解析幾何專題含答案

1、1.【2021浙江,2】1的離心率是2.D.【2021課標(biāo)3,理10】橢圓C:2 2x y 7Ta b(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A, A,且以線段AA為直徑的圓與直線bxay 2ab 0相切，那么C的離心率為3.【2021高考浙江理數(shù)】橢圓C :二+y2=1(m>1)與雙曲線C:m-y2=1 n>0的焦點(diǎn)重合,8 , e2分別為C, G的離心率，那么A . m>n 且 e1e2>1B.m>n 且 e£2<1 C . n<n 且 8e2>1D . n<n且 e£2<14.【2021高考新課標(biāo)3理數(shù)】

2、O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C :2x.2ab(A) 3(C) f(D)5.【2021高考新課標(biāo)1,理14】一個(gè)圓經(jīng)過橢圓2x_2y 1的三個(gè)頂點(diǎn)，且41a b 0的左焦點(diǎn)，A,B分別為C的左，右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn),且PF x軸.過點(diǎn)A的直線與線段PF交于點(diǎn)M ,與y軸交于點(diǎn)E.假設(shè)直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，貝S C的離心率為圓心在x軸的正半軸上，那么該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為6.【2021高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓a2b21(a> b> 0)的右焦點(diǎn)，直線y -與橢圓交于B,C兩點(diǎn)，且2BFC 90°,那么該橢圓的離心率是2 27.【2021課標(biāo)1,理20】橢圓

3、C:篤 與=1( a>b>0),四點(diǎn)P( 1,1)， a bP2 (0,1 ), R ( - 1,弓3), P4 (1,弓)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.(1) 求C的方程；(2) 設(shè)直線I不經(jīng)過R點(diǎn)且與C相交于A, B兩點(diǎn).假設(shè)直線PA與直線RB 的斜率的和為-1，證明：l過定點(diǎn).28. 【2021課標(biāo)II ,理】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:冷y2 1上，過UJU _UUJUM作X軸的垂線，垂足為N,點(diǎn)P滿足NP .2NM。(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；設(shè)點(diǎn)Q在直線x 3上，且OP PQ 1。證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ勺直線l 過C的左焦點(diǎn)F。 2 29. 【2021山東，理21】在平面直角

4、坐標(biāo)系xOy中，橢圓E :與每1 a b 0a b的離心率為2，焦距為.2(I)求橢圓E的方程；(H)如圖，動(dòng)直線：y kx f交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，C是橢圓E上一點(diǎn)，直 線OC的斜率為k2，且磯遼,M是線段OC延長線上一點(diǎn)，且MC : AB 2:3 ,4eM的半徑為MC , OS,OT是eM的兩條切線，切點(diǎn)分別為S,T .求SOT的最大 值，并求取得最大值時(shí)直線的斜率2 210. 12021天津，理19】設(shè)橢圓冷 爲(wèi)1(a b 0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A , a b離心率為2.A是拋物線y22px(p 0)的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離(I )求橢圓的方程和拋物線的方程;(II)設(shè)上兩點(diǎn)P

5、，Q關(guān)于軸對稱，直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B( B異于點(diǎn)A)，直線BQ與軸相交于點(diǎn)D .假設(shè) APD的面積為遷，求直線AP的方程.22 211.【2021江蘇，17】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E:篤 爲(wèi)1(a b 0)a b的左、右焦點(diǎn)分別為F1, F2,離心率為-,兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)P在2橢圓E上，且位于第一象限，過點(diǎn)h作直線PF1的垂線，過點(diǎn)F2作直線PF2的垂線.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;E上,求點(diǎn)P的坐標(biāo).y2 2x 15 0 的圓12.【2021高考新課標(biāo)1卷】(本小題總分值12分)設(shè)圓x2 心為A直線I過點(diǎn)B (1,0 )且與x軸不重合，1交圓A于C,D兩點(diǎn)，過B作AC

6、的平行線交AD于點(diǎn)E(I )證明|EA EB為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；(II )設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C,直線I交C于MN兩點(diǎn)，過B且與I垂直的直 線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPN面積的取值范圍.13.【2021高考山東理數(shù)】(本小題總分值14分)22Z3平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:篤占1 a> b>0 ?的離心率是一，拋物線a b2E: x2 2y的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn).(I )求橢圓C的方程；(II )設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線與C交與不 同的兩點(diǎn)A, B,線段AB的中點(diǎn)為D,直線0D與過P且垂直于x軸的直線交 于點(diǎn)M(i )求證：點(diǎn)M在定直線

7、上；(ii )直線與y軸交于點(diǎn)G,記厶PFG的面積為S , pdm的面積為S，求旦S2 的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(I) x2 4y2 1; (H) (i )見解析；(ii)S的最大值為4，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(丄,丄)2 4【解析】試題分析：(I)根據(jù)橢圓的離心率和焦點(diǎn)求方程；(H) ( i )由點(diǎn)P的坐標(biāo) 和斜率設(shè)出直線I的方程和拋物線聯(lián)立，進(jìn)而判斷點(diǎn) M在定直線上；(ii ) 分別列出0 , $面積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)求最值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).試題解析：2(H) (i )設(shè) P(m, )(m0)，由 x2 2y 可得 y/ x ,2所以直線的斜率為m ,2因此直線的方程為y寧

8、mx m，即ymx設(shè) AXi，yi,BX2，y2，DXo，yo，聯(lián)立方程 ymxx24y22m21得(4m2 1)x2 4m'x m4 1 0，得0 m 25且x1X234m24m因此X。XiX222m34m21 '將其代入y mx2m2(4m21)因?yàn)闃I(yè)xo丄4m，所以直線0D方程為y1X.4m聯(lián)立方程y 4mx m得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM即點(diǎn)M在定直線y(ii )由(i知直線方程為mx2于，所以Go,2mr)，A又 pm歲 f0,2,d2m34m21 2(4m21)所以 S 1|GF|m ；m(m 1)，2 21 m(2m 1)S2-1 PM | | m X0 |2 8(4m2

9、 1)所以J2(4m2 1)(m2 1)(2m21)2令 t 2m21，那么乞2t 1t。-12,S2t2t2t當(dāng)1 1，即t 2時(shí)，§取得最大值？，此時(shí)m 2，滿足 0 , t 2S242 ''所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為呂，因此詈的最大值為專，此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為今? 考點(diǎn)：1.橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).14.【2021江蘇高考，18】本小題總分值16分1a b 0的離心率為子，2 2 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓篤 篤 a b且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線I的距離為3.1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2過F的直線與橢圓交于 AB

10、兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線I和AB于點(diǎn)P, C,假設(shè)PC=2AB求直線AB的方程.2【答案】1亍y2 1 2 y x 1或y x 1 .【解析】試題分析1求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需列兩個(gè)獨(dú)立條件即可：一是離心率為 鼻,2二是右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3,解方程組即得2因?yàn)橹本€AB過F,所以求直線AB的方程就是確定其斜率，此題關(guān)鍵就是根據(jù)PC=2ABJ出關(guān)于 斜率的等量關(guān)系，這有一定運(yùn)算量.首先利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，解出AB兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求出 AB長，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公 式求出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩直線交點(diǎn)求出 P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求 出PC長，利用PC=2AB軍

11、出直線AB斜率，寫出直線AB方程.(2)當(dāng)X軸時(shí),2，又C 3，不合題意.與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為y k x 1 ,xi,yi ,X2,y2 ,的方程代入橢圓方程，得1 2k2 X2 4k2X 2 k2 1X1,2，c的坐標(biāo)為慫，雋且2X2 X1y2y12. 1 k2 X2X1222 1 k21 2k2假設(shè)k 0，那么線段的垂直平分線為y軸,與左準(zhǔn)線平行,不合題意.從而k 0，故直線C的方程為y 1k2 k212k2X2k 1 2k2'那么點(diǎn)的坐標(biāo)為2'2* 2，從而3k2 1 .1 k2k 1 2k2因?yàn)镃 2 ，所以2 3k2 1 .1 k22k 1 2k1 k2口，解

12、得k此時(shí)直線 方程為y X 1竺，其中O為原點(diǎn)，為橢圓的離心率.|OF |OA| FA |(I)求橢圓的方程；(H)設(shè)過點(diǎn)A的直線與橢圓交于點(diǎn)B ( B不在x軸上)，垂直于的直或y x【考點(diǎn)定位】橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系15.【2021高考天津理數(shù)】(本小題總分值14分)2 2設(shè)橢圓篤J 1 ( a 3 )的右焦點(diǎn)為F ,右頂點(diǎn)為A , a 3線與交于點(diǎn)M ,與y軸交于點(diǎn)H，假設(shè)BF HF ,且 MOA MAO , 求直線的斜率的取值范圍.2【答案】(I) -41 (H)(,申屮44【解析】試題分析：(I)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需確定量,1|OT|i|Oa|it，得MOA些 再利用a2 ca(

13、a c)b2 3,可解得c2a24(H)先化簡條件:MAO |MA|MO|即M再OA中垂線上,Xm1再利用直線與橢圓位置關(guān)系，聯(lián)立方程組求B；利用兩直線方程組求H,最后根據(jù)BF HF ,由(I)知,F(1,0)，設(shè) H(0h)，有 FH ( 1皿),BF9 4k212k( -24k 3 4k3).由試題解析：("解：設(shè) FC。)，由 |Of| |Oa| |FA|，即 2 寸 a；c)，可列等量關(guān)系解出直線斜率取值范圍得 a2 c2 3c2，又 a2 c2b2 3，所以c2 1，因此a24，所以橢圓的方程為(2) (H)解：設(shè)直線的斜率為 k ( k 0),那么直線的方程為y k(x

14、2).設(shè)2 2x y 1B(xB,yB)，由方程組 43 1，消去 y，整理得(4k2 3)x2 16k2x 16k2 12 0.y k(x 2)12k4k2 3解得x 2 '或x X '由題意得xB汩'從而yB9 4k212k.因此直線MH 2BF HF '得BF0'所以徑洗0 '解得yH2的方程為y卜管'_1丄9-垃初訂心設(shè)茁廠由萬程組，尸飛卞+pT消去y #解得利三囂:;.2 aawo中, y=k(x-2)£MOA ZMA A£X N MO 3即(心-2)。此宜遠(yuǎn)*此'優(yōu)簡得工1,即鱸12(F+1)所以，

15、直線的斜率的取值范圍為(，空上，).44考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程21a b 0 的x216.【2021高考山東，理20】平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓C :-aJ3離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是Fi,F2，以Fl為圓心以3為半徑的圓與以F2為圓心以12為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓 C上.(I )求橢圓C的方程;2 2(H)設(shè)橢圓E: 1, P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線y kx m4a 4b交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.的值;(ii )求ABQ面積的最大值.2【答案】(I ) - y2 1; (II ) ( i )2 ; (ii ) 6.3 .4【解析】試題分析：

16、(I )根據(jù)橢圓的定義與幾何性質(zhì)列方程組確定 a,b的值，從而得到橢圓的方程；II i設(shè)P Xo,yo,JOQ，由題意知Qxo,yo,然后利用這兩點(diǎn)分別在兩上橢圓上確定的值；ii 設(shè)A Xi,% ,B X2,y2 ,利結(jié)合韋達(dá)定理求出弦長AB，選將OAB的面積表示成關(guān)y kx m用方程組x2y216 T于k,m的表達(dá)式S 1|m|1X2 X2216k2 4L2m 21 4k22 2 / m m4 221 4k21 4k2,然后，OAB的面積的最大值，并結(jié)合的結(jié)果求出繆面積的最大值.試題解析：I由題意知2a4，那么 a 2、3 22，ac2b2可得b所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 1."由

17、I 知橢圓E的方程為話1,(i )設(shè) P又162Xo2y。4OQOP，由題意知QX0,y。因?yàn)?,即2 2匚i1 ,所以2，即xo,yo ，2 y42X04yo1,所以x.X24.16k2 4 m21 4k2因?yàn)橹本€ykx m與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為 0,m所以O(shè)AB的面積s 22j16k24 m2 mm x2x21 4k2|oq |op2令忌t，利用一元二次方程根的判別式確定的范圍'從而求出2x2 8kmx 4m2令1 弋V t ,將y kx m代入橢圓C的方程可得1 4k2由 0，可得m21 4k2由可知0 t 1因此 S 2 ； 4 t t 2 , t2 4t ,故 S 2.3當(dāng)且僅當(dāng)t

18、 1，即m2 1 4k2時(shí)取得最大值2/3由i 知，ABQ面積為3S ,所以ABQ面積的最大值為6衛(wèi).考電定麗仁橢酸的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何熾質(zhì),2.宜線與桶國位割關(guān)系綜合問題$云側(cè)的ftiiqfi.【害師點(diǎn)購】本趣考查了橢圓的tt念掠準(zhǔn)方程與幾何性就5晝線與棉圓的位囂關(guān)贏，蕙在考査學(xué)生理鐐 力、分析判斷能力以及綜合申聞所學(xué)知識(shí)解決問題育力和昭的運(yùn)n求繼能力，在得到三角形的面識(shí)的衰 達(dá)式后#龍習(xí)利用換元的萬璉，was中的跚背星成了売全解洪冋題的關(guān)擁2 217.【2021高考陜西，理20】本小題總分值12分橢圓：$ 爲(wèi)1a ba b 0的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過兩點(diǎn)c,0，0,b的直線的距離為1c -I求橢

19、圓的離心率；II 如圖，是圓 ：x 22 y 12 5的一條直徑，假設(shè)橢圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，求橢圓的方程.【答案】I;(II )2 20仏1.2123【解析】試題分析：I先寫過點(diǎn)c,0 ,0,b的直線方程，再計(jì)算原點(diǎn)到該直線的距離，進(jìn)而可得橢圓 的離心率；II 先由I 知橢圓 的方程，設(shè)的方程，聯(lián)立y2 k X2 2 21，消去y，可得X1 X2和W2的值，進(jìn)而可得，再利x2 4y2 4b2用| |后可得b2的值，進(jìn)而可得橢圓的方程.那么原點(diǎn)到直線的距離dbe be.b2 c2a由d=2e，得a=2b = 2e，解得離心率(II)解法一：由(I )知，橢圓 的方程為x2+4y2=4b2. 依題意，圓

20、心2,1是線段 的中點(diǎn)，且|AB|=、10.、21+4k2易知，不與軸垂直，設(shè)其直線方程為y = k(x + 2)+1，代入(1)得設(shè) A(x1,y1), B(x2, y2),那么為 +x? = -=-4(2k+1) -4b1 +4k由"2=-4，得PM解得k=從而必=8- 2b2.于是 |AB| Ji I2|XiX2 |2x1 X24x1x210(b22).由 |AB |= .10，得,10(b2 - 2) = .，解得 b2 = 3.2 2故橢圓的方程為-+=1.123解法二：由(I )知，橢圓的方程為x2+4y2=4b2.因此直線方程為y = f(x + 2)+1，代入得x2

21、+4x +8- 2b2 = 0.所以 x, + x2 = - 4， x1x2 =8- 2b2 .,10(b22).于曰12、5廠于疋 | AB | | 1 一 | x1 x2 I x1 x24x1x2由 |AB|=-一 10，得.10(b2- 2) ，解得 b2 = 3.2 2故橢圓的方程為-+=1.123考點(diǎn)：1、直線方程；2、點(diǎn)到直線的距離公式；3、橢圓的簡單幾何性質(zhì)；4、橢圓的方程；5、圓的方程；6、直線與圓的位置關(guān)系；7、直線與圓錐曲線的位置.218.【2021高考浙江理數(shù)】(此題總分值15分)如圖，設(shè)橢圓篤y2 1 (a> 1). a(I)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(

22、用a、k表示)；(II )假設(shè)任意以點(diǎn) A( 0,1 )為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.【答案】(I)嗇r;(II) 0【解析】2 試題分析：(I )先聯(lián)立y kX 1和篤 a1，可得X1，X2，再利用弦長公式可得直線y kx 1被橢圓截得的線段長;(II)先假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè),再利用對稱性及條件可得任意以點(diǎn)0,1為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公kx共點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍，進(jìn)而可得橢圓離心率的取值范圍.y試題解析:(I)設(shè)直線y kX 1被橢圓截得的線段為，由 蘭2 aa2k22a2 kX 0 ,X1X22a2 k1 a2k2因此1 a2k2(II )假設(shè)圓與橢圓的公

23、共點(diǎn)有4個(gè)，由對稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)，Q，滿足Q .記直線 ，Q的斜率分別為k1 , k2，且k1 , k2 0 , k1 k2 .由I 知，2a2 k| J k；- 2a2|k2|Jl k；1 a2ki2， Q 1 a2k；，故因此2 1 丄 11 a； a； 2，k1k2因?yàn)槭疥P(guān)于k1，k2的方程有解的充要條件是1 a2 a2 21,所以 a . 2 .因此，任意以點(diǎn)0,1為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為 1 a 2 ,由e c1得，所求離心率的取值范圍為0 e丄.a a2考點(diǎn)：1、弦長；2、圓與橢圓的位置關(guān)系；3、橢圓的離心率.19.【2021高考新課標(biāo)2,理

24、20】此題總分值12分橢圓C:9x2 y2 m2m 0,直線不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，與C有兩 個(gè)交點(diǎn)A , B，線段AB的中點(diǎn)為M .I 證明：直線OM的斜率與的斜率的乘積為定值；H假設(shè)過點(diǎn)m,m，延長線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行3四邊形？假設(shè)能，求此時(shí)的斜率，假設(shè)不能，說明理由.將 y kx b 代入9x器逬.解得K 4 * * J，k2 4 7 .因?yàn)閗i 0，ki 3，i 1，所以當(dāng)?shù)?y2 m2 得(k2 9)x2 2kbx b2 m2 0, 故XiX2kbk"9，yM g b汽.于是直線OM的斜率k0MyMxM-，即koM k 9 .所以k直線OM的斜

25、率與的斜率的乘積為定值.H四邊形OAPB能為平行四邊形.因?yàn)橹本€過點(diǎn)m,m，所以不過原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k 0 ,3k 3.9由I 得OM的方程為y - x .設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為Xp .由y k X， 得k_2229x y m ,b 22k m29k 81,即Xpkm3. k2 9將點(diǎn)m,m的坐標(biāo)代入直線的方程得m(3 k)因此Xm.四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段ab與線段OP互相平分，即Xp 2xm于是km3. k2 9達(dá)定理求弦AB的中點(diǎn)，并尋找兩條直線斜率關(guān)系；H根據(jù)I 中結(jié)論， 設(shè)直線0M方程并與橢圓方程聯(lián)立，求得M坐標(biāo)，利用xp 2xm以及直線過點(diǎn)m, m列方程求的

26、值.32 220. 2021高考新課標(biāo)2理數(shù)】橢圓E:竺 ' 1的焦點(diǎn)在軸上，A是E的t 3左頂點(diǎn)，斜率為kk 0的直線交E于A,M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA NA .I當(dāng) t 4,| AM | AN | 時(shí)，求 AMN 的面積；H當(dāng)2AM| AN時(shí)，求k的取值范圍.答案】I 144 ； H32,2 .49解析】試題井析：I 先求直線伽的萬程，禹求煌M刪I坐標(biāo)，最話求的面積* "設(shè)財(cái)侶將直線血的方程與桶團(tuán)方程組成方程劉 消古八用k表示和 從而表示|叢匠鰹用上萩示|心從再 2AM = AN 求歆2 2試題解析：I 設(shè)M x1,y1 ,那么由題意知yi 0，當(dāng)t 4時(shí)，E的方程為1

27、,43A 2,0 .由及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為.因此直線AM的方程為4y x 2.將x y 2代入I 1得7y2 12y 0.解得y 0或y 12，所以 12 .4377因此AMN的面積2丄12 12 144.277492 2將直線AM的方程y kx代入午七1得3 tk" 2加x W 3t 0.由X1t 工得X1丄注3 tk23 tk2Xi,故AMX1.*1 k2由題設(shè)，直線AN的方程為y1 -X t，故同理可得ANk2 k23.6k t 1 k23k2 t，由2 AM即 k3 2 t3k 2k 1 .當(dāng)k 3 2時(shí)上式不成立,3等價(jià)于-3k2 k 2k 2 k2 1k3

28、 2即陽0.由此得k 20 或 k 203， 或3k 20k 20，解得3 22.因此k的取值范圍是3 2,2 .考點(diǎn)：橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系21.【2021高考四川，理20】如圖，橢圓E：2 2xy一2 + 2 1(a ab0的離心率是子，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行與x軸時(shí)，直過點(diǎn)P 0,1 的動(dòng)直線與橢圓相交于A,線被橢圓E截得的線段長為2.1求橢圓E的方程;在平面直角坐標(biāo)系XOy中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q使得館儲(chǔ) 恒成立？假設(shè)存在，求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由.【答案】1-1 ；2存在，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為Q0,2.42【解析】1由，點(diǎn)'、2,1在橢圓E上.2a因此，a

29、2cab2 c2,T，解得a 2,b所以橢圓的方程為所以，假設(shè)存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件，那么Q點(diǎn)的坐標(biāo)只可能為Q(0,2).下面證明：對任意的直線，均有|QB| |PB|當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為y kx 1，A、B的坐標(biāo)分別為(xi, %),(X2, y2).2 2x y 聯(lián)立J 7y kx1 得(2 k2 1)x214kx 20 .其判別式16k2 8(2 k2 1)所以,XiX24k齊必x222k2 1x-ix2因此-1 二 2 2k.x1 x2x1x2易知，點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為B ( X2, y2).又kQAy1 2 k

30、丄 *qbx1x1心k丄X2X2丄X1所以kQA kQB，即Q,A,B三點(diǎn)共線.所以LQA 1QAL 血 疋A|QB| |QB | |X2| |PB|'故存在與P不同的定點(diǎn)Q(0,2)'使得器22.【2021年高考北京理數(shù)】本小題14分橢圓C: 4盜1 a b 0的離心率為仝,Aa,0 , B0,b, 00,0, a b2OAB的面積為1.1求橢圓C的方程；2設(shè)P的橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證：AN| BM |為定值.2【答案】1- y2 1 ； 2詳見解析.4【解析】試題分析：1根據(jù)離心率為仝，即£ 仝，OAB的面積為1,即-ab

31、 1，2a 22橢圓中a2 b2 c2列方程求解；2根據(jù)條件分別求出AN|，|BM |的值, 求其乘積為定值.2所以橢圓C的方程為“ 1.(2)由(I)知，A(2,0),B(0,1), 設(shè) P(x°, y°),那么 x0 4y0 4.當(dāng)X。0時(shí)，直線PA的方程為y X0V 2.令x 0，得yM2y。3.從而BM1 yM1 2y0X0 2直線PB的方程為y X 1.令y o，得XnXo .從而ANyo 12 XNXoyo 1所以AN BM2 yo°i 12yoXo 24xoyo 4xo 8yo 8x°yo xo 2yo 2x； 4y； 4x°yo

32、 4xo 8y°4Xoyo Xo 2yo 2當(dāng) xo o 時(shí)，yo1 , BM 2, AN 2,所以AN BM 4 .綜上，AN| BM |為定值.考點(diǎn)：1.橢圓方程及其性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系.23.【2021年高考四川理數(shù)】(本小題總分值13分)2 2橢圓E：令芻1(a b o)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形a b的三個(gè)頂點(diǎn)，直線l：y x 3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.(I)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；(H)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l '平行于OT與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A B, 且與直線l交于點(diǎn)P.證明：存在常數(shù)，使得|pt|2 |pa |pb ,并求 的值

33、.【答案】(I) -1,點(diǎn)T坐標(biāo)為(2,1 ); (H)-.635【解析】試題分析：(I)由橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂 點(diǎn)可得a邁c,從而可得a ,2b，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中可減少一個(gè)參數(shù)，再利 用直線和橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，聯(lián)立方程，方程有兩個(gè)相等實(shí)根，解出b的 值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(H)首先設(shè)出直線l'方程為y fx m，由兩直線方程求出點(diǎn)P坐標(biāo),得PT同理PB ,同時(shí)設(shè)交點(diǎn)A(Xi,yJ, BXy),把l'方程與橢圓方程聯(lián)立后消去y得X的二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，得X1 X2,X1X2，再計(jì)算PA PB，比擬可得試題解析：(I)由,a2 a2 (

34、2c)2，即 a , 2c，所以 a 2b，那么橢圓 E2 的方程為話2* 1.x2由方程組2b2y2y 1b2，得 3x2 12x (18 2b2) 0.x 3,方程的判別式為=24(b2 3)，由=0,得b2=3，此方程的解為x=2，所以橢圓E的方程為點(diǎn)T坐標(biāo)為(2,1).2 2x y由方程組631 y x21,可得 3x2 4mx (4m2 12)0.m,方程的判別式為= 16(9 2m2)，由>0，解得322由得X14mX2=3 ,X1X24m2123所以PA(22m 、2 “ 2m 、223m x1)(1 2" y1)-522m3Xi，2m亍X2，52m2mPB4(2

35、xj(2X2)33所以PA10 2 m .9PA PB .故存在常數(shù)4，使得PT2b2 1 a b 0 的左、考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì) 24.【2021高考重慶，理21】如題21圖, 右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且PQ PF11假設(shè)可2 V2JPF2 2近，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2假設(shè)|PF |PQ,求橢圓的離心率e.2【答案】1-+y2=1 ； 2、6 ,34【解析】試題解析：1此題中橢圓上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離，因此由橢圓定義 可得長軸長，即參數(shù)的值，而由PQ PF1，應(yīng)用勾股定理可得焦距，即的值， 因此方程易得；2要求橢圓的離心率，就是要找到關(guān)于a,b,c的一

36、個(gè)等式，題中涉及到焦點(diǎn)距離，因此我們?nèi)匀粦?yīng)用橢圓定義，設(shè)|PF1 m，那么PF2 2a m ，QF2 PQ PF2 m 2a m 2m 2a ， 于 是 有QF1 2a QF2 4a 2m，這樣在 Rt PQR 中求得 m 22 冋 a，在 Rt PF1F2 中可 建立關(guān)于a,c的等式，從而求得離心率.1由橢圓的定義，2a=|PF1|+|PF2 |=2+ ,2+2- -,2=4,故 a=2.設(shè)橢圓的半焦距為C，由PF1 PF?，因此2c =| FJ=21= |PF1 |2 +|PF|2 = . (2 2) +(2- 2) =2乜,即 c二 G.從而 b = ' a2 - c2 = 12

37、故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為十|PF| = |PQ| = |P£| + |QF2|，有 |Qh|=4a-2|PFJ又由 PF PF2，|PF|=|PQ|知 |QF1|=V-|PF|，因此(2+屈)|卩行 |=4a于是(2+ 2)(a解得e+、a2 - 2b2 )= 4a.21 24- J 6 3.解法二：如圖(21)圖由橢圓的定義，|PR |+|PF2|=2a,|QF1 | + |QF2 |=2a ,從而由|PF | = | PQ| = |PE| + |QF2|，有 |Qh|=4a - 2|PFJ又由 PF PFF , |PFI=|PQ| 知 |QF1|=72|PFi|，因此 4a - 2

38、| PF = J2 |PF I, | PF |=2(2-運(yùn))a,從而 | PFF | =2a-| PF |= 2a - (2-T2)a = 22 - 1)a由 PF PF2,知|PF1 |2+|PF2 |2=|PF2 |2=(2c)2=4c2，因此【考點(diǎn)定位】考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，直線和橢圓相交問題，考查運(yùn)算求解能力.225.【2021高考安徽，理20】設(shè)橢圓E的方程為篤a2古1a b 0，點(diǎn)Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為a ,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)為0,b，點(diǎn)M在線段AB上，滿足BM52 MA，直線。啲斜率為舟(I )求E的離心率e;(II )設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為0, b , N為線段AC的中點(diǎn)

39、，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為E 的方程.【答案】(I)口 ；52(II )-452y-1.9【解析】(I)由題設(shè)條件知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2a,1b)，又koM ，從而 ,33102a 10進(jìn)而得 a、5b,cb2 2b，故 e -.a 5(II )由題設(shè)條件和(I )的計(jì)算結(jié)果可得，直線AB的方程為x y 1，點(diǎn)V5b bN的坐標(biāo)為(b, 1b)，設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)S的坐標(biāo)為(xi,7)，2 2 2那么線段NS的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為(=b生 丄匕7).又點(diǎn)T在直線AB上，且42445b x1b7bb 4 _ 2441亦bbkNS kAB 1,從而有 7 1解得b 3，所以a 3、5，故

40、橢圓b5b222 Ex2 2E的方程為1.4592.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；3點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于直線對稱【考點(diǎn)定位】1.橢圓的離心率；的應(yīng)用2 226.【2021高考福建，理18】橢圓E:篤+占= 1(a>b>0)過點(diǎn)(0八2，且 a b離心率為.2(I )求橢圓E的方程；(H )設(shè)直線x=my- 1 (m?R)交橢圓E于A, B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G(-9,0)與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.4【答案】(I)*+止=1 ； ( II ) G (- -,0)在以AB為直徑的圓外.424【解析】解法一：(I)由得i?99?1i a = 2?巾=、2 , ? _ ?c= , 2=2,=二，解得2:

41、b2 +c2.2 2所以橢圓E的方程為-+=1 .422 2-(m +1)(yi+y2)-4yiy2=(m2+1)(y02-y1y2),2故 |GH|2-號(hào)=|my0+(m2+1)y1y2+16 2(m2+2)5m22 23(m +i)+m=i7m+2>om2 + 21616(m2+2)所以|GH|罟，故G(- 9,0)在以AB為直徑的圓外.解法二：(I )同解法ujur9uju9(“)設(shè)點(diǎn) A(Xiyi)，B(X2，y2)，'那么 GA = (Xl+4，yi)，GB=(X2+4，y2).i x = my-1由：x2 v2得(m2 + 2)y2- 2my- 3 = 0,所以 y1 +y2= Fyy?二 廠，?+=1m +2m +2?42iuur uuu9955從而 GAgGB = (x1 +7)(X2+：) + %丫2 =(口力 + 二)(口丫2+二)+ %丫24444一一 uuir uuuuuir uuu 一八 一一，厶、，斗所以cos狁G代GB >0,又GA,GB不共線，所以DAGB為銳角.故點(diǎn)G(- 9,0)