2020屆北京市朝陽(yáng)區(qū)高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

1、北京市朝陽(yáng)區(qū)高三年級(jí)高考練習(xí)一2020.4（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題（共 40分）和非選擇題（共 110分）兩部分考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回第一部分（選擇題 共40分）、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。(1)已知集合A 1,3,5 , B xZ|(x 1)(x 4) 0 ,則 AU B(2)(3)(A)3(B)1,3(C)1,2,3,5(D) 1,2,3,4,5卜列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(A) y x3(B)(0,）上單調(diào)遞增的是(C)y 10g2 x(

2、D)y 21x1在等比數(shù)列an中,ai 1 ，a48,則an的前6項(xiàng)和為(A)21(B)11(C) 31UULT（4）如圖，在 ABC中，點(diǎn)D , E滿足BCuuiir2BD ,uurCAuuuuuir3CE .若 DE(D) 63uuruuirx AB y AC (x, yR),則x(A)(B)(C)(D)1213123（5）已知拋物線C : y22px（p 0）的焦點(diǎn)為F ,準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A是拋物線C上一點(diǎn),AD l若 AF 4 , DAF60 ,則拋物線C的方程為2_(A) y 8x，一、 2(B)y 4x2(C)y 2x2(D y x3種作為教師“停課不停學(xué)”（6）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊

3、 5種在線教學(xué)軟件，若某學(xué)校要從中隨機(jī)選取(8)(9)的教學(xué)工具，則其中甲、乙、丙至多有2種被選取的概率為(B)(C)35(D)_910在zABC中,AB BC,ABC 120.若以A, B為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C ,則該雙曲線的離心率為(A)(B)(D)已知函數(shù) f (x) = T3sin(wx-的圖象關(guān)于直線x 對(duì)稱”3(A)充分而不必要條件(C)充分必要條件已知函數(shù)f(x)2x 2ax2x aln x,圍為(A)(,2、6(10)如圖，在正方體電(3> 0)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為2a,則“(B)必要而不充分條件(D)既不充分也不必要條件1,若關(guān)于x的不等式f (x)1.aa在

4、R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范 2(C) 0,2(D) 0,2、同ABCD- ABGD1 中,AB,BB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在對(duì)角線CA上運(yùn)動(dòng).當(dāng) PMN的面積取得最小值時(shí),占八、P的位置是(A)線段CA的三等分點(diǎn),且靠近點(diǎn)(B)線段CA的中點(diǎn)(C)線段CA的三等分點(diǎn),且靠近點(diǎn)(D)線段CA的四等分點(diǎn),且靠近點(diǎn)第二部分(非選擇題共110分)、填空題共5小題，每小題 5分，共25分。2(11)若復(fù)數(shù)z 則|z|.1 i '(12)已知某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為 ,它的體積為 22 * 卜 22 -正(主)視圖 側(cè)(左)視圖(13)某購(gòu)物網(wǎng)站開(kāi)展一種商品的預(yù)約購(gòu)買，規(guī)定每個(gè)手

5、機(jī)號(hào)只能預(yù)約一次，預(yù)約后通過(guò)搖號(hào)的方式?jīng)Q定能否成功購(gòu)買到該商品.規(guī)則如下： (i)搖號(hào)的初始中簽率為 0.19; (ii)當(dāng)中簽率不超過(guò)1時(shí)，可借助“好友助力”活動(dòng)增加中簽率，每邀請(qǐng)到一位好友參與“好友助力”活動(dòng)可使中簽率增加0.05 .為了使中簽率超過(guò)0.9,則至少需要邀請(qǐng) 位好友參與到“好友助力”活動(dòng).x(14)已知函數(shù)f(x) xcos.數(shù)歹u an滿足an2f(n) f(n 1) (n N )，貝U數(shù)歹U an的前 100項(xiàng)和(15)數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，曲線22 32 2、,.一C:(x y ) 4x y被稱為“四葉玫瑰線”(如圖所示)5分，不選或有錯(cuò)選得0分，其他得3分。給出

6、下列三個(gè)結(jié)論：曲線C關(guān)于直線y x對(duì)稱； 曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò) 1;存在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、邊長(zhǎng)為 我的正方形,使得曲線C在此正方形區(qū)域內(nèi)(含邊界). 其中，正確結(jié)論的序號(hào)是 .注：本題給出的結(jié)論中，有多個(gè)符合題目要求。全部選對(duì)得、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。(16)(本小題14分)在 ABC 中，bsin A= acos(B- ).6(I)求 B ;(n)若 c = 5 , .求 a .從b = 7,C =這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分。(17)(本小題14分)CFBE如圖，在三

7、棱柱 ABC- AB1C1中，平面ACCAA平面ABC ,四邊形ACC1A1是正方形，點(diǎn) D , E 分別是棱 BC , B0 的中點(diǎn)，AB=4, AA1 = 2 , BC = 2J5 .(I)求證：AB a CC1 ；(n)求二面角 D- AC1- C的余弦值；(出)若點(diǎn)F在B1C1上，且BQ = 4BF ,判斷平面AGD 與平面A1EF是否平行，并說(shuō)明理由.(18)(本小題14分)某科研團(tuán)隊(duì)研發(fā)了一款快速檢測(cè)某種疾病的試劑盒.為了解該試劑盒檢測(cè)的準(zhǔn)確性，質(zhì)檢部門從某地區(qū)(人數(shù)眾多)隨機(jī)選取了 80位患者和100位非患者，用該試劑盒分別對(duì)他們進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果如下：患者的檢測(cè)結(jié)果人數(shù)陽(yáng)性76陰性

8、4非患者的檢測(cè)結(jié)果人數(shù)陽(yáng)性1陰性99(I)從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取一人，對(duì)其檢測(cè)一次，估計(jì)此患者檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的概率；(n)從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取3人，各檢測(cè)一次，假設(shè)每位患者的檢測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立，以X表示檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的患者人數(shù)，利用(I)中所得概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(出)假設(shè)該地區(qū)有10萬(wàn)人，患病率為0.01 .從該地區(qū)隨機(jī)選取一人，用該試劑盒對(duì)其檢測(cè)一次.若檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，能否判斷此人患該疾病的概率超過(guò)0.5?并說(shuō)明理由.(19)(本小題14分) 22已知橢圓C:x2 與 1(a b 0),圓O:x2 y2 r2 ( O為坐標(biāo)原點(diǎn)).過(guò)點(diǎn)(0, b)且斜率為1的 a b直線與圓O交于

9、點(diǎn)(1,2),與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-.5(I )求橢圓C的方程和圓O的方程；(n)過(guò)圓O上的動(dòng)點(diǎn)p作兩條互相垂直的直線11, 12,若直線11的斜率為k(k 0)且I1與橢圓C相切，試判斷直線12與橢圓C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.(20)(本小題15分)已知函數(shù)f xexx 1(I)求曲線y f (x)在點(diǎn)(0, f (0)處的切線方程;(n)判斷函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；(出)設(shè)Xo是f (x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線 y ex在點(diǎn)(X0,ex0)處的切線也是曲線 y lnx的切線.(21)(本小題14分)設(shè)數(shù)列A:a,a2,K a (n 3)的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且 &

10、 a? L an ,若對(duì)任意k 3,4, L ,n,存在正整數(shù)i,j(1 i j k)使得ak ai aj ,則稱數(shù)列A具有性質(zhì)T .(I)判斷數(shù)列 A1:1,2,4,7與數(shù)列A：1,2,3,6是否具有性質(zhì)T ;(只需寫出結(jié)論)(n )若數(shù)列 A具有性質(zhì)T ,且a1 1 , a2 2 , a0200 ,求n的最小值；(出)若集合 S 1,2,3,L ,2019,2020 G U S2 U S3 U S4 U S5 U 0 ,且 Si I Sj (任意 i, j 1,2,L,6,i j ).求證：存在Si ,使得從S中可以選取若干元素 (可重復(fù)選取)組成一個(gè)具有性質(zhì)T的數(shù)列.北京力料陌區(qū)*三斗收

11、.等.數(shù)學(xué)參考答案第一都分（選捏18其加分J*（共*0小用水4升,共"分在母小列出的四個(gè)造*明送出符合目H采的一項(xiàng)）（nc（2H>d仁O)A(K)AN (MH：里二前分W應(yīng)捧卷共”0分）二.填全（共5小通,每小場(chǎng) 5分.技注 ：->）（ 12）5：4U» PM. 3 ）,第香爵I扶4小薪.誨85分解答點(diǎn)習(xí)力女字聿助.號(hào).應(yīng)仙叫設(shè)國(guó)） :I *F ll>N ：,1 因?yàn)?Aebml =ac9Md .n wM nr6(IVI5：'、'力 liv4，U *U -“”A = CU(X |V' Jlfti f L-J-.fi mitR所塌ft

12、ili(打O.d氏為：所LLA-； =OJK以 A-；< II)七艮D(zhuǎn)b = 7 .謝在A，l侑：中.山金抬泥座HI «：-5cr-24“二3或"一-3(含) PvM d R匚：.財(cái)”式EG=sin3* Ty3三.33 3a.e由if弦定可''timX HhC廣，： .喀”.J門rR7,在2- T峙以二烏-制，與士外干 *， ”、不（17）（本小題14分）解：（口因?yàn)樗倪呅蜛CC.%是正方形 所以 CC, ±4C.又因?yàn)槠矫?y平面HCG4 平面48CC平面 所以CC. J.平面ABC 又因?yàn)?8U平面ABC, 所以 A3±CCt.

13、（"）由知.cg08.mcg, 所以 41. XAH.乂 48 = 4,4C=m =2,8（7=26, 所以AB、ACC".所以ACXA3.如圖,以4為原點(diǎn).建立空間立角坐標(biāo)系一尸 所以彳("O,0).SyO,O),C(0,O,2),4(0.2.0).則有 D(2.O.1).“y.E(4,l.O).V - Ifil ACC的 法向坦為 “ =(.0 0) 設(shè)面ACtD的一個(gè)法向盤為v = (x，7.z), 又W = (2,0,1) ricf«(0,2t2),廣n=0,f2xeo,由一得> ACt =0.(2y+2z = 0.令寵=1,貝!工=-2,

14、尸=2.所以 v = (l,2,-2).設(shè)二面角OTg-C的平面角為凡則18s川匕“ 二-L JIwlIvl 1x3 3由題知，二面角D-ACC為銳角，所以其余弦值為g.（川）平面彳GO與平面用£尸不平行.理由如下：由（口）知，平面4cM的一個(gè)法向量為，=（1,2,-2） .布=（4,-1,0）,所以五 y = 2/0,所以4£與平面4g不平行.又因?yàn)槎?#163;U平面冬£尸， 所以平面4Go與平面4£尸不平行 分第三數(shù)學(xué)叁考答案 第2負(fù)（共7頁(yè)）(18)(本小我14分)(1)由題意知,80位患者中有76位川該試劑盒檢測(cè)一次，結(jié)果為陽(yáng)性所以從該地區(qū)患者

15、中輪機(jī)選取一位，用該試劑盒檢測(cè)一次結(jié)果為陽(yáng)性的概率估計(jì)為76 19«0 一 2(/(D)由題意可知"伙川，具中 = 3/= X的所有可能的取值為0,1,2,3. "=0)=砥舄。x)，=_!.20'20，8000”207 120，8000 ,P(* = 2)=C；(梟 X，”=儂 20v20 780009(* = 3)=6(當(dāng) *_1)。=竺史2。'20，8000'所以X的分布列為(111)此人患該疾病的概率未超過(guò)05.理由如下：由題意得，如果該地區(qū)所行人用該試劑盒檢測(cè)一次,那么結(jié)果為陽(yáng)性的人數(shù)為99°00X'5'

16、H000x/ = 990+950= 1940 .其中患者人數(shù)為 950.若某人檢惻結(jié)果為陽(yáng)性.那么他患該疾病的概率為瀛篇=。5 所以此人®該帙病的或華為也過(guò)35.神二池"年巧格,笏袋、蚊(我n9、（20）（木小題15分）解：（1 ）因?yàn)?«）= /£，2所以/（0） = 0°-言所以曲線=/（%）在點(diǎn)（0, /（。）處的切線的方程為3x-/+2 = 0（n ）函數(shù)/（,）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).理由如下：/（動(dòng)的定義域?yàn)?因?yàn)?'（*）=，+；=>0.#一】）所以/（*）在（-8,1）和（1.E）上均單調(diào)遞增.因?yàn)?= 2>0,

17、/（ -2）=e1-y<0t-'鑰"所以/（*）在（-8.1）上有唯一零點(diǎn)因?yàn)?（2 ） = J -3>0；-9<0,所以/（ “）在（1, +8）上有唯一零點(diǎn)打 綜上，/（工）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).（in）曲線在點(diǎn)（%,6）處的切線方程為廣小=?！啊＃?與）,即 y = e,fx-x0e>o*eAf.設(shè)由線y = lnx在點(diǎn)（x§ 力）處的切線斜率為則”=L少工人=，叩切點(diǎn)為（上,-”44 c e 所以曲線y = lnx在點(diǎn)（L,r J處的切級(jí)方程為e”y*x0 = ea>（x-，即 y = e"xrL因?yàn)锳是/（ X）的一個(gè)零

18、點(diǎn)，所以e" =二.x0-lxo +1所以r°e=+e" =l-x0）= -（ 1 r°） = - 1 r0.工115分所以這兩條切線重合.所以結(jié)論成立.離三數(shù)學(xué)參考答案第5頁(yè)（氏7頁(yè)）(21)(本小題14分)*?：( I )數(shù)列&不只有性質(zhì)兀數(shù)列/具有性質(zhì)r(D )由題可知% = 2. W2a?=4.a“ W2o3w8g W2a7W128, 所以nH9.若"9.因?yàn)椤? = 200 且 a.W2a.,所以128>at>100同理.642。7 -50.32Na” *25. J6Na§N 12.5.8N6.25 ,4

19、鼻4 N3.125.內(nèi)為數(shù)列各項(xiàng)均為正整數(shù)，所以4=4所以數(shù)列前三項(xiàng)為1 ,2,4.因?yàn)閿?shù)利4只有性質(zhì)丁,3只可能為4,5,6.8之一,而又因?yàn)?Na,N6.25 所以a, = 8.同理.有。$ = 16.人=32.。/= 64.“=】28.此時(shí)數(shù)列為 1 ,2,4,8 J6.32,M J28.200.俏數(shù)列，"小"4J v /v9使得200 = ”,49，所以該數(shù)列不口外件麗T.所以統(tǒng)10.當(dāng) n = 10 Hl ,取 A ：l .2.4.8,16,32.36 .64 . 100.200.(構(gòu)造數(shù)列不唯一)經(jīng)臉證此數(shù)列具有性質(zhì)T.所以的最小值為10.(B1)反證法：假設(shè)結(jié)

20、論不成也.即對(duì)任怠S(i= 1,2,6)都有:箝。怙數(shù)"力w S. .<人,則b-a 0 S.力則，當(dāng)ad 時(shí),.4一。»片個(gè)具力竹質(zhì)廠的改列;當(dāng)a>b-Q時(shí)4-明。,力足個(gè)力性質(zhì)7的教的;n 時(shí)尼一個(gè)具的件質(zhì)r的數(shù)列/£，:知個(gè)發(fā)介小公少的個(gè)QQ的元求價(jià)數(shù)不少于337個(gè),不妨設(shè)If U A為3 .從，中取出337個(gè)數(shù)，記為5，。，°皿，且5<%一”所今豫臺(tái)“八，所以'GS"S、g 高三時(shí)學(xué)步學(xué)答案 第6頁(yè)(共7頁(yè))(ii )在當(dāng),5-5.$5,$6中至少有一個(gè)集合包含N,中的至少68個(gè)元素,不妨設(shè)這 個(gè)集合為 S,.從 S,CM 中取出 68 個(gè)數(shù).記為 b, >,. ,bM 6.<b2<-.<feM.令集合他= IJTJi=l.2,.67| QS.由假設(shè)!一4“.一、對(duì)任意A=l,2,68,存在為6 | I ,2,，336|使得d=。“一?！?所以對(duì)任意 i= 1 ,2,，67*-。,