四邊形中新定義型試題探究

1、四邊形中“新定義”型試題探究浙江省象山縣丹城中學(xué) 王賽英 徐敏賢 郵編 315700所謂“新定義”型試題，是指在試題中給出一個考生從未接觸過的新概念，要求考生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，主要考查考生閱讀理解能力、應(yīng)用新知識能力、邏輯推理能力和創(chuàng)新能力.給“什么”，用“什么”，是 “新定義”型試題解題的基本思路.以四邊形為背景的幾何 “新定義”型試題，看似平淡無奇，仔細(xì)研讀卻發(fā)現(xiàn)試題韻味無窮，極具探究價值和選拔功能.求解這類試題的關(guān)鍵是：正確理解新定義，并將此定義作為解題的依據(jù)，同時熟練掌握相關(guān)的基本概念、性質(zhì),把握圖形的變化規(guī)律. 一、以特殊點(diǎn)為契機(jī)進(jìn)行 “新定義”圖1例1 （2007年寧波市中考數(shù)學(xué)試題）四邊

2、形一條對角線所在直線上的點(diǎn)，如果到這條對角線的兩端點(diǎn)的距離不相等，但到另一對角線的兩個端點(diǎn)的距離相等，則稱這點(diǎn)為這個四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)如圖l，點(diǎn)P為四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一點(diǎn)，PD=PB，PAPC，則點(diǎn)P為四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)(1)如圖2，畫出菱形ABCD的一個準(zhǔn)等距點(diǎn) (2)如圖3，作出四邊形ABCD的一個準(zhǔn)等距點(diǎn)(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡，不要求寫作法)(3)如圖4，在四邊形ABCD中，P是AC上的點(diǎn)，PAPC，延長BP交CD于點(diǎn)E，延長DP交BC于點(diǎn)F，且CDF=CBE，CE=CF求證：點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)圖3(4)試研究四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)個數(shù)的情況(說出相應(yīng)四邊形

3、的特征及準(zhǔn)等距點(diǎn)的個數(shù)，不必證明)圖4圖2解:（1）如圖2，連結(jié)AC,在AC上任取除AC中點(diǎn)外的點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所畫點(diǎn)（2）如圖3，連結(jié)BD,作BD的中垂線交直線AC于點(diǎn)P,因點(diǎn)P不是AC的中點(diǎn),故點(diǎn)P即為所求作點(diǎn) （3）如圖4，連結(jié)DB，在DCF與BCE中，CDF=CBE， DCF=BCE，CF=CE.DCFBCE(AAS)，CD=CB, CDB=CBD, PDB=PBD， PD=PB， PAPC, 點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn).（4）當(dāng)四邊形的對角線互相垂直且任何一條對角線不平分另一對角線時，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個數(shù)為0個；四邊形的對角線互相垂直且至少有一條對角線平分另一對角線時，準(zhǔn)等距點(diǎn)有無數(shù)個當(dāng)

4、四邊形的對角線不互相垂直，但互相平分時，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個數(shù)為0個；當(dāng)四邊形的對角線不互相垂直，又不互相平分，且有一條對角線的中垂線經(jīng)過另一對角線的中點(diǎn)時，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個數(shù)為1個；當(dāng)四邊形的對角線既不互相垂直又不互相平分，且任何一條對角線的中垂線都不經(jīng)過另一條對角線的中點(diǎn)時，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個數(shù)為2個.評析：本道題以特殊點(diǎn)為契機(jī)，創(chuàng)設(shè)了一個全新的概念四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn).第（1）小題是新定義的簡單應(yīng)用.第（2）小題根據(jù)新定義的內(nèi)涵作圖，其實(shí)質(zhì)作一對角線的中垂線與另一對角線的交點(diǎn)，且這一交點(diǎn)不在另一對角線的中點(diǎn)上；思維敏銳、鎮(zhèn)定從容的同學(xué)，從作圖中不難發(fā)現(xiàn)一般的四邊形等距點(diǎn)可能為0、1、2、無數(shù)個.第（3）小題，

5、常中見新、拙中藏巧，利用新定義及三角形有關(guān)知識就可使命題獲證.第（4）小題則難度極大，對分析問題能力、分類討論能力、抽象思維能力、歸納能力及語言表達(dá)能力提出了極高的要求.好在（1）、（2）兩小題解決后累積的經(jīng)驗(yàn)，為第（4）小題解決鋪設(shè)了平臺，尤其是第（2）小題畫圖時產(chǎn)生的靈感，為第（4）小題的解決指引著思維的方向.于是，類比、聯(lián)想能力強(qiáng),思維敏捷的同學(xué)會從對角線位置關(guān)系入手，對四邊形等距點(diǎn)個數(shù)進(jìn)行分類研究；思維嚴(yán)密、深刻的同學(xué)，會根據(jù)對角線垂直與否及是否平分，分成五類，最后，經(jīng)抽象、歸納成四類.二、以特殊邊為契機(jī)邊進(jìn)行 “新定義”例2 （2007年北京市中考數(shù)學(xué)試題）我們知道：有兩條邊相等的三

6、角形叫做等腰三角形.類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形. 圖5（1）請寫出一個你學(xué)過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；（2）如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，設(shè)CD、BE相交于點(diǎn)O，若A=60°，DCB=EBC=A. 請你寫出圖中一個與A相等的角，并猜想圖中哪個四邊形是等對邊四邊形； （3）在ABC中，如果A是不等于60°的銳角，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，且DCB=EBC=A.探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結(jié)論.解：（1）平行四邊形、等腰梯形等.（2）答：與A相等的角是BOD（或COE）.四邊形DB

7、CE是等對邊四邊形.（3）答：此時存在等對邊四邊形，是四邊形DBCE.證明：如圖5，作CGBE于G點(diǎn)，作BFCD交CD延長線于F點(diǎn)，F(xiàn)=900=EGC. ，BC為公共邊，. BF=CG.BDF=ABE+EBC+DCB，BEC=ABE+A， BDF=BEC，又F=EGC， ，BD=CE，四邊形DBCE是等對邊四邊形.評析：此題以一組對邊相等關(guān)系為契機(jī)，創(chuàng)設(shè)了一個全新的概念等對邊四邊形.語言精練,設(shè)問流暢，層次感強(qiáng).解決此題，需較強(qiáng)的分析問題能力、推理論證能力. 第（1）小題是新定義的簡單應(yīng)用.第（2）小題的第一問，利用三角形的內(nèi)外角的數(shù)量關(guān)系即可解決；而第二問，易得猜想：BD=CE，四邊形DBC

8、E為等對邊四邊形，但憑直角得到的猜想不一定可靠，為此大多數(shù)考生會設(shè)法證明自己的猜想.由公共邊BC,DCB=EBC=A=30°,BOD=COE=60°這些條件及要證的猜想BD=CE，不難想到添輔助線的方法：分別過點(diǎn)B、C作CD、BE的垂線,從而證明自己的猜想.第（3）小題完全可類比第（2）小題的第二問進(jìn)行，先證，再證得，繼而使問題獲得解決；當(dāng)然，第（3）小題，也可作HCB=DBC交BE于點(diǎn)H，構(gòu)造全等三角形BDC與CHB ，得BD=CH，再證CH=CE，也可使問題獲得解決.三、以特殊角為契機(jī)進(jìn)行 “新定義”例3（2006年安徽省中考數(shù)學(xué)試題）如圖6，凸四邊形 ABCD中，如果

9、點(diǎn)P 滿足APD APB =.且BPCCPD ，則稱點(diǎn)P為四邊形 ABCD的一個半等角點(diǎn) ( l ）在圖7正方形 ABCD 內(nèi)畫一個半等角點(diǎn)P，且滿足.( 2 ）在圖8四邊形 ABCD 中畫出一個半等角點(diǎn)P，保留畫圖痕跡（不需寫出畫法） . 圖8圖7 ( 3 ）若四邊形 ABCD 有兩個半等角點(diǎn)P1 、P2（如圖9 ) ，證明線段P1 P2上任一點(diǎn)也是它的半等角點(diǎn) .圖6圖9B 解：（1）所畫的點(diǎn)P在AC上且不是AC的中點(diǎn)和AC的端點(diǎn)，即可.（2）畫點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B，延長D B交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求的點(diǎn).（3）連P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根據(jù)題意,A P1D=A

10、 P1B， D P1C=B P1C，A P1B+B P1C=1800, P1在AC上，同理，P2也在AC上. 在D P1 P2和BP1 P2中D P1 P2=B P1 P2，D P2 P1=B P2P1，P1 P2= P1 P2，D P1 P2BP1 P2，P1D=P1B，P2D=P2B，B、D關(guān)于AC對稱.設(shè)P是P1 P上任一點(diǎn)，連結(jié)PD、PB，由對稱性，得DPA =BPA，DPC=BPC，點(diǎn)P是四邊形的半等角點(diǎn).評析：此題以頂點(diǎn)相同的四個角滿足特殊的數(shù)量、位置關(guān)系為契機(jī), 創(chuàng)設(shè)了一個全新的概念四邊形半等角點(diǎn).第（1）小題是新定義的直接應(yīng)用.第（2）小題，語言簡潔、精練，看似平淡，實(shí)則蘊(yùn)涵豐

11、富的思維內(nèi)涵, 突出考查了學(xué)生靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識解決問題的能力.通過分析，發(fā)現(xiàn)所求作的點(diǎn)在對角線AC上，且DPA =BPA，但要畫出點(diǎn)P仍不容易；繼續(xù)分析，發(fā)現(xiàn)DPB關(guān)于直線AC對稱，點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B在DP上，至此，才峰回路轉(zhuǎn)，柳暗花明.第（3）小題要證明線段P1 P2上任一點(diǎn)也是它的半等角點(diǎn)，需先證A、P1 、P2、B四點(diǎn)在一直線上，再證線段P1 P2上任一點(diǎn)滿足條件DPA =BPA，DPC=BPC，從而使問題獲證，此小題對思維的嚴(yán)密性提出了較高的要求.四、以特殊對角線為契機(jī)進(jìn)行 “新定義”例4 (2006年北京市中考數(shù)學(xué)試題)我們給出如下定義：若一個四邊形的兩條對角線相等，則稱這個四邊

12、形為等對角線四邊形請解答下列問題：（1）寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是等對角線四邊形的兩種圖形的名稱；（2）探究：當(dāng)?shù)葘蔷€四邊形中兩條對角線所夾銳角為600時，這對600角所對的兩邊之和與其中一條對角線的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論解：（1）矩形、等腰梯形.（2）結(jié)論：等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為600時,這對600角所對的兩邊之和大于或等于一條對角線的長ADEFCBO圖11已知：四邊形中，對角線，交于點(diǎn)，且ADEFCBO圖1圖10求證：證明：過點(diǎn)作，在上截取，使連結(jié)， ，四邊形是平行四邊形，；又，DE = AC =BD，EDO=600, 是等邊三角形， 當(dāng)與在同一條直線上時（如圖10），

13、則，當(dāng)與不在同一條直線上時（如圖11），在中，有，綜合、，得即等對角線四邊形中兩條對角線所夾角為600時，這對600角所對的兩邊之和大于或等于其中一條對角線的長評析：此題以對角線之間滿足相等關(guān)系為契機(jī)，創(chuàng)設(shè)了一個全新的概念等對角線四邊形.第（1）小題考查學(xué)生運(yùn)用新知識的能力及掌握課標(biāo)規(guī)定的雙基知識的情況.第（2）小題，語言精練, 構(gòu)思精巧，涉及的知識點(diǎn)不多，但思維含量及高.著重考查學(xué)生觀察力、分析能力、邏輯推理能力.好多考生面對此題，猶如“昨夜西風(fēng)凋碧樹，獨(dú)上高樓，望盡天涯路” .解決此題，可就其特殊情形入手，即當(dāng)此等對角線四邊形為梯形時先研究，不難想到等對角線梯形問題常添輔助線是平移對角線至

14、過角的頂點(diǎn)，從而使特殊情形時問題獲證；對于一般情形，則可類比特殊情形的方法，使問題得到解決.五、以特殊位置關(guān)系為契機(jī)進(jìn)行 “新定義”例5 （ 2005年資陽市中考數(shù)學(xué)試題）閱讀以下短文，然后解決下列問題：如果一個三角形和一個矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對的頂點(diǎn)在矩形這邊的對邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”. 如圖12所示，矩形ABEF即為ABC的“友好矩形”. 顯然，當(dāng)ABC是鈍角三角形時，其“友好矩形”只有一個 .(1) 仿照以上敘述，說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”；(2) 如圖13，若ABC為直角三角形，且C=90°，在圖13中

15、畫出ABC的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大?。粓D12圖13圖14(3) 若ABC是銳角三角形，且BC>AC>AB，在圖14中畫出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長最小的矩形并加以證明.解： (1) 如果一個三角形和一個平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，三角形這邊所對的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”. (2) 此時共有2個友好矩形，如圖的矩形BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面積都等于ABC面積的2倍， ABC的“友好矩形”的面積相等. (3) 此時共有3個友好矩形，如圖的矩形BCDE

16、、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周長最小 . 證明：易知，這三個矩形的面積相等，令其為S. 設(shè)矩形BCDE、CAFG及ABHK的周長分別為l1，l2，l3，ABC的邊長BC=a，CA=b，AB=c，則l1=+2a，l2=+2b，l3=+2c， l1- l2=(+2a)-(+2b)=2(a-b)，而 ab>S，a>b，l1- l2>0，即l1> l2. 同理可得，l2> l3 .l3最小，即矩形ABHK的周長最小. 評析：此題以圖形的特殊位置關(guān)系為契機(jī)，創(chuàng)設(shè)了一個全新的概念等對角線四邊形.試題平和清新、一題多問，層層平緩遞進(jìn)，為不同程度的學(xué)生展示自己的數(shù)學(xué)才華創(chuàng)設(shè)了平臺.第（1）小題是新定義的直接應(yīng)用.第（2）小題是新定義的簡單應(yīng)用.前兩小題為第（3）小題的解決作了鋪墊.第（3）小題的解決，要抓住“變”中的“不變量”：矩形面積相等；然后，把三個矩形的周長用其面積及其與三角形公共邊的邊長分別表示