六年級(jí)奧林匹克數(shù)學(xué)十七 容斥原理（一） 試題

1、十七、容斥原理（一）1.一個(gè)班有45個(gè)小學(xué)生,統(tǒng)計(jì)借課外書(shū)的情況是:全班學(xué)生都借有語(yǔ)文或數(shù)學(xué)課外書(shū).借語(yǔ)文課外書(shū)的有39人,借數(shù)學(xué)課外書(shū)的有32人.語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩種課外書(shū)都借的有 人.2.有長(zhǎng)8厘米,寬6厘米的長(zhǎng)方形與邊長(zhǎng)為5厘米的正方形,如圖,放在桌面上(陰影是圖形的重疊部分),那么這兩個(gè)圖形蓋住桌面的面積是 平方厘米.865433.在1100的自然數(shù)中,是5的倍數(shù)或是7的倍數(shù)的數(shù)有 個(gè).4.某區(qū)100個(gè)外語(yǔ)教師懂英語(yǔ)或俄語(yǔ),其中懂英語(yǔ)的75人,既懂英語(yǔ)又懂俄語(yǔ)的20人,那么懂俄語(yǔ)的教師為 人.5.六一班有學(xué)生46人,其中會(huì)騎自行車(chē)的17人,會(huì)游泳的14人,既會(huì)騎車(chē)又會(huì)游泳的4人,問(wèn)兩樣都不會(huì)

2、的有 人. 個(gè).7.在1至10000之間既不是完全平方數(shù),也不是完全立方數(shù)的整數(shù)有 個(gè).8.某班共有30名男生,其中20人參加足球隊(duì),12人參加藍(lán)球隊(duì),10人參加排球隊(duì).已知沒(méi)有一個(gè)人同時(shí)參加3個(gè)隊(duì),且每人至少參加一個(gè)隊(duì),有6人既參加足球隊(duì)又參加藍(lán)球隊(duì),有2人既參加藍(lán)球隊(duì)又參加排球隊(duì),那么既參加足球隊(duì)又參加排球隊(duì)的有 人. 個(gè).10.在100個(gè)學(xué)生中,音樂(lè)愛(ài)好者有56人,體育愛(ài)好者有75人,那么既愛(ài)好音樂(lè),又愛(ài)好體育的人最少有 人,最多有 人.11.某進(jìn)修班有50人,開(kāi)甲、乙、丙三門(mén)進(jìn)修課、選修甲這門(mén)課的有38人,選修乙這門(mén)課有的35人,選修丙這門(mén)課的有31人,兼選甲、乙兩門(mén)課的有29人,兼選

3、甲、丙兩門(mén)課的有28人,兼選乙、丙兩門(mén)課的有26人,甲、乙、丙三科均選的有24人.問(wèn)三科均未選的人數(shù)?12.求小于1001且與1001互質(zhì)的所有自然數(shù)的和.13.如圖所示,A、B、C分別代表面積為8、9、11的三張不同形狀的紙片,它們重疊放在一起蓋住的面積是18,且A與B,B與C,C與A公共部分的面積分別是5、3、4,求A、B、C三個(gè)圖形公共部分(陰影部分)的面積.ABC14.分母是385的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有多少個(gè),并求這些真分?jǐn)?shù)的和. 十七、容斥原理（一）(答案）第1道題答案： 26從圖中可以看出全班45人,借語(yǔ)文或數(shù)學(xué)課外讀物的共39+32=71(人),超過(guò)全班人數(shù)71-45=26(人),這26

4、人都借了語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩種課外書(shū)。共45人語(yǔ)文數(shù)學(xué)32人39人第2道題答案：67將長(zhǎng)方形和正方形面積相加，則圖中陰影部分即三角形面積被多算了一次，即這兩個(gè)圖形蓋住的圖形面積為(平方厘米).第3道題答案：32在1到100這100個(gè)自然數(shù)中,5的倍數(shù)有20個(gè),7的倍數(shù)有14個(gè),既是5的倍數(shù)又是7的倍數(shù)有2個(gè),故5的倍數(shù)或7的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是20+14-2=32.第4道題答案：45從圖中可以看出:懂俄語(yǔ)的人數(shù)(即陰影部分)等于總?cè)藬?shù)減去只懂英語(yǔ)的人數(shù),即100-(75-20)=45(人)2075英俄第5道題答案：19所求人數(shù)=全班人數(shù)-(會(huì)騎車(chē)人數(shù)+會(huì)游泳人數(shù)-既會(huì)騎車(chē)又會(huì)游泳人數(shù))=46-(17+14-4

5、)=19(人)會(huì)游泳會(huì)奇車(chē)全班第6道題答案：6857在1到10000中,能被5整除的有(個(gè)),能被7整除的有(個(gè)),能被35整除的有(個(gè)).因此能被5或7整除的共有2000+1428-285=3143(個(gè)).從而不能被5或7整除的有10000-3143=6857(個(gè)).第7道題答案：9883110000中完全平方數(shù)有100個(gè)(因?yàn)?002=10000),完全立方數(shù)有21個(gè)(因?yàn)?13<10000<223),完全六次方數(shù)有4個(gè)(因?yàn)?6<10000<56).故110000中是完全平方數(shù)或完全立方數(shù)的數(shù)共有 100+21-4=117(個(gè));從而既不是完全平方數(shù),又不是完全立

6、方數(shù)的數(shù)有 10000-117=9883(個(gè)).第8道題答案：410122062x排球隊(duì)足球隊(duì)藍(lán)球隊(duì)如圖所示,設(shè)既參加是球隊(duì)又參加排球隊(duì)的人數(shù)為x,則依容斥原理,有20+12+10-6-2-x=30,解得x=4.第9道題答案：72011001中,有7的倍數(shù)(個(gè));有11的倍數(shù)(個(gè)),有13的倍數(shù)(個(gè));有7´11=77的倍數(shù)(個(gè)),有7´13=91的倍數(shù)(個(gè)),有11´13=143的倍數(shù)(個(gè)).有1001的倍數(shù)1個(gè).由容斥原理知:在11001中,能被7或11或13整除的數(shù)有(43+91+7)-(13+11+7)+1=281(個(gè)),從而不能被7、11或13整除的數(shù)有

7、1001-281=720(個(gè)).也就是說(shuō),分母為1001的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)有720個(gè).第10道題答案：31,56如圖,當(dāng)100人都是或者音樂(lè)愛(ài)好者,或者體育愛(ài)好者時(shí),這兩者都愛(ài)好的人數(shù)為最小值即56+75-100=31(個(gè)).當(dāng)所有的音樂(lè)愛(ài)好者都是音樂(lè)愛(ài)好者時(shí),這兩者都愛(ài)好的人數(shù)最大可為56人. 音樂(lè)愛(ài)好者 體育愛(ài)好者第11道題答案： 如圖,選甲乙而不選丙的有a=29-24=5(人),選甲丙而不選乙的b=28-甲乙丙24abcde24=4(人),選乙丙而不選甲的有c=26-24=2(人), 僅選了丁的人有d=35-24-a-c=4(人),僅選了丙的人有e=31-24-b-c=1(人),故少選了一科的人

8、數(shù)是:甲+d+c+e=45(人),故三門(mén)均未選的人數(shù)為50-45=5(人).第12道題答案：和真分?jǐn)?shù) (a與1001互質(zhì))是成對(duì)出現(xiàn)的,故上述720個(gè)真分?jǐn)?shù)可以分成360對(duì),每一對(duì)=數(shù)之和為1,故上述720個(gè)分母是1001的真分?jǐn)?shù)之和為360.所以所有小于1001且與1001互質(zhì)的數(shù)之和為360´1001=360360.第13道題答案：設(shè)陰影部分的面積是x,由容斥原理知 28-(5+3+4)+x=18, 故x=2.第14道題答案：因?yàn)?85=5´7´11,故在1385這385個(gè)自然數(shù)中,5的倍數(shù)有(個(gè)),7的倍數(shù)有(個(gè)),11的倍數(shù)有(個(gè)), 5´7=35的倍數(shù)有(個(gè)),5´11=55的倍數(shù)有(個(gè)),7´11=77的倍數(shù)有=5(個(gè)),385的倍數(shù)有1個(gè).由容斥原理知,在1385中能被5、7或11整除的數(shù)有77+55+35-(11+7+5)+1=145(個(gè)),而5、7、11互質(zhì)的數(shù)