-動(dòng)點(diǎn)問題中的最值最短路徑問題解析版

1、專題01動(dòng)點(diǎn)問題中的最值、最短路徑問題動(dòng)點(diǎn)問題是初中數(shù)學(xué)階段的難點(diǎn)，它貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)，自數(shù)軸起始，至幾何圖形的存在性、幾何圖形的長(zhǎng)度及面積的最值，函數(shù)的綜合類題目，無不包含其中其中尤以幾何圖形的長(zhǎng)度及面積的最值、最短路徑問題的求解最為繁瑣且靈活多變，而其中又有一些技巧性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)思想（轉(zhuǎn)化思想），本專題以幾個(gè)基本的知識(shí)點(diǎn)為經(jīng)，以歷年來中考真題為緯，由淺入深探討此類題目的求解技巧及方法.一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)綜述1 .兩點(diǎn)之間，線段最短;2 .垂線段最短；3.若A、B是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩定點(diǎn)，P是某直線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P、AB在一條直線上時(shí)，PAPB最大，最大值為線段AB的長(zhǎng)（如下圖所示）4 .最短路徑

2、模型（1）單動(dòng)點(diǎn)模型作圖方法：作已知點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接成線段與動(dòng)點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)的位置.如下圖所示，P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PB的最小值的作圖a0時(shí)，y有最小值k；當(dāng)a0）經(jīng)過點(diǎn)A（1,0）,點(diǎn)Mm。）是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)Q（b1,yQ）在拋物線上，當(dāng)J2AM2QM的最小值為應(yīng)2時(shí)，求b24的值.例5.（2019舟山）如圖，一副含30和45角的三角板ABC和 EDFEDF 拼合在個(gè)平面上，邊AC與EFEF 重合，AC12cm.當(dāng)點(diǎn) E E 從點(diǎn) A A 出發(fā)沿AC方向滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn) F F 同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)沿射線BC方向滑動(dòng).當(dāng)點(diǎn) E E 從點(diǎn) A A 滑動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，

3、點(diǎn) D D 運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為cm；連接 BD,BD,則ABDABD 的面積最大值為cm例6.(2019巴中)如圖，在菱形ABCD連接BDAC交于點(diǎn)Q過點(diǎn)O作OHLBC于點(diǎn)H,以O(shè)為圓心，OH半徑的半圓交AC于點(diǎn)M(1)求證：DC是圓O的切線；(2)若AG4MC且AC=8,求圖中陰影部分面積；(3)在(2)的前提下，P是線段BD上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PD為何值時(shí)，PHPM的值最小，并求出最小值.專題01動(dòng)點(diǎn)問題中的最值、最短路徑問題（解析）例1. （2019涼山州） 如圖， 正方形ABC珅，AB=12,AE=3,點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng) （不與B、C重合） ， 過點(diǎn)P作PQLEP,交CD于點(diǎn)Q則CQW最大值為【答

4、案】4.【解析】解：:PQLEP,/EPQ90,即/EPB/QPC90,四邊形ABCDI正方形，./B=ZC=90,/EPB/BEP=90,/BEE/QPCBE%CPQBEBPCPCQAB=12,AE=3,BE=9,設(shè)CRy,BP=x,CP=12-x,(0 x0,Q點(diǎn)在第四象限,取N（1,0）,連接AN過M作MG_AN于G連接QM如圖所示,例4.（2019天津）已知拋物線2yxbxc(b、c為吊數(shù)，b0)經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)Q(b1,yQ）在拋物線上，當(dāng)J2AM2QM的最小值為33&24Mm0),求b【解析】解：.一2xbxc經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),1-1+b

5、+c=0,即2xbxb11.點(diǎn)Q(b,yQ2）在拋物線2.yxbxc上,J2AM2QM2AM2QM所以只要構(gòu)造出AMQM即可得到2亞AM2QM的最小值A(chǔ)GM等腰直角三角形,此時(shí)MQ圉等腰直角三角形,_-一一b.QMI,2QH=.221-2m,解得:一,33、.2的最小值為33上時(shí)，b=4.4之間線段最短及等腰三角形性質(zhì)求解例5.（2019舟山）如圖，一副含30和45角的三角板ABC和 EDFEDF 拼合在個(gè)平面上，邊AC與EFEF 重合，AC12cm.當(dāng)點(diǎn) E E 從點(diǎn) A A 出發(fā)沿AC方向滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn) F F 同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)沿射線BC方向滑動(dòng).當(dāng)點(diǎn) E E 從點(diǎn) A A 滑動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn) D

6、 D 運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為cm；連接 BD,BD,則ABDABD 的面積最大值為GMAM,即當(dāng)GMQ三點(diǎn)共線時(shí),GMMQX最小值，即,2AM2QM取最小值,.2AM2QM2QM=2-ft聯(lián)立得:b=4.【點(diǎn)睛】此題需要利用等腰直角三角形將J2AM2QM轉(zhuǎn)化為2名AMQM進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn),GMAM QHMH即當(dāng),2AM2QM2cm【答案】24-12、2;36,224312,6【解析】解：如圖1所示，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)至E,F滑動(dòng)到F時(shí),過DdDGAC于GDhlBC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,可得/EDG=/FDH,DE=DF,.WED8RtAFDH,.QG=GH,.D在/ACH勺角平分線上，即C,D,D三點(diǎn)共線.通過分析可

7、知，當(dāng)DELAC時(shí)，DD的長(zhǎng)度最大，隨后返回初始D點(diǎn)，如圖2所示,徑為AD-D,行走路線長(zhǎng)度為2DD;D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路圖2BAG30,AG=12,DE=CDBO4.3,CD=DE=6、,2,由圖知：四邊形ECFD為正方形，CD=EF=12,.DD=CD-CD=12-6夜，D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程為2DD=24-12夜；時(shí)，ABD的面積最大，最大面積為：SABDF62126.21624.3622=36、.224,312.6【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確利用全等、角平分線判定得到D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是關(guān)鍵，利用三角函數(shù)及勾股定理求解,如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至DSAABCS正方形ECFDSAAED243836222A(E)A(E)C(F)

8、計(jì)算較為繁瑣，尤其是利用割補(bǔ)法求解三角形的面積時(shí)對(duì)學(xué)生計(jì)算能力要求較高，此題難度較大，新穎不例6.(2019巴中)如圖，在菱形ABCDK連接BDAC交于點(diǎn)Q過點(diǎn)O作OHLBC于點(diǎn)H,以O(shè)為圓心,OH為半徑的半圓交AC于點(diǎn)M(1)求證：DC是圓O的切線；(2)若AG4MC且AC=8,求圖中陰影部分面積；(3)在(2)的前提下，P是線段BD上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PD為何值時(shí)，PHPM的值最小，并求出最小值【答案】見解析.【解析】(1)證明：過點(diǎn)O作ONLCDTN,AC是菱形ABCD勺對(duì)角線,.AC平分/BCD.OHLBCONLCDOHON又OH圓O的半徑,，0助圓O的半徑，即CD是圓0的切線.(2)由題意知：OG2MC4,MG0M2,即0H2,在RtAOHO,OC：20H可得：/OCH30,/COH60,由勾股定理得：CH=2、3Sfe影=S/OCHS扇形OMH2.3立3(3)作點(diǎn)M關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)M,連接MH交BD于點(diǎn)P,可知：PM=PM即PHP的PH