陳堯明解決不良結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)問(wèn)題的幾種常見(jiàn)策略

1、例析補(bǔ)償原理在解決不良結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的運(yùn)用浙江省上虞市教研室 陳堯明 312300摘要：數(shù)學(xué)問(wèn)題可分為結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題和結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題。所謂數(shù)學(xué)問(wèn)題的編制或創(chuàng)新，本質(zhì)上說(shuō)視角的轉(zhuǎn)換，命題者通過(guò)條件的衰減，有時(shí)故意破壞良好結(jié)構(gòu)，常規(guī)的解題套路得以規(guī)避，以此來(lái)考量學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力。本文例舉四類不良結(jié)構(gòu)，試圖從結(jié)構(gòu)出發(fā)來(lái)給我們學(xué)生解題以啟發(fā)。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)問(wèn)題 良好結(jié)構(gòu) 遷移 缺陷著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō)過(guò)：?jiǎn)栴}是數(shù)學(xué)的心臟問(wèn)題可分為結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題和結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中大量出現(xiàn)的是結(jié)構(gòu)良好的數(shù)學(xué)問(wèn)題所謂結(jié)構(gòu)良好，是指提供的信息完整，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（研究對(duì)象、輸血過(guò)程）理想，問(wèn)題目標(biāo)明確，解決過(guò)程和答案穩(wěn)

2、定，也就是我們常說(shuō)的理想模型結(jié)構(gòu)良好和結(jié)構(gòu)不良是一個(gè)相對(duì)的概念結(jié)構(gòu)不良一般分為結(jié)構(gòu)缺陷和結(jié)構(gòu)復(fù)雜兩類在解決不良數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中往往能體現(xiàn)一個(gè)人的各種能力，如學(xué)習(xí)的遷移能力，即完成從非理想模型向理想模型的遷移；思維的變通能力，即能夠完成把不良結(jié)構(gòu)變通為良好結(jié)構(gòu)等等也正因?yàn)槿绱?，?dāng)今高考的能力立意就是要完成從結(jié)構(gòu)良好數(shù)學(xué)問(wèn)題的考查向結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問(wèn)題的考查，也正基于此，不良結(jié)構(gòu)問(wèn)題往往被命題者作為測(cè)量被試的“成功智力”或者問(wèn)題解決能力的工具，以達(dá)到試題具有良好“區(qū)分度”的目的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)該努力尋求解決不良結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，其中補(bǔ)償法是一種常用的方法應(yīng)用補(bǔ)償法一般可解決下面4類缺陷問(wèn)題1物理

3、性缺陷問(wèn)題-物理割補(bǔ) 等效運(yùn)算所謂物理性缺陷是指數(shù)學(xué)解題對(duì)象在空間上與理想的數(shù)學(xué)模型存在一定的缺陷補(bǔ)償法就是經(jīng)物理性割補(bǔ)使之成為一個(gè)完整的理想結(jié)構(gòu)，找出缺陷結(jié)構(gòu)與理想結(jié)構(gòu)之間的差異，再用有關(guān)的性質(zhì)、原理求解，從而得到正確的結(jié)論此類結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題在立體幾何中比較常見(jiàn)例1（2009年的浙江高考理科第17題）如圖5，在長(zhǎng)方形中，為的中點(diǎn)，為線段（端點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn)現(xiàn)將沿折起，使平面平面在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，為垂足設(shè)，則的取值范圍是 【分析】此題當(dāng)年是評(píng)價(jià)較高的一道題，它是以折疊為大背景，但高考試題命題者一方面將固定的折疊模式改成了動(dòng)態(tài)（即折痕的變化）的折疊；另一方面，將立幾中的三角關(guān)系中的三個(gè)角處在“反置”

4、的背景下，使人的直觀視角成思維障礙，與平時(shí)“中規(guī)中矩”的立幾理想模型形成反差事實(shí)上我們只要將圖形作的轉(zhuǎn)換，這個(gè)問(wèn)題就成為一個(gè)很顯然的問(wèn)題了當(dāng)然，立幾中有許多題目都可通過(guò)割補(bǔ)來(lái)完成不良結(jié)構(gòu)向良好結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換，所謂補(bǔ)形實(shí)際上就是基于這樣的機(jī)理例2（2010年浙江省理科16題）已知平面向量滿足，且與的夾角為120，則的取值范圍是_.【分析】本題考查向量的數(shù)量積的意義及向量減法的幾何意義，向量、及都是動(dòng)態(tài)的，三者的題干架構(gòu)所顯現(xiàn)的數(shù)學(xué)模型并非一目了然倘若我們作一個(gè)“弓形”的結(jié)構(gòu)補(bǔ)償，考慮到向量與的夾角為120，那么設(shè)想向量穩(wěn)定于一個(gè)半徑為圓的一條弦（如圖），于是的長(zhǎng)就是一條動(dòng)弦，不難求得2情境性缺陷問(wèn)題

5、-返璞歸真 技術(shù)補(bǔ)償所謂情景性缺陷是指實(shí)際問(wèn)題條件與使用條件之間的差異形成的缺陷良好結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)問(wèn)題他的條件是有序的、正定的，但實(shí)際問(wèn)題條件往往是無(wú)序的、離散的為此碰到這種原理性缺陷問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)畫圖像、畫表格等數(shù)學(xué)技術(shù)手段進(jìn)行補(bǔ)償，使問(wèn)題呈現(xiàn)良好的有序結(jié)構(gòu)，返璞歸真例3（2010年高考浙江卷17）有4位同學(xué)在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“握力”、“臺(tái)階”五個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試，每位同學(xué)上、下午各測(cè)試一個(gè)項(xiàng)目，且不重復(fù)若上午不測(cè)“握力”項(xiàng)目，下午不測(cè)“臺(tái)階”項(xiàng)目，其余項(xiàng)目上下午都各測(cè)試一人，則不同的安排方式共有 種.【分析】此題是個(gè)排列組合實(shí)際應(yīng)用題，但它的呈現(xiàn)與我們

6、平時(shí)訓(xùn)練的排列組合題不同，也就是說(shuō)實(shí)際問(wèn)題條件與原來(lái)使用條件之間的差異形成了情景性的缺陷，即不可直接套用排列組合公式.它涉及到的參數(shù)多（人數(shù)、時(shí)間、項(xiàng)目）、參數(shù)之間“糾纏”多（上午不能測(cè)什么、下午不能測(cè)什么）、參數(shù)限制條件多（上下午都個(gè)測(cè)試一人），條件顯得無(wú)序、離散.如果我們將條件通過(guò)列表格的技術(shù)手段作一梳理，讓條件有序、規(guī)范，那我們要的數(shù)學(xué)模型（錯(cuò)排）會(huì)自動(dòng)呈現(xiàn)出來(lái).項(xiàng)目身高與體重立定跳遠(yuǎn)肺活量握力臺(tái)階上午下午不妨記4個(gè)同學(xué)為、.首先由于上午不測(cè)“握力”，共有種可能，比如“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“臺(tái)階”分別是、.下午分兩種情形：若上午測(cè)“臺(tái)階”的同學(xué)，下午剛好測(cè)“握力”，那

7、么另外三同學(xué)就是一個(gè)3階錯(cuò)排即2種情況；若上午測(cè)“臺(tái)階”的同學(xué)下午不測(cè)“握力”，那從“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”三項(xiàng)中任選一項(xiàng)，有中選法，比如選同學(xué)選“握力”，那么同學(xué)、的選擇又是一個(gè)2階錯(cuò)排（如上表）.于是總的不同安排方式共有：種.例4（2008年浙江卷理科第10題）如圖，是平面的斜線段，為斜足.若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（ ）圓 橢圓 一條直線 兩條平行直線【分析】本題求點(diǎn)的軌跡，與我們平時(shí)訓(xùn)練的“求點(diǎn)的軌跡”的背景完全不同，形成了情境性的結(jié)構(gòu)缺陷，為此，我們來(lái)補(bǔ)全這個(gè)情景正因?yàn)榈拿娣e為定值，且是定長(zhǎng)的斜線段，為此點(diǎn)到線段的距離是定值于是點(diǎn)在空間中的軌跡

8、應(yīng)是以為旋轉(zhuǎn)軸的圓柱面，又點(diǎn)在平面內(nèi)，所以點(diǎn)的軌跡是該圓柱面被平面所截出的橢圓3過(guò)程性缺陷問(wèn)題-結(jié)構(gòu)假設(shè) 等效轉(zhuǎn)換不少數(shù)學(xué)問(wèn)題，在連結(jié)題設(shè)和結(jié)論的關(guān)節(jié)點(diǎn)上，會(huì)遇到一些客觀上根本不可能知道的，或可以知道但不需要知道從而不想知道的，或需要知道但當(dāng)前尚未知道的數(shù)學(xué)對(duì)象，這些我們泛指過(guò)程性缺陷問(wèn)題對(duì)于此類問(wèn)題可以將結(jié)構(gòu)假設(shè)為有利問(wèn)題解決的理想狀態(tài)，抹去過(guò)程的碎碎末末，抓住理想狀態(tài)下的一些特殊環(huán)節(jié)進(jìn)行分析剖解例5把自然數(shù)排成下表，今從表中任意取出一個(gè)數(shù)，并劃去該數(shù)所在行與列的全部數(shù)，剩下一個(gè)有個(gè)數(shù)的表，這樣繼續(xù)進(jìn)行-1次，記所有這樣取出的個(gè)數(shù)的和為，則= 【分析】本題如果真的按題給出的方式進(jìn)行操作，我們

9、覺(jué)得整體的解體結(jié)構(gòu)會(huì)顯得很模糊、很茫然，不知道劃去若干個(gè)數(shù)之后剩下的是何狀態(tài)，劃去的個(gè)數(shù)相互之間關(guān)系如何，如何運(yùn)算等等事實(shí)上，由于是從表中任意取出一個(gè)數(shù)再劃去其中的所在行與列的全部數(shù)，為此我們?nèi)?duì)角線上的數(shù)，正好取到表上的個(gè)數(shù)，恰其=.至于另外的劃法具體咋樣？只好籠統(tǒng)地“蒙”過(guò)去了.例6設(shè)函數(shù)，是無(wú)理數(shù)小數(shù)點(diǎn)后第位上的數(shù)字，并約定，記，求當(dāng)時(shí)，的值.【分析】由已知得的對(duì)應(yīng)關(guān)系，列表0123456789-3141592653-對(duì)于任意的，；另一方面，函數(shù)至多重復(fù)7次就能使，從而=1.此題我們也并不知道，當(dāng)充分大時(shí)，具體的的值如何？或者說(shuō)究竟為多大？但這對(duì)我們解決此題已無(wú)關(guān)緊要了.4.假設(shè)性缺陷問(wèn)

10、題-合理假設(shè) 檢驗(yàn)校正例7.已知數(shù)列和都是等差數(shù)列，和分別是它們的前項(xiàng)的和，若，則= .【分析】大多學(xué)生會(huì)如下解答，于是可假設(shè)則，故=2顯然這個(gè)結(jié)果是不對(duì)的，因?yàn)榉浅?shù)列的等差數(shù)列，它的前項(xiàng)的和是形如的二次式，因此當(dāng)假設(shè)時(shí)，等式右邊是關(guān)于的一次式，而左邊是關(guān)于的二次式，等式左右兩邊關(guān)于的次數(shù)不一樣，因此這樣的假設(shè)是有缺陷的，而且是錯(cuò)誤的.要使等式右邊也為的二次式，應(yīng)該設(shè)，于是，故得.至于具體的、的解析式，我們可以不予深究.例8已知雙曲線，試確定實(shí)數(shù)的范圍，使得對(duì)于直線，雙曲線左支、右支各存在一點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱.【分析】假設(shè)雙曲線左、右支上各存在一點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，且弦的中點(diǎn)為，則有點(diǎn)差法得，兩式相減得，即，聯(lián)合得，.又點(diǎn)在雙曲線外，那么，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.到此似乎命題得到圓滿解決，但事實(shí)上，題解過(guò)程是以“雙曲線左、右支假設(shè)各存在一點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱”出發(fā)點(diǎn)演繹的，但最終結(jié)果是否滿足是要經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)的.也就是說(shuō)，這種帶有探索性的問(wèn)題的解題過(guò)程是存在著假設(shè)性的缺陷，在過(guò)程上需要通過(guò)檢驗(yàn)來(lái)得到校正的，乃至