第八章多屬性效用理論

1、第八章多屬性效用理論(Multi-attribute Utility Theory)主要參考文獻(xiàn):92, 68, 86, 118, 1298.1優(yōu)先序一、二元關(guān)系1. 無差異(Indifferent to)2. (嚴(yán)格)優(yōu)于(Strict preferenee to)3不劣于(preferenee of indifferenee to)可以用定義,:AB A B且B AAB AB且非B A因此，在任何 決策問題中,是偏好結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ),有必要假設(shè)關(guān)系的存在。至于 是否確定實存在，則取決于能否以直接或間接的方式找到構(gòu)造的途徑。在單目標(biāo)問題，有時存在可測屬性(或代用屬性)如成本、收益來衡量偏好，這時決

2、策問題簡化為各方案屬性的比較和排序。但在一般場合，需要用效用(價值)函數(shù)來度量偏好，在多目標(biāo)決策問題中，即使各目標(biāo) 的屬性值或效用已知，偏好次序仍不明確，還需作進(jìn)一步研究。二、二元關(guān)系的種類(用R表示二元關(guān)系)傳遞性，若 xRy, yRz則xRz自反性 reflectivity: xRx非自反性：(Irreflexivity)非 xRx對稱性(Symmetry)若 zRy,則 yRx非對稱性(asymmetry)若xRy，則非yRx反對稱性(anti-symmetry)若xRy且yRx則必有x = y連通性(conneetivity) completeness. Comparability對

3、x, y X xRy 或 /和 yRx任何次序關(guān)系必須滿足傳遞性 .傳遞性看似合理，實則不然，例如，20.00020.00120.001 20.00299.999100,但是 20工 100連通性在仔細(xì)驗證前也不能假設(shè)其成立，因為存在不可比方案；但是,若將不可比歸入無差異類，連通性就可成立 .連通性二傳遞性 完全序8.2多屬性價值函數(shù)一、價值函數(shù)的存在性定理8.3X Rn ,是X上的弱序，且 x,y X 若 x y x y； * * * x,y,zX 若 x y z貝U必存在唯一的 Ov入v 1使y入x+(l-入)z； * * * * *則存在定義在X上的實值函數(shù)v，滿足 x y ：= v(x

4、) v(y)* * * x 、y ：= v(x) = v( y)* * Note: 1.條件為單調(diào)性(Monotonicity),即支配性(dominance):只要某一屬性值增加偏好也增加.2. 條件為偏好空間的連續(xù)性(continuity),即阿基未德性(Archimedean).3. v(X)=f( VjxJ,，Vn(Xn) f的形式通常十分復(fù)雜，即使Vj ( Xj )為線性v的形式仍十分復(fù)雜.例：X! , x2的價值函數(shù)為線性，即：vkix!v2=k2 x2且 k2=1.5kl,但是 v(x)工 V!(X!)+V2(X2)因此，價值函數(shù)的設(shè)定相當(dāng)困難.二、加性價值函數(shù)1. 定義：n若v

5、( y)= 7 Vi(yi)，則稱價值函數(shù) V( y)是加性的i =12. 加性價值函數(shù)的存在條件定理 8.6(P133) (n 3) 定義在丫 rn上的價值函數(shù)v(y)=v( yi/ ,yn)對任何 yy” y , y y ”肝v(y 第v(y ”則屬性集滿足互相偏好獨立條件時當(dāng)且僅當(dāng)存在定義在Y i , i=1,n上的實值函數(shù)v i使y y ”= Vl(yi )+ + Vn ( yn ) V1 ( yi )+ + Vn(yn)3. 互相偏好獨立的定義：屬性集Q稱為互相偏好獨立，若Q的每個非定正常子集E偏好獨立于其補(bǔ)集 3 (Q = U心)4屬性集Q的子集E偏好獨立于其補(bǔ)集 3的定義(P13

6、0定義8.2)當(dāng)且僅當(dāng)：對特定的y_Y_若(%,_)( y口”，y)則對所有 y_Y_必有00 O QO 0(y； y(y廣” y稱屬性集q的子集偏好獨立于其補(bǔ)集心.u o百5. 兩個屬性的加性定理及偏好獨立(定義8.4，定理8.4)消去條件 對-x-yaiWYj x2,y2,a2 三丫2 有(x-aj (ay2),(a! ,X2) (yza?)則必有(x-x?) (yi, y2).Thomson 條件三、其他簡單形式1. 擬加性：nn nn n nv(y)八 30+二二 kjVj(yi)Vj(yj) +二二二 血比(已厲血5)* i 1i4jii =1 j i k j+ + k12n V1(

7、 yj Vn(yn) 條件 Y i=1,2,n弱差獨立于其補(bǔ)集 丫_(詳見p135,定義8.7)i2. 乘性(pp136-137)若屬性集Q的每個非室子集弱差獨立于其補(bǔ)集C-),則nn nn n nv(y)= kivi(yi)+k 二-kikjVdyJVj (yj) + k2 二二二 kj (% )Vj (yjM (yQi 妊i =1 j iid j i k ,j+ + 嚴(yán)仆2kn V1(yj Vn(yn)8.3多屬性效用函數(shù)一、二個屬性的效用函數(shù)后果空間X XY，后果(x,y)，設(shè)決策人在X XY上的偏好滿足公理(1)(6)，則可用形如V(x,y)= VX(x)+ VY (x)的加性效用函數(shù)

8、表示后果空間上的偏好(確定性條件下)設(shè)決策人關(guān)于X XY空間及P上的抽獎的偏好為u(x,y)則u(x,y)和V(x,y)代表了 X XY上相同的偏好，u(x,y)= $ (V(x,y).其中$ ()是保序變換決策人的行為符合理性行為公理時，形如的抽獎n可以用期望效用Eu(x,y)= PiU(Xi,y來衡量其優(yōu)劣.i =!二、效用獨立(Utility Independenee)1. 例：l1 :12 :13 :14 :若效用獨立，則l1 l2= l3 l42. 定義：若二個抽獎有公共的固定的Y的值而X中的值不同，決策人對它們的偏好與Y的取值無關(guān)，則稱X是效用獨立于 Y。效用獨立又稱風(fēng)險獨立(若X

9、效用獨立于Y則決策人對抽獎的X上的風(fēng)險態(tài)度與 Y無關(guān)).更一般的定義見P147,定義8.103效用獨立蘊(yùn)含偏好獨立(X, ： ) (X ：,)對某個 a二 1w(X, p)(X，目4引理：X是效用獨立于 Y的，當(dāng)且僅當(dāng)，對固定的yu(X,y)= : (y) u(X, y) + -(y)-(x,y) X Y其中a (y)0, a (y), 3 (y)的確定與y有關(guān)。同理，Y是效用獨立于 X的，當(dāng)且僅當(dāng)對固定的Xou(X,y)=(y) u( Xo, y) +、(y)-(x,y) X Y其中(x)0, (x), S (x)的確定與Xo有關(guān)。5. X、Y相互效用獨立定理：X和Y是相互效用獨立的，則：若

10、選(Xo,y)使u(Xo,y)=o必有 u(x,y)= u(x, yo)+ u(Xo,y)+k u(x,Yo)u(xo,y)即X Y相互效用獨立且u(Xo , yo)=o時，u(x,y)具擬加性.6. 加性條件：在上述假設(shè)下，再附加：對某個x1 ,x2 :二x, y1, y= Y, -且(花，丫0)兀(X2,y), (X0, 丫2)兀(x。貝V u(x,y)= u(x,y)+ u( x ,y)7. 加性獨立也可以用另一種方式來表示：屬性X、Y是加性獨立的，若對所有x,x : X, y,y： Y0.5,(x, y); 0.5,( x、: )； 0.5,( x : ,y)8. 定理設(shè)u(x,y)是X Y上的效用函數(shù)，且X、Y是加性獨立的，則若選(x0,y0)使u(x0, y0)=0