[研究生入學(xué)考試]高等數(shù)學(xué)二

1、.第三章一元函數(shù)積分學(xué)第一節(jié)不定積分 復(fù)習(xí)考試要求1.理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)。2.熟練掌握不定積分的基本公式。3.熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（僅限三角代換與簡(jiǎn)單的根式代換）。4.熟練掌握不定積分的分部積分法。5.掌握簡(jiǎn)單有理函數(shù)不定積分的計(jì)算。主要知識(shí)內(nèi)容（一）不定積分有關(guān)概念1.原函數(shù)定義 設(shè)f（x）是定義在區(qū)間I上的一個(gè)己知函數(shù)，如果存在一個(gè)函數(shù)F（x），使得在區(qū)間I上的每一點(diǎn) ，都有則稱(chēng)F（x）是f（x）在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)。結(jié)論：如果f（x）在某區(qū)間上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上f（x）的原函數(shù)F（x）一定存在。2.不定積分定義 函數(shù)f（x）的

2、全體原函數(shù)的集合稱(chēng)為f（x）的不定積分，記作并稱(chēng)為積分號(hào)，函數(shù)f（x）為被積函數(shù)，為被積表達(dá)式，x為積分變量。如果F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，即有，其中C為任意常數(shù)（積分常數(shù)）。3.不定積分的性質(zhì) （k為不等于0的常數(shù)）典型例題例19607如果等式成立，則f（x）等于A.B.C.D.【答疑編號(hào)11030101】解析 本小題主要考查不定積分概念。滿(mǎn)分4分。由不定積分的定義，有，即。故選B.例20004設(shè)cotx是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，則f（x）等于A. csc2xB.-csc2xC.sec2xD. -sec2x【答疑編號(hào)11030102】解析 本小題主要考查原函數(shù)的概念。滿(mǎn)分4分。由原函數(shù)的

3、定義，有f（x）=（cotx）=-csc2x。故選B.例30304 f（x）=e-x的一個(gè)原函數(shù)是A. e-x B.ex C.-e-x D. -ex【答疑編號(hào)11030103】解析 本小題主要考查原函數(shù)的概念。滿(mǎn)分4分。，所以f（x）=-e-x的一個(gè)原函數(shù)是-e-x。故選C.例40403設(shè)函數(shù)，則不定積分等于A.B.2e2x+CC.-2e2x+CD.e2x+C【答疑編號(hào)11030104】解析 本小題主要考查不定積分的基本性質(zhì)。滿(mǎn)分4分。故選D.（二）計(jì)算不定積分1.基本積分公式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）

4、（18）2.不定積分法（1）直接積分法例1.求下列不定積分（1）【答疑編號(hào)11030105】解析（2）【答疑編號(hào)11030106】解析（3）【答疑編號(hào)11030107】解析（4）【答疑編號(hào)11030108】解析（5）【答疑編號(hào)11030109】解析【答疑編號(hào)11030110】例29904等于A.B.C. D.【答疑編號(hào)11030111】解析 本小題主要考查簡(jiǎn)單函數(shù)求不定積分。滿(mǎn)分4分。.故選A.例30322設(shè)函數(shù)，求_?！敬鹨删幪?hào)11030112】解析 本小題主要考查先作函數(shù)式的變換，再求不定積分。滿(mǎn)分4分。由，得,則（2）第一換元積分法若，且有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則證:例1.0111_.【答疑編號(hào)1

5、1030201】解析 本小題主要考查湊微分法求不定積分。滿(mǎn)分4分。解一：解二：常用的湊微分公式： 例2（1）0218計(jì)算【答疑編號(hào)11030202】解析 本小題主要考查湊微分法求不定積分。滿(mǎn)分6分。 （2）【答疑編號(hào)11030203】（3）【答疑編號(hào)11030204】例3.0022計(jì)算【答疑編號(hào)11030205】解析 本小題主要考查湊微分法求不定積分。滿(mǎn)分7分。例4.9822計(jì)算【答疑編號(hào)11030206】解析 本小題主要考查湊微分法求不定積分。滿(mǎn)分6分。（3）第二換元積分法 如果是嚴(yán)格單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，且，又設(shè)具有原函數(shù)F（t），則有第二換元積分公式其中是的反函數(shù)。常用的換元類(lèi)型有：被積函數(shù)類(lèi)型

6、所用代換代換名稱(chēng)正弦代換正切代換根式代換例1.計(jì)算【答疑編號(hào)11030207】解析 本小題主要考查通過(guò)簡(jiǎn)單的根式代換求不定積分。令，得，dx=2tdt，則有例2.計(jì)算【答疑編號(hào)11030208】解析 本小題主要考查通過(guò)簡(jiǎn)單的根式代換求不定積分。令，得，則有例3.計(jì)算【答疑編號(hào)11030209】解析 本小題主要考查通過(guò)三角換元（弦變）求不定積分。令x=sint，得dx = costdt，則有例4.計(jì)算【答疑編號(hào)11030210】解析 本小題主要考查通過(guò)三角換元（切變）求不定積分。令x=tant，得dx=sec2tdt，則有 （4）分部積分法 分部積分公式u,dv的選擇主要有以下類(lèi)型：類(lèi)型u,dv

7、的選擇冪×指冪×弦令，令冪×對(duì)冪×反三令，令指×弦，令例1.計(jì)算【答疑編號(hào)11030301】答 xsinx+cosx+C例2計(jì)算【答疑編號(hào)11030302】答例30120 計(jì)算【答疑編號(hào)11030303】答例4計(jì)算【答疑編號(hào)11030304】答例5計(jì)算【答疑編號(hào)11030305】答 例69921計(jì)算【答疑編號(hào)11030306】解析 本小題主要考查湊微分法與分部積分法求不定積分。滿(mǎn)分6分。例79621【答疑編號(hào)11030307】例89821 計(jì)算【答疑編號(hào)11030308】解析 本小題主要考查湊微分法與分部積分法求不定積分。滿(mǎn)分6分。令，得， d

8、x=2tdt，則有例99729計(jì)算【答疑編號(hào)11030309】答例100224設(shè)，求f（x）【答疑編號(hào)11030310】解析 本小題主要考查不定積分的基本性質(zhì)與分部積分法求不定積分。滿(mǎn)分7分。（5）簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的不定積分例10422 計(jì)算【答疑編號(hào)11030311】解析 本小題主要考查求簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分。滿(mǎn)分6分。例2計(jì)算【答疑編號(hào)11030312】解析 本小題主要考查求簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分。例39722計(jì)算【答疑編號(hào)11030313】解析 本小題主要考查求簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分。滿(mǎn)分6分。 求不定積分的歌：微分積分逆運(yùn)算，先后積微必還原，不定積分是求原函數(shù)，不加常數(shù)不算完，不定積分

9、提限外，一表三法記心間，牢記基本積分表，通過(guò)求導(dǎo)可檢驗(yàn)。直接積分最基本，恒等變型需熟練，換原積分繁化簡(jiǎn)，積完分后再還原，第一換元最重要，能湊便湊最簡(jiǎn)單，第二換元不能湊，根式代換常出現(xiàn)，三角代換有兩種，只需弦變與切變，分部積分未轉(zhuǎn)化，確定dv是關(guān)鍵，冪指弦冪在前，冪對(duì)反后為先，指乘弦出循環(huán)，尋求規(guī)律抓典型，掌握技巧會(huì)再練，今日唱起積分歌，積分運(yùn)算不算難。第二節(jié)定積分及其應(yīng)用 復(fù)習(xí)考試要求1.理解定積分的概念及其幾何意義，了解函數(shù)可積的條件2.掌握定積分的基本性質(zhì)3.理解變上限積分是變上限的函數(shù)，掌握對(duì)變上限積分求導(dǎo)數(shù)的方法。4.熟練掌握牛頓萊布尼茨公式。5.掌握定積分的換元積分法與分部積分法。6

10、.理解無(wú)窮區(qū)間的廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。7.掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積。主要知識(shí)內(nèi)容（一）定積分有關(guān)概念1.定義 設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間 a, b上連續(xù)，用分點(diǎn)a=x0<x1<x2<xn=b,將區(qū)間a, b分成n個(gè)小區(qū)間 xi-1,xi，其長(zhǎng)度為在每個(gè)小區(qū)間xi-1,xi上任取一點(diǎn)，作乘積，并求和設(shè)f（x）在區(qū)間 a, b上連續(xù)且f（x）0如果當(dāng)n，時(shí)，上述和的極限存在，且與對(duì)a, b的分法及的取法無(wú)關(guān)，則稱(chēng)此極限值為函數(shù)f（x）在區(qū)間a, b上的定積分，記作即并稱(chēng)f（x）在區(qū)間a, b上可積。其中f（x）

11、稱(chēng)為被積函數(shù)，f（x）dx稱(chēng)為被積表達(dá)式，x稱(chēng)為積分變量，a, b稱(chēng)為積分區(qū)間，a稱(chēng)為積分上限，b稱(chēng)為積分下限。由定積分的定義可以得到2.定積分的存在定理（1）如果f（x）在區(qū)間a, b上連續(xù)，則f（x）在a, b上可積。（2）如果f（x）在區(qū)間a, b上只有有限個(gè)有界間斷點(diǎn)，則f（x）在a, b上可積。3.定積分的幾何意義定積分幾何上表示由曲線(xiàn)y=f（x），直線(xiàn)x=a, x=b及x軸圍成的各部分面積的代數(shù)和。4.定積分的基本性質(zhì)（1）。（k為常數(shù)）。（2）。（3）。（4）如果f（x）在區(qū)間a, b上總有f（x）g（x），則。（5）（6）設(shè)M和m分別為f（x）在區(qū)間a, b上的最大值和最小值，

12、則有（7）積分中值定理如果f（x）在區(qū)間a, b上連續(xù)，則在區(qū)間a, b上至少存在一點(diǎn)，使得（二）變上限定積分求導(dǎo)定理1.變上限定積分定義 定義 積分上限x為變量時(shí)的定積分稱(chēng)為變上限定積分。變上限定積分是積分上限x的函數(shù)，記作，一般有2.變上限定積分求導(dǎo)定理定理 如果函數(shù)f（x）在區(qū)間a, b上連續(xù)，則有推論3.原函數(shù)存在定理定理 如果函數(shù)f（x）在區(qū)間a, b上連續(xù)，則是f（x）在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。例10003設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間a, b上連續(xù)，則下列結(jié)論不正確的是A.是f（x）的一個(gè)原函數(shù) B.是f（x）的一個(gè)原函數(shù)（a<x<b） C.是f（x）的一個(gè)原函數(shù)（a<x&

13、lt;b） D.f（x）在區(qū)間 a,b上可積 【答疑編號(hào)11030401】答A 例20113 設(shè)，則【答疑編號(hào)11030402】答 arctanx例39912 若，則【答疑編號(hào)11030403】解析本小題主要考查變上限定積分求導(dǎo)定理。滿(mǎn)分4分。例49718設(shè)試討論f（x）在x=0處的連續(xù)性?！敬鹨删幪?hào)11030404】解析 f（0）=2，f（0-0）f（0+0），f（x）在x=0處間斷。（三）計(jì)算定積分1.牛頓萊布尼茨公式 如果f(x)在區(qū)間a,b上的連續(xù)，且，則有例1.（1）設(shè)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(a)=3, f(b)=5，則【答疑編號(hào)11030501】答2（2）0606【答疑編號(hào)110

14、30502】例2【答疑編號(hào)11030503】解析本小題主要考查用牛萊公式計(jì)算定積分。例3.己知，則k【答疑編號(hào)11030504】答30例4（1）0221 設(shè)函數(shù)，求【答疑編號(hào)11030505】解析本小題主要考查分段函數(shù)計(jì)算定積分。（2）【答疑編號(hào)11030506】2.定積分的換元積分法換元積分定理：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，作變換滿(mǎn)足：(1)當(dāng)t在區(qū)間上變化時(shí)，的值在a,b上變化，且，；(2)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)且有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則有上式稱(chēng)為定積分的換元積分公式。例1（1）0023計(jì)算【答疑編號(hào)11030507】解析本小題主要考查用換元積分法計(jì)算定積分。滿(mǎn)分7分。方法一：本題利用了方法二：令

15、，得，當(dāng)x=0，時(shí)u=3；當(dāng)x=1時(shí)，u=4-e則有（2）.【答疑編號(hào)11030508】方法一： 方法二：令sinx=u,cosxdx=du當(dāng)x=0時(shí),u=0;x=時(shí)，原式例20124計(jì)算【答疑編號(hào)11030509】解析本小題主要考查用換元積分法計(jì)算定積分。滿(mǎn)分7分。作變換，令，得，當(dāng)x=1時(shí)，t=1；當(dāng)x=8時(shí)，t=2則有推論：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間-a,a上連續(xù)，(1)若f(x)為奇函數(shù)，則(2)若f(x)為偶函數(shù)，則證：f(-x)=-f(x)令x=-t,t=-x,dx=-dt當(dāng)x=-a時(shí)，t=a；x=0時(shí),t=0。例3 (1)0313【答疑編號(hào)11030510】(2)0411【答疑編號(hào)11

16、030511】(3)06183.定積分的分部積分法例10324 計(jì)算【答疑編號(hào)11030601】解析本小題主要考查用分部積分法計(jì)算定積分。滿(mǎn)分6分。解一：令u=xdv=sinxdxdu=dxv=-cosx解二：例2（1）0423計(jì)算【答疑編號(hào)11030602】解析本小題主要考查用分部積分法計(jì)算定積分。滿(mǎn)分6分。（2）0624【答疑編號(hào)11030603】（四）廣義積分定義 積分上、下限中至少有一個(gè)為無(wú)窮大的定積分，稱(chēng)為無(wú)窮區(qū)間的廣義積分，簡(jiǎn)稱(chēng)為無(wú)窮積分，或廣義積分。設(shè)函f(x)在區(qū)間上連續(xù)，如果極限存在，則稱(chēng)無(wú)窮積分收斂，并稱(chēng)此極限為該無(wú)窮積分的值，記為，如果極限不存在，則稱(chēng)無(wú)窮積分發(fā)散。類(lèi)似地

17、可以定義廣義積分和的收斂和發(fā)散。例10424計(jì)算【答疑編號(hào)11030604】 解析本小題主要考查計(jì)算廣義積分。滿(mǎn)分6分。解一：解二：例29824計(jì)算【答疑編號(hào)11030605】解析本小題主要考查計(jì)算廣義積分。滿(mǎn)分6分。（五）定積分的應(yīng)用1.計(jì)算平面圖形的面積(1)X型：曲線(xiàn)y=f(x)，y=g(x)(f(x)g(x)和直線(xiàn)x=a,x=b(ab)所圍成的平面圖形的面積A為。(2)Y型：曲線(xiàn)和直線(xiàn)y=c,y=d(cd)，所圍成的平面圖形的面積A為。例1.求由曲線(xiàn)及直線(xiàn)y=2x所圍成的平面圖形的面積?！敬鹨删幪?hào)11030701】解析畫(huà)出圖形，解方程組得兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)O（0，0），A（2，4）。則曲線(xiàn)及

18、直線(xiàn)y=2x所圍成的平面圖形的面積例2.求由曲線(xiàn)及直線(xiàn)y=x-2所圍成的平面圖形的面積。 【答疑編號(hào)11030702】解析畫(huà)出圖形，解方程組得兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)A（1，-1），B（4，2）。則曲線(xiàn)及直線(xiàn)y=x-2所圍成的平面圖形的面積另解以x為積分變量例3.9826求由拋物線(xiàn)及其在點(diǎn)（1，0）處的切線(xiàn)和y軸所圍成的平面圖形的面積。【答疑編號(hào)11030703】解析畫(huà)出圖形，過(guò)點(diǎn)（1，0）處的切線(xiàn)方程為y=-2(x-1)。則所求就是拋物線(xiàn)及其在點(diǎn)（1，0）處的切線(xiàn)y=-2(x-1)和y軸所圍成的平面圖形的面積。求由曲線(xiàn)圍成的平面圖形面積的解題步驟：(1)畫(huà)草圖，求出曲線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)用穿線(xiàn)掃描法選擇類(lèi)型；(3)確定被積函數(shù)及積分區(qū)間；(4)計(jì)算定積分。2.旋轉(zhuǎn)體的體積(1)X型 由連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x)(f(x)0)和直線(xiàn)x=a,x=b(a<b)及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積(2)Y型 由連續(xù)曲線(xiàn)和直線(xiàn)y=c,y=d(c<d)及y軸所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積例10028(1)求由直線(xiàn)x=0,x=2,y=0與拋物線(xiàn)所圍成的平面圖形的面積；【答疑編號(hào)11030704】(2)求上述平面圖形繞