高等數(shù)學(xué)教學(xué)教案§7 3齊次方程 §74 線性微分方程

1、六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)專用資料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel：153273761177. 3 齊次方程7.4 線性微分方程授課次序44教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題7. 3 齊次方程7.4 線性微分方程教學(xué)方法當(dāng)堂講授，輔以多媒體教學(xué)教學(xué)重點(diǎn)齊次方程和一階線性方程的解法教學(xué)難點(diǎn)齊次方程和一階線性方程的解法參考教材同濟(jì)大學(xué)編高等數(shù)學(xué)（第6版）自編教材高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程作業(yè)布置高等數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)雙語(yǔ)教學(xué)導(dǎo)數(shù)：derivative； 微分：differential calculus；微分方程：differential equation；階：order ；常微分方程：or

2、dinary differential equation ；偏微分方程：partial differential equation；解：solution；通解：general solution；特解：special solution；初始條件：initial condition課堂教學(xué)目標(biāo)1 掌握一階線性方程的解法2 會(huì)解齊次方程、伯努利方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程教學(xué)過(guò)程1齊次方程（30min）；2一階線性方程（40min）；3伯努利方程（10min）；4變量代換解某些微分方程（10min）教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容7. 3 齊次方程 齊次方程: 如果一階微分方程中的函數(shù)f(x, y)

3、可寫成的函數(shù), 即, 則稱這方程為齊次方程. 下列方程哪些是齊次方程？ (1)是齊次方程. (2)不是齊次方程. (3)(x2+y2)dx-xydy=0是齊次方程. . (4)(2x+y-4)dx+(x+y-1)dy=0不是齊次方程. (5)是齊次方程. 齊次方程的解法: 在齊次方程中, 令, 即y=ux, 有, 分離變量, 得 . 兩端積分, 得 . 求出積分后, 再用代替u, 便得所給齊次方程的通解. 例1 解方程. 例2 有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡, 假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行. 求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 設(shè)此凹鏡是由xOy面上曲線L: y=y(x)(y0)

4、繞x軸旋轉(zhuǎn)而成, 光源在原點(diǎn). 在L上任取一點(diǎn)M(x, y), 作L的切線交x軸于A. 點(diǎn)O發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)M反射后是一條平行于x軸射線. 由光學(xué)及幾何原理可以證明OA=OM, 因?yàn)?, 而 . 于是得微分方程,整理得. 這是齊次方程. 問(wèn)題歸結(jié)為解齊次方程. 令, 即x=yv, 得, 即 , 分離變量, 得, 兩邊積分, 得 , , , 以yv=x代入上式, 得. 這是以x軸為軸、焦點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線, 它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 .這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 例3 設(shè)河邊點(diǎn)O的正對(duì)岸為點(diǎn)A, 河寬OA=h, 兩岸為平行直線, 水流速度為a, 有一鴨子從點(diǎn)A游向點(diǎn)O, 設(shè)鴨子的游速為b(b

5、a), 且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn) O. 求鴨子游過(guò)的跡線的方程. 解 取O為坐標(biāo)原點(diǎn), 河岸朝順?biāo)较驗(yàn)閤軸, y 軸指向?qū)Π? 設(shè)在時(shí)刻t鴨子位于點(diǎn)P(x, y), 則鴨子運(yùn)動(dòng)速度 , 故有. 另一方面, , . 因此, 即. 問(wèn)題歸結(jié)為解齊次方程. 令, 即x=yu, 得 , 分離變量, 得, 兩邊積分, 得 , 將代入上式并整理, 得. 以x|y=h=0代入上式, 得, 故鴨子游過(guò)的軌跡方程為 , 0yh. 將代入后的整理過(guò)程: . 7.4 線性微分方程 一、 線性方程 線性方程: 方程叫做一階線性微分方程. 如果Q(x)0 , 則方程稱為齊次線性方程, 否則方程稱為非齊次線性方程. 方

6、程叫做對(duì)應(yīng)于非齊次線性方程的齊次線性方程. 下列方程各是什么類型方程？ (1)是齊次線性方程. (2) 3x2+5x-5y=0y=3x2+5x , 是非齊次線性方程. (3) y+y cos x=e-sin x , 是非齊次線性方程. (4), 不是線性方程. (5)或, 不是線性方程. 齊次線性方程的解法: 齊次線性方程是變量可分離方程. 分離變量后得, 兩邊積分, 得, 或, 這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數(shù)）. 例1 求方程的通解. 非齊次線性方程的解法: 將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成x的未知函數(shù)u(x), 把 設(shè)想成非齊次線性方程的通解. 代入非齊次線性方程求得 , 化

7、簡(jiǎn)得 , , 于是非齊次線性方程的通解為 , 或 . 非齊次線性方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個(gè)特解之和. 例2 求方程的通解. 例3 有一個(gè)電路如圖所示, 其中電源電動(dòng)勢(shì)為E=Emsinwt(Em、w都是常數(shù)), 電阻R和電感L都是常量. 求電流i(t). 解 由電學(xué)知道, 當(dāng)電流變化時(shí), L上有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì). 由回路電壓定律得出 , . 把E=Emsinw t代入上式, 得. 初始條件為 i|t=0=0. 方程為非齊次線性方程, 其中, . 由通解公式, 得 . 其中C為任意常數(shù). 將初始條件i|t=0=0代入通解, 得, 因此, 所求函數(shù)i(t)為 . 二、伯努利方程 伯努利方程: 方程 (n0, 1)叫做伯努利方程. 下列方程是什么類型方程？ (1), 是伯努利方程. (2), , 是伯努利方程. (3), , 是伯努利方程. (4), 是