齊民友高數(shù)下冊上課第08章02節(jié)點的坐標與向量的坐標

1、第1章 集 合第2節(jié)點的坐標與向量的坐標2.1空間直角坐標系這里“空間”指的是我們生活在的空間。如果把平面直角坐標系放在空間中，我們會發(fā)現(xiàn)缺一條表示高度的坐標軸。因此，圖2.1空間中三條有共同原點且兩兩互相垂直的數(shù)軸，（這三條數(shù)軸分別叫軸(橫軸)，軸(縱軸)，軸(豎軸)，且統(tǒng)稱為坐標軸）它們的正方向要符合右手規(guī)則（右手握住軸，當右手的四個指頭從軸的正向以角度轉向軸正向時，豎起的大拇指的指向就是軸正向），構成一個空間直角坐標系(圖2.1)可以把軸，軸配置在水平面上，而軸則是鉛垂線；也可以不這樣 取定空間直角坐標系之后，就可以建立空間點與坐標之間的對應關系（1）設為空間的一定點，過點分別作垂直于軸

2、，軸，軸的三個平面，它們與軸，軸，軸的交點依次為，這三點在軸，軸，軸的坐標依次為，于是：空間點就惟一地確定了一個有序數(shù)組，稱為點的坐標圖2.2（2）反過來，任意給定坐標，我們可以在軸上取坐標為的點，在軸上取坐標為的點，在軸取坐標為的點，然后過分別作軸、軸、軸的垂直平面，這三個平面的交點就是坐標確定的惟一的點 (圖2.2)這樣，通過空間直角坐標系，我們建立了空間點和坐標之間的一一對應關系依次稱，為點的橫坐標、縱坐標和豎坐標，并可將點記作如同由于平面點與坐標一一對應就有了平面解析幾何一樣，由于空間點與坐標一一對應就有了空間解析幾何用代數(shù)方法研究空間幾何對象。圖2.3圖2.4三條坐標軸中的任意兩條可

3、以確定一個平面，這樣定出的三個平面統(tǒng)稱為坐標面由軸與軸所決定的坐標面稱為面，類似地還有面與面這三個坐標面把空間分成了八個部分，每一部分稱為一個卦限，如圖2.3所示，八個卦限分別用羅馬字母，¼，表示第一、二、三、四卦限均在面的上方，按逆時針方向確定，其中含有軸、軸與軸正半軸的那個卦限叫做第一卦限第五、六、七、八卦限均在面的下方，也按逆時針方向確定，它們依次分別在第一至四卦限的下方思考題：1. 試確定空間直角坐標系的各個卦限中點的坐標的符號？題目：1.找出空間中固定點的坐標；2.給定，在空間中找出以為坐標的點；3.做一個表，確定空間中各部分點的坐標特點。類似于平面解析幾何，在空間中也可以

4、用點的坐標計算兩點間的距離設，為空間的兩點，過，各作三個分別垂直于三坐標軸的平面，這六個平面圍成一個以為對角線的長方體，如圖2.4所示可見此長方體各棱的長度分別是，從而得對角線的長度，亦即空間兩點，間的距離公式為特別地，點與坐標原點的距離為 (2.1)2.2向量的坐標表示稱空間直角坐標系中，沿軸正向的單位向量為坐標系下的標準單位向量，分別記為由于對任意向量，總可平移使其起點位于坐標原點，從而存在終點，滿足.以為對角線作長方體（圖2.5），設點在軸，軸，軸上的投影點分別為，和，有圖2.5設在軸，軸，軸上的坐標分別為，則，因此， (2.2)我們稱(2.2)式為向量的標準分解式，稱為向量沿三個坐標軸

5、方向的分向量向量與它的坐標分解式是一一對應的顯然，給定向量，就確定了點及三個分向量，進而確定了有序數(shù)組，稱為向量的坐標，從而確定了的標準分解式(2.2)；反之，給定坐標，則由(2.2)式就確定了向量和的標準分解式于是，向量，標準分解式以及坐標建立了一一對應的關系：因此我們把向量，坐標以及的標準分解式不加區(qū)別，記作空間中點的坐標與向量的坐標是兩個不同的概念，符號也不一樣。點和它的坐標互相聯(lián)想；向量和它的坐標以及它的標準分解式互相聯(lián)想?？臻g任一點都對應一個向量，稱為點（關于原點）的向徑由向量的坐標的定義知向徑記號表示點，向量表示為當向量的始點放在坐標原點時，向量的坐標與終點的坐標相等。有了向量的坐

6、標，我們就可以用代數(shù)方法研究向量運算。向量代數(shù)有兩套互相平行、互相翻譯的理論：1.用空間立體幾何描述的向量代數(shù)；2.用坐標描述的向量代數(shù)。其中用坐標描述的向量代數(shù)是我們的重點、考點。（題目（考點）：用坐標作向量的各種運算。）下面我們把向量的線性運算翻譯成向量用坐標的線性運算設 ，即，于是，由向量加法與數(shù)乘運算的運算律，即， (2.4) (2.5)可見，兩向量相加、減就是對應坐標相加、減；數(shù)乘向量就是用乘的各坐標思考題：2怎樣用向量的坐標表示兩向量相等？（設，則。）3設，求向量的坐標表示式（向量的坐標等于終點坐標減始點坐標）。三組數(shù)據(jù)，和，知其任二可算出其第三?。┫旅嫖覀儼训?節(jié)定理1.1，向量

7、的平行條件：，存在唯一實數(shù)，使得，翻譯成用坐標表示的平行條件。的坐標表示式為：，因此平行條件可用坐標表示為：， (2.6)（它們的對應坐標成比例。）(2.6)右邊不是三個相等的分數(shù)，而是三個相等的比。比是允許分母為0的。當某個分母是0時，應理解為其分子也是0?！纠?.1】已知兩點和，有向線段上的點將它分為兩條有向線段和，使它們的值的比等于數(shù)()，即圖2.6，求分點的坐標解因為與在同一直線上，故，解得稱本例中的點為有向線段的定比（）分點特別地，當時，可得線段的中點的坐標為*設，由定理1.2的推論，三向量，共面的充要條件是存在不全為零的數(shù)，使得用向量的坐標表示上述關系，即這是一個關于未知量的齊次線

8、性方程組，它有非零解，故此線性方程組的系數(shù)行列式為零，從而有如下定理：定理2.1 三向量，共面的充要條件是 （2.7）【例2.2】問和四點是否在同一平面上?解可求得，判別四點是否共面，即判別是否共面.由于，根據(jù)定理2.1，共面，從而共面.2.3 向量的模，方向角圖2.7下面我們用坐標計算向量的模.設，作，如圖2.7所示，點的坐標為，因此向量的模: (2.8)【例2.3】已知兩點和，求與同方向的單位向量解，.圖2.8設非零向量與三條坐標軸的正向的夾角，即與標準單位向量的夾角分別為。由的方向確定；反過來，的方向也由支定。因此，稱為向量的方向角（），如圖2.8所示。方向角的余弦稱為向量的方向余弦（為

9、什么不講方向正弦？）下面我們用坐標計算向量的方向余弦。設，分別為點在軸，軸，軸上的投影點，則在軸，軸，軸上的坐標分別為(圖2.8)，又，于是得 (2.9)且滿足關系式. (2.10)【例2.4】已知，求的模與方向角.解，故的方向角為 如果，則。一次性求出三個方向余弦的方法：思考題：4當向量的模與方向角已知時怎樣確定向量的坐標？（。）2.4 (經(jīng)）向量的投影5設數(shù)軸。過點作平面垂直于并交于點（圖2.9），則稱為在上的投影點；在上的實數(shù)稱為在上的投影. （圖2.9.1）圖2.9.1設數(shù)軸，是上的單位向量，向量與的方向和單位都一致。設向量，且。設在上的投影點和投影分別是；在上的投影點和投影分別是。則

10、我們有圖2.9.2(1) 在或上的投影(2) 在或上的投影向量（如圖2.9.2）。由于是平移不變的，在或上的投影和投影向量都是平移不變的。由此定義可知，向量的坐標即為向量在三個坐標軸上的投影所組成的有序數(shù)組:在三個坐標軸上的投影向量分別為: 。向量的投影具有如下線性性：證作向量,則.且在向量上的投影為，在向量上的投影為（見圖2.10）。因為，所以，即圖2.10作向量,則.且在向量上的投影為,在向量上的投影為(圖2.11)，則即圖2.11【例2.5】一向量的終點為，它在軸，軸，軸上的投影依此為，求這個向量的起點的坐標解設這個向量的起點的坐標為，則但，故，解得故點的坐標為習題82A類1在空間直角坐標系中，指出下列各點在哪個卦限?2設長方體的各棱與坐標軸平行，已知長方體的兩個頂點的坐標，試寫出余下六個頂點的坐標：(1) ，； (2) ，3證明：以點，為頂點的三角形是等腰直角三角形4求點關于(1) 各坐標面; (2) 各坐標軸;(3) 坐標原點的對稱點的坐標.5過點分別作各坐標面和各坐標軸的垂線，寫出各垂足的坐標，進而求出點到各坐標面和各坐標軸的距離.6已知兩點和，計算向量的模、方向余弦和方向角7已知向量與各坐標軸成相等的銳角，且，求的坐標8設，求向量在軸上的投影以及在軸上的投影向量解 向量在軸上的投影是13，在軸上的投影向