角函數(shù)誘導(dǎo)公式及經(jīng)典記憶方法

1、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及記憶方法一、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（一）基本關(guān)系1、倒數(shù)關(guān)系tan a - cot a =12、商的關(guān)系sin a /cos a =tan acos a /sin a =cot a3、平方關(guān)系sin 2 a +cos 2 a =1 1+tan）同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法sin a - CSC a =1sec a /csc a =tan aCSC a /sec a =COt a= =sec 2 a 1+cotMEU4C0.cos a - sec a =12 a =csc 2 a構(gòu)造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。1、倒數(shù)關(guān)系對(duì)

2、角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù)；2、商數(shù)關(guān)系六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。（主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積，下面4個(gè)也存在這種關(guān)系。）。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。3、平方關(guān)系在帶有陰影線的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方。n （兀/2） ± a 的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角a的三、誘導(dǎo)公式的本質(zhì)所謂三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，就是將角sin （2kTt+a）=sin a ,kC zcos（2k 兀 + a）=cos a ,k e ztan （2kTt+a）=tan a ,kC zcot（2k 兀 + a）=cot a ,k e zs

3、ec （2kTt+a）=seca ,kC zcsc（2k 兀 + a）=csc a ,k C z2、公式.：a為任懸角，兀+ a的三角函數(shù)值與:a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系sin （兀 + a ）:=sin acos（兀 + a ）=cos atan （兀 + a ）:=tan acot（兀 + a ）=cot asec （兀 + a ）=: sec（Xcsc（兀 + a ）:= csc （X3、公式二：7任忌角a與-a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin （ a）=sin acos（一 a ）=cos atan （ a ）=tan acot（a ）=cot asec （ a ）=sec acsc （a

4、 ）=csc （X4、公式四：利用公式二和公式二可以得到兀-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系sin （兀一a ）=sin acos（7t a ）=cos atan （兀一a ）=tan acot（7t a ）=cot asec （nt - a ）= sec（Xcsc（nt - a ）= csc a5、公式五：利用公式一和公式二可以得2 Tt - a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系sin （2 兀一a ）=sin acos（2 兀 一 a ）= cos atan （2 兀一a ）=tan acot（2 兀 一 a ）=cot a終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等角函數(shù)。（一）常用的誘導(dǎo)公式1、公式一：設(shè)a

5、為任意角,sintan(無(wú)2(r+ a )=+ a )=-cos aCot acoscot(無(wú) + a )=J.(了 + a )=sin a:一tan asec ( 上 27、公式七：sin (上 2"tan (上 2sec ( 上28、推算公式sin ( 32-+ a )= -匕-a萬(wàn)a )=a )=a )=:3%-+ a )=兀一CsC （XCsC （2- + a ）=與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：:Cos aCos（上一a ）22c cot acot（上一a ）萬(wàn)CsC aCsC （上一a ）：工+ a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：/ 3兀.、:一cos acos（ + a ）se

6、c a=sin a=tan a= sec a=sin atan3兀-+ a )=:Cot acot/ 3冗(2 +a )=tan a/3兀sec （9、推算公式-+ a )=.3:csc民一acsc （33JL +a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：a ):二 sec(Xsin/ 3兀(V-a )=Cos acos/ 3%2 2- a )=sin atan3兀-一 a )=cot acot/ 37t 2-a )=tan asec(包2,- a )= CsC (Xcsc( 37t(一- a )= sec(X2誘導(dǎo)公式記憶口訣:o“奇變偶不變，符號(hào)看象限”6、公式六：兀+ a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:“奇

7、、偶”指的是 上的倍數(shù)的奇偶，“變與不變”指的是三角函數(shù)的名稱的變化:2sec (2 兀-a )= sec aCSC (2 兀-a ) = CSC a“變”是指正弦變余弦，正切變余切。（反之亦然成立）“符號(hào)看象限”的含義是：把角a看做銳角，不考慮 a角所在象限，看 n （兀/2） ± a 是第幾象限角，從而得 到等式右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)。符號(hào)判斷口訣：“一全正；二正弦；三兩切；四余弦”。這十二字口訣的意思就是說：第一象限 內(nèi)任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是“ +” ；第二象限 內(nèi)只有正弦是“ +”，其余全部是“”；第三象限 內(nèi)只有正切和余切是“ +”，其余全部是“”；第四象限 內(nèi)只有余弦

8、是“ +”，其余全部是?！癆SCT 意即為 “ all（全部）"、“sin ”、“ tan ”、“ cos”（二）其他三角函數(shù)知識(shí)sin(a+ 0)=sin a cos 3 + cos a sinsin(a 3 )=sin a cos 3 cos a sin 3cos(a+ 0)=cos a cos 3 sin a sin 3cos(a 3 )=cos a cos 3 + sin a sintan(a+ 0)=(tan a +tan 3 )/(1 tan atan(a 3 )=(tan a tan 3 )/(1+tan a -1、兩角和差公式3- tan 3) tan 3 )2、二倍

9、角的正弦、余弦和正切公式sin2 a =2sin a cos acos2 a =cos 2 a sin 2 a =2costan2 a = 2tana21- tan a3、半角的正弦、余弦和正切公式21=1 2sin a.21- cos asin a =22tan 2 a = 1- cos a21 cos a4、萬(wàn)能公式costan21 cosa1 - cos a sin 民 a =sin a 1 cos a夕sin a = 2tan 221 tan 2cos a =21-tantan入、2 a1 tan 一22tan-22 a1-tan 一25、三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 a =3

10、sin a34sin acos3 a =4cos 3 a 3cos a3ta n3a = 3tan a tan ”21 3tan 民6、三角函數(shù)的和差化積公式a psin a +sin 3 = - 2sin 2 cossin a sin 3 = 2cossintxcos a +cos 32cos 1_- cos a - Bcos a cos 32sina""2 sintx7、三角函數(shù)的積化和差公式sin cos 3 =sin( a + 3 )+sin( a 3 )cossin( a+ 3 ) sin( a 3 )cos cos 3 =cos( a+ 3 )+cos( a 3

11、)sinsin 3 =cos(a + 3 ) - cos( a 3 )三、公式推導(dǎo)過程（一）萬(wàn)能公式推導(dǎo)sin2 a =2sin a cos a =2sin a cos a22cos a sin a（因?yàn)閏os 2 a +sin 2 a =1 )再把上面的分式上下同除cos 2 a ,可得 sin2 a2tan 7 然后用巴代替a1 tan2即可。,cnosin3a sin2a cos a cos2a sin a 2sin a cos2a cos2a sin a - sin atan3 a =同理可推導(dǎo)余弦的萬(wàn)能公式。正切的萬(wàn)能公式可通過正弦比余弦得到。 （二）三倍角公式推導(dǎo)cos3%cos2

12、a sin a sin2a cos a cos a cos a sin 2a 2sin 2a cos a上下同除以 cos3 3tan3 a = 3tan a tan a21 3tan 民sin3 a =sin(2 =sin2c cos a +cos2 a sin a2=2sin a cos a=2sin a 2sin+(1 2sin 2 a )sin aa +sin a 2sin a3sin a 4sincos3 a =cos(2 a + a )=cos2 a cos a sin2 a sin a二(2cos 2 a 1)cos a 2COS a sin 2 a=2cos 3 a cos a

13、 +(2COS a 2COS 3 a )=4COS 3 a 3cos a即 sin3 a =3sin a 4sin 3 acos3 a =4cos 3 a 3cos a(三)和差化積公式推導(dǎo)首先，我們知道 sin( a + 3 尸sin a cos 3 +cos a sin 3 ,sin( a - 3 尸sin a cos 3 -cos a sin 3我們把兩式相加就得到sin( a + 3 )+sin( a - 3 )=2sin a cos 3所以，sin a cos 3 = sin( a B)sin ( a B )2同理，若把兩式相減 ，就得到 cos a sin 3 = sin( a B

14、 ) - sin ( a - B )2同樣的，我們還知道 cos( a + 3 )=cos a cos 3 -sin a sin 3 ,cos( a - 3 )=cos a cos 3 +sin a sin 3所以，把兩式相加，我們就可以得到cos( a + 3 )+cos( a - 3 )=2cos a cos 3所以我們就得至U,cos a cos 3 = cos( a B)cos ( a B )2同理，兩式相減我們就得到sin a sin 3 = cos( & B ) cos ( a B )2這樣，我們就得到了積化和差的四個(gè)公式：sin a cos 3 = sin( a B)sin ( a B )2cos a sin 3 = sin (a B ) sin (a B )2cos a cos 3 = cos (a B ) COS ( a B )2sin a sin 3 =- co