與圓錐曲線有關的幾種典型題

1、與圓錐曲線有關的幾種典型題一、教學目標（一）知識教學點使學生掌握與圓錐曲線有關的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關 的最值 （極值） 問題、與圓錐曲線有關的證明問題以及圓錐曲線與圓錐曲線相交問 題等（二）能力訓練點通過對圓錐曲線有關的幾種典型題的教學，培養(yǎng)學生綜合運用圓錐曲線知識的能力（三）學科滲透點通過與圓錐曲線有關的幾種典型題的教學，使學生掌握一些相關學科中的類似問題的 處理方法二、教材分析1重點：圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關的最值 （ 極值） 問題、與圓 錐曲線有關的證明問題（解決辦法：先介紹基礎知識，再講解應用 ）2難點：雙圓錐曲線的相交問題（解決辦法：要提醒學生注

2、意，除了要用一元二次方程的判別式，還要結合 圖形分析 ）3疑點：與圓錐曲線有關的證明問題（解決辦法：因為這類問題涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證 明方法，以及定點、定值問題的判斷方法，所以比較靈活，只能通過一些例題予 以示范 ）三、活動設計演板、講解、練習、分析、提問四、教學過程（一）引入與圓錐曲線有關的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關的證明問題以及圓錐曲線與圓錐曲線有關的證明問題 等，在圓錐曲線的綜合應用中經(jīng)常見到，為了讓大家對這方面的知識有一個比較 系統(tǒng)的了解，今天來講一下“與圓錐曲線有關的幾種典型題”.(二)與圓錐曲線有關的幾種

3、典型題1圓錐曲線的弦長求法設圓錐曲線C : f(x , y)=0與直線I ： y=kx+b相交于A(xi, yi)、B(x2, y2)兩點，則弦長|AB|為：(1)|AB|= 71 + k3 |xz - x2|= Jl + k， J(街 +耳2)2 - 4芷訊或|AB|= jl + 存|珀-訃J1 +占陽石滬莎石若弦AB過圓錐曲線的焦點F,則可用焦半徑求弦長，|AB|=|AF|+|BF|.例1過拋物線y二的焦點作傾斜角為Q的直線1與拋物線交于A、B兩點，旦|AB|=8，求傾斜角a .分析一：由弦長公式易解.由學生演板完成解答為：拋物線方程為x2=-4y，焦點為(0，-1).設直線I的方程為y-

4、(-1)=k(x-0)，即y=kx-1 .將此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0 . xi+x2=-4，xi+x2=-4k .由|AB|=8f ： 8二存孑 加k”-4XIX(-4).- k= ± 1.又由tga = ±1#? a二夕或a二芋.4A分析二利用焦半徑關系.PP|AF|=F+p |BFFf+, |AB|=-(y i+y2)+P=-(kx 1-1)+(kx 2-1)+p=-k(x i+x2)+2+p.由上述解法易求 得結果，由學生課外完成.2. 與圓錐曲線有關的最值(極值)的問題在解析幾何中求最值，關鍵是建立所求量關于自變量的函數(shù)關系，再利用代數(shù)方法求

5、出相應的最值注意點是要考慮曲線上點坐標(x，y)的取值范圍.例 2 已知 x2+4(y-1) 2=4，求：(1)x2+y2的最大值與最小值；x+y的最大值與最小值.解(1):將 x2+4(y-1) 2=4 代入得：x2+y2=4-4(y-1) 2+y2=-3y2+8y由點(x，y)滿足 x2+4(y-1) 2=4 知：4(y-1) 2<4即|y-1| < 1. 0< y< 2.當y 弓時，(X3 +y2)MS = y.當 y=0 時，(x 2+y2) min=O.解:分析：顯然采用(1)中方法行不通.如果令u=x+y，則將此代入x2+4(y-1) 2=4 中得關于y的一

6、元二次方程，借助于判別式可求得最值.令 x+y=u，貝U有 x=u-y .代入 x2+4(y-1) 2=4 得：5y2-(2u+8)y+u 2=0.又0<y<2,(由 可知)-(2u+8) 2-4 X 5X u2> 0.當u = l + 時，y = 1+ 0f 2.當口 = 1-擊時，y = l+-y- 0, 2, 二(區(qū)+y)皿裁=1+75(x +九血=1_ V53. 與圓錐曲線有關的證明問題它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判 斷方法.例3 在拋物線X2 = 4y上有兩點A(Xi,yi)和B(x2,y2)且滿足|AB|=y i+y2+

7、2,求證：(1)A、B和這拋物線的焦點三點共線；兩+麗為定值證明：(1) 拋物線的焦點為F(0 , 1)，準線方程為y=-1 . A、B到準線的距離分別di = yi+1, d2=y2+1(如圖2-46所示).S2-4&由拋物線的定義：|AF|=di=yi+1, |BF|=d 2=y?+1. |AF|+|BF|=y i+y2+2=|AB| .即A、B、F三點共線.如圖2-46,設/ AFK=.|AF|=|AA i|=|AK|+2=|AF|sin 9 +2,又|BF|=|BB i|=2-|BF|sin9 .1= L|AF| |BF|小結：與圓錐曲線有關的證明問題解決的關鍵是要靈活運用圓錐

8、曲線的定義和幾何性 質.4. 圓錐曲線與圓錐曲線的相交問題直線與圓錐曲線相交問題，一般可用兩個方程聯(lián)立后，用0來處理.但用0 來判斷雙圓錐曲線相交問題是不可靠的.解決這類問題：方法1,由“0”與直觀圖形相結合；方法2,由“厶?！迸c根與系數(shù)關系相結合；方法3,轉換 參數(shù)法（以后再講）例4己知曲線C2+匸搭譏= 1有公共臥 求實數(shù)a的取值范圍.由兩方程聯(lián)立F2x3+(y-a)2 - 2 = 0,X2 =y-L可得：y2=2(1-a)y+a 2-4=0. =4(1-a) 2-4(a 2-4) >0,如圖2-47,可知:橢圓中恤亦半長軸訂二何拋物找頂點加小二當圓鏈曲線在下方相切或相交昕"

9、;庖綜上所述；當吋，曲線C與G相交.(三)鞏固練習(用一小黑板事先寫出.)1. 求橢圓冷+ y*二1到點A(l, Q)的距離為最小的點P的坐標2. 已知圓(x-1) 2+y2=1與拋物線y2=2px有三個公共點，求P的取值范圍.3證丸橢圓和與雙曲線-y =啲交點是一矩形的頂點.請三個學生演板，其他同學作課堂練習，教師巡視.解答為：1. 設P的坐標為(x , y)，貝U|PA|2 = (x - )2 + yJ = x2 -2x + l + l- 3422. 由兩曲線方程消去y得：x2-(2-2P)x=0解得：xi=0, X2=2-2P./Ovxv2,二 Ov2-2P v2, 即 Ov Pv 1.

10、故P的取值范圍為(0 , 1).1 - ecos 9=0亠廣-表雙曲線的漸近線-四個交點為 A(4, 1) , B(4, -1) , C(-4 , -1) , D(-4 , 1).所以A B、C、D是矩形的四個頂點.五、布置作業(yè)1. 一條定拋物線C1 : y2=1-x與動圓C2 : (x-a) 2+y2=1沒有公共點，求a的 范圍.2. 求拋線y=x2上到直線y=2x-4的距離為最小的點P的坐標.3. 證明：從雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離等于虛半軸長.作業(yè)答案：1. 當x< 1時，由C1、C2的方程中消去y,得X2-(2a+1)x+a 2=0,由方程無實根得.A = (2a + l)a-4aa<0,即得卬<十當Q1吋，a>2, Cr C：也無公共點，£或也>2.2. 設陽 卅)是拋物線y = X上任意一點它到直線$ = 2弱-4的距離為d,貝U|2x0 -4)伽 -+3* = -當坯=1時,心=卞，這時P的坐標為(1, 1).V53. i殳雙曲線方程為冷-4 = 1，1焦點E(屆+ b, 0),