數(shù)論之余數(shù)問題8

1、第十講：數(shù)論之余數(shù)問題余數(shù)問題是數(shù)論知識(shí)板塊中另一個(gè)內(nèi)容豐富， 題目難度較大的知識(shí)體系，也 是各大杯賽小升初考試必考的奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)，所以學(xué)好本講對(duì)于學(xué)生來說非常重 要。許多孩子都接觸過余數(shù)的有關(guān)問題， 并有不少孩子說“遇到余數(shù)的問題就基 本暈菜了！”余數(shù)問題主要包括了帶余除法的定義， 三大余數(shù)定理（加法余數(shù)定理，乘法 余數(shù)定理，和同余定理），及中國(guó)剩余定理和有關(guān)棄九法原理的應(yīng)用。知識(shí)點(diǎn)撥：一、帶余除法的定義及性質(zhì)：一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（bM0）,若有a十b=qr，也就是a=bx q+ r,0< rv b；我們稱上面的除法算式為一個(gè)帶余除法算式。這里：（1）當(dāng)r =0時(shí)：我們稱a可

2、以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商一個(gè)完美的帶余除法講解模型c捆邑本書當(dāng)r -0時(shí)：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商如圖，這是一堆書，共有a本，這個(gè)a就 可以理解為被除數(shù)，現(xiàn)在要求按照 b本一捆打 包，那么b就是除數(shù)的角色，經(jīng)過打包后共打 包了 c捆，那么這個(gè)c就是商，最后還剩余d 本，這個(gè)d就是余數(shù)。這個(gè)圖能夠讓學(xué)生清晰的明白帶余除法算式中 4個(gè)量的關(guān)系。并且可以看出 余數(shù)一定要比除數(shù)小。二、三大余數(shù)定理：1. 余數(shù)的加法定理a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和，或這個(gè)和除以 c的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23+16=39除

3、以5的余數(shù)等 于4,即兩個(gè)余數(shù)的和3+1.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如：23, 19除以5的余數(shù)分別是3和4,故23+19=42除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)，即2.2. 余數(shù)的乘法定理a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個(gè)積 除以c所得的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23X16除以5的余數(shù)等于3X 仁3。當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4,所以23X 19除以5的余數(shù)等于 3X4除以5的余數(shù)，即2.3. 同余定理若兩個(gè)整數(shù)a、b被自然

4、數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對(duì)于模m同余， 用式子表示為：a= b ( mod m )，左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b，模m由同余的性質(zhì)，我們可以得到一個(gè)非常重 要的推論：若兩個(gè)數(shù)a，b除以同一個(gè)數(shù)m得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被m 整除用式子表示為：如果有a= b ( mod m )，那么一定有a- b= mk,k是整數(shù)，即 m|(a b)三、棄九法原理：在公元前9世紀(jì)，有個(gè)印度數(shù)學(xué)家名叫花拉子米，寫有一本花拉子米算術(shù)， 他們?cè)谟?jì)算時(shí)通常是在一個(gè)鋪有沙子的土板上進(jìn)行，由于害怕以前的計(jì)算結(jié)果丟 失而經(jīng)常檢驗(yàn)加法運(yùn)算是否正確，他們的檢驗(yàn)方式是這樣進(jìn)行的：例如：檢驗(yàn)算式 1

5、234 1898178902 = 8899231234除以9的余數(shù)為11898除以9的余數(shù)為818922除以9的余數(shù)為4678967除以9的余數(shù)為7178902除以9的余數(shù)為0這些余數(shù)的和除以9的余數(shù)為2而等式右邊和除以9的余數(shù)為3,那么上面這個(gè)算式一定是錯(cuò)的。上述檢驗(yàn)方法恰好用到的就是我們前面所講的余數(shù)的加法定理， 即如果這個(gè) 等式是正確的，那么左邊幾個(gè)加數(shù)除以9的余數(shù)的和再除以9的余數(shù)一定與等式 右邊和除以9的余數(shù)相同。而我們?cè)谇笠粋€(gè)自然數(shù)除以9所得的余數(shù)時(shí)，常常不用去列除法豎式進(jìn)行計(jì) 算，只要計(jì)算這個(gè)自然數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和除以 9的余數(shù)就可以了，在算的時(shí)候 往往

6、就是一個(gè)9一個(gè)9的找并且劃去，所以這種方法被稱作“棄九法”。所以我們總結(jié)出棄九發(fā)原理：任何一個(gè)整數(shù)模9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之 和。以后我們求一個(gè)整數(shù)被 9除的余數(shù)，只要先計(jì)算這個(gè)整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之 和，再求這個(gè)和被9除的余數(shù)即可。利用十進(jìn)制的這個(gè)特性，不僅可以檢驗(yàn)幾個(gè)數(shù)相加，對(duì)于檢驗(yàn)相乘、相除和 乘方的結(jié)果對(duì)不對(duì)同樣適用注意：棄九法只能知道原題一定是錯(cuò)的或有可能正確，但不能保證一定正確。 例如：檢驗(yàn)算式9+9=9時(shí)，等式兩邊的除以9的余數(shù)都是0，但是顯然算式 是錯(cuò)誤的但是反過來，如果一個(gè)算式一定是正確的，那么它的等式2兩端一定滿足棄 九法的規(guī)律。這個(gè)思想往往可以幫助我們解決一些較復(fù)雜的算式迷

7、問題。四、中國(guó)剩余定理：1.中國(guó)古代趣題：中國(guó)數(shù)學(xué)名著孫子算經(jīng)里有這樣的問題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？”答曰：“二十三?！贝祟悊栴}我們可以稱為“物不知其數(shù)”類型，又被稱為“韓信點(diǎn)兵”。韓信點(diǎn)兵又稱為中國(guó)剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統(tǒng)御兵士多 少，韓信答說，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一 列余6人。劉邦茫然而不知其數(shù)。我們先考慮下列的問題：假設(shè)兵不滿一萬，每 5人一列、9人一列、13人一 列、17人一列都剩3人，則兵有多少？首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數(shù)9945 （注：因?yàn)?、9、13、17為兩

8、兩互質(zhì)的整數(shù)，故其最小公倍數(shù)為這些數(shù)的積），然后再加3,得9948 （人）。 孫子算經(jīng)的作者及確實(shí)著作年代均不可考，不過根據(jù)考證，著作年代不會(huì)在晉朝之后，以這個(gè)考證來說上面這種問題的解法，中國(guó)人發(fā)現(xiàn)得比西方早，所以這個(gè)問題的推廣及其解法，被稱為中國(guó)剩余定理。中國(guó)剩余定理（Chi neseRemai nder Theorem）在近代抽象代數(shù)學(xué)中占有一席非常重要的地位。2.核心思想和方法：對(duì)于這一類問題，我們有一套看似繁瑣但是一旦掌握便可一通百通的方法， 下面我們就以孫子算經(jīng)中的問題為例，分析此方法：今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二， 問物幾何？題目中我們可以知道，

9、一個(gè)自然數(shù)分別除以 3, 5, 7后，得到三個(gè)余數(shù)分別 為2, 3，2.那么我們首先構(gòu)造一個(gè)數(shù)字，使得這個(gè)數(shù)字除以3余1并且還是5和7的公倍數(shù)。先由5 7 =35 ,即卩5和7的最小公倍數(shù)出發(fā)，先看35除以3余2,不符合 要求，那么就繼續(xù)看5和7的“下一個(gè)”倍數(shù)35 2 =70是否可以，很顯然70 除以3余1類似的，我們?cè)贅?gòu)造一個(gè)除以5余1,同時(shí)又是3和7的公倍數(shù)的數(shù)字，顯 然21可以符合要求。最后再構(gòu)造除以7余1,同時(shí)又是3, 5公倍數(shù)的數(shù)字，45符合要求，那么 所求的自然數(shù)可以這樣計(jì)算：2 70 3 21 2 45 _k3,5,7 =233 - k3,5,7，其中 k 是從 1 開始的自然

10、數(shù)。也就是說滿足上述關(guān)系的數(shù)有無窮多，如果根據(jù)實(shí)際情況對(duì)數(shù)的范圍加以限 制，那么我們就能找到所求的數(shù)。例如對(duì)上面的問題加上限制條件“滿足上面條件最小的自然數(shù)”，那么我們可以計(jì)算2 70 3 212 45 -2 3,5,7 =23得到所求如果加上限制條件“滿足上面條件最小的三位自然數(shù)”，我們只要對(duì)最小的23加上3,5,7即可，即23+105=12&例題精講:【模塊一：帶余除法的定義和性質(zhì)】【例1】（第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)報(bào)競(jìng)賽決賽）用某自然數(shù)a去除1992，得到商是46, 余數(shù)是r，求a和r .【解析】因?yàn)?992是a的46倍還多r ,得到1992“46=4314，得1992 46 43 14,

11、所以 a =43 , r =14 .【鞏固】（清華附中小升初分班考試）甲、乙兩數(shù)的和是1088 ,甲數(shù)除以乙數(shù)商11 余32，求甲、乙兩數(shù).【解析】（法1）因?yàn)?甲二乙11 32，所以 甲乙二乙113 乙二乙1232 =1088 ;則乙=（1088-32） "12 =88，甲=1088 乙二 1000 .（法2）將余數(shù)先去掉變成整除性問題，利用倍數(shù)關(guān)系來做：從 1088中減 掉32以后，1056就應(yīng)當(dāng)是乙數(shù)的（11-1）倍，所以得到乙數(shù)=1056亠12 =88， 甲數(shù) =1088 -88 =1000 .【鞏固】一個(gè)兩位數(shù)除310,余數(shù)是37,求這樣的兩位數(shù)?！窘馕觥勘绢}為余數(shù)問題的基

12、礎(chǔ)題型，需要學(xué)生明白一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，就是把余 數(shù)問題-即“不整除問題”轉(zhuǎn)化為整除問題。方法為用被除數(shù)減去余數(shù)， 即得到一個(gè)除數(shù)的倍數(shù)；或者是用被除數(shù)加上一個(gè)“除數(shù)與余數(shù)的差”，也可以得到一個(gè)除數(shù)的倍數(shù)。本題中310-37=273,說明273是所求余數(shù)的倍數(shù)，而273=3X 7X13,所 求的兩位數(shù)約數(shù)還要滿足比37大，符合條件的有39, 91.【例2】（ 2003年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題）有兩個(gè)自然數(shù)相除，商是17，余 數(shù)是13 ,已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和為2113 ,則被除數(shù)是多少？【解析】被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)二被除數(shù)除數(shù)+17+13=2113,所以被除數(shù)除數(shù) =2083,由于被除數(shù)是除

13、數(shù)的17倍還多13,則由“和倍問題”可得：除 數(shù)=（2083-13）-（ 17+1） =115,所以被除數(shù)=2083-115=1968.【鞏固】用一個(gè)自然數(shù)去除另一個(gè)自然數(shù)，商為 40,余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和是933,求這2個(gè)自然數(shù)各是多少？【解析】本題為帶余除法定義式的基本題型。 根據(jù)題意設(shè)兩個(gè)自然數(shù)分別為 x,y , 可以得到x =40y 16x y 40 16 二 933解方程組得鳥6,即這兩個(gè)自然數(shù)分別是856,21.【例3】(2000年“祖沖之杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)三個(gè)不同的自然數(shù)的和為 2001，它們分別除以19,23,31所得的商相同，所得的余數(shù)也相同，這 三個(gè)

14、數(shù)是，?！窘馕觥吭O(shè)所得 的商為a，除數(shù)為b .(19a b) (23 a b) (31a - b) =2001，73a 3b =2001，由b <19，可求得a =27，b =10 .所以，這三個(gè)數(shù)分別是 19a b =523， 23a b =631， 31a b =847?！眷柟獭?2004年福州市“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)一個(gè)自然數(shù)，除以11時(shí) 所得到的商和余數(shù)是相等的，除以 9時(shí)所得到的商是余數(shù)的3倍，這個(gè) 自然數(shù)是.【解析】設(shè)這個(gè)自然數(shù)除以11余a (0 3 <11)，除以9余b (0乞b：9)，則有11a 9 3b b，即3a =7b，只有a =7，b=3，所以這個(gè)自然

15、數(shù)為 12 7 =84?！纠?】(1997年我愛數(shù)學(xué)少年數(shù)學(xué)夏令營(yíng)試題)有48本書分給兩組小朋友，已 知第二組比第一組多5人.如果把書全部分給第一組，那么每人4本,有剩余；每人5本，書不夠.如果把書全分給第二組，那么每人3本,有剩余；每人4本，書不夠.問：第二組有多少人？【解析】由48"4=12 , 48"5=9.6知，一組是10或11人.同理可知48"3=16 , 48 “4 =12知，二組是13、14或15人，因?yàn)槎M比一組多5人，所以二 組只能是15人，一組10人.【鞏固】一個(gè)兩位數(shù)除以13的商是6,除以11所得的余數(shù)是6,求這個(gè)兩位數(shù).【解析】因?yàn)橐粋€(gè)兩位

16、數(shù)除以13的商是6,所以這個(gè)兩位數(shù)一定大于13 6=78 , 并且小于13 （6=91 ;又因?yàn)檫@個(gè)兩位數(shù)除以11余6,而78除以11 余1，這個(gè)兩位數(shù)為78 5 =83 【模塊二：三大余數(shù)定理的應(yīng)用】 【例5】有一個(gè)大于1的整數(shù)，除45,59,101所得的余數(shù)相同，求這個(gè)數(shù).【解析】這個(gè)題沒有告訴我們，這三個(gè)數(shù)除以這個(gè)數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由 于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理，我們可以得到：這個(gè)數(shù)一定能整除 這三個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約 數(shù).101一45=56 , 59 -45 =14 , （56,14）=14 , 14 的約數(shù)有 1,2,7,14，所以這 個(gè)數(shù)可能

17、為2,7,14?！眷柟獭坑幸粋€(gè)整數(shù)，除39,51,147所得的余數(shù)都是3,求這個(gè)數(shù).【解析】（法 1） 39 -3 =36 , 147 -3 =144 , （36,144）=12 , 12 的約數(shù)是 1,2,3,4,6,12 ,因?yàn)橛鄶?shù)為3要小于除數(shù)，這個(gè)數(shù)是4,6,12 ；（法2）由于所得的余數(shù)相同，得到這個(gè)數(shù)一定能整除這三個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù).51 -39 =12 , 147 -39 =108 , （12,108）=12，所以這個(gè)數(shù)是 4,6,12 .【鞏固】在小于1000的自然數(shù)中，分別除以18及33所得余數(shù)相同的數(shù)有多少 個(gè)?（余數(shù)可以為0）【解析】我們

18、知道18, 33的最小公倍數(shù)為18 , 33=198，所以每198個(gè)數(shù)一次.1198之間只有1, 2, 3,，17, 198（余O）這18個(gè)數(shù)除以18及33所得的余數(shù)相同，而999- 198=59,所以共有5X 18+9=99個(gè)這樣的數(shù).【鞏固】(2008年仁華考題)一個(gè)三位數(shù)除以17和19都有余數(shù)，并且除以17后所得的商與余數(shù)的和等于它除以 19后所得到的商與余數(shù)的和.那么這樣的三位數(shù)中最大數(shù)是多少，最小數(shù)是多少？【解析】設(shè)這個(gè)三位數(shù)為s，它除以17和19的商分別為a和b，余數(shù)分別為m和n，貝U s =17a m =19b n .根據(jù)題意可知 a m = b n，所以s_am =s_bn，即

19、16a = 18b，得8a =9b .所以a是9的倍數(shù)，b是8的倍數(shù).此時(shí)，由a b n知n -m=a -b由于s為三位數(shù)，最小為100，最大為 999，所以 100_17a m_999，而1乞m乞16，所以 17a 1 乞 17a m < 999， 100 空 17a m 乞 17a 16，得到 5 乞a 58，而 a是 9的倍數(shù)，所以a最小為9，最大為54.當(dāng)a =54時(shí)，n-ma =6，而n _18，所以m _12，故此時(shí)s最大為9175412二 930當(dāng)a =9時(shí)，n -ma=1，由于m _1，所以此時(shí)s最小為17 9 7=154 .9所以這樣的三位數(shù)中最大的是 930,最小的是

20、154.【例6】 兩位自然數(shù)ab與ba除以7都余1，并且a b，求ab ba .【解析】ab -ba能被7整除，即(10a ' b) (10b ' a) =9 (a -b)能被7整除.所以只能有a -b =7，那么ab可能為92和81，驗(yàn)算可得當(dāng)ab = 92時(shí)，ba = 29滿 足題目要求，ab ba =92 29 =2668【鞏固】學(xué)校新買來118個(gè)乒乓球，67個(gè)乒乓球拍和33個(gè)乒乓球網(wǎng)，如果將這 三種物品平分給每個(gè)班級(jí)，那么這三種物品剩下的數(shù)量相同.請(qǐng)問學(xué)校 共有多少個(gè)班？【解析】所求班級(jí)數(shù)是除以118,67,33余數(shù)相同的數(shù).那么可知該數(shù)應(yīng)該為118 67 =51 和

21、67 _33 =34的公約數(shù)，所求答案為17.【鞏固】（2000年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題）在除13511, 13903及14589時(shí)能 剩下相同余數(shù)的最大整數(shù)是 .【解析】 因?yàn)?13903 -13511 =392, 14589 - 13903 =686 ,由于13511, 13903, 14589要被同一個(gè)數(shù)除時(shí)，余數(shù)相同，那么，它們 兩兩之差必能被同一個(gè)數(shù)整除.（392,686）=98，所以所求的最大整數(shù)是98.例 7】（2003年南京市少年數(shù)學(xué)智力冬令營(yíng)試題）2 2003與20032的和除以7的余 數(shù)是.【解析】找規(guī)律.用7除2，22，23，24，25，26，的余數(shù)分別是2, 4, 1

22、, 2, 4，1, 2，4, 1,2的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)時(shí)，用7除的余數(shù)為1; 2的個(gè) 數(shù)是3的倍數(shù)多1時(shí)，用7除的余數(shù)為2; 2的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)多2時(shí), 用7除的余數(shù)為4因?yàn)?2003 =23 667 2，所以22003除以7余4又兩個(gè)數(shù)的 積除以7的余數(shù)，與兩個(gè)數(shù)分別除以7所得余數(shù)的積相同.而2003除以 7余1，所以20032除以7余1 .故22003與20032的和除以7的余數(shù)是4 1 =5 .【鞏固】（2004年南京市少年數(shù)學(xué)智力冬令營(yíng)試題 ）在1995, 1998, 2000, 2001,2003中，若其中幾個(gè)數(shù)的和被9除余7,則將這幾個(gè)數(shù)歸為一組.這樣 的數(shù)組共有 .【解析】1995

23、, 1998, 2000, 2001, 2003除以9的余數(shù)依次是6, 0, 2, 3, 5.因?yàn)?2 5 =25 0 =7 , 2 5 3 6 =0 2 5 3 6 =7 9 ,所以這樣的數(shù)組共有下面 4個(gè)：200Q2003 ,1998,2000,2003 ,【例8】（2005年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題）有一個(gè)整數(shù)，用它去除70,110,160所得到的3個(gè)余數(shù)之和是50,那么這個(gè)整數(shù)是 .【解析】（70 110 160）-50 =290 , 50-：-3=162，除數(shù)應(yīng)當(dāng)是290的大于17小于70的約數(shù)，只可能是29和58, 11-58.152 , 52 50，所以除數(shù)不 是58.70-：-

24、29 =212 , 110亠29 =323 , 160-：-29=515 , 12 23 15 =50 , 所以除數(shù)是29【鞏固】（2002年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題）用自然數(shù)n去除63 , 91 , 129得 到的三個(gè)余數(shù)之和為25 ,那么n=【解析】n能整除63 91 729 - 25 =258 .因?yàn)?5-：-3=8.1,所以n是258大于8的約數(shù).顯然，n不能大于63.符合條件的只有43.【鞏固】號(hào)碼分別為101,126,173,193的4個(gè)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽,規(guī)定每?jī)?人比賽的盤數(shù)是他們號(hào)碼的和被3除所得的余數(shù).那么打球盤數(shù)最多的運(yùn)動(dòng)員打了多少盤？【解析】本題可以體現(xiàn)出加法余數(shù)定理

25、的巧用。計(jì)算101 , 126 , 173, 193除以3的余數(shù)分別為2 , 0 , 2 , 1。那么任意兩名運(yùn)動(dòng)員的比賽盤數(shù)只需要用2 ,0 , 2 , 1兩兩相加除以3即可。顯然126運(yùn)動(dòng)員打5盤是最多的。【例9】（2002年小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）六名小學(xué)生分別帶著14元、 17元、18元、21元、26元、37元錢,一起到新華書店購(gòu)買成語大 詞典.一看定價(jià)才發(fā)現(xiàn)有5個(gè)人帶的錢不夠，但是其中甲、乙、丙3人的錢湊在一起恰好可買 2本，丁、戊2人的錢湊在一起恰好可買1 本.這種成語大詞典的定價(jià)是 元.【解析】六名小學(xué)生共帶錢133元.133除以3余1,因?yàn)榧?、乙、丙、丁、戊?錢恰好能買3

26、本，所以他們五人帶的錢數(shù)是3的倍數(shù)，另一人帶的錢除 以3余1 易知，這個(gè)錢數(shù)只能是37元，所以每本成語大詞典的定價(jià)是（14 17 1821 26） “3 =32 （元）.【鞏固】（2000年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題）商店里有六箱貨物，分別重 15,16, 18, 19, 20, 31千克，兩個(gè)顧客買走了其中的五箱.已知一個(gè)顧客買的貨物重量是另一個(gè)顧客的2倍，那么商店剩下的一箱貨物重量是 克.【解析】?jī)蓚€(gè)顧客買的貨物重量是3的倍數(shù).（15 16 18 19 20 31> （1 2） =119“3=39.2，剩下的一箱貨物重量除以3應(yīng)當(dāng)余2,只能是20千克.【例10】 求2461 135 6

27、047-： 11的余數(shù).【解析】 因?yàn)?461亠1仁2238, 135"11=123 , 6047 " 11 =549.8，根據(jù)同余定理（三）,2461 135 6047=11 的余數(shù)等于 8 3 8"11 的余數(shù)，而 8 3 8 =192 ,192十11 =17.5，所以 2461 135 6047 “11 的余數(shù)為 5.【鞏固】（華羅庚金杯賽模擬試題）求478 296 351除以17的余數(shù).【解析】先求出乘積再求余數(shù)，計(jì)算量較大.可先分別計(jì)算出各因數(shù)除以17的余數(shù)，再求余數(shù)之積除以17的余數(shù).478,296,351除以17的余數(shù)分別為2 , 7和11 ,（2

28、7 11） "17 =91 .【鞏固】 求31997的最后兩位數(shù).【解析】即考慮31997除以100的余數(shù).由于100 =4 25，由于327除以25余2, 所以39除以25余8,310除以25余24,那么320除以25余1;又因?yàn)?2除以4余1,則320除以 4余1;即320 -1能被4和25整除，而4與25互質(zhì)，所以320 1能被100 整除，即320除以100余1,由于1997 =20 99 17，所以31997除以100的余數(shù)即等于317除以100的余數(shù)，而 36 =729 除以 100 余 29，35 =243 除以 100余 43 , 317 =（36）2 35，所以 3

29、17除以100的余數(shù)等于29 29 43除以100的余數(shù)，而29 29 43=36163除 以100余63,所以31997除以100余63，即31997的最后兩位數(shù)為63.【鞏固】2222除以13所得余數(shù)是' 1 2000個(gè)"2"【解析】我們發(fā)現(xiàn)222222整除13, 2000-6余2,所以答案為22- 13余9。【鞏固】求14389除以7的余數(shù).【解析】法一：由于143三3 mod7 （143被7除余3）,所以1438 389 mod7 （ 14389被7除所得余數(shù)與389被7除所得余數(shù)相等）而36 =729 , 729三1mod7 （729除以7的余數(shù)為1）,所

30、以 389 三36 363 35 三35 三5 mod7 .14個(gè)故14389除以7的余數(shù)為5.法二：計(jì)算389被7除所得的余數(shù)可以用找規(guī)律的方法，規(guī)律如下表:31323334353637mod 73264513于是余數(shù)以6為周期變化.所以389=35=5mod7 .【鞏固】（2007年實(shí)驗(yàn)中學(xué)考題）12 - 22 -3MH 20012 2002除以7的余數(shù)是多少？【解析】由于122232山200122002=2003一°5100120031,3而61001是7的倍數(shù)，所以這個(gè)乘積也是7的倍數(shù)，故12 22 -3| 20012 20022 除以 7 的余數(shù)是 0；【鞏固】3130 3

31、031被13除所得的余數(shù)是多少？【解析】31被13除所得的余數(shù)為5,當(dāng)n取1, 2, 3，時(shí)5n被13除所得余數(shù)分別是5, 12, 8, 1, 5, 12, 8, 1以4為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以530被 13除的余數(shù)與52被13除的余數(shù)相同，余12,則3130除以13的余數(shù)為12； 30被13除所得的余數(shù)是4,當(dāng)n取1, 2, 3, 時(shí)，4n被13除所得的 余數(shù)分別是4, 3, 12, 9, 10, 1, 4, 3, 12, 9, 10,以6為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以431被13除所得的余數(shù)等于41被13除所得的余數(shù)，即4, 故3031除以13的余數(shù)為4；所以3130 3031被13除所得的余數(shù)是12

32、4-13=3 .【鞏固】（2008年奧數(shù)網(wǎng)杯）已知 ?0082008pp008，問：a除以13所得的余數(shù)是2008個(gè)2008多少？【解析】2008除以13余6,10000除以13余3,注意到20082008 =2008漢10000+2008 ；200820082008 =20082008 10000 2008 ;2008200820082008 =200820082008 10000 2008 ;根據(jù)這樣的遞推規(guī)律求出余數(shù)的變化規(guī)律：20082008 除以 13 余 6 3 6 -13=11 , 200820082008 除以 13 余 11 3 6 -39 =0，即 200820082008

33、是 13 的倍數(shù).而2008除以3余1,所以a =200820081）2008除以13的余數(shù)與2008除以13 2008個(gè)2008的余數(shù)相同，為6.【鞏固】7ZZ 77除以41的余數(shù)是多少？199&個(gè) 7【解析】 找 規(guī)律： 7" 4 - , 77亠 41 二36,77741 二39,7777 -：-41 =28 ,77777 -41 二0, ，所以 77777是 41 的倍數(shù)，而 1996-：-5 =399川1 , 所以777二口可以分成399段77777和1個(gè)7組成，那么它除以41的余1996個(gè) 7數(shù)為7.【鞏固】11 223344 7川）| 20052005除以10所得

34、的余數(shù)為多少？【解析】求結(jié)果除以10的余數(shù)即求其個(gè)位數(shù)字.從1到2005這2005個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是10個(gè)一循環(huán)的，而對(duì)一個(gè)數(shù)的幕方的個(gè)位數(shù)，我們知道它總是 4 個(gè)一循環(huán)的，因此把所有加數(shù)的個(gè)位數(shù)按每 20個(gè)（20是4和10的最小 公倍數(shù)）一組，則不同組中對(duì)應(yīng)的個(gè)位數(shù)字應(yīng)該是一樣的.首先計(jì)算11223344 Mill 2020的個(gè)位數(shù)字，為 14 7 6 5 6 3 6 9 016 3 65 6 7 4 90 = 94 的個(gè)位數(shù)字，為4，由于2005個(gè)加數(shù)共可分成100組另5個(gè)數(shù)，100組的個(gè)位數(shù)字和是4 100 =400 的個(gè)位數(shù)即 0,另外 5個(gè)數(shù)為 20012001、2OO2 2002 &

35、gt; 20032003、2OO4 2004、 20052005，它們和的個(gè)位數(shù)字是1 4 7 6 *5=23的個(gè)位數(shù)3，所以原式的 個(gè)位數(shù)字是3,即除以10的余數(shù)是3.【例11】求所有的質(zhì)數(shù)P,使得4p21與6p2 1也是質(zhì)數(shù).【解析】如果p =5，則4p2, 1=101， 6p2,1=151都是質(zhì)數(shù)，所以5符合題意.如果P不等于5,那么P除以5的余數(shù)為1、2、3或者4, p2除以5的余數(shù)即等于12、22、32或者42除以5的余數(shù)，即1、4、9或者16除以5 的余數(shù)，只有1和4兩種情況.如果p2除以5的余數(shù)為1,那么4p2"除以5的余數(shù)等于4 j1 =5除以5的余數(shù)，為0,即此時(shí)4

36、p21被5整除，而4p2，1大于5,所以此時(shí)4p2 7不是質(zhì)數(shù)；如果p2除以5的余數(shù)為4, 同理可知6p2 1不是質(zhì)數(shù)，所以P不等于5, 4p2 1與6p2 1至少有一個(gè)在圖表的第二行中,【鞏固】不是質(zhì)數(shù)，所以只有p=5滿足條件.因數(shù)89909192939495969798因數(shù)恰好填上8998這十個(gè)數(shù)，使得每一豎列上下兩個(gè)因數(shù)的乘積除以11所得的余數(shù)都是3.【解析】因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)的乘積除以11的余數(shù)，等于兩個(gè)數(shù)分別除以 11的余數(shù)之積.因此原題中的8998可以改換為110，這樣上下兩數(shù)的乘積除以11余3就容易計(jì)算了 .我 們得到下面的結(jié)果：答案是:因數(shù)89909192939495969798因數(shù)3

37、7195621048因8999999999數(shù)90123 145678因9989999999數(shù)15973 140826【鞏固】(2000年“華杯賽”試題)3個(gè)三位數(shù)乘積的算式abc bca cab =234235286(其中a b c)，在校對(duì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)右邊的積的數(shù)字順序出現(xiàn)錯(cuò)誤，但是知道最后一位6是正確的，問原式中的abc是多少？【解析】由于234235286 三 2 3 4 2 3 5 2 8 6 三 8(mod9)，abc bca cab 三(a b c)3(mod9)，于是(a b c)3 三8(mod9)，從而(用 a b c =0,1,2,.,8(mod9)代入上式檢驗(yàn)) a b c三

38、2,5,8(mod9)(1)，對(duì)a進(jìn)行討論：如果a =9，那么b，c=2,5,8(mod 9)，又c a b的個(gè)位數(shù)字是6，所 以b c的個(gè)位數(shù)字為4，b c可能為4 1、7 2、8 3、6 4，其中只有 (b,c) =(4,1),(8,3)符合(2)，經(jīng)檢驗(yàn)只有 983 839 398 =328245326 符合題意.如果a =8，那么b c三3,6,0(mod9)，又b c的個(gè)位數(shù)字為2或7,則 b c可能為2 1、4 3、6 2、7 6、7 1，其中只有(b,c)=(2,1)符合,經(jīng)檢驗(yàn)，abc =821不合題意.如果a =7，那么b c=4,7,1(mod9)(4)，則b c可能為4

39、2、6 3，其中沒有符合的(b,c).女口果a遼6，那 么 b"，c遼4，abc bca 面：700 600 500 =210000000 ： 222334586，因此這時(shí) abc 不可能符合題意.綜上所述，abc =983是本題唯一的解.【例12】一個(gè)大于1的數(shù)去除290, 235, 200時(shí)，得余數(shù)分別為a，a 2，a 5， 則這個(gè)自然數(shù)是多少？【解析】根據(jù)題意可知，這個(gè)自然數(shù)去除290,233,195時(shí)，得到相同的余數(shù)(都 為a).既然余數(shù)相同，我們可以利用余數(shù)定理，可知其中任意兩數(shù)的差除以這個(gè)數(shù)肯定余0.那么這個(gè)自然數(shù)是290 233=57的約數(shù)，又是233 195 =38

40、的約數(shù)，因此就是57和38的公約數(shù)，因?yàn)?7和38的公約數(shù)只有19和 1,而這個(gè)數(shù)大于1,所以這個(gè)自然數(shù)是19.【鞏固】一個(gè)大于10的自然數(shù)去除90、164后所得的兩個(gè)余數(shù)的和等于這個(gè)自然數(shù)去除220后所得的余數(shù)，則這個(gè)自然數(shù)是多少？【解析】這個(gè)自然數(shù)去除90、164后所得的兩個(gè)余數(shù)的和等于這個(gè)自然數(shù)去除90 16254后所得的余數(shù)，所以254和220除以這個(gè)自然數(shù)后所得的余 數(shù)相同，因此這個(gè)自然數(shù)是254 -220 =34的約數(shù)，又大于10,這個(gè)自然 數(shù)只能是17或者是34.如果這個(gè)數(shù)是34,那么它去除90、164、220 后所得的余數(shù)分別是22、28、16,不符合題目條件；如果這個(gè)數(shù)是 1

41、7, 那么他去除90、164、220后所得的余數(shù)分別是5、11、16,符合題目條 件，所以這個(gè)自然數(shù)是17.【例13】甲、乙、丙三數(shù)分別為603, 939, 393.某數(shù)A除甲數(shù)所得余數(shù)是A除 乙數(shù)所得余數(shù)的2倍，A除乙數(shù)所得余數(shù)是A除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍求 A等于多少？【解析】根據(jù)題意，這三個(gè)數(shù)除以A都有余數(shù)，則可以用帶余除法的形式將它們 表示出來：603“A 二 KN川M 939 “A 二心川川D 393亠 A 二心川|“由于ri =2a ,2=23，要消去余數(shù)ri,咕 心，我們只能先把余數(shù)處理成相 同的，再兩數(shù)相減.這樣我們先把第二個(gè)式子乘以2,使得被除數(shù)和余數(shù)都擴(kuò)大2倍，同理， 第三個(gè)式

42、子乘以4.于是我們可以得到下面的式子： 603" A =0”川M 939 2 “ A =2&山（|1 2b393 4亠A=2K3山山這樣余數(shù)就處理成相同的.最后兩兩相減消去余數(shù)，意味著能被A整除.939 2 -603 =1275， 393 4 -603 =969，1275,969 ；=51 =3 17 .51的約數(shù)有1、3、17、51，其中1、3顯然不滿足，檢驗(yàn)17和51可知 17滿足，所以A等于17.【鞏固】一個(gè)自然數(shù)除429、791、500所得的余數(shù)分別是a 5、2a、a，求這個(gè) 自然數(shù)和a的值.【解析】將這些數(shù)轉(zhuǎn)化成被該自然數(shù)除后余數(shù)為 2a的數(shù)：429-52 =848

43、，791、500 2 =1000，這樣這些數(shù)被這個(gè)自然數(shù)除所得的余數(shù)都是2a，故同余.將這三個(gè)數(shù)相減，得到848 - 791 =57、1000 -848 =152，所求的自然數(shù)一定 是57和152的公約數(shù)，而57,152 =19，所以這個(gè)自然數(shù)是19的約數(shù)，顯 然1是不符合條件的，那么只能是19.經(jīng)過驗(yàn)證，當(dāng)這個(gè)自然數(shù)是19時(shí),除429、791、500所得的余數(shù)分別為11、12、6 , a =6時(shí)成立,所以這個(gè) 自然數(shù)是19 , a =6.【模塊三：余數(shù)綜合應(yīng)用】【例14】著名的裴波那契數(shù)列是這樣的：1、1、2、3、5、8、13、21這串?dāng)?shù)列當(dāng)中第2008個(gè)數(shù)除以3所得的余數(shù)為多少？【解析】斐

44、波那契數(shù)列的構(gòu)成規(guī)則是從第三個(gè)數(shù)起每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，由此可以根據(jù)余數(shù)定理將裴波那契數(shù)列轉(zhuǎn)換為被3除所得余數(shù)的數(shù)列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0第九項(xiàng)和第十項(xiàng)連續(xù)兩個(gè)是1,與第一項(xiàng)和第二項(xiàng)的值相同且位置連續(xù)， 所以裴波那契數(shù)列被3除的余數(shù)每8個(gè)一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，由于 2008 除以8的余數(shù)為0,所以第2008項(xiàng)被3除所得的余數(shù)為第8項(xiàng)被3除所 得的余數(shù)，為0.【鞏固】（2009年走美初賽六年級(jí)）有一串?dāng)?shù)：1，1, 2, 3，5, 8，從第 三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)之和，在這串?dāng)?shù)的前2009個(gè)數(shù)中，有幾個(gè)是5的倍數(shù)？【解析】由于兩個(gè)數(shù)的和除以5的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)

45、除以5的余數(shù)之和再除以5 的余數(shù).所以這串?dāng)?shù)除以5的余數(shù)分別為：1, 1, 2, 3, 0, 3, 3, 1, 4, 0, 4,4, 3, 2, 0, 2, 2, 4, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 0,可以發(fā)現(xiàn)這串余數(shù)中，每20個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)，且一個(gè)循環(huán)中，每 5個(gè)數(shù)中第五個(gè)數(shù)是5 的倍數(shù).由于20095 =401小4，所以前2009個(gè)數(shù)中，有401個(gè)是5的倍 數(shù).【例15】（圣彼得堡數(shù)學(xué)奧林匹克試題）托瑪想了一個(gè)正整數(shù)，并且求出了它分 別除以3、6和9的余數(shù).現(xiàn)知這三余數(shù)的和是 15.試求該數(shù)除以18 的余數(shù).【解析】除以3、6和9的余數(shù)分別不超過2, 5, 8,所以這三個(gè)余數(shù)的和永

46、遠(yuǎn)不超過 258 =15 ,既然它們的和等于15,所以這三個(gè)余數(shù)分別就是 2, 5, 8.所以該數(shù)加1后能被3, 6, 9整除，而3,6,9 =18，設(shè)該數(shù)為a，則a=18m_1，即 a =18（m -1） 17 （ m為非零自然數(shù)），所以它除以18的余數(shù)只能為17.【鞏固】（2005年香港圣公會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題）一個(gè)家庭，有父、母、兄、 妹四人，他們?nèi)我馊说臍q數(shù)之和都是3的整數(shù)倍，每人的歲數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)，四人歲數(shù)之和是100,父親歲數(shù)最大，問：母親是多少歲 ？【解析】從任意三人歲數(shù)之和是3的倍數(shù)，100除以3余1，就知四個(gè)歲數(shù)都是3k 1型的數(shù)，又是質(zhì)數(shù).只有7，13，19, 31，3

47、7, 43,就容易看出：父43BA歲，母37歲，兄13歲，妹7歲.【例16】（華杯賽試題）如圖，在一個(gè)圓圈上有幾十個(gè)孔（不到100 個(gè)）,小明 像玩跳棋那樣，從A孔出發(fā)沿著逆時(shí)針方向，每隔幾孔跳一步，希 望一圈以后能跳回到A孔.他先試著每隔2孔跳一步，結(jié)果只能跳 到B孔.他又試著每隔4孔跳一步，也只能跳到 B孔.最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道這個(gè)圓圈上共有多少個(gè)孔嗎 ？【解析】設(shè)想圓圈上的孔已按下面方式編了號(hào)：A孔編號(hào)為1,然后沿逆時(shí)針方向順次編號(hào)為2, 3, 4,，B孔的編號(hào)就是圓圈上的孔數(shù).我們先看每隔2孔跳一步時(shí)，小明跳在哪些孔上？很容易看出應(yīng)在1, 4,7, 10,上，也

48、就是說，小明跳到的孔上的編號(hào)是3的倍數(shù)加1 按題意，小明最后跳到B孔，因此總孔數(shù)是3的倍數(shù)加1.同樣道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味著總孔數(shù)是5的倍數(shù) 加1;而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔，就意味著總孔數(shù)是7的倍數(shù).如果將孔數(shù)減1,那么得數(shù)既是3的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，因而是15的倍 數(shù).這個(gè)15的倍數(shù)加上1就等于孔數(shù)，設(shè)孔數(shù)為a，則a =15m 1 （ m為 非零自然數(shù)）而且a能被7整除.注意15被7除余1,所以15 6被7除 余6, 15的6倍加1正好被7整除.我們還可以看出，15的其他（小于 的7）倍數(shù)加1都不能被7整除，而15 7 =105已經(jīng)大于100. 7以上的倍 數(shù)都不必考慮

49、，因此，總孔數(shù)只能是15 6 7=91.【鞏固】( 1997年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題 )將依次寫到第1997個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)1997位數(shù)，那么此數(shù)除以9的余數(shù)是【解析】本題第一步是要求出第1997個(gè)數(shù)字是什么，再對(duì)數(shù)字求和.19共有9個(gè)數(shù)字，1099共有90個(gè)兩位數(shù)，共有數(shù)字：90 2 =180 (個(gè)),100999共900個(gè)三位數(shù)，共有數(shù)字：900 3 =2700 (個(gè)),所以數(shù)連續(xù)寫， 不會(huì)寫到 999,從100開始是3位數(shù)，每三個(gè)數(shù)字表示一個(gè)數(shù)，(1997 9 -180) “3=6022，即有602個(gè)三位數(shù)，第603個(gè)三位數(shù)只寫了它的百位和十位.從100開始的第602個(gè)三位數(shù)是701，

50、第603個(gè)三位 數(shù)是9,其中2未寫出來.因?yàn)檫B續(xù)9個(gè)自然數(shù)之和能被9整除，所以 排列起來的9個(gè)自然數(shù)也能被 9整除，702個(gè)數(shù)能分成的組數(shù)是： 702“ 9 = 78 (組)，依次排列后，它仍然能被 9整除，但702中2未寫出 來，所以余數(shù)為9-2=7 .【例17】設(shè)2n1是質(zhì)數(shù)，證明：12，22，n2被2n 1除所得的余數(shù)各不相同.【解析】假設(shè)有兩個(gè)數(shù)a、b，(仁b：a豈n)，它們的平方a2，b2被2nd除余數(shù)相 同.那么，由同余定理得 a2 -b2 三 0(mod(2 n 1)，即(a-b)(a b)三 0( mod( r21)由于2n 1 是質(zhì)數(shù)，所以 a b 三0(mod(2 n 1)

51、或 a b 三 0(mod(2 n 1)，由于 a b，ab均小于2n 1且大于 0，可知，a b與2n，1互質(zhì)，a -b也與2n 1互 質(zhì)，即a b，a-b都不能被2n 1整除，產(chǎn)生矛盾，所以假設(shè)不成立，原 題得證.【鞏固】試求不大于100,且使3n 7n 4能被11整除的所有自然數(shù)n的和.【解析】通過逐次計(jì)算，可以求出3n被11除的余數(shù)，依次為：31為3，32為9，33為5， 34為4，35為1，因而3n被11除的余數(shù)5個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：3, 9, 5, 4，1, 3, 9, 5, 4,1,；類似地，可以求出7n被11除的余數(shù)10個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：7, 5, 2, 3, 10, 4, 6,9,

52、 8， 1,；于是3n 7n 4被11除的余數(shù)也是10個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：3, 7, 0, 0, 4,0, 8, 7, 5, 6,；這就表明，每一個(gè)周期中，只有第 3、4、6個(gè)這三個(gè)數(shù)滿足題意，即 n =3,4,6,13,14,16,93,94,96 時(shí) 3n 7n 4 能被 11 整除，所以，所有滿足條件的自然數(shù)n的和為：3 4 6 13 14 16 . 93 94 96 =13 43 . 283 =1480 .【鞏固】若a為自然數(shù)，證明1O(a2005 a1949).【解析】10=2 5，由于a2005與a1949的奇偶性相同，所以2(a2005 - a1949).a2005 -a1949 =

53、a1949 (a56 -1)，如果 a能被 5 整除，那么 5 a1949 (a56 -1);如果 a不能被5整除，那么a被5除的余數(shù)為1、2、3或者4, a4被5除的余數(shù)為14、24、34、44被5除的余數(shù)，即為1、16、81、256被5除的余數(shù)，而這四個(gè)數(shù)除以5均余1,所以不管a為多少，a4被5除的余數(shù)為1,而a56 -(a4)，即14個(gè)a4相乘，所以a56除以5均余1,則a56 -1能被5整除,有 5a1949(a561).所以 5(a200a1949).由于2與5互質(zhì)，所以10(a200a1949).【例18】設(shè)n為正整數(shù)，k =2004n , k被7除余數(shù)為2, k被11除余數(shù)為3，

54、求n的最小值.【解析】2004被7除余數(shù)為2,被11除余數(shù)也為2,所以2n被7除余數(shù)為2,被11除余數(shù)為3.由于21 =2被7除余2,而23 =8被7除余1，所以n除以3的余數(shù)為1;由于28 =256被11除余3, 210 =1024被11除余1 ,所以n除以10的余數(shù)為8.可見n 2是3和10的公倍數(shù)，最小為3,101-30，所以n的最小值為28.【鞏固】有三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，其中最小的能被15整除，中間的能被17整除，最大的能被19整除，請(qǐng)寫出一組這樣的三個(gè)連續(xù)自然數(shù).【解析】設(shè)三個(gè)連續(xù)自然數(shù)中最小的一個(gè)為n,則其余兩個(gè)自然數(shù)分別為n1，n 2 .依題意可知：15|n，17 | n 1，19

55、| n，根據(jù)整除的性質(zhì)對(duì)這三個(gè)算式進(jìn)行變換：15| n15|2 n ；15| 2n -1517| n1 T7|2n2l；17|2n 15= 15,17,19| 2n -1519| n2 19|2n4. 19| 2n -15從上面可以發(fā)現(xiàn)2n15應(yīng)為15、17、19的公倍數(shù).由于15,17,19 =4845，所以 2n _15 =4845 2k _1 （因?yàn)?2n_15 是奇數(shù)），可得 n =4845k -2415 .當(dāng)k =1時(shí)n =2430，n 1 =2431， n 2 =2432，所以其中的一組自然數(shù)為2430、2431、2432.【例19】（2008年西城實(shí)驗(yàn)考題）從1，2，3，n中，任取57個(gè)數(shù)，使這57個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)的差為13，則n的最大值為多少？【解析】被13除的同余序列當(dāng)中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66，其中只要取到兩個(gè)相鄰的，這兩個(gè)數(shù)的差為13;如果沒有兩個(gè)相鄰的數(shù)， 則沒有兩個(gè)數(shù)的差為 13，不同的同余序列當(dāng)中不可能有兩個(gè)數(shù)的差為 13,對(duì)于任意一條長(zhǎng)度為x的序列，都最多能取x -；個(gè)數(shù)，使得取出 的數(shù)中沒有兩個(gè)數(shù)的差為13,即從第1個(gè)數(shù)起隔1個(gè)取1個(gè).基于以上，n個(gè)數(shù)分成13個(gè)序列，每條序列的長(zhǎng)度為冒或冒+1，兩 個(gè)長(zhǎng)度差為1的序列，要使取出的數(shù)中沒