2p,+ c),注意到p =1b + c) v c 3 (a +2所以 q 2p>3 (a + b2c) c > 3 (a + bc) 1 (a + b + c)=SapqrSaabc(a+ b+ c)24bc(b + c)2 > 24bc 9說明2本題中9是不可改進的,Q與B重合，則當 a趨1 2向于0時，p趨向于3 q ,面積比趨向于9 -例

8、5 .設H是銳角三角形 ABC的垂心，由 A向以BC為直徑的圓作 切線AP、AQ，切點分別為 P、Q .證明：P、H、Q三點共線.(1996年中國數(shù)學奧林匹克 )證明 如圖以BC為x軸BC中點0為原點建立直角坐標系.設 B( 1 , 0) , C(1 , 0) , A(xo ,則PQ方程為Xox + yoy = 1 .點H的坐標為H(xo , y)，滿足yV0X0 + 1X0 1=1 ,即彳 21 X 0 y =y0顯然H滿足PQ方程，即H在PQ從而P、H、Q三點共線.B0C上.例6 .設A、B、C、D是一條直線上依次排列的四個不同的點， 分別以AC、BD為直徑的兩圓相交于 X和Y，直線XY交

9、BC于 Z .若P為直線XY上異于Z的一點，直線 CP與以AC為直徑的圓相 交于C和M，直線 BP與以BD為直徑的圓相交于 B和N .試證：AM、DN、XY三線共點.分析 只要證明AM與XY的交點也是 DN與XY的交點即可，為 此只要建立坐標系，計算AM與XY的交點坐標.證明如圖，以XY為弦的任意圓O,只需證明當 疋.以Z為原點, 面直角坐標系，設P確定時，S也確XY為y軸建立平X(0 , m),P(0 , yo)于是有，/ PCA = a ,其中 m、Xc = y0COt a .y0為定值.但是一XA XCyX，則 xa =2mtany°因此，直線AM的方程為:2 m y = co

10、t o(x + y°tan a .2令x = 0,得yS=，即點S的坐標為(0 ,同理，可得DN與XY的交點坐標為（0 ,2m_y°所以AM、DN、XY三線共點.4 . 在 Rt AABCAACD的內心，連接求證：S從BC中，AD是斜邊上的高， MN并延長分別交 AB、A 2Saakl .M ,ACN分別是AABD與 于K、L兩點.5 .已知 ABC 中，/ A =求證：BC邊過定點.AG、 BG、 CG的延長線交 ABC的6 .設 ABC的重心為G , 外接圓于P、Q、R .求證：AG + BG + CGGP GQ GRc類例題例7 .以從BC的邊BC為直徑作半圓，與 A

11、B、AC分別交于D 和E .過D、E作BC的垂線，垂足分別為 F、G .線段DG、 EF交 于點M .求證：AM丄BC .（1996年國家隊選拔題 ）分析 建立以BC為x軸的坐標系，則只要證明點A、M的橫坐標相等即可.O為原點建立直角坐標證明以BC所在的直線為 x軸，半圓圓心1, 0),C(1 , 0) 令/ EBC = a,Z DCB = 則直線BD的方程為y = 同樣，直線 CE的方程為1),聯(lián)立這兩個方程，解得_ COt a COt 3 _XA cot a+ cot 32 / EBC sin2 a ,3,cot 3 x 0 1) y = cot a X (因為/ EOC = 故 E(co

12、s2 a ,A點的橫坐標sin( a 3sin( a+ 3=2 a, / DOB = 2 3,D( cos2 3 , sin2 3x,G(cos2 a , 0),F( cos2 3 ,0) 于是直線DG的方程為sin2 3y =(cos2 a+ cos2 3)(X C0S2 a ),直線EF的方程為y =sin2 a(cos2 a+ cos2 3 (X 聯(lián)立這兩個方程，解得M點的橫坐標+ cos2 3).系設圓的半徑為 1，則B(sin2 a cos2 3 cos2 a sin2 3XM =sin2 a+ sin2 3sin2( a 3)sin( a+ 3)cos( a 3) sin( a 3

13、)Xa sin( a+ 3)故AM丄BC 例8 .如圖，一條直線 I與圓心為O的圓不相交，E是I上一點，OE丄l , M是I上任意異于E的點，從M作圓O的兩條切線分別切圓于A和B , C是MA上的點，使得 EC丄MA , D是MB上的點，使得ED丄MB，直線CD交OE于F .求證：點F的位置不依賴于 M的位置(1994年IMO預選題)分析 若以I為x軸，0E為y軸建立坐標系, 縱坐標與點M的坐標無關即可.證明 建立如圖所示的平面直角坐標系，設圓=a ,/ OME = a ,/ OMA = 9，顯然有則只要證明O的半徑為F點的r , OEsin 9 = r sin a ayC = MC sin(

14、 a 9 = ME sin( a 9 )s( a 9) =acot a sin( a 9)s( a- 9 )2yc tan( a 9 ) acot asin ( a 9 ) yD = acot a sin( a+ 9()s( a+ 9 ) xd = acot asin ( a+ 9 ).sin2( a+ 9) sin2( a 9)kCD xc =同理，所以,則直線x2 22sin ( a 9) sin ( a+ 9)cot2CD的方程為2acot a sin( a+ 9 cos( a+ 9 ) cot2 a x+ acot osin (Xy 令x = 0 ,得yF = acot a sin(

15、a+ 9 )Cos( a + 9 ) cot2 o(sin( a + acot a n( a+ ®sin( a 9)a+ 9 )9 )sin2 acos2 a+ cos2 9=a a=a(1=a2 r=2a24sin 9sin2 9- )Sin a a22 r2由于號是定值，這就表明 F的位置不依賴于點 M的位置.7 .在箏形ABCD 中， AB = AD , BC = CD，經(jīng) AC、 BD 交點0作二直線分別交 AD、 BC、AB、CD于點E、F、G、H , GF、 EH分別交 BD于點I、J .求證：IO = OJ .（ 1990年冬令營選拔賽題）8 .水平直線 m通過圓0的中

16、心，直線l_m , I與m相交于M，點M在圓心的右側，直線 I上不同的三點 A、B、C在圓外，且位于直線m上方，A點離M點最遠，C點離M點最近， AP、BQ、，CR為圓0的三條切線，試證：P、Q,、R為切點.(1) 1 與圓 O 相切時，ABCR+ BCAP =ACBQ;(2) l 與圓 O 相交時，ABCR+ BCAP vACBQ;(3) l 與圓 O 相離時，ABCR+ BCAP >ACBQ.(1993年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽）習題561 .已知AM AC于Q ,交AM AB 求證：AP是ABC的一條中線，任一條直線交AB于N .AM，AN,AQ成等差數(shù)列.于p，交ABCD2 .在四邊

17、形和AD的垂直平分線相交于求證：PQ丄MN .中，AB與CD的垂直平分線相交于 P , BCQ , M、N分別為對角線 AC、BD中點.3 .證明，如一個凸八邊形的各個角都相等，而所有各鄰邊邊長之比都是有理數(shù)，則這個八邊形的每組對邊一定相等.（1973年奧地利數(shù)學競賽題）4 .設 ABC是銳角三角形，在 ABC外分別作等腰直角三角形BCD、ABE、CAF，在此三個三角形中，/BDC、/ BAE、/ CFA是直角.又在四邊形 BCFE外作等腰直角三角形 EFG,/ EFG是直角.求證： GA =2 AD ;/ GAD = 135°（上海市1994年高中數(shù)學競賽 ）5 .如圖 ABC和厶

18、ADE是兩個不全等的等 腰直角三角形，現(xiàn)固定厶 ABC，而將 ADE繞A 點在平面上旋轉.試證：不論 ADE旋轉到什么位置，線段EC上必存在點 M，使BMD為等腰直角三角形.(1987年全國高中數(shù)學聯(lián)賽 )6 設A1A2A3A4為。O的內接四邊形， 已、H2、 H3、 H4依 次為 AA2A3A4、從3A4A1、從4A1A2、從1A2A3 的垂心.求證： 已、h2、 h3、 h4四點在同一個圓上，并定出該圓的 圓心位置.(1992年全國高中數(shù)學聯(lián)賽 )7 .證明： 從BC的重心G，外心0，垂心H三點共線，且 0G : GH = 1 : 2 .8 .已知 MN是圓0的一條弦， R是MN的中點，過

19、 R作兩弦 AB 和CD，過A、B、C、D四點的二次曲線交 MN于P、Q .求證：R是PQ的中點.本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答：等于1 .可得R點橫坐標XR =百,Q點橫坐1 .以圓心0為原點，BA為y軸建立坐標 系，設點C的坐標為(xo , yo)，且O 0的半徑標XQ =X0, P點橫坐標Xp = 1 .所以XR + Xq1 + y0X0+-= - = 2xp .即點P為QR的中點，所以1 y01 + y01 yo X0|PQ| = PR|.2 .以O為原點，EF為x軸，建立直角坐標系.設 E( X0 , 0), F(X0, 0).圓M的半徑設為r，則圓M的方程為x2 + y2 2xx°

20、 2yr + X02 = 0(1).過E的兩直線 AB、CD的方程可設為 h1y = x +X0,h2y= x +X0，合為(x h1y+X0)(x h2y+X0)= 0(2).直線BD、AC的方程又可設為 y = kx, ax + by + c = 0 .合為(y kx)(ax + by + c) = 0(3) . (1)與(2)所成的曲線系過交點A、B、C、D，又曲線(3)過點A、B、C、D，故為該曲線系中的一條.比較(1)與(2)所成的曲線系與(3)中常數(shù)項即可知相減得到，此時項中無x2項.所以(3)中3 .建立如圖所示的平面直角坐標系，設0), C(0 , c).貝U 2ac22a2c

21、K(，冇2次為 A(a , 0), B(b ,2bc22b2cP(b2+ c2，b2+ c2 )，所在的直線方程是 ，另一方面，(3)能由(1)、(2)a = 0，即 AC / EF .A、B、C三點的坐標依P點和K點的坐標分別為：).于是KPc(aBC所在直線的方程是 cx + by bc = 0bx cy ab= 0 是KP與經(jīng)過AC邊上高線的垂足.x軸和y軸建|AC| = a , AB| = b , |OD| =+ b)x + (ab c )y 2abc = 0 ，BC邊上的高所在的直線方程是 ，由于x a +x c二，于 高線的垂足，同理，4 .分別以AC、AB所在直線為 立直角坐標系

22、，并設abc，貝V c =o 2a + b2，則c .設 AACD、 AABD的內切圓半徑分別為1 ,1), M(2,C 212 c+1 形，直線所以N , M的坐標分別為 N(c m ,2).于是直線MN的斜率為kMN1 .這說明 從KL為等腰直角三角MN的方程為y 1 = (x c +1)，其橫、縱截距均為2a2b2 v a2b2ab c2Saakl = c = a°+p 三莎=7 = S從BC .A為原點，AB為x軸正方向建立直角坐標系.設|AB| =11P.則匚 +： = m , q =，點 B(P , 0), C(qcosa ,P qmp 1以|AC| = qBC的方程為

23、=xP.整理得p(my sin%) +qsin a qcosa pxsin a (1 + cos o)y = 0 ,即無論p為何值時，直線 BC經(jīng)過兩條定直 線 my sin、；= 0與xsina (1 + cos Ry = 0的交點.(兩條直線斜率 不等，故必有交點 )，即直線BC過定點.6 .以外接O O的圓心O為原點，平行于qsin a .直線標系設 A(Xi , yi) , B(X2 , y2)，則 C( X2 , y2),xiyi + 2y22G( 3 ,3).設外接圓半徑為 r .則xi + yi22=X2+ y2ri 2 .由相交弦定理，知AGGP|AG|2AG| |GP|2 2

24、 2|AG|BG |BG| CG |CG|rc |OG|2，冋理 GQ = r2 |OG|2，GR = r2 |OG|2 ；|AG|2 + |BG|2 + |CG |2zxi 2 I#, xi(x2 § ) + (x2 + "3)2 +(yiyi + 2y23)2 +2(y2-)22 2 2xi + (y1 y2) + 2X22(r, 2+ X2 yiy2),|OGfr22Xo(yi 十 2y2)4_【6 十 9 = 9 (2r Xo(yi + 2y22y2yiy2).注意到2X2. 2+ y22AG BG CGr，就得 AG + GG + GR|AG |2+ |BG|2+

25、 |CG|2r2 |OG|27 .如圖，以A(0 , a) , D(d , 0), C(0 , c)，則 B( d , 0).直線O為原點,OD為x軸正方向建立直角坐標系，設AB方程為：七十y i = 0 ;設GH方程:d a.0與是同一個方程，比較系數(shù)得(因為求I點坐標時要取 y = 0 于y前).于是GF方程為d -x) = 0，BC方程為d設EF方程為hy x = 0 .于是 示為 4 十 y i 十 J(hy x)=d c111dh( a c)在中，令y = o得|點的橫坐標xi =+d入；同di11理，點J的橫坐標為Xj =，其中頭=(-)，于是X|1 d 入k h a c 7=Xj

26、 即卩10 = 0J .從而得證.8 .證略.本節(jié)“習題56”解答:1 .以BC所在直線為x軸，高AD所在直線為y軸建立直角坐D標系.設 A(0 , a), B(m b , 0), C(m + b , 0)，直線 PQ 方程：y=kx + q設AP，則 APFBP ，PA1 .所以P點坐標為 x = mb , y =匕1)a ，故( 1)a = k(m b) + q ，貝U -= 扎AAk(m b)+a，即ABk(m b)+a，同理，AMkm+ aACa q'APa qANa q ，AQk(m+b)+a則AB +AC = 2 AM.這說明AB,AM , AC成等差數(shù)a qAPAQANA

27、P'AN ' AQ列.2 .提示：設 A(x1,y“,B(x2 ,y2),C(x3,y3), d(x4,y4)，利用式子的對稱性即可證得結論.3 .此八邊形的每個內角都等于135 .不妨設每邊的長都是有理數(shù).依次設其八邊長為有理數(shù) a, b , c , d , e , f , g , h .把這 個八邊形放入坐標系中，使長為 a的邊的一個頂點為原點，這邊在 x軸曰 疋a + bcos45 + dcos135 e +fcos225 + hcos315 = 0 ,整理得a + e +(b d + h) = 0 ;bcos45 + c + dcos( 45 )+ fcos135 g

28、+ hcos225 = 0 ,整理得(b + d h) = 0 .所以 a = e ,C+ h = 0 ; c = g , b + d f h = 0 .貝U b f = 0 , g h =0 .從而凸八邊形的每組對邊相等.4 .以A為原點建立直角坐標系，設B、C對應的復數(shù)為zb ,1zc .則點E對應復數(shù)Ze = iZB，點D對應復數(shù)Zd = 2 (1 + i)(ZB Zc)11亠曰+ Zc =2(1 + i)ZB+ (1 i)zc，點 F 對應復數(shù) zf= 2 (1 +i)zc.向量t.111 1i izB 1 (1 + i)zc = zb +1 (1 + i)2zc = E + izc

29、則 Zg =(FE = ze Zf = izb 2 (1 + i)ZC . Zg = Zf i FE = 2 (1 + i)zc AD ;/ GAD=- 2 ' 7 C B 21 + i)ZD = 2(cos135° + isin135ZD .貝U GA =羽135 °5 .以A為原點，AC為x軸正方向建立復平面. c，點E表示復數(shù) e(c、e R).則點B表示復1 1 1 1數(shù)b = 2 c + 2 ci，點D表示復數(shù)d = 2 e ?C表示復數(shù)ei .把 ADE繞點A旋轉角0得到 AD E，則 點E表示復數(shù)e '= e(cos 0 + isin 0).點

30、D表示復 數(shù)d = d(cos 0 + isin 0)表示E C中點M的復數(shù) m=(c + e).則表示向量 MB的復數(shù)：Z1 =esin 0)i .表示向量1 1ci 2 c 2e(cos 0 +isin 01ecos 0 + 2 (cMD啲復數(shù):Z2 = d 1e 2 ei)(cos 0 +1 1isin 0) 2 c ? e(cos 0 + isin 0)12 (esin 0 c)iecos0 .顯然:Z2 = Z1i .于是 |MB| = |MD |，且/ 角三角形.故證.6 .以O為坐標原點，O O的半徑為長度單位建立直角坐標系，設BMD ' = 90 ° .即厶

31、BMD 為等腰直O(jiān)Ai、OA2、OA3、OA4與OX正方向所成的角分別為a、 B、 丫、；，則點 Ai、A2、A3、A4 的坐標依次是 (cosa , si no)、 (cos 3 , sin 3、 (cosy, si n Y、 (cos：, sin、).顯然，" A2A3A4、/ A3A4A1、/1A4A1A2、" A1A2A3的外心都是點 O，而它們的重心依次是(3 (cos 3 +, 1 , 1 ,cos 丫+ cos、), 3 (sin 3+ sin 丫+ sin、)、( 3 (cos 丫 + cos、+ cos a),113 (sin a+ sin、. + sin

32、 Y) 、( 3 (cos、.1 。+ cosa+ cos3 , 3 (sin、. + sin a+1sin 3)、( 3(cos a + cos 3+ cos Y,1 (sin a+ sin3+ sinY).從而,/ A2A3A4、/ A3A4A1、/ A4A1A2、/ A1A2A3 的垂心依次是H 1(cos 3 +cos y+ cos , sin 3+ sin 丫+sin、)、 H2(cosy + cos、+ cos a, sin a+ sin、+ sin Y、H3(cos6 + cosa+ cos 3, sin6 + sin a + sin 3)、 H4(cosa + cos 3+ cos y, sin a + sin 3+ sin Y .而 比、 H2、 H3、 H4 點與點