導(dǎo)數(shù)解題技巧

1、導(dǎo)數(shù)題的解題技巧【命題趨向】 導(dǎo)數(shù)命題趨勢(shì)：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：導(dǎo)數(shù)一函數(shù)單調(diào)性一函數(shù)極值一函數(shù)最值一導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【考點(diǎn)透視】1 了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景(如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等)；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的 定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念.2 熟記基本導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).3 理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件(導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn) 兩側(cè)異號(hào))；會(huì)求一些實(shí)際問題(一般指單峰函數(shù))的最大值和最小值.【例題解析】考點(diǎn)1 導(dǎo)數(shù)的概念 對(duì)概念的要求：了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背

2、景，掌握導(dǎo)數(shù)在一點(diǎn)處的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念 例1 ( 2006年遼寧卷)與方程y = e2x- 2ex+1(x30)的曲線關(guān)于y = x對(duì)稱的曲線的方程為A. y =ln(1 、.：x)B. y =ln(1 ；x) C. y =_ln(1/x) D. y = _ln(1<；'x)考查目的本題考查了方程和函數(shù)的關(guān)系以及反函數(shù)的求解.同時(shí)還考查了轉(zhuǎn)化能力 解答過程y 二e2x-2ex 1(x _0) = (ex -1)2 =yx_0,. ex _1,即：ex =1 . y = x =ln(1 亠.y)，所以 f 丄(x) =ln(1 亠.x).故選A.例2. ( 2

3、006年湖南卷)設(shè)函數(shù)f (x)=,集合M =xf(X)<0, P=x|f'(x) 0，若M二P,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是x- 1( )A. (- g ,1)B.(0,1)C.(1,+ g) D. 1,+ g)考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和集合等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力 解答過程由 : 0,當(dāng) a>1 時(shí),1 ：x ：a;當(dāng) a<1 時(shí),a ：x ：1.X 1x -1 - x aa -1-(x_2_(x-訐綜上可得MlP時(shí)，.a1. 考點(diǎn)2 曲線的切線(1) 關(guān)于曲線在某一點(diǎn)的切線求曲線y=f(x)在某一點(diǎn)P (x,y)的切線，即求出函數(shù) y=f(x)在P點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該

4、點(diǎn)的切線的斜率(2) 關(guān)于兩曲線的公切線若一直線同時(shí)與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線典型例題例3. （2004年重慶卷）已知曲線 y=1x3+4，則過點(diǎn)P （ 2, 4）的切線方程是33思路啟迪：求導(dǎo)來求得 切線斜率.解答過程：y' =x2,當(dāng)x=2時(shí)，y=4. 切線的斜率為4.切線的方程為 y 4=4 （x 2）,答案：4x y 4=0.例4. （2006年安徽卷）若曲線A . 4x _y -3 =0C . 4x y 亠3 =0即 y=4x 4.y =x4的一條切線I與直線x：-4y _8 =0垂直，則I的方程為（ ）B . x 亠4 y _5 = 0D. x 4y 3 =0

5、考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力解答過程與直線x4y _8 =0垂直的直線I為4x _y=0，即y =x4在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為 4, 1）處導(dǎo)數(shù)為4，此點(diǎn)的切線為4x_y_3=0.故選A.而 y：=4x3，所以 y =x4 在(1 ,例5.（ 2006年重慶卷）過坐標(biāo)原點(diǎn)且與x2+y2 -4x+2y+5 =0相切的直線的方程為（）211C.y=-3x 或 y=_ 丄 x D. y=3x 或 y= x33考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和圓的方程、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力11A.y=-3x 或 y=_!_x B. y=-3x 或 y=-_!_x33解答過程解法1:設(shè)切線

6、的方程為y =kx,. kx -y =0.又 x -2 亠y 12 =2，.圓心為 2, -1 .2k 1521二 2 ：=占，'"3k +8k 3 =0.二 k =3, k =-3.1 亠 .y x,或y - -3x.3故選A.解法2:由解法1知切點(diǎn)坐標(biāo)為（丄_2）2，2，2,由2)2+(y+12=即=0,ki = yx例6已知兩拋物線2x2x,C2 : y =-x2 a , a取何值時(shí)C1,C2有且只有一條公切線,求出此時(shí)公切線的方程-2(x2)2 y 1 yx/ x -2-yx.y 1(-,-)2 2c1.y = -3x, y x.3故選A.思路啟迪：先對(duì)C1 : y

7、=x2亠2x,C2 ： y - -x2亠a求導(dǎo)數(shù).解答過程：函數(shù)y =x2 2x的導(dǎo)數(shù)為y' =2x 2，曲線0在點(diǎn)P（x1,x12 2x1）處的切線方程為y-（x,，2x1） = 2（捲 2）（x-xj，即 y =2（X1 1）x X12學(xué)習(xí)必備歡迎下載曲線C1在點(diǎn)Q(x2,丄22亠a)的切線方程是y (丄2 ：；a) - _2x2(x x2)即y 二-2x2x x22 a若直線l是過點(diǎn)P點(diǎn)和Q點(diǎn)的公切線，則式和式都是I的方程，故得x1 d = 2 x12 =x22 1，消去 x2 得方程，2x1-2x1 T 亠a =0若厶=4 _4 2(1 a) =0，即a =-!時(shí)，解得xi =

8、-!，此時(shí)點(diǎn)P、Q重合._2_2二當(dāng)時(shí)a = - 1, Ci和C2有且只有一條公切線，由式得公切線方程為2考點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中學(xué)階段所涉及的初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要而有力的工具，特別是對(duì)于 函數(shù)的單調(diào)性，以“導(dǎo)數(shù)”為工具，能對(duì)其進(jìn)行全面的分析， 為我們解決求函數(shù)的極值、 最值提供了一種簡(jiǎn)明易行的方法,.復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)高度重視以下進(jìn)而與不等式的證明，討論方程解的情況等問題結(jié)合起來，極大地豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法 問題:1.求函數(shù)的解析式；2.求函數(shù)的值域；3.解決單調(diào)性問題；4求函數(shù)的極值(最值) 5構(gòu)造函數(shù)證明不等式典型例題例7.( 2006年天津卷)函數(shù)f(x)的定

9、義域?yàn)殚_區(qū)間 區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn)()(a,b)，導(dǎo)函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f (x)在開A . 1個(gè)的應(yīng)用能力f (x)的極小值為-1 ,B . 2個(gè)C. 3個(gè)D .4個(gè)考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)圖象性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)解答過程由圖象可見，在區(qū)間(a,0)內(nèi)的圖象上有一個(gè)極小值點(diǎn). 故選A.例8.設(shè)y = f(x)為三次函數(shù)，且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x =丄時(shí),2求出函數(shù)f(x)的解析式.思路啟迪：先設(shè)f(x) =ax3亠bx2亠ex亠d(a =0)，再利用圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱確定系數(shù)解答過程：設(shè)f (x) =ax3亠bx2亠ex亠d(a =0)，因?yàn)槠鋱D象關(guān)于

10、原點(diǎn)對(duì)稱，即f (x)=-f (x)，得ax3 bx2 ex d =ax3 -bx2 cx-d,b =0, d =0,即f(x)二ax3 ex由 f'(x) =3ax2 亠e,1311e依題意，f'(_) = _a ：c =0， f () = a- -1 ,2 4282解之，得a = 4 , e = £ 學(xué)習(xí)必備歡迎下載故所求函數(shù)的解析式為f(x) =4x3 _3x.例9.函數(shù)y =j2x +4 _Jx 43的值域是 .思路啟迪：求函數(shù)的值域，是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質(zhì)求解，也可以利用函數(shù)的單調(diào)性求出最大、最小值。此例的形式結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，

11、采用導(dǎo)數(shù)法求解較為容易。 解答過程：由嚴(yán)也蘭0得，心丄，即函數(shù)的定義域?yàn)開2,g.'占+3藝0,112jx +3 _j2x +4y、2x +4 2'x +32P2x +4 瑜 x +3又 2 . x 3：2x 4 二2 Jx +3 +J2x +4.當(dāng) x 2時(shí)，y' .0,2x 8二函數(shù) y =j2x +4 TT3 在(-2,切上是增函數(shù)，而 f(/)=_1，二 y = j2x+4 _Jx+3 的值域是_1,*c).例10.( 2006年天津卷)已知函數(shù)f x；=4x3 _3x2cosr 空cos-，其中Rd為參數(shù)，且0_ 2二. 16(1) 當(dāng)時(shí)cosv - 0，判斷

12、函數(shù)f x是否有極值；(2) 要使函數(shù)f(x)的極小值大于零，求參數(shù)-的取值范圍；(3) 若對(duì)(2)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)-函數(shù)f x在區(qū)間2a -1,a內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.考查目的本小題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問題的能力，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.解答過程(I)當(dāng)cosv-0時(shí)，f(x)=4x3，則f(x)在(-：，：)內(nèi)是增函數(shù)，故無極值.(n) f '(x) =12x2 -6xcosr，令 f '(x) =0，得 x =0,x =cO .2由(I),只需分下面兩種情況討論當(dāng) COST

13、0時(shí)，隨x的變化f'(x)的符號(hào)及f(x)的變化情況如下表:x(q,0)0(0,響)cosO2,cos 日(,訟)2f '(x)+0-0+f(x)/極大值極小值/因此，函數(shù)f(x)在x=co蘭處取得極小值f(叱)，且口叱)二_1跡3八£222416要使 f (叱)0，必有 _lcos*osl-3) 0，可得 0 : cos . 、2 丿4、42由于0空cos3，故或3 佇.2 6 2 2 6當(dāng)時(shí)cos：:0，隨x的變化，f '(x)的符號(hào)及f(x)的變化情況如下表:xcos 日 (T) 2cos日2cos日T。)0(0,七C)f '(x)+0-0+f(

14、x)極大值極小值因此，函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值f(0)，且fWHcos日16若f (0)0，則cosv 0 .矛盾.所以當(dāng)cosv ：0時(shí)，f (x)的極小值不會(huì)大于零綜上，要使函數(shù)f(x)在(_：, ：)內(nèi)的極小值大于零，參數(shù)0的取值范圍為(衛(wèi)衛(wèi))5空11兀).(6 ' 2丿 5 2，6(III )解：由(II)知，函數(shù)f(X)在區(qū)間(q,七c)與(C°S日 宓)內(nèi)都是增函數(shù)。2，由題設(shè)，函數(shù)f(x)在(2a_i,a)內(nèi)是增函數(shù)，貝U a須滿足不等式組2a -1 :：: a12a -1cost_22a -J <a-a蘭0由(II),參數(shù)時(shí)日輕匸為乜竺)時(shí)，o&

15、#171;°s吐邁.要使不等式2a1Zco史關(guān)于參數(shù)日恒成立，必有2玄_1二逅，6 22622- 4即 43 .二 a.8 二綜上，解得a以或<a -1.8 _所以a的取值范圍是(乂,0).8例11. (2006年山東卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ax (a+1)l n(x+1)，其中a_-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.考查目的本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法，函數(shù)的極值的判定，考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力解答過程由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,；)，且f'(x)=竺 _ _1),x+1(1)當(dāng)-1乞a乞0時(shí)，f'(x) ：；：0,函數(shù)f(x)在(-1,；

16、)上單調(diào)遞減，(2)當(dāng)a 0時(shí)，由f'(x)=O,解得x =丄af '(x)、f (x)隨x的變化情況如下表x(-1，丄)a1 a(,gaf'(x)一0+f (x)極小值從上表可知當(dāng)xC,1)時(shí)，f'(x)£O,函數(shù)f(x)在(7,丄)上單調(diào)遞減aa當(dāng)xW(,坷 時(shí)，f'(x) >0,函數(shù)f (x)在(丄，七C)上單調(diào)遞增. a，a，綜上所述：當(dāng) 二空蘭0時(shí)，函數(shù)f (x)在(-1,怡 上單調(diào)遞減.當(dāng)a沁時(shí)，函數(shù)f(x)在(二丄)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(丄，掃c)上單調(diào)遞增aa例12.( 2006年北京卷)已知函數(shù) f(x) =ax3

17、亠bx2亠ex在點(diǎn)x0處取y = f '(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0) , (2,0)，如圖所示.求：()x0的值；(U) a,b,e 的值.得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)考查目的本小題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的極值的判定，閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值,函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)的綜 合應(yīng)用，考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力解答過程解法一：(1)由圖像可知，在-：,1上f' x -0，在1,2上f'x ：:0，在2A? V上 f' x .0,故f (x)在(-：, 1),( 2, +二)上遞增，在(1,2)上遞減，因此f X在x =1處取得極大值，所以X。=1(D

18、) f (x) =3ax2 2bx - c,由(1)=0，( 2)= 0, (' 1 )= 5,3a 2b c =0,得得 12a 4b c =0,a b "c =5,解得 a =2,b =-9,c =12.解法二：(I)同解法一(H)設(shè) f '(x) =m(x _1)(x _2) =mx2 _3mx - 2m, 又 f (x) =3ax2 _2bx - c,所以a =m,b33m,c =2m2f(x)x3 _°mx2i 2mx,3 2由 f (1) =5,即 m -? m 亠2m =5,得 m =6,32所以 a =2,b - -9,c =12例13.(

19、2006年湖北卷)設(shè)x =3是函數(shù)f x j： x2 -.-ax -.-b e3- x R的一個(gè)極值點(diǎn).I)求a與b的關(guān)系式(用a表示b )，并求f x的單調(diào)區(qū)間；(H)設(shè)a .0 , g a2 25 ex.若存在1，；2三0,4使得f , -g訂詁1成立，求a的取值范圍考查目的本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力23- x解答過程(I) f、(x) = x + (a 2)x+ b a e ,由 f'(3)=0，得 一32+ (a 2)3 + b a e33= 0,即得 b= 3 2a,則 f '(x) = x2 + (a 2)x 3

20、 2a a e3 x=x?+ (a 2)x 3 3a e x = (x 3)(x + a+ 1)e x令f '(x) = 0,得X1 = 3或X2= a 1，由于x= 3是極值點(diǎn)，所以x+a+ 1工0,那么a 4.當(dāng) a< 4 時(shí)，X2>3 = X1,貝U在區(qū)間(一a,3) 上, f '(x)<0, f (x)為減函數(shù)；在區(qū)間(3, a 1) 上, f '(x)>0 , f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間(一a 1 ,+a)上，f '(x)<0, f (x)為減函數(shù).當(dāng) a> 4 時(shí)，X2<3 = X1,貝U在區(qū)間(一a, a

21、1) 上, f '(x)<0, f (x)為減函數(shù)；在區(qū)間(一a 1, 3) 上, f '(x)>0 , f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間(3,+a) 上, f '(X)<0 , f (x)為減函數(shù).f (x)在區(qū)間(H)由(I)知，當(dāng) a>0時(shí)，f (x)在區(qū)間(0, 3)上的單調(diào)遞增，在區(qū)間(3, 4)上單調(diào)遞減，那么0 , 4上的值域是min(f (0) , f (4) ), f (3),學(xué)習(xí)必備歡迎下載3一 i而 f (0) = -( 2a + 3) e <0 , f =(2a+ 13) e >0, f =a + 6,那么f (x)

22、在區(qū)間0, 4上的值域是(2a+ 3) e3, a+ 6.又 g(x) =(a2ex在區(qū)間0 , 4上是增函數(shù)，且它在區(qū)間0, 4上的值域是a2 + 25 ,( a2 + 25 ) e4,4 42亠十？ 225?21?1? 225?由于？a+亍(a+6) =a - a = 2a-亍3 0所以只須僅須2a+亍(a + 6)< 1且a> 0，解得e 4 422 24330< a <一故a的取值范圍是(0, 3).22例14 (2004年天津卷)已知函數(shù) f (x) =ax3+bx2 3x在x= ± 1處取得極值.(1) 討論f (1)和f ( 1)是函數(shù)f (x)

23、的極大值還是極小值；(2) 過點(diǎn)A (0, 16)作曲線y=f ( x)的切線，求出此切線方程.思路啟迪：(1)分析x=± 1處的極值情況，關(guān)鍵是分析x=± 1左右f (x)的符號(hào).(2)要分清點(diǎn)A (0, 16)是否在曲線上.解答過程：(1) f (x) =3ax2+2bx 3，依題意，(1) = f ( 1) =0,即長(zhǎng)2b -3，解得 a=1, b=0./ f ( x) =x3 3x, f (x) =3x2 3=3 ( x+1) ( x 1).令 f (x) =0 ,得 x= 1, x=1.若 x(s, 1)U( 1, + a),貝U f (x )> 0,故f

24、(乂)在(a, 1)上是增函數(shù)，f (乂)在(1 , + a)上是增函數(shù).若 x ( 1 , 1)，則(x)v 0,故 f (x)在(一1, 1) 上是減函數(shù).所以f ( 1) =2是極大值，f( 1) = 2是極小值.(2)曲線y=x3 3x,點(diǎn)A (0, 16)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn) M (海 y°),貝U y°=x。3 3x.T f ( x0)=3x°2- 3 ,切線方程為 y y°=3 (x°2 1) (x x0).代入 A (0, 16)得 16 X0+3x0=3 (X0? 1) ( 0 x0).解得 X0= 2, M ( 2, 2)，切

25、線方程為 9x y+16=0.小結(jié)：過已知點(diǎn)求切線，當(dāng)點(diǎn)不在曲線上時(shí)，求切點(diǎn)的坐標(biāo)成了解題的關(guān)鍵 考點(diǎn)4導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 建立函數(shù)模型，利用 典型例題例15.有一塊邊長(zhǎng)為4的正方形鋼板，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行切割、焊接成一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋容器(切、焊損耗不計(jì)).有人應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)作了如下設(shè)計(jì)：如圖(a),在鋼板的四個(gè)角處各切去一個(gè)小正方形，剩余部分圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，該長(zhǎng)方體的高為 小正方形的邊長(zhǎng)，如圖(b).b請(qǐng)你求出這種切割、焊接而成的長(zhǎng)方體的最大容積V1;由于上述設(shè)計(jì)存在缺陷(材料有所浪費(fèi))，請(qǐng)你重新設(shè)計(jì)切焊方法，使材料浪費(fèi)減少，而且所得長(zhǎng)方體容器的容 積 V2 M .解答過程：(1 )設(shè)切去的正方形邊長(zhǎng)為x,

26、則焊接成的長(zhǎng)方體的底面的邊長(zhǎng)為4-2x,高為x,所以,232V =(4 _2x) x =4(x -4x 亠4x),(0 :x : 2). v'i =4(3x2 _8x4).令V1 =0,得 x =-,x2 =2(舍去).3而V'i =12(x _f)(x _2)又當(dāng)x 時(shí)，Vi .0.3當(dāng)-:x ：2 時(shí)，V'i ：0,3當(dāng)x =2時(shí)，Vi取最大值128.327(2)重新設(shè)計(jì)方案如下：1的小正方形；如圖，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一如圖在正方形的兩個(gè)角處各切下一個(gè)邊長(zhǎng)為 邊的中間；如圖，將圖焊成長(zhǎng)方體容器。新焊成的長(zhǎng)方體容器底面是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為3,寬為2,此長(zhǎng)

27、方體容積V2 =3 2 1 =6，顯然 V Vi.故第二種方案符合要求.例16.( 2006年福建卷)統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗 油量y (升)關(guān)于行駛速度 x (千米/小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為：13yx128000x 8(0 ：<120).80已知甲、乙兩地相距100千米.(I) 當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？(II) 當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？考查目的本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力解答過程(I)當(dāng)X=40時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了1

28、00 =2 5小時(shí),40要耗沒(一140h'(x) x 800 =x 零(0 ：:x _120).640 x 640x40 8) 2.5=17.5 (升).128000 80答：當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升。(II )當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了100小時(shí)，設(shè)耗油量為h(x)升，依題意得xh(x) =(1 x3 -色 X 8).100800 -"(0 ：:x_120),12800080x 1280 x 4令 h'(x) =0,得 x =80.當(dāng) xW(0,80)時(shí)，h'(x) ：:0,h(x)是減函數(shù)；當(dāng)

29、 x(80,120)時(shí)，h'(x) .0,h(x)是增函數(shù) 當(dāng)x =80時(shí)，h(x)取到極小值h(80) =11.25.因?yàn)閔(x)在(0,120上只有一個(gè)極值，所以它是最小值.11.25 升.答：當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為 【專題訓(xùn)練】一、選擇題1. y=eSinxcos(sinx)，貝U y'(0)等于()A.0B.1C. 1D.22. 經(jīng)過原點(diǎn)且與曲線 y= 口 相切的方程是(x +5A. x+y=0 或 A+y=025B. x y=0 或-+y=025C. x+y=0 或 A y=025D.x y=0 或 A y=0253設(shè) f

30、(x)可導(dǎo)，且 f'(0)=0,又 |im!h2= 1,則 f(0)(xA.可能不是f(x)的極值B.一定是f(x)的極值C. 一定是f(x)的極小值D.等于02 2n4.設(shè)函數(shù)fn(x)= nx (1 x) (n為正整數(shù))，貝U fn(x)在0,1上的最大值為()A.0B.1C.(1D. 4( n )n 1n 25、函數(shù) y=(x2-1) 3+1 在 x=-1 處(A、有極大值B、無極值326. f(x)=ax +3x +2 , f'(-1)=4，貝U 衛(wèi) B、亙3327. 過拋物線y=x上的點(diǎn)C、有極小值無法確定極值情況(丄2450a=()C、31)的切線的傾斜角是4193

31、(A、30038.函數(shù) f(x)=x -6bx+3b 在(0, 1)A、( 0, 1) B、(-8, 1)C、60°900內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)C、( 0, + 8)D、b的取值范圍是()(0,9. 函數(shù)y=x3-3x+3在_3 5上的最小值是()2' 289 B、1C、338 83210、若f(x)=x +ax +bx+c,且f(0)=0為函數(shù)的極值，則A、c0B、當(dāng)a>0時(shí)，f(0)為極大值D、當(dāng)a<0時(shí)，f(0)為極小值32y=2x +ax +36x-24在x=2處有極值，則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是(3, +8)C、( 2, + 8)D、( -8,3)C、b=01

32、1、已知函數(shù)(2, 3)C、學(xué)習(xí)必備歡迎下載12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的實(shí)數(shù)解的集合中()A、至少有2個(gè)元素B、至少有3個(gè)元素C、至多有1個(gè)元素D、恰好有5個(gè)元素二、填空題13. 若 f'(xo)=2, lim f(xo k) _f(xo) =.心 2k14. 設(shè) f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),則 f'(0)=.215. 函數(shù) f(x)=loga(3x+5x 2)(a> 0 且 a1)的單調(diào)區(qū)間 .16. 在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细邽?時(shí)它的面積最大三、解答題17. 已知曲線C: y=x3 3x2+2x,直線l:y=kx

33、,且I與C切于點(diǎn)(xo,yo)(xo和)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)18. 求函數(shù) f(x)=p2x2(1-x)p(p 3+),在0 , 1內(nèi)的最大值.19. 證明雙曲線xy=a2上任意一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸組成的三角形面積等于常數(shù)20. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)22x(1)y=(x 2x+3)e ;y=3 x .V1 _x21. 有一個(gè)長(zhǎng)度為5 m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設(shè)其下端沿地板以3 m/s 的速度離開墻卿滑動(dòng),求當(dāng)其下端離開墻腳1.4 m時(shí)，梯子上端下滑的速度.222 22 n 1*22. 求和 Sn=1 +2 x+3 x +n x ,(x和,n CN ).23. 設(shè)f(x)=ax3+x恰有三個(gè)單

34、調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間24. 設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)=alnx+bx2+x的兩個(gè)極值點(diǎn).(1)試確定常數(shù)a和b的值；試判斷x=1,x=2是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值，并說明理由b a25. 已知a、b為實(shí)數(shù)，且b> a> e,其中e為自然對(duì)數(shù)的底，求證： a > b .26. 設(shè)關(guān)于x的方程2x2 ax 2=0的兩根為a直a<卩),函數(shù)f(x)= 4x -a .x2 +1(1)求 f(a f(® 的值；證明f(x)是a 3：上的增函數(shù)；當(dāng)a為何值時(shí)，f(x)在區(qū)間a, 3：上的最大值與最小值之差最小?【參考答案】一、1解析：y=

35、esinx cosxcos(sinx) cosxsin(sinx) ,y'(0)=e°(1 0)=1.答案：B2解析：設(shè)切點(diǎn)為(xo,yo),則切線的斜率為k=,另一方面，丫鞏匚9)_，故Xox+5(x+5)2y '(xo)=k,即 4二yo_ X。9 或x°2+18xo+45=O得 xo(1)= 3,yo二15,對(duì)應(yīng)有yo=3,yo(2)= -15 9=3 ,因此得兩個(gè)切點(diǎn)(x0 +5)2 X0X0(x°45)15+55A( 3, 3)或B( 15,3)，從而得y '(A)=-4 3 = 1及y '(B)=1 ，由于切線過原點(diǎn)，故

36、得切線：lA：y= x或5 (_3 45)3(二5+5)225lB：y= _L .25答案：A3解析：由lim f (o)= 1,故存在含有0的區(qū)間(a,b)使當(dāng)xqa,b),x和 時(shí)少 <0,于是當(dāng)x(a,0)時(shí)f'(0) >0,當(dāng) xqo,b)時(shí)，f'(0)X 0 Xx< 0,這樣f(x)在(a,0)上單增，在(0,b)上單減.答案：B4解析：If'n(x)=2xn2(1 x)n n3x2(1 x)n-1=n2x(1 x)n-12(1 x)nx,令f'n(x)=0,得 X1=0,X2=1,X3=2 ,易知fn(x)在x=2+n2 時(shí)取得最大

37、值，最大值fn( 2 )= n2( 2 )2(1 2 )n=4( 2 )n+1.2 n2 n 2 _n2 n2 _n5、B答案：Df (x0 k) f (x0)2kf (x0 - k) . f(X0)-kf (x0 -k) - f(X0)-k答案：114解析：設(shè) g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),則 f(x)=xg(x),于是 f (x)=g(x)+xg '(x),f'(0)=g(0)+0 g (0)=g(0)=1 2 n=n!答案：n!15解析：函數(shù)的定義域是x> 1 或 x< 2,f (x)= logae(3x2+5x 2) '= (6x 5)

38、logae ,33x2 5x2(3x-1)(x 2)若a> 1,則當(dāng)x> 1時(shí),3logae>0,6x+5>0,(3x 1)(x+2) >0,f(x)> 0,二函數(shù)f(x)在(I，+旳上是增函數(shù), 3x< 2 時(shí)，f (x)<、13解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義：f'(X0)= lim f(X0 (切-f(X。)(這時(shí) 心-k ) 一k6、A7、B8、D9、 B 10、 C 11、 B 12、 C0. 函數(shù)f(x)在(務(wù)2)上是減函數(shù)若0v av 1,則當(dāng)x> 1時(shí)，f(xX)v 0, /f(x)在(1，+鄉(xiāng)上是減函數(shù)，當(dāng)xv 2時(shí),33f(

39、x)> 0,/f(x)在(務(wù)一2)上是增函數(shù).16解析：設(shè)圓內(nèi)接等腰三角形的底邊長(zhǎng)為2x,高為h,那么h=AO+BO=R+ .R2 _x2，解得答案：(一W 2)x2=h(2R h),于是內(nèi)接三角形的面積為S=x h= (2Rh_h2) h= (2Rh3 _h4),1從而 S =2(2Rh3 _h4) P(2Rh3 _h4)'1 2J(2Rh34)36R *3) = h QR/h2(2R_h)h3令S(0,解得h=R，由于不考慮不存在的情況，所在區(qū)間(0,2R) 上列表如下2h(0, 3R)23r2(?,2R)2S(+0一S增函數(shù)最大值減函數(shù)由此表可知，當(dāng)x=?R時(shí)，等腰三角形面

40、積最大.2答案：3r2三、17.解：由 I 過原點(diǎn)，知 k=yi(X0M),點(diǎn)(x0,y0)在曲線 C 上，y°=x。3 3x°2+2x0, x02 2 2- y° =X0 3x°+2,y =3x 6x+2,k=3x° 6x0+2x0OOO又 k= 21 ,3x0 6xo+2=X0 3xo+2,2x0 3x0=0,/x0=0 或 x0=_ .x0 2由X丸，知X0=3,2'y0=( 3)3 3(.3)2+2 -3 = 3 . .'k= Z! = 12228x04方程 y= 1x 切點(diǎn)(3 , 3).42818.f'(x)

41、 =p2x(1 x)P 丄2 -(2 p)x,令 f'(x)=0 得，x=0, x=1 , x= 2,2+p在0 , 1上, f(0)=0 , f(1)=0 , f(丄)=4(丄)p22+p2+p- f(X)】max=4(P)2P19.設(shè)雙曲線-上任一點(diǎn)P (X0, y0)k 二y |x 上。a(1x)3 X 0切線方程y y° -2a /2(x _x°),X0令y=0,則x=2x0令x=0,則2a2y =X01 2- S=2x|y|=2a 20. 解：(1)注意到y(tǒng)> 0,兩端取對(duì)數(shù)，得22x2Iny=ln(x 2x+3)+ln e =ln(x 2x+3)+

42、2x,22.(x2x 3)2x -22(x -x - 2)y 22 =2 廠x _2x+3x _2x+3 x _2x+3.2(x2 x 2)x -2x 32(x2 x 2)x -2x 3.22x(x 2x 3) e .22x= 2(x -x 2) e .(2)兩端取對(duì)數(shù)，得In |y|=l(l n|x| In |1 x|),3兩邊解x求導(dǎo)，得丄 y WF") y 3 x 1 -x,1y 3 x(1 -x)1 1_3x(1 _x)，1x=3 |.3x(1 -x) 1 -x，21. 解：設(shè)經(jīng)時(shí)間t秒梯子上端下滑 s米，則s=5強(qiáng)5 dt2 ,當(dāng)下端移開1.4 m時(shí)，to=l=Z,3151 丄又 s'= - (25 9t2) 2 ( 9 2t)=9t1,2 25 -9t2所以 s'(to)=9 X71=0.87