牟合方蓋與球的體積(高一)(課堂PPT)

1、1牟合方蓋與球的體積2先看一個中學(xué)數(shù)學(xué)中的三視圖練習(xí)題：我國古代數(shù)學(xué)家利用我國古代數(shù)學(xué)家利用“牟合方蓋牟合方蓋”（如圖甲）找到了球體體積的（如圖甲）找到了球體體積的計算方法計算方法“牟合方蓋牟合方蓋”是由兩個圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入是由兩個圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體，圖乙所示的幾何體一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體，圖乙所示的幾何體是可以形成是可以形成“牟合方蓋牟合方蓋”的一種模型，它的主視圖是（）的一種模型，它的主視圖是（）利用圓柱直徑等于立方體邊長，得出此時擺放，圓柱主視圖是正方形，得利用圓柱直徑等于立方體邊長，得出此時擺放，圓柱主視圖是正方形

2、，得出圓柱以及立方體的擺放的主視圖為兩列，左邊一個正方形，右邊兩個正出圓柱以及立方體的擺放的主視圖為兩列，左邊一個正方形，右邊兩個正方形，故選：方形，故選：B BB B3下面介紹與“牟合方蓋”相關(guān)的知識動畫演示4“牟合方蓋牟合方蓋” 是是劉徽劉徽研究球積公式時創(chuàng)建的幾研究球積公式時創(chuàng)建的幾何模型何模型, , 這一模型的建立這一模型的建立, ,為最后獲得球積公為最后獲得球積公式提供了充分條件。式提供了充分條件。5 祖暅祖暅在劉徽研究牟合方蓋的基礎(chǔ)上在劉徽研究牟合方蓋的基礎(chǔ)上, , 繼續(xù)新繼續(xù)新的探索的探索, ,最終建立了球積公式。他們的共同研最終建立了球積公式。他們的共同研究成果究成果, ,我們

3、稱之為我們稱之為“ 劉劉 祖原理祖原理” 。6 所謂所謂“ 牟合方蓋牟合方蓋” , , 是以棱長為一寸的立是以棱長為一寸的立方體八枚方體八枚, ,合之則棱長為二寸的立方體。合之則棱長為二寸的立方體。7 又以過立方體中之二正圓柱垂直相貫并內(nèi)切又以過立方體中之二正圓柱垂直相貫并內(nèi)切于立方體之相應(yīng)側(cè)面。于立方體之相應(yīng)側(cè)面。8 則二內(nèi)切于立方體的兩垂直貫的正圓柱的共則二內(nèi)切于立方體的兩垂直貫的正圓柱的共同部分同部分, ,就叫就叫“牟合方蓋牟合方蓋”。 這是由于這個立體的外形似兩把上下對稱的這是由于這個立體的外形似兩把上下對稱的正方形雨傘。正方形雨傘。在這個立體里面，可以內(nèi)切一個半在這個立體里面，可以內(nèi)

4、切一個半徑和原來圓柱體一樣大小的球體。徑和原來圓柱體一樣大小的球體。9 祖暅沿用了劉徽的思想，利用劉徽祖暅沿用了劉徽的思想，利用劉徽“牟合方牟合方蓋蓋”的理論去進(jìn)行體積計算，他的方法是將的理論去進(jìn)行體積計算，他的方法是將原來的原來的“牟合方蓋牟合方蓋”平均分為八份平均分為八份，取它的，取它的八分之一來研究。八分之一來研究。小牟合方蓋體積小牟合方蓋體積= 2r/3 = 2r/3 牟合方蓋體積牟合方蓋體積=16r/3=16r/3故：球體體積故：球體體積=(=(/4)(16/4)(16r/3)=4r/3)=4r/3r/310設(shè)OP = h，過 P 點(diǎn)作平面 PQRS 平行于 OABC。又設(shè)內(nèi)切球體的半徑為 r，則 OS = OQ = r，由勾股定理，不難證明等高處陰影部分的面積總相等。所以，有理由相信，雖然方錐跟小正立方體去掉小“牟合方蓋”后的形狀不同，但因它們的體積都可以用截面面積和高度來計算，而在等高處的截面面積總是相等的，所以它們的體積也就不能不是相等的了。于是他提出了著名的原理：“緣冪勢既同，則積不容異?！痹俑鶕?jù)劉徽的想法，可求出球體體積公式。11 牟合方蓋的三視圖：牟