排列組合二項式定理知識點

1、排 列 組 合考試內(nèi)容：分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理.排列.排列數(shù)公式.組合.組合數(shù)公式.組合數(shù)的兩個性質(zhì).二項式定理.二項展開式的性質(zhì).考試要求：(1)掌握分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題.(2)理解排列的意義，掌握排列數(shù)計算公式，并能用它解決一些簡單的應(yīng)用問題.(3)理解組合的意義，掌握組合數(shù)計算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的應(yīng)用問題.(4)掌握二項式定理和二項展開式的性質(zhì)，并能用它們計算和證明一些簡單的問題.排列組合二項定理知識要點一、兩個原理.1 .乘法原理、加法原理.2 .可以有重復(fù)元素的排列.從m個不同元素中，每次取出 n個元素，元素可

2、以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二第 n位上選取元素的方法都是 m個，所以從m 個不同元素中，每次取出 n個元素可重復(fù)排列數(shù) mmm = mn.例如：n件物品放入m個抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？(解：mn種)二、排列.1 .對排列定義的理解.定義：從n個不同的元素中任取 m(mc n)個元素，按照一定順序 排成一列，叫做從n個不同元素中取出 m個元素的一個排列.相同排列.如果；兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同.排列數(shù).從n個不同元素中取出 n(mc n)個元素排成一列，稱為從n個不同元素中取出 m 個元素的一個排列.從n個不

3、同元素中取出 m個元素的一個排列數(shù)，用符號a表 示.排列數(shù)公式：注意：n n! (n 1)! n! 規(guī)定 0! = 1A m AmAmCm 1 AmmAm 1AmnAm 1豐貝士 C0Cn 1An 1 A nAmC n AnmA nAnnAn 1月也人匚 CnC n 12 .含有可重元素的排列問題.對含有相同元素求排列個數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個不同元素a, a2,.a n其中限重復(fù)數(shù)為n1、n2nk,且n = n 1+1+ n k ,則S的排列個數(shù)等于n!n .n1!n2!.nk!例如：已知數(shù)字3、2、2,求其排列個數(shù)n支 3又例如：數(shù)字5、5、5、求1!2!其排列個數(shù)？其排列個數(shù)n 1.3

4、!三、組合.1.組合：從n個不同的元素中任取 m亦n）個元素并成一組，叫做從 n個不 同元素中取出 m個元素的一個組合.組合數(shù)公式：Cm.m Dm D Cm n一 n mnAmm!m!（n m）!兩個公式：cm cn mn；cmn cm am從n個不同元素中取出 m個元素后就剩下n-m個元素，因此從n個不同元素 中取出n-m個元素的方法是一一對應(yīng)的，因此是一樣多的就是說從n個不同元素中取出n-m個元素的唯一的一個組合.（或者從n+1個編號不同的小球中，n個白球一個紅球，任取m個不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有cmn1c1 cmn一類是不含紅球的選法有 c；）根據(jù)組合定義與加法原理

5、得；在確定n+1個不同元素中取m個元素方法時，對于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個元素中再取 m-1個元素，所以有 cmn ,如果不取這一元素，則需從剩余n個元素中取出m個元素，所以共有cm種，依分類原理有cmn cm cnm. 排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.聯(lián)系：都是從n個不同元素中取出 m個元素.區(qū)別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關(guān)系，后者無 順序關(guān)系.幾個常用組合數(shù)公式 常用的證明組合等式方法例i .裂項求和法.如：1 -1 '(利用U，1)2! 3! 4! (n 1)! (n 1)!n! (n 1)! n!ii .導(dǎo)數(shù)法.iii

6、.數(shù)學(xué)歸納法.iv.倒序求和法.mm1cm33334V. JEejfE (即用 C n C n C n 1 隹: C3 C 4 C 5 C n C n 1 .vi.構(gòu)造二項式.如：(cn)2(cn)2(c：)2 c2：證明：這里造二項式(x 1)n(1 x)n (1 x)2n其中xn的系數(shù)，左邊為0 n 1 n 12n2CnCn CnC n CnC nC：C0 (C0)2 (C：)2(Cn)2,而右邊Cz：四、排列、組合綜合 1. I. 排列、組合問題幾大解題方法及題型: 直接法.排除法 捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關(guān)元素當(dāng)作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列 .它

7、主要用于解決“元素相鄰問題”，例如，一般地，n個不同元素排成一列，要求其中某m(m n)個元素必相鄰的排列有a： m 1 Am個.其中a： m 1是一個“整體排列”，而 Am則是“局部排列”.又例如有n個不同座位，A B兩個不能相鄰，則有排列法種數(shù)為 A2 An1 a2.有n件不同商品，若其中 A、B排在一起有a：1a2.有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有 a： a：1.注：區(qū)別在于是確定的座位，有 A2種；而的商品地位相同，是從 n件不 同商品任取的2個，有不確定性.插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”.例如：n個元素全

8、排列，其中m個元素互不相鄰，不同的排法種數(shù)為多少？a： m An m：(插空法)，當(dāng)n - m+信m,即m< U 時有意義.2占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排 其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后 再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時，可用此法 .解題方法是：先將n個元素進行全排列有An種，m（m n）個元素的全排列有A2種，由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即若 n個元n素排成一列，其中 m個元素次序一定，共有 a種排列方法.A

9、 m A m例如：n個元素全排列，其中 m個元素順序不變，共有多少種不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1） （m+2 - n = n ! / m!;解法二：（比例分配法）n m An / Am .平均法：若把kn個不同元素平均分成k組，每組n個，共有n(k 1)nAk例如：從1,2, 3, 4中任取2個元素將其平均分成2組有幾種分?有年3（平均分組就用不著管組與組之間的順序問題了）又例如將200名運動員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少？82（P 2）C2o/2!注意：分組與插空綜合.例如：n個元素全排列，其中某 m個元素互不相鄰且順序不變，共有多少種排法？有 An m

10、An mm/Am，當(dāng)n - m+1 m,即m立時2有意義.隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題.例如：Xi X2 X3 X4 12的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成 11個空隙中任選三個插入 3塊摸板，把球分成4個 組.每一I種方法所得球的數(shù)目依次為 Xi,X2,X3,X4顯然X1 x2 x3 x4 12 ,故（Xi,X2,X3,X4 ）XiX2X3 X4是方程的一組解.反之，方程的任何一組解（yi,y2,y3,y4）,對應(yīng)著惟一的一種在 12個球之間插入隔板的方式（如圖所示）故方程的解和插板的方法一一對應(yīng).即方程的解的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù)Ci；.注意

11、：若為非負數(shù)解的X個數(shù)，即用ai，a2，.an中ai等于x 1 ,有XiX2X3.XnAai1a21.an1 A,進而轉(zhuǎn)化為求a的正整數(shù)解的個數(shù)為C n 1 CA n .定位問題：從n個不同元素中每次取出 k個不同元素作排列規(guī)定某 r個元素都包含在內(nèi)，并且都排在某r個指定位置則有A：A； r .例如：從n個不同元素中，每次取出m個元素的排列，其中某個元素必須固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少種排法？固定在某一位置上：Ami;不在某一位置上：Am Ami或Anmi Am 1 Am 1 （一類是不取出特殊元素a,有Anm , 一類是取特殊元素a,有從m-1個位置取一個位置，然后再從n-1個元

12、素中取m-1,這與用插空法解決是一樣的）指定元素排列組合問題.i.從n個不同元素中每次取出 k個不同的元素作排列（或組合），規(guī)定某r個元素都包含在內(nèi)。先C后A策略，排列C：CkrrAk；組合C：Ck：.ii.從n個不同元素中每次取出 k個不同元素作排列（或組合），規(guī)定某r個元素都不包含在內(nèi)。先 C后A策略，排列CnX；組合Cnk.iii從n個不同元素中每次取出 k個不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個排列.八 Sc k s * k（或組合）都只包含某r個元素中的s個元素。先C后A策略，排列CrCn rAk ；Cs k s r C n r .II.排列組合常見解題策略：特殊元素優(yōu)先安排策略；合理分

13、類與準確分步策略；排列、組合混合問題先選后排的策略（處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列）；正難則反，等價轉(zhuǎn)化策略；相鄰問題插空處理策略；不相鄰問題插空處理策略；定序問題除法處理策略；分排問題直排處理的策略；“小集團”排列問題中先整體后局部的策略；構(gòu)造模型的策略 .2.組合問題中分組問題和分配問題.均勻不編號分組：將 n個不同元素分成不編號的 m組，假定其中r組元素個數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為A/A；（其中A為非均勻不編號分組中分法數(shù)）.如果再有K組均勻分組應(yīng)再除以Ak.例：10人分成三組，各組元素個數(shù)為2、4、4,其分法種數(shù)為Cijcic/A2 1575 . 若分成六組，各組

14、人數(shù)分別為1、1、2、2、2、2,其分法種數(shù)為Ci01Cg1C8C2C2C2/A2 A4 非均勻編號分組：n個不同元素分組，各組元素數(shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為A Am例：10人分成三組，各組人數(shù)分別為2、3、5,去參加不同的勞動，其安排方法為：C12C8C5A3 種.若從10人中選9人分成三組，人數(shù)分別為 2、3、4,參加不同的勞動，則安排 方法有C12C；C 5 A3種均勻編號分組：n個不同元素分成m組，其中r組元素個數(shù)相同且考慮各組間 的順序，其分法種數(shù)為A/Ar Am.例：10人分成三組，人數(shù)分別為2、4、4,參加三種不同勞動，分法種數(shù)為244C 10C 8c 4非均

15、勻不編號分組：將 n個不同元素分成不編號的 m組，每組元素數(shù)目均不 相同，且不考慮各組間順序，不管是否分盡，其分法種數(shù)為A Cml Cm2cmk八 J n Jn-min-(mi m2 . mk-i)Ci；C；C5 2520 若從例：10人分成三組，每組人數(shù)分別為2、3、5,其分法種數(shù)為 10人中選出6人分成三組，各組人數(shù)分別為1、2、3,其分法種數(shù)為Ci0c；c7 12600.五、二項式定理.1.二項式定理：(a b)n C0anb0 Cjan 1bC：anrbC；a0bn.展開式具有以下特點：項數(shù)：共有n 1項；012 r n. CC n,C n,C n, ,C n , ,C n;每一項的次

16、數(shù)是一樣的，即為 n次，展開式依a的降幕排列，b的升幕排列展開.二項展開式的通項.(a b)n展開式中的第 r 1 項為：Tr 1 Cnan rbr(0 r n,r Z).二項式系數(shù)的性質(zhì).在二項展開式中與首未兩項“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等；二項展開式的中間項二項式系數(shù) 最大.nI .當(dāng)n是偶數(shù)時，中間項是第 匚1項，它的二項式系數(shù)c,最大；2II .當(dāng)n是奇數(shù)時，中間項為兩項，即第 U 項和第11項，它們的二項式系 22n 1 n 1數(shù)C 2n C 2n最大.系數(shù)和:附：一般來說(ax by)n(a,b為常數(shù))在求系數(shù)最大的項或最小的項時均可直接根據(jù)性質(zhì)二求解.當(dāng)a 1或b 1時，一般

17、采用解不等式組Ak Ak1或Ak Ak1(Ak為丁的Ak Ak 1Ak Ak 1系數(shù)或系數(shù)的絕對值)的辦法來求解.如何來求(a b c)n展開式中含apbqcr的系數(shù)呢？其中p,q,r N,且p q r n把(a b c)n (a b) cn視為二項式，先找出含有 C的項cn(a b)nrC，另一方面在(a b)n r中含有bq的項為Cn qan r qbq Cn qapbq ,故在(a b c)n中含apbqcr的項為cncn qapbqcr.其系數(shù)為 C；Cnqn! (n r)! n! p q r C nCn pC r . r!(n r)! q!(n r q)! r! q! p!2.近似計算的處理方法 當(dāng)a的絕對值與1相比很小且n不大時，常用近似公式(1 a)n 1 na,因為這時展開式的后面部分C2a2 Cn3a3C"很小，可以忽略不計。類似地，有 (1