行列式典型例題(共21頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 第二講 行列式綜合訓練 第一部分例2.1 計算行列式，其中對角線上元素都是a，未寫出的元素都是零=解 這道題可以用多種方法進行求解，充分應用了行列式的各種性質方法1 利用性質，將行列式化為上三角行列式=-方法2 仍然是利用性質，將行列式化為上三角行列式=-方法3 利用展開定理，將行列式化成對角行列式+而 =-=-方法4 利用公式=將最后一行逐行換到第2行，共換了次；將最后一列逐列換到第2列，也共換了次=-方法5 利用公式=例2.2 計算n階行列式： ()解 采用升階（或加邊）法該行列式的各行含有共同的元素，可在保持原行列式值不變的情況下，增加一行一列，適當選擇所增行

2、（或列）的元素，使得下一步化簡后出現(xiàn)大量的零元素 =這個題的特殊情形是=可作為公式記下來例2.3 計算階行列式： 其中解 這道題有多種解法方法1 化為上三角行列式其中，于是方法2 升階（或加邊）法方法3 遞推法將改寫為+由于 因此=為遞推公式，而，于是=例.4 設，證明存在使.證 因為是關于的二次多項式多項式,在上連續(xù),(0,1)內可導,且,由羅爾定理知,存在,使.例2.5 計算=解 這不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式進行求解方法1 借助于求解范得蒙行列式的技巧進行求解：從下向上，逐行操作（+）其中 =由于是范德蒙行列式，故=方法2 其中，=方法3 用升階法由于行列式中各列元素缺乏3

3、次冪的元素，在中添加3次冪的一行元素，再添加一列構成5階范得蒙行列式：=按第5列展開得到的是的4次多項式，且的系數(shù)為 又利用計算范得蒙行列式的公式得= =其中的系數(shù)為由的系數(shù)相等得：=例2.6 設，計算A41 + A42 + A43 + A44 = ? 其中A4j(j= 1, 2, 3, 4)是|A|中元素a4j的代數(shù)余子式.解 直接求代數(shù)余子式的和工作量大可將改寫為，故A41 + A42 + A43 + A44 =例2.7 求解方程:解 方法1=由題設知所以是原方程的解.方法2 由題設知,當時,由于行列式中有兩列對應元素相同,行列式值為零,因此可寫成于是原方程的解為:例2.8 計算元素為ai

4、j = | ij|的n階行列式.解 方法1 由題設知，=0，故其中第一步用的是從最后一行起，逐行減前一行第二步用的每列加第列方法2 =例2.9 計算行列式解 方法1 按第一列展開：-=- =（-=（-（-方法2 本題也可利用拉普拉斯展開定理進行計算，選定第2、3行，有：=（例2.10 計算=，其中未寫出的元素都是0解 方法1 利用公式=采用逐行操作，將最后一行逐行和上行進行對換，直到換到第2行（作次相鄰對換）；最后一列逐列和上列換，換到第2列（作次相鄰對換），得到 = = =方法2 利用行列式展開定理進行求解 +上面第1個行列式是的形式，而第2個行列式按第1列展開，所以= =例2.11 計算解

5、 方法 采用遞推的方法進行求解+即 ， ， 故 方法2 采用降階的方法進行求解 =例2.12 證明D= =證 方法1 遞推法 按第1列展開，有D= x D+（1）a = x D+ a由于D= x + a，于是D= x D+ a=x（x D+a）+ a=xD+ ax + a= xD+ ax+ ax + a=方法2 第2列的x倍，第3列的x倍，第n列的x倍分別加到第1列上 =f其中或 D =f其中方法3 利用性質，將行列式化為上三角行列式D x k= x( + +a+x)=方法4 + + =（1）（1）a+（1）（1） ax+（1）（1）ax +（1）( a+x) x = 例2.13 計算n階“三

6、對角”行列式D=解 方法1 遞推法DDDD即有遞推關系式 D=DD (n3)故 遞推得到 而，代入上式得 （2.1）由遞推公式得D 方法2 把D按第1列拆成2個n階行列式D=上式右端第一個行列式等于D，而第二個行列式=于是得遞推公式，已與（2.1）式相同方法3 在方法1中得遞推公式D=DD又因為當時 D=D= =-2= =于是猜想，下面用數(shù)學歸納法證明當n=1時，等式成立，假設當nk 時成立當n=k+1是，由遞推公式得D=DD =所以對于nN，等式都成立 第二部分這一部分的題是與矩陣、向量、特征值等后續(xù)內容有關的題，感覺困難的同學可以放到相關內容學習后再看但應注意考研題中關于行列式內容的出題,

7、往往與后續(xù)內容聯(lián)系較多例2.14 設A為33矩陣, |A| =2, 把A按行分塊為, 其中是A的第行, 則行列式_.解 =例2.15 判斷題(1) 若是可乘矩陣，則 （ ） (2) 若均為階方陣，則 （ ）解 (1) 錯誤，因為不一定是方陣，即不一定有對應的行列式(2) 錯誤，例如取，例2.16 證明:奇數(shù)階反對稱矩陣的行列式為零.證 (n為奇數(shù)). 所以|A| = 0.例2.17 （數(shù)四，01，3分）設矩陣，且秩3，則= 解 由于 = =由3，知=0，而時，1，故必有例2.18 若，均為3階可逆方陣，計算解 =2例2.19 設3階方陣滿足方程 ，試求矩陣以及行列式，其中 解 由，得，即 由于

8、 ， ， 所以 例2.20 設為3階方陣，=2，求的值解 方法1 化為關于的形式進行計算利用公式，有= 方法2 化為關于的形式計算利用公式，=，有=例2.21 （數(shù)四，98，3分）設均為階方陣，=2，=-3，求的值解 =例2.22 若都是4維列向量，且4階行列式，計算4階行列式的值解 如果行列式的列向量組為，則此行列式可表示為，利用行列式的性質，有+=-=+=例2.23 計算行列式，其中， 解 = 這是逆對角的上三角行列式，所以 又，故注 這里用了公式：若為階方陣，為階方陣，則=例2.24 若為階方陣，為單位矩陣，滿足，求 解 方法1 由有 =即=0，而，所以=0方法2 因為 =即 = 有=0，而，所以=0方法3 由知矩陣為正交矩陣，即=1，=1，又因為，所以有，故 =即2=0，=0例2.25 若為階正定矩陣，為階單位矩陣，證明的行列式大于1證 方法1 因為為正定矩陣，因此所有的特征值大于零設的個特征值為，且，由特征值的性質知，的