側(cè)位停車數(shù)學(xué)建模

1、一.問(wèn)題重述側(cè)位停車是指駕駛員在停車位時(shí)利用自身的倒車技巧，使車輛按照一定的行駛軌跡，安全的，在不觸碰到兩邊車輛的前提下，讓自己的車停到規(guī)定好的停車位上。側(cè)位停車常常會(huì)出現(xiàn)許多兩車碰擦的情況，通常時(shí)由于駕駛員技術(shù)的生疏或者不熟練，亦或是停車位長(zhǎng)寬大小建造的不科學(xué)。正確的科學(xué)的停車位建設(shè)，能在給駕駛員提供充足的停車空間的條件下，盡可能的節(jié)約場(chǎng)地，對(duì)于當(dāng)今停車位緊缺的問(wèn)題具有相當(dāng)大積極意義。現(xiàn)在我們根據(jù)題中所給的條件，研究停車位寬度一定時(shí)，車位長(zhǎng)度最小的情況，以及保證車輛正常停車時(shí)，停車位長(zhǎng)度與車輛可供行駛的道路寬度的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型解決以下問(wèn)題：?jiǎn)栴}（1），在可供行駛的道路寬度足夠大時(shí)，求車位

2、長(zhǎng)度的最小值。汽車如果可供行駛寬度y足夠大，車輛要能夠停進(jìn)這個(gè)車位（車輛只能倒車，不能前進(jìn)），車位長(zhǎng)度x最小為多少？假設(shè)車輛的初始位置與車位平行，求出車輛的初始位置、倒車入庫(kù)過(guò)程中方向盤位置a的取值變化和車前輪的軌跡。（2）如果y不是足夠大（當(dāng)然y肯定大于車寬），那么x和y滿足什么條件的情況下，車輛只通過(guò)倒車就能停進(jìn)車位（車輛只能倒車不能前進(jìn)）？（3）設(shè)y=2000mm，求出倒車過(guò)程中方向盤調(diào)整次數(shù)最少時(shí)x的最小值，以及此時(shí)倒車過(guò)程中a的取值變化。二問(wèn)題分析城市中建立起愈來(lái)愈多住房區(qū)，超市，商場(chǎng)，同時(shí)又由于人民收入水平的增加，越來(lái)越多的人加入到了“有車一族”的行列。城市建設(shè)和有車一族的人們對(duì)停

3、車位的需求越來(lái)越大。而城市里的土地資源的緊張，則對(duì)我們?nèi)绾我?guī)劃一個(gè)提高停車位利用率停車位提出了一定的要求。在此同時(shí)，由于一個(gè)個(gè)新手駕駛員的技術(shù)不熟練和內(nèi)在的不自信，建設(shè)的停車位又要能容許他們的操控誤差。針對(duì)問(wèn)題（1），我們考慮到了在停車位寬度一定的情況下，汽車恰好切入停車位的情況（忽略了汽車倒車時(shí)速度的大?。?。此時(shí)利用一定的幾何知識(shí)，我們可以求得所求的停車位最小長(zhǎng)度。同時(shí)結(jié)合汽車的最小轉(zhuǎn)彎半徑，我們確定了汽車轉(zhuǎn)彎的圓心，并建立了直角坐標(biāo)系，求得汽車停車時(shí)前輪的運(yùn)動(dòng)軌跡。針對(duì)問(wèn)題（2）我們根據(jù)問(wèn)題中討論情況，我們選取汽車恰好能停入停車位的情況，繼而求得道路寬度與車位長(zhǎng)度之間的關(guān)系。針對(duì)問(wèn)題（3）

4、我們?cè)趩?wèn)題（1）的基礎(chǔ)上，選取圓弧軌跡最少的一次，起軌跡變化的次數(shù)既是所要求方向盤改變的最小次數(shù)。模型建立2.1車輛初始位置的初步探討初始位置的確定有幾個(gè)較重要的條件，分別為：(1)泊車時(shí)須保證車身不能和前一車位發(fā)生空間碰撞，需確定極限轉(zhuǎn)彎最遠(yuǎn)點(diǎn)的值；(2)把路旁停車位假想為一個(gè)停車庫(kù)，泊車過(guò)程中車身不能和車庫(kù)的庫(kù)底發(fā)生碰撞，車輪不能和庫(kù)邊發(fā)生碰撞。(3)采用極限轉(zhuǎn)彎半徑，即最小轉(zhuǎn)彎半徑，來(lái)確定最小停車位長(zhǎng)度從而約束泊車初始位置。極限轉(zhuǎn)彎最遠(yuǎn)點(diǎn)值的確定如圖示IV1所示，F(xiàn)代表泊車初始位置，MNPQ代表車位趨勢(shì)，把方向盤打到極限位置后，以低速穩(wěn)定車速轉(zhuǎn)彎。圖示IV1 極限轉(zhuǎn)彎最遠(yuǎn)點(diǎn)值的計(jì)算示意圖

5、試驗(yàn)車最小轉(zhuǎn)彎半徑r=5500mm，車寬w=1778mm，EF=500ram，車輛中心點(diǎn)距車位角點(diǎn)距離為NE，可計(jì)算得出極限轉(zhuǎn)彎最遠(yuǎn)點(diǎn)NE的值。NE的確定對(duì)泊車初始位置的確定有著實(shí)際的意義。2.2最短停車位長(zhǎng)度的確定如果停車位長(zhǎng)度較長(zhǎng)，車輛泊車的初始位置較合理，泊車“二個(gè)步驟即可完成泊車。一般來(lái)說(shuō)，停車位空間較長(zhǎng)時(shí)，兩平行車輛間存在著一最佳水平距離，車輛“兩次泊車”即可完成泊入停車位。圖示IV2所示的最小停車位空間示意圖中，車輛“兩次泊車可泊入車位。顯然，車輛初始位置不同，“兩次泊車”泊入停車位空間時(shí)，所必需的停車位長(zhǎng)度是不同的。當(dāng)泊車轉(zhuǎn)向角最小時(shí)，停車位有一個(gè)極限值，稱為最小停車位。泊車入位

6、過(guò)程中，當(dāng)方向盤打死到極限轉(zhuǎn)彎的狀態(tài)，車輛“兩次泊車完成泊入停車位空間時(shí)，所占用的停車位長(zhǎng)度最小。圖示IV2 平行泊車最小停車空間示意圖泊車準(zhǔn)備時(shí)車輛放于F點(diǎn)，逐漸行駛到N點(diǎn)，此時(shí)恰好為泊車時(shí)內(nèi)側(cè)車頭恰好與前方車輛不碰撞的位置狀態(tài)。當(dāng)車輛到達(dá)S點(diǎn)位置時(shí)，車身方向角大約為45左右，此時(shí)反打方向盤直至方向盤打死。當(dāng)?shù)竭_(dá)T點(diǎn)時(shí)，為防止車尾與后方車輛、右車輪與右側(cè)路邊相碰撞，取車尾與后車頭部、車身與右側(cè)路邊最短距離為100mm，最小停車位的約束值為：其中，NE的計(jì)算見本條中“泊車初始位置的初步探討，r、l與w分別為車輛最小轉(zhuǎn)彎半徑，車輛長(zhǎng)度與寬度，500表示在泊車預(yù)備時(shí)泊車距離車道實(shí)線的最小安全距離，

7、單位為mm。代入試驗(yàn)車相關(guān)參數(shù)，可得：NP的最小值=2321mm，QP的最小值=5855mm。經(jīng)過(guò)多次軌跡的仿真，最小停車位的幾何參數(shù)定為長(zhǎng)度58m，寬度22m。對(duì)于試驗(yàn)車來(lái)說(shuō)，停車位空間不小于58m掌22m時(shí)，車輛可完成泊入停車位。停車位的長(zhǎng)度對(duì)于泊車成功與否起著重要的作用，上述的最小停車位長(zhǎng)度是一個(gè)相對(duì)寬松的極限值。車輛“兩次泊車可泊入停車位，所需車位長(zhǎng)必須大于或等于最小停車位。在平行泊車過(guò)程中，判斷泊車能否成功，首先應(yīng)檢測(cè)停車位空間大小，使其不小于最小停車位的大小。2.3普通停車位空間大小的確定停車位空間大小對(duì)平行泊車難度系數(shù)影響很大，停車位空間由車位長(zhǎng)度和車位寬度確定。車位空間越大，泊

8、車?yán)щy程度相對(duì)較??；車位空間越小，泊車?yán)щy系數(shù)就越大。圖示IV3 平行泊車普通車位空間坐標(biāo)圖如圖示IV3，普通車位大小標(biāo)記為*，代表車位長(zhǎng)，代表車位寬，矩形abcd表示試驗(yàn)車，o代表車輛的幾何中心點(diǎn)。環(huán)繞車位的三面標(biāo)記為BK、FT和SE，q為車身方向角，即車身與水平方向的夾角，定義逆時(shí)針為正。泊車時(shí)，駕駛員反打方向盤的時(shí)刻為，當(dāng)車身方向角接近于45時(shí)，極少會(huì)達(dá)到45。在實(shí)際泊車過(guò)程中，大多數(shù)駕駛員會(huì)潛意識(shí)地躲避車位頂點(diǎn)N點(diǎn)(見圖示IV2)，很少一開始就把方向盤打死的，基本都是逐漸加大方向盤轉(zhuǎn)角，直到打死；在接近45至最大車身方向角時(shí)，一般維持方向角不變一段時(shí)間，保證反打方向盤時(shí)車頭不會(huì)碰撞到N

9、點(diǎn)，才開始反打方向盤；反打方向盤時(shí)，逐漸加大角度，直至反向打死。通過(guò)多次平行泊車軌跡計(jì)算與仿真，確定停車位長(zhǎng)度為75 m比較理想。這樣，任意車輛長(zhǎng)度不大于55 m，最小轉(zhuǎn)彎半徑不大于6m的小轎車“兩次泊車即可泊入停車位。其中，停車位寬度采用標(biāo)準(zhǔn)的路旁停車位寬度22所，和NP的最小值=22m吻合。這樣，確定普通車位大小為：=75m，=22m若有停車位空間滿足長(zhǎng)度不小于75 m，寬度不小于22 m，則可認(rèn)為找到了適合的泊車空間，車輛很容易就能完成泊車。2.4車輛的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型即運(yùn)動(dòng)軌跡建立車輛側(cè)位停車的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，上文中建立了側(cè)位停車系統(tǒng)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。在此需要求車輛側(cè)位停車時(shí)車輪的運(yùn)動(dòng)軌跡。需

10、要建立車輛側(cè)位停車的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，以推導(dǎo)出車輛側(cè)位停車的運(yùn)動(dòng)軌跡方程式，作為后續(xù)研究側(cè)位停車系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)。下面是側(cè)位停車運(yùn)動(dòng)軌跡方程：圖示IV4為車輛泊車的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，其中（xf，yf)位前軸中心點(diǎn)坐標(biāo)，()為后軸中心點(diǎn)坐標(biāo)，v為前軸中心點(diǎn)速度，為軸距，為后輪距，f為前軸中心點(diǎn)轉(zhuǎn)向角，q為車輛中心軸與水平方向的夾角。正常情況下泊車速度很低(約5kmh)，由此假定無(wú)滑輪現(xiàn)象產(chǎn)生，后輪軌跡的垂直方向速度為0，其方程式表示如下： 而圖示IV4可知，前后軸中心點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系為： 對(duì)式進(jìn)行積分得速度關(guān)系式： 把式代入式，得 前后中心點(diǎn)的x，y方向速度為： 將式代入式，即可求得車輛回轉(zhuǎn)圓角速度為： 將和同時(shí)代

11、入式，即可求得后輪中心點(diǎn)x，y方向速度分別 最后對(duì)式求時(shí)間積分，并代入式后，在對(duì)時(shí)間積分即可求得后軸中心點(diǎn)的軌跡方程式： 根據(jù)圖示IV4中坐標(biāo)位置的關(guān)系，可進(jìn)一步求出左右輪中心點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程式：左輪： 右輪： 由式和式知，當(dāng)?shù)退俨窜?，且不考慮輪胎側(cè)滑時(shí)，后輪的行徑軌跡與輪距，軸距及前軸中心點(diǎn)轉(zhuǎn)向角有關(guān)，而與泊車速度無(wú)關(guān)。以試驗(yàn)車(軸距2548mm，后輪距1422mm)之相關(guān)尺寸參數(shù)為例，代入所推導(dǎo)之軌跡方程式中，前軸中心點(diǎn)左轉(zhuǎn)向角為10，泊車速度為5km/h，后輪的預(yù)測(cè)行進(jìn)軌跡如圖示IV5示：圖示IV5 轉(zhuǎn)向角為10時(shí)后輪倒車軌跡之回轉(zhuǎn)圓三模型求解對(duì)整個(gè)泊車過(guò)程成功與否影響較大的兩點(diǎn)為：1選

12、準(zhǔn)泊車起始位置2泊車入車位時(shí)的切入點(diǎn)。如 圖示V1和 圖示V2 所示。圖示V1 準(zhǔn)備泊車 圖示V2 調(diào)整方向盤 I平行泊車系統(tǒng)模型圖示IV3、圖示IV4、圖示IV5和圖示IV6為平行泊車步驟示意圖，其中停車位長(zhǎng)度為，停車位寬度為，車長(zhǎng)為l，車寬為w，平行車輛車a與車b問(wèn)水平距離為d。從圖示IV5可看出，泊車過(guò)程是后車輪改變方向反復(fù)畫圓弧的過(guò)程，但圓弧半徑與弧度要受到停車位空間和車輛參數(shù)的約束。圖示V3 泊車步驟一 圖示V4 泊車步驟二圖示V5 泊車步驟三 圖示V6 泊車步驟四在車輛平行泊車過(guò)程中，令步驟廳結(jié)束時(shí)后車輪泊車軌跡的轉(zhuǎn)角弧度為車軸與水平方向的夾角為qnt，如圖示IV8和圖示IV9所示

13、。那么有： ，其中n=1,2,3，當(dāng)車輛完全泊車入位時(shí)，即，n為泊車步驟，n=1,2，3泊車n個(gè)步驟后，后右輪中心點(diǎn)記為n(,)，車頭右端點(diǎn)記為 ()，后左輪中心點(diǎn)記為（)，車尾左端點(diǎn)記為 ()，n=a，b，c，d。如圖示V3所示，首先右打方向盤，使車身沿后車軸以半徑r1旋轉(zhuǎn)q1。泊車“一個(gè)步驟后，后右輪中心點(diǎn)記為a()，車頭右端點(diǎn)記為（），后左輪中心點(diǎn)記為（），車尾左端點(diǎn)記為()。容易得出：再左打方向盤，使車身沿后車軸以半徑旋轉(zhuǎn)，如圖示V4所示。泊車“兩個(gè)步驟后，后右輪中心點(diǎn)記為b(，)，車頭右端點(diǎn)記為()，后左輪中心點(diǎn)記為（），車尾左端點(diǎn)記為 ()。容易得出：接著右打方向盤，同理可推得 ：

14、依次往下推，可得到類似的結(jié)論：有了上述各點(diǎn)的坐標(biāo)值，在泊車過(guò)程中可對(duì)車輛車身進(jìn)行精確的定位，在自動(dòng)尋軌算法中對(duì)泊車軌跡進(jìn)行精確計(jì)算。設(shè)車輛右車輪中心點(diǎn)橫坐標(biāo)值為，左下角縱坐標(biāo)值為，車輛自身參數(shù)中，車長(zhǎng)、車寬、前懸夠、最小轉(zhuǎn)彎半徑r，已知；道路參數(shù)中，平行車輛車與車b間水平距離d已知，車位寬CW按道路標(biāo)準(zhǔn)設(shè)為定值22m。當(dāng)車輛停在停車位正中央時(shí)，車輛與停車位右側(cè)水平最小距離為，車輛右后輪中心點(diǎn)與停車位右側(cè)水平距離為。由圖示IV可知：車輛泊車時(shí)車輪運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，車a要泊入停車位，泊車軌跡由參數(shù)與n決定。因此，對(duì)于一泊車任務(wù)，如何泊車就轉(zhuǎn)化為如何求未知參與qn的值，可以用以下方程式來(lái)表示：丄式等價(jià)與

15、 其中， 建立好平行泊車系統(tǒng)模型后，就可以根據(jù)泊車模型計(jì)算未知參數(shù)的值，從而確定如何泊車。下面論述如何根據(jù)車長(zhǎng)，、車寬、前懸、最小轉(zhuǎn)彎半徑、平行車輛水平距離、車位寬這些已知參數(shù)，來(lái)確定未知參數(shù)及的值。總體來(lái)說(shuō)，計(jì)算與的步驟可分為如下三個(gè)步驟：步驟一假設(shè)已知，求以q ()的值。步驟二優(yōu)化q，求出新的 ()值。步驟三確認(rèn)及q（)的值。其中步驟一可細(xì)化為以下4個(gè)分步驟：3.1首先令=，（)(1)車輛不可能“一次泊車就泊入停車位。首先假設(shè)車輛“兩次泊車”可泊入車位，此時(shí)包括，則有：由可以求出q的值，求出，此時(shí)兩平行車輛間距離為時(shí)的最小停車位，車輛恰好泊入停車位正中央。(2)假設(shè)車輛“三次泊車可泊入車位

16、，此時(shí)，則有：可求出，的值。其中為已知。以此類推，可依次求得的值。3.2步驟二可細(xì)化為以下4個(gè)分步驟：泊車過(guò)程中，車輛轉(zhuǎn)彎半徑和轉(zhuǎn)向角要受到車位長(zhǎng)度和車位寬度的約束，必須對(duì)步驟一中假設(shè)的和()進(jìn)行檢驗(yàn)并修正。 (1)假設(shè)車輛兩下可泊入給定停車位，那么停車位長(zhǎng)度一定大于等于最小停車位的值。, q在步驟一中(1)已求出，僅與兩平行車輛間水平距離有關(guān)。此時(shí)，車輛恰好恰好泊入停車位的正中央，無(wú)需修正。(2)假設(shè)軍輛二卜司泊入給定停車位，則q。將步驟一中(2)所求之代入， 若， 則增大代入中，求出新，重新代入，直到。如此循環(huán)，最終可求得和值。若，減小代入，以減小的值，從而求得和的值，再計(jì)算的值。（3）假

17、設(shè)車輛四下可泊入給定停車位，則。將步驟一中（3）所求值代入，若，則增大代入，求出新的重新代入，直到，如此循環(huán)往復(fù)，最終可求得和的值。已知，令=，則可求得。若，則增大重新計(jì)算，直到，如此重復(fù)循環(huán)，最終可求得；若，增大代入以增大的值。從而求得和的值，在回頭計(jì)算的值，直到滿足。（5）假設(shè)車輛五下可停入定停車位，則=.將步驟一（4）中所求之代入，若增大代入以增大的值，從而求得和的值，再回頭計(jì)算的值，直到滿足。(6)假設(shè)車輛五下可泊入給定停車位，則。將步驟一中（4）中所求值代入，若，增大的值代入中，求出心的重新代入，直到，如此循環(huán)，最終可求得和的值。 已知，令，則可求得。若，減小的值代入以減小的值，從而

18、求得的值，再計(jì)算的值。以此類推，可求得調(diào)整后的，及，。 3.3步驟三：及的修正步驟二計(jì)算出的及有時(shí)并不符合實(shí)際情況，例如會(huì)出現(xiàn)或。為車輛的最小轉(zhuǎn)彎半徑，即極限轉(zhuǎn)彎半徑，計(jì)算出的不能小于極限轉(zhuǎn)彎半徑，當(dāng)計(jì)算出的時(shí)，必須修正為。步驟一中的的計(jì)算是以停車位的空間未約束條件的，若修正的值變小，這就意味著車輛必定超出停車位空間，在實(shí)際生活中肯定碰擦到其他車輛或者超出原來(lái)的停車位。必須按照步驟二重新計(jì)算及，直到所有的參數(shù)，及，都符合實(shí)際為止。平行泊車軌跡的計(jì)算及初始位置的確定泊車過(guò)程中，車身不能和前后車位發(fā)生空間干涉，車輪與不能跨越路邊，需說(shuō)明一下符號(hào)代表含義：軸距設(shè)為，前懸;軸距加前懸設(shè)為，；泊車一次后

19、車輛的右上角到前方車輛的距離設(shè)為，；泊車一次后車輛的左下角到后方車輛的距離設(shè)為，一次泊車后車輛與路邊，后方車輛的距離分別為，二次泊車后車輛與路邊，前方車輛與后方車輛的距離分別為，圖示V7 泊車過(guò)程車身定位圖0步驟一：本文反向思考，先分析并 計(jì)算汽車已經(jīng)進(jìn)入停車場(chǎng)時(shí)的過(guò)程， 如圖 Fig.4 所示。以停靠之后的汽車的 中心坐標(biāo)軸為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系， 可以得到車右下角端點(diǎn)即點(diǎn) A 的坐標(biāo)為：Fig.4入庫(kù)后示意圖通過(guò)分析可知，汽車中心的軌跡的方程為：（4-1 那么，汽車的右側(cè)的相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程為 （4-2）下面以A點(diǎn)為基準(zhǔn)點(diǎn)，計(jì)算A點(diǎn)到達(dá)遠(yuǎn)的部分的切點(diǎn)。設(shè)這個(gè)切點(diǎn)為B點(diǎn)，B的具體坐標(biāo)為另外

20、通過(guò)對(duì)幾何圖形 Fig.4 的分析，延長(zhǎng) AB 交橫軸于一點(diǎn)，他與橫軸正方向 所形成的角為4，由于此處為切線，那么有到，可以得到步驟二：分析并計(jì)算汽車從路邊進(jìn)入停 車場(chǎng)的過(guò)程，如圖 Fig.5 所示。以車右后輪 為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)，得到車的右側(cè)中心 點(diǎn) C 點(diǎn)的坐標(biāo)和車的軌跡的圓心點(diǎn) D 的坐 標(biāo)。五、模型檢驗(yàn)上一小節(jié)中建立了泊車入位的模型，本節(jié)將帶入相關(guān)數(shù)據(jù)，求解模型， 驗(yàn)證模型的合理性。（1）Matlab 編程以及計(jì)算結(jié)果如下： a,b=solve(a+5060)2+b2=61702,b*(b+3750)=-(a+1100)*(a+5060)b =275220/33049 + (33935000*43(1/2)*i)/99147275220/33049 - (33935000*43(1/2)*i)/99147a =- 475861250/99147 + (11945120*43(1/2)*i)/33049- 475861250/99147 - (11945120*43(1/2)*i)/33049顯然，模型在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解。嘗試修改停車位的長(zhǎng)度來(lái)尋找是否有實(shí)數(shù)解 的存在。（2）逐步增加停車位的長(zhǎng)度，直到將停車位的長(zhǎng)度設(shè)置為汽車車長(zhǎng)的 2 倍時(shí)， 模型在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)才有實(shí)數(shù)解。其計(jì)