行列式的計算技巧——畢業(yè)論文

1、行列式的計算方法姓 名：_ * _院 別：_數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院_專 業(yè)：_數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)_學(xué)號：_0000000000_指導(dǎo)教師：_ * _2016年 5月 1日目錄摘 要1關(guān)鍵詞1Abstract1Key words10 引言21 基本理論22 行列式的計算技巧42.1 化三角形法42.2 遞推法72.3降階法82.4數(shù)學(xué)歸納法92.5 范德蒙德行列式法102.6 拉普拉斯定理法132.7 拆行(列)法152.8 構(gòu)造法16參考文獻(xiàn)17致 謝17行列式的計算方法摘 要行列式是代數(shù)學(xué)重要研究工具,并且在物理,經(jīng)濟(jì),金融等各學(xué)科當(dāng)中都著有廣泛的應(yīng)用.本文針對行列式的特點(diǎn),利用行列式的性質(zhì),主要討

2、論了行列式的計算方法,例如：三角形行列式法，遞推法，降階法，范德蒙德行列式法等，并且根據(jù)每一種計算方法的特點(diǎn)，通過典型的例題進(jìn)行論述.關(guān)鍵詞行列式;計算技巧;范德蒙行列式;上三角形The determinant calculation techniquesAbstractDeterminant is an important tool in algebra research, which has a wide range of applications in physics, economic, financial and so on. This paper according to the

3、character and quality of determinant, discuss the calculation method to determinant, for instance: the triangle method, the recursion method, the order reduction method, Vandermonde determinant method ect, basis on the character of every calculation method, discuss things through typical examples.Ke

4、y wordsThe determinant;Computing skills;Vandermonde determinant;The triangle0 引言行列式描述的是在維空間中,一個線性變換形成的平行多面體的體積,被廣泛應(yīng)用于解線性方程組,計算微積分,矩陣運(yùn)算等.行列式最初是伴隨著方程組的求解發(fā)展起來的.發(fā)展至今,行列式已成為代數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,在數(shù)學(xué)理論上有著十分重要的地位.行列式的概念最早是在十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在一部叫做解伏題之法的著作中提出來的.十八世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家范德蒙德首先把行列式作為專門理論獨(dú)立于線性方程組之外進(jìn)行研究.而十九世紀(jì),是行列式理論形成和發(fā)展的重要時期.18

5、15年,柯西在他的一篇論文當(dāng)中給出了關(guān)于行列式的第一個系統(tǒng)的、并且?guī)缀跏墙奶幚?當(dāng)中主要結(jié)果之一則是是行列式的乘法定理.除此之外,他還是把行列式的元素排成方陣的第一人,并且采用雙足標(biāo)記法.他不僅引進(jìn)了行列式特征方程的專業(yè)術(shù)語;還給出了相似行列式概念.本文主要討論行列式解題方法和解題思路.本文重點(diǎn)討論了8種較為典型的計算行列式的解題技巧,并在給每一種計算技巧都提供了典型的例題,幫助理解相對應(yīng)的技巧方法.本文分成兩個部分,第一部分重點(diǎn)敘述了行列式的定義,基本性質(zhì)以及矩陣的定義.第二部分論述了計算行列式的方法以及應(yīng)用. 以便可以更有針對性的根據(jù)行列式的特點(diǎn)選擇出比較便捷的計算方法,從而更快的計算

6、出行列式,并且在物理,經(jīng)濟(jì),金融等各學(xué)科當(dāng)中能夠取得更有效的學(xué)習(xí).1 基本理論1.1定義1級行列式等于所有取自不同行不同列的個元素的乘積(1)的代數(shù)和,這里是的一個排列,每一項(1)都按下列規(guī)則帶有符號: 當(dāng)是偶排列時,(1)符號為正;當(dāng)是奇排列時,(1)帶有負(fù)號.此定義又可寫成這里表示對所有級排列求和.1.2級行列式的基本性質(zhì)性質(zhì)1 行列互換,行列式不變.性質(zhì)2 行列式中任意兩個行或列互換,行列式值改變符號.性質(zhì)3 某個數(shù)乘以行列式的某一行或者某一列,則可以將該數(shù)提取到行列式外.性質(zhì)4 如果某一行(列)是兩組數(shù)相加的和,那么此行列式就等于兩個行列式的和,而這兩個行列式除去這一行(列)之外,剩

7、下的元素全部對應(yīng)相同.性質(zhì)5 如果行列式中有兩行或者兩列的對應(yīng)元素相同,則此行列式的值為零.性質(zhì)6 如果在行列式中任意兩行(列)對應(yīng)成比例,則此行列式的值為零.性質(zhì)7 把一行(列)的倍數(shù)加到另一行(列),則此行列式值符號相反.2 行列式的計算技巧行列式是線性代數(shù)中的一個重要研究對象,并且是線性代數(shù)中最基本,最常用的工具,因此研究行列式計算技巧實(shí)是為了更好的去了解行列式計算過程中的一些方法,為更快更好更方便的解答行列式的計算提供方法.2.1 化三角形法定義2 由個數(shù)排列成的行列的表稱為一個矩陣.定義3數(shù)域上矩陣的初等行(列)變換是指以下三種變換:,(2)交換矩陣的兩行(列);(3)以一個數(shù)乘矩陣

8、某一行(列)的所有元素;(4)把矩陣的某一行(列)所有元素的倍加到另一行(列)對應(yīng)的元素上去;矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.定義4 數(shù)域上主對角線以下或以上的全體元素都是零的階方陣，稱為三角矩陣.定義5主對角線以外的元素全為零的行列式稱為對角行行列式.且對角線以下(上)的元素全為零的行列式叫做上(下)三角形行列式.命題1上三角形行列式等于主對角線上元素的乘積,即證明我們首先觀察形如(1)式的項有哪一些不為零，然后再來決定他們的符號.項的一般形式為,在行列式中第行的元素除去以外全為零,因之,只要考慮的那些項.在第行中,除去外，其余的項全為零. 因之這兩個可能.由于,所以就不能

9、等于了,從而.這樣逐步推上去，不難看出,在展開式中,除去這一項外，其余項全是0.而這一項的列指標(biāo)所成的排列是一個偶排列，所以這一項帶正號.結(jié)論得證.如果把一個行列式經(jīng)過適當(dāng)變換之后化為三角形,那么其結(jié)果即為行列式主對角線上元素的乘積.化三角形法是把原行列式化成上(下)三角形行列式或者對角形行列式計算的方法.一般來說,每個行列式都可以利用行列式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為三角形行列式.但是對于階數(shù)高的行列式,在通常情況下,計算往往會比較繁瑣.因此,在許多的情況下,總是首先利用行列式的性質(zhì)將原行列式作為某種保值變形,然后再將其化為三角形行列式. 任意一個階方陣總可以經(jīng)過行列初等變換化成上(下)三角形矩陣(證明見高

10、等代數(shù)).從而把行列式寫成上(下)三角形行列式與一個數(shù)乘積的形式,其步驟如下:如果行列式的第一行第一個元素為零,首先可將第一行(列)與其他任一行(列)進(jìn)行交換,使得第一行第一個元素化為不為零,然后把第一行的合適的倍數(shù)加到其他各行,使得第一列除了第一個元素之外其他元素全部為零,然后再用相同的方法處理除去第一行第一列余下的低階行列式,依次化下去,直至化為上三角形行列式,此時行列式的值就等于主對角線上所有元素的乘積.例1計算下列行列式.解例2計算行列式.解2.2 遞推法定義5 利用行列式性質(zhì),把一個n階行列式表示成具有相同的結(jié)較低階行列式的現(xiàn)行關(guān)系式,這種關(guān)系式被稱為遞推關(guān)系式.遞推法是根據(jù)行列式構(gòu)

11、造特點(diǎn),建立與(或者)遞推關(guān)系式,逐步推導(dǎo)下去,求出的值.也可以找到與,的遞推關(guān)系,然后利用,求出的值.若階行列式滿足關(guān)系式.則作特征方程.(5)若,則特征方程有兩個不等根,則.(6)若,則特征方程有重根,則在(5),(6)中,均為待定系數(shù),可令求出.例3 計算行列式.解 按第一行展開,得由此遞推,得出.(7)因為中與對稱,則有.(8)當(dāng),由(7),(8)得.當(dāng),2.3 降階法定義6 在行列式中劃去元素所在的第行與列,剩下的個元素按原來的排法構(gòu)成一個級的行列式稱為的余子式,記為.而稱為的代數(shù)余子式.推論1設(shè)為階行列式,則.或.其中為中的元素的代數(shù)余子式.降階法亦稱為按行(列)展開法.即按照某一

12、行(列)展開行列式,即可以使得行列式降一階.依次進(jìn)行下去,直至化為二階或者三階行列式,可直接計算結(jié)果.如果行列式中的零元素比較多,我們則可以按照某一行(列)展開計算.若是行列式比較復(fù)雜,為使得計算比較簡單,我們可以根據(jù)行列式的特點(diǎn),首先利用行列式的性質(zhì)將行列式進(jìn)行化簡,使得行列式中有較多的零元素出現(xiàn),然后再展開.例4計算下列行列式.解.2.4數(shù)學(xué)歸納法定義7 當(dāng)一個命題滿足下面兩個步驟 證明當(dāng)取第一個值時命題成立; 假設(shè)時命題成立,證明時命題也成立.我們就可以斷定這個命題對于從開始所有的正整數(shù)都成立.這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明方法,典型地用于確定一個表達(dá)式在 所有自然

13、數(shù)范圍內(nèi)是成立的或者用于確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的.最簡單和常見的數(shù)學(xué)歸納法證明方法是證明當(dāng)屬于所有自然數(shù)時一個表達(dá)式成,這種方法是由下面兩步組成 遞推的基礎(chǔ)：證明當(dāng)時表達(dá)式成立.遞推的依據(jù)：證明如果當(dāng)時成立,那么當(dāng)時同樣成立.(遞推的依據(jù)中的“如果”被定義為歸納假設(shè).不要把整個第二步稱為歸納假設(shè)).當(dāng)與為同型的行列式,我們一般考慮用數(shù)學(xué)歸納法求解.一般是先利用不完全歸納法找出行列式的猜想值,然后再利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想.因此,數(shù)學(xué)歸納法我們一般可以用來證明行列式等式.因為給定了一個行列式,我們要猜想行列式的值是不容易的,所以是先給定行列式的值,然后再去證明.例5 證明下列等式.

14、證明 當(dāng)時,命題成立.假定對于階行列式命題也成立,即.則按照第一列展開.所以對于階行列式命題也成立.得證.2.5 范德蒙德行列式法范德蒙德,Vandermonde,法國數(shù)學(xué)家,17351796.除了把行列式應(yīng)用在線性方程組之外,范德蒙德也是第一個行列式本身的表達(dá)式以及性質(zhì)進(jìn)行研究的數(shù)學(xué)家,他的主要貢獻(xiàn)之一就是用方陣?yán)镙^小的方陣行列式以表示的行列式方法.這種方法和其他一些相類似的方法,在簡化大型的行列式計算方面是有著極其方便的效果的.正因為如此,范德蒙德被認(rèn)為行列式理論的奠基人.根據(jù)行列式的特點(diǎn),利用行列式的性質(zhì)適當(dāng)?shù)淖冃?把所求行列式化為已知的或較為簡單的形式.范德蒙行列式就是其中的一種.范德

15、蒙德行列式的每一列都是以不同整指數(shù)的某個數(shù)形式出現(xiàn)的,并且具有很強(qiáng)的規(guī)律性.冪次數(shù)的變化趨勢呈現(xiàn)出由到遞增或者遞減的這一結(jié)構(gòu)特點(diǎn),從而把所給的行列式化為范德蒙行列式,然后進(jìn)行簡化計算.定義8行列式(9)稱為級的范德蒙德行列式.定理1 對任意的級范德蒙德行列式等于這個數(shù)所有可能的差的乘積.即.證明 首先對作歸納法.當(dāng)時,結(jié)果是正確的.設(shè)對于級的范德蒙德行列式結(jié)論成立.在(9)中,第行減去第行的倍,第行減去第行的倍.也就是由上而下依次地從每一行減去它上一行的倍,有后面這行列式是級的范德蒙德行列式,根據(jù)歸納法假設(shè),它等于所有可能差的乘積;而包含的差全在前面出現(xiàn)了.故結(jié)論對級范德蒙德行列式也成立.推論

16、2范德蒙德行列式為零的充分必要條件是這個數(shù)中至少有兩個相等.利用范德蒙德行列式的結(jié)論計算并不復(fù)雜,難的是如何將給定的行列式化成范式的標(biāo)準(zhǔn)形式.所給行列式各列(或各行) 都是某元素的不同次冪,但其冪次數(shù)的排列與范德蒙德行列式不完全相同,需利用行列式性質(zhì)(如提取公因式,調(diào)換各行(或各列) 的次序,拆項等).例6計算階行列式.解 顯然此行列式與范德蒙行列式是相似的,但還是有所不同,所以要首先利用行列式的性質(zhì)把它化成范德蒙行列式的類型.首先將行列式的第行依次與第行,行,行,行兌換,再將得到的新的行列式的第行與第行,行,行進(jìn)行對換,直至最后將第行與第行進(jìn)行對換,如此,共經(jīng)過次行對換之后,得到上面式子右端

17、的行列式已經(jīng)是范德蒙行列式,所以利用范德蒙行列式的結(jié)果得.例7 計算行列式解 由,可得2.6 拉普拉斯定理法定義9在一個級行列式中任意選定行列.位于這些行和列的交點(diǎn)上的個元素按照原來的次序組成一個級行列式,稱為行列式的一個級子式.當(dāng)時,在中劃去這行列后余下的元素按照原來的次序組成的級行列式稱為級子式的余子式.定理2(拉普拉斯定理)設(shè)在行列式中任意取定了個行,由這行元素組成的一切級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式.(證明見高等代數(shù)).拉普拉斯定理,在計算行列式的時候,主要應(yīng)用的是的情形,很少用到一般的形式,不過當(dāng)行列式的里面零元素很多時,我們運(yùn)用一般情形的拉普拉斯定理,則會給我們的行列

18、式計算帶來很大的方便.拉普拉斯定理四種特殊情形 (i).(ii) .(iii)(iv).證明(i)在左端的行列式中,取定前行,組成的階式子中只有前列不為.根據(jù)拉普拉斯定理得 同樣的方法可以證明(ii).證明(iii) 在左端的行列式中,取定前行,組成的階式子中只有后列不為.根據(jù)拉普拉斯定理得.由于與奇偶性相同,所以 同理可證(iv).例8計算階行列式解2.7 拆行(列)法定義10 由行列式拆項性質(zhì)知,將已知行列式拆成若干個行列式之積,計算其值,再得原行列式值,此法稱為拆行(列)法.由行列式的性質(zhì)4知道,若行列式的某行(列)的元素都是兩個數(shù)之和,則該行列式可拆成兩個行列式的和,這兩個行列式的某行(列)分別以這兩數(shù)之一為該行(列)的元素,而其他各行(列)的元素與原行列式的對應(yīng)行(列)相同,利用行列式的這一性質(zhì),有時較容易求得行列式的值.例9設(shè)n階行列式且滿足對任意數(shù),求階行列式.解.,且,有.因,也為反對稱矩陣.又為的元素.故.從而知.2.8 用構(gòu)造法解行列式構(gòu)造法是運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本思想經(jīng)過認(rèn)真的觀察,深入的思考,移聯(lián)想,確思維,妙地、合理地構(gòu)造出某些元素,種模式,問題轉(zhuǎn)化為新元素的問題,轉(zhuǎn)化為新元素之間的一種新的組織形式,