圓錐曲線解題方法技巧歸納

1、圓錐曲線解題方法技巧歸納2 2例1、已知三角形 ABC的三個頂點均在橢圓 4x 5y =80上，且點A是橢圓短軸的一個端點(點 A在y軸正半軸 上).(1) 若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點，試求直線BC的方程；(2) 若角A為900，AD垂直BC于D，試求點D的軌跡方程分析：第一問抓住"重心”，利用點差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點弦BC的斜率，從而寫出直線 BC的方程。第二問抓住角A為900可得出AB丄AC,從而得X/2 -河2 - 14(力 y2)T6 =0，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點 D的軌跡方程；x；y1x；y|解：(1)設(shè) B( xi,yi) ,C(X2,y2 ),B

2、C 中點為(X0,y°),F(2,0)則有一-1, -=120162016兩式作差有(X1 X2)(X1 -X2)(y1 -y2)(y1y2)j 總.堂=0 (1)201654Xq +x2yi + y2 + 46F(2,0)為三角形重心，所以由 - 一 =2，得x0=3，由一 -0得y0 - -2，代入(1)得k =335直線BC的方程為6x -5y -28 =02)由 AB丄 AC 得 x-|X2 y1y2 -14(y1y2) 10(2)22222設(shè)直線 BC 方程為 y =kx b,代入 4x 5y =80，得(4 5k )x 10bkx 5b -80=02-10kb5b -80

3、X1 X2- , X1X24 5k24 5k2y1y28k4 5k22 24b -80k4 5k2代入(2)式得29b - 32b -1624 5k4=0，解得b =4(舍)或b -9直線過定點(0,-)，設(shè) D9(x,y),則即 9y2 9x2 - 32y -16 =0雙曲線、 2 16 2 20 2所以所求點D的軌跡方程是x (y )=() (y =4)。3、設(shè)而不求法例2、如圖，已知梯形 ABCD中AB二2CD，點E分有向線段 AC所成的比為',2 3過C、D、E三點，且以A、B為焦點當(dāng)時，求雙曲線離心率 e的取值范圍。3 4分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點坐標(biāo)公式、雙曲線的

4、概念和性質(zhì)，推理、運算能力和綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。建立直角坐標(biāo)系xOy，如圖，若設(shè)C c,h，代入 篤一爲(wèi)=1，求得進(jìn)而求得XE=|l(,yE=M，(2 丿 a b2 2再代入x_ _1- =1，建立目標(biāo)函數(shù) f(a,b1c, )=0，整理f(e, )=0，此運算量可見是難上加難我們對h可采取a b設(shè)而不求的解題策略，建立目標(biāo)函數(shù)f(a,b,c,')=0，整理f(e, ')=0,化繁為簡解法一：如圖，以 AB為垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，貝U CD丄y軸因為雙曲線經(jīng)過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于y軸對稱依題意，記

5、A 2 C ch , E X0,y0，其中c = 1AB|為雙曲線的半距，h是梯形的高，由定比分點坐標(biāo)公式得c2 仏2 c期x°,y 0 二0 1 2 1 1 2設(shè)雙曲線的方程為孑b2=1，則離心率e = ca由點C、E在雙曲線上，將點 C、E的坐標(biāo)和ce =代入雙曲線方程得a411 b2 =1由式得將式代入式，整理得2 3233由題設(shè)_ '-得，一_1 - 一 3 43 e2 +24所以雙曲線的離心率的取值范圍為7,、10】解得分析：考慮AE , AC為焦半徑，可用焦半徑公式，AE , AC用E,C的橫坐標(biāo)表示，回避h的計算，達(dá)到設(shè)而不求的解 題策略.解法二：建系同解法AE

6、 = (a +e ), AC =a +exc ,c-C 2 九( 2)c 又XE,又1 2"：；'1AEAC，代入整理十廠，由題設(shè)才遼得二A亍遼解得所以雙曲線的離心率的取值范圍為I 7,J0 14、判別式法例3已知雙曲線C：yL jxL=1，直線I過點a 、. 2,0，斜率為k，當(dāng)o ： k : 1時，雙曲線的上支上有且僅有一點2 2B到直線I的距離為,2，試求k的值及此時點B的坐標(biāo)。分析1:解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點B作與I平行的直線，必與雙曲線C相切而相切

7、的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式 = =0.由此出發(fā)，可設(shè)計如下解題思路：I : y=k(x 一 2)0 :：: k : 1直線i在i的上方且到直線i的距離為J2yI': y =kx . 2k22 . 2k1把直線I'的方程代入雙曲線方程，消去 y,令判別式& =0的值分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點 B到直線I的距離為近”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解 據(jù)此設(shè)計出如下解題思路:Q轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題求解簡解：設(shè)點M(X,-. 2 x2)為雙曲線C上支上任一點，則點 M至煩線I的距離為:0 : k : 1kx -亍2

8、 +x2_7= v2<k2 +1于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于x的方程.由于0 £k v1，所以<2 + x2> x =kx，從而有kxl2+x2 V2k =kx 十(2+x2 +w2k.于是關(guān)于x的方程”二-kx 2 x2、2k = 2(k2 1) 2 _X2(. 2(k21) - . 2k kx)2,2k 1) - 2k kx . 0廠2 _.刁2*2 _1 X2 +2kf2(k2 +1) _j2k X +(2(k2 +1) _T2k ) _2 =0, 2(k2 i：；2k kx 0.由0 ： k : 1可知:方程 k2 -1 x2 2k . 2(k2 1) -

9、2kx . 2(k2 1) - .2芒 _2=0 的二根同 正， 故.2(k21) - . 2k kx 0恒成立，于是“等價于 _ _ 2 k2 -1 x2 2k . 2(k21) 一 .2k x . 2(k21) 一 . 2k 2=0.I由如上關(guān)于x的方程有唯一解，判別式尺-0，就可解得k二三？.5點評：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性2 2例4已知橢圓C:x +2y =8和點(4,1),過P作直線交橢圓于A、B兩點，在線段AB上取點Q，使APPBAQQB，求動點Q的軌跡所在曲線的方程分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學(xué)生往往不知從

10、何入手。其實，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解.因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過消參可達(dá)到解題的目的.由于點Q(x, y)的變化是由直線 AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率k作為參數(shù)，如何將x,y與k聯(lián)系起來？ 一方面利用點 Q在直線AB上；另一方面就是運用題目條件:APAQPBQB來轉(zhuǎn)化由A、B、P、Q四點共線,不難得到x /(xa xb)-2xaxb，要建立x與k的關(guān)系，只需將直線AB的方程代入橢圓 C的方程，禾U用韋達(dá)定理即可8 -(Xa 如B)通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù)4(Xa

11、 xb ) 2XaXbx 二8 -(Xa +Xb)將直線方程代入橢圓方程，消去y,利用韋達(dá)定理1 r利用點Q滿足直線AB的方程：y = k (x4)+1，消去參數(shù)k在得到x = f(k )之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識到：所謂消參，目的不過是得到關(guān)于x, y的方程(不含k),則可點Q的軌跡方程由y =k（x -4）1解得k = 口，直接代入X = f k即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。x 4簡解：設(shè)Ax1，y1，B（X2, y2）,Q（x,y），則由囂一QB可得：肘二於，解之得：x=4(X1 X2)-2X1X28 (X1 +X2)(1)設(shè)直線AB的方程為：y =k（x -4） 1，代

12、入橢圓C的方程，消去y得出關(guān)于x的一元二次方程:2k21 x24k(1 -4k)x 2(1 4k)2 -8 =0(2)x -4k(4k_1)x1 x2 2 ，2k +122(1 _4k) -8X1X222k +1代入（1），化簡得x=4k*3k +2與 y =k(x -4)1 聯(lián)立，消去 k得：2x y -4 (x -4) =0.在（2）中，由厶-64k2 64k 24 0，解得2一 10 .k .2 -10，結(jié)合（3）可求得 、416 -2 10 16 2 109 x 故知點Q的軌跡方程為：2x y -4 =0（代-2 10 x , 沁）.99點評：由方程組實施消元，產(chǎn)生一個標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個變

13、量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到.這當(dāng)中，難點在引出參，活點在應(yīng)用參，重點在消去參，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.5、求根公式法x2 y2AP例5設(shè)直線I過點P（ 0，3）,和橢圓 一+=1順次交于A、B兩點，試求 的取值范圍.9 4PB分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到:PBap- Xa，但從此后卻一籌莫展，問題的根源在于對題目的整體把握不Xb夠.事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個 （或某幾個）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對應(yīng)的思想實施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān)系分析1：從第一條想法

14、入手，花八Xb塑-Xa已經(jīng)是一個關(guān)系式,但由于有兩個變量xA ,xB，同時這兩個變量的范圍不好控制,所以自然想到利用第3個變量一一直線 AB的斜率k.問題就轉(zhuǎn)化為如何將 xA, xB轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式,到此為止,將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于x的一元次方程，其求根公式呼之欲出簡解1:AP當(dāng)直線I垂直于x軸時，可求得竺PBx軸不垂直時，設(shè) A x1, y1 , B(x2,y2)，直線I的方程為：y二kx 3，代入橢圓方程，消去y得2 29k 4x54kx 45 = 0解之得X1,227k 6 9k2 -59k24因為橢圓關(guān)于y軸對稱，點P在y軸上，所以只需考慮 k 0的情形當(dāng)k 0時,

15、-27k +69k2 -5x 2，所以APPBXi29k 4-9k 2 . 9k2 -5 27k -6 J9k2 -5 X29k2 418k所以X2.: =(-54k)29k 2 9k2 -5=1-9k 2、9k2=1 一 18 -59 2 9一.-1 809k24 _0,解得 k29AP -1 -PB189 2 9 一._!，綜上5分析2:如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到:判別式往往是產(chǎn)生不等的根源.由判別式值的非負(fù)性可以很快確定k的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與k聯(lián)系起來.一般來說，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁,XiAP但本題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于丄不是關(guān)于X1

16、,X2的對稱關(guān)系式原因找到后，解決問題的方法自然PBx2也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于Xi,X2的對稱關(guān)系式2 29k 4 x 54kx 45 = 0(*)-54k% +x2 =2則彳9k +445X1X2 =2. 9k +4XiX2從而有綜上,中,由判別式 ： - 0,可得k2245k220冬36，所以54 _ 丄 2豈36，解得扎5結(jié)合0 ： - 1得PB 52324k45k220點評：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù) 形結(jié)合法等等.本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不

17、能說明問題，有時甚至?xí)痪植克m纏而看不清問 題的實質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決勝千里第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考縝密、推理嚴(yán)密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。例6橢圓長軸端點為 代B , O為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點，且 AF FB =1 , OF = 1 . (I)求橢

18、圓的標(biāo) 準(zhǔn)方程；(n)記橢圓的上頂點為 M，直線I交橢圓于P,Q兩點，問：是否存在直線 I，使點F恰為 PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由。得出關(guān)于思維流程：(I)由 AF *FB =1 , OF =1*(a + c)(a_c) = 1, c = 1fa=,b=1 一 寫出橢圓萬程由F為PQM的重心 PQ丄MF,MP丄FQk pq =1(n)丿1y = x + m*+2y2 =2 消元3x2 +4mx +2m2 -2 =0兩根之和,解題過程:(I)如圖建系，設(shè)橢圓方程為2y牙=1(a b 0)則 c = 1 b2 2 2 2又 AF，F(xiàn)B =1 即(a+c) (a_c

19、) = 1 = a -c a =22 w故橢圓方程為y2 =12(n)假設(shè)存在直線l交橢圓于P,Q兩點，且F恰為 PQM的垂心，則設(shè) P(X1,yd,Q(X2, y2)，: M (0,1),F(1,0)，故 kpQ =1 ,y = x + m22于是設(shè)直線I為y=x，m，由 22得，3x2 4mx 2m2 - 2 = 0x +2y =2-MP ,FQ=0 = x1(X21) + 丫2(丫1一1)又 yi = x + m(i = 1,2)得 x1(x2 -1) (x2 m)(X m -1) = 0 即22x1x2 (x1 x2)(m -1) m -m = 0 由韋達(dá)定理得22m -2 4m22

20、(m-1) m-m = 03 34 4解得m或m =1 (舍) 經(jīng)檢驗m符合條件.33點石成金：垂心的特點是垂心與頂點的連線垂直對邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零.(3)例7、已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過 A(-2,0)、B(2,0)、C 1- 三點.(I)求橢I 2丿圓E的方程:(n)若點D為橢圓E上不同于 A、B的任意一點，F(xiàn)(T,0), H (1,0)，當(dāng) DFH內(nèi)切圓的面積最大時，求厶DFH內(nèi)心的坐標(biāo);思維流程：(I)由橢圓經(jīng)過A、B、C三點設(shè)方程為 mx2 ' ny2二1得到m, n的方程解出m, n 由DFH內(nèi)切圓面積最大轉(zhuǎn)化為 DFH面積最大轉(zhuǎn)化為點D的

21、縱坐標(biāo)的絕對值最大最大D為橢圓短軸端點-得出D點坐標(biāo)為 0,±迴3解題過程：(I)設(shè)橢圓方程為mx2 ny23= 1(mn0,n>0)將 A(2,0)、B(2,0)、C(1-)代入橢圓 E 的， 2方程，得4m =1,9 解得 m n =141m ,n42 2E的方程-y 1 43(D) |FH | = 2 ,設(shè)厶DFH邊上的高為S-DFH = 12 h=h當(dāng)點D在橢圓的上頂點時,h最大為.3，所以S.qfh的最大值為.3 .設(shè)厶DFH的內(nèi)切圓的半徑為 R，因為 DFH的周長為定值6 所以，S DFH62所以R的最大值為 所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為 (°逅)33點石成金:

22、1S 的內(nèi)切圓的周長 r.的內(nèi)切圓例8、已知定點C(-1,0)及橢圓x2 3y5，過點C的動直線與橢圓相交于 A, B兩點.1若線段AB中點的橫坐標(biāo)是2，求直線AB的方程;在x軸上是否存在點 M，使MA MB為常數(shù)？若存在，求出點 M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由思維流程:(I)解:依題意，直線 AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y = k(x 1),將y -k(x 1)代入x2 3y2 =5 ,消去y整理得(3k2 1)x2 6k2x 3k2 -5=0.設(shè) AX, yi), B(x2, y2),:=36k4 -4(3k2 1)(3k2 -5) 0,(1)6k2x13k2 1由線段AB中點的橫坐

23、標(biāo)是得2xX23k23k2 11 . 3解得k =仝，符合題意。2 3所以直線AB的方程為3y 0,或.3y 0.3k2 一 5x1x2 = 3k21（n）解：假設(shè)在 x軸上存在點 M （m,0），使MA MB為常數(shù)當(dāng)直線AB與x軸不垂直時，由（I）知x1 x2，3k +1Cr2所以 MA MB =(x -m)(x2 -m) %y2 = (% - m)(x2 - m) k (x1)(x2 1)2 2 2 2=(k1)x1x2 (k -m)(x1 x2) k m . 將MA MB =(6m；)k 5 m23k2 +11214(2 m)(3k2 1)2m33k2+16m 14二m2 2m 一233

24、(3k +1)注意到MA MB是與k無關(guān)的常數(shù),從而有6m *14=0,-,此時 mA mb 二4.39當(dāng)直線AB與x軸垂直時，此時點A,B的坐標(biāo)分別為-1, '、-1，、庇八V3丿當(dāng)m？時，亦有Ma MB3綜上，在x軸上存在定點 Mi 7 ,0 ，I 3丿使MA MB為常數(shù).點石成金:MA.MB =(6m1)k2523k 1m21214(2m-3)(3k2+1)-2m-2m223k 1例9、已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上的截距為m （0）, I交橢圓于2m -13x軸上,6m 143(3k21)長軸長是短軸長的A、B兩個不同點。2倍且經(jīng)過點 M （2，1），平行于OM的直線求橢圓的

25、方程;（n）求m的取值范圍;(出)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形思維流程：解：（1）設(shè)橢圓方程為2 x -2 a20)a =2b則 4=1解得-2 ab2橢圓方程為x2=22丄=12（n）v直線I平行于OM，且在y軸上的截距為 I的方程為:1 +y =-x + m2221x22mx 2m2 - 4 = 0直線I與橢圓交于A、B兩個不同點,2-4(2m -4)0,（2m）2解得 -2 ： m 2,且 m= 0學(xué)習(xí)必備歡迎下載(川)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為ki, k2，只需證明ki+k2=0即可、 2設(shè) A(x“ ), B(x2, y2)，且 x2 - -2m,x1x2 = 2

26、m - 4貝U & =_1, k2 = 上_1 由 x2 2mx 2m2 -4 = 0可得捲 _2x2 _22Xi x2 x2m, XiX2 = 2m -4而 k1 k2y1 -1y2 _ 1( y1 -( x2 - 2) (y2 -1)(x1 _2)十=xi2x2 -2(捲2)(x22)1 1(x1 m 1)(x2 - 2) ( x2 m ")(X1 - 2)(X1 2)(X2 2)X1X2 (m 2)(X1 X2) -4(m-1) (X1 -2)(X2 -2)22m _4 (m _2)(-2m) _4(m _1)(X1 -2)(X2 -2)2 22m -4-2m 4m_4

27、m 4=0(兀-2)(X2 -2)故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形k1k2 = 0點石成金：直線 MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形 =k1 k0例10、已知雙曲線2 X2a篤-1的離心率e =召衛(wèi)，過A(a,0), B(0,-b)的直線到原點的距離是b3的方程;(2)已知直線y二kx 5(= 0)交雙曲線于不同的點C, D且C, D都在以B為圓心的圓上,k的值.思維流程：解：T( 1)2齊原點到直線AB :蘭一=的距離dbabab=1, a 一 x 3.故所求雙曲線方程為X2r-y(2)把y = kx ' 5代入x2 _3y222=3 中消去 y,整理得 (1 -3k

28、 )x -30kx -78 = 0 .設(shè)。(捲，), D(X2,y2),CD 的中點是 E(X0,y。)，則X。 X1X2 15 k21 - 3k 2k BEy°11X0-k .y。1 - 3kX0 ky°k = 0,即 15 k 25k 2 k = 0,又 k = 0,. k2 = 71 - 3k 21 - 3k 2故所求k= ±、7點石成金：C, D都在以B為圓心的圓上二 BC=BD ：= BE丄CD;例11、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點， 焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(II )若直線I : y=kx+m與橢

29、圓C相交于A、B兩點(A、B不是左右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點求證：直線I過定點,并求出該定點的坐標(biāo).思維流程：解:(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2222 = 1(a b 0),a b由已知得:a c =3, a -c =1,a =2, c.b2a2=1,-c2 =3橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22xy1 .43(H )設(shè) A(X1, %), B(X2, y2). 聯(lián)立*y = kx m,2 2.43得 (3 4k2)x2 8mkx 4(m2 -3) =0，則=64m2k2 16(3 4k2)(m2_3) .0,即 3 4k2_m2 .0,8mk2，X1 亠X2 -3 +4k24( m -3)XtX2 =3+4k222又 y1y2 = (kx1 m)( kx2 m) = k x1x2 mk(x1 x2) m3(m2 -4k2)3 4k2因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點 D(2,0),y1y2kADkBD = -1，即 一 =-1.- y1y2 xm -2(為 x2) 4 = 0 .Xi - 2 X2 -22 2 23(m -4k ) . 4(m -3) . 15mk3 4k23 4k23 4k2.7m2 16mk 4k2 =0 .解得:m, - -2k, m2