高中數(shù)學(xué)選修系列2選修22微積分學(xué)基本定理定積分計算1

1、§5 微積分學(xué)基本定理定積分計算（續(xù)）教學(xué)目的：熟練掌握微積分學(xué)基本定理及定積分的換元與分部積分法。重點難點：重點為微積分基本定理,難點為泰勒公式的積分型余項。教學(xué)方法：講練結(jié)合。本節(jié)要在定積分形式下證明連續(xù)函數(shù)必定存在原函數(shù).一 變限積分與原函數(shù)的存在性設(shè)在上可積，根據(jù)定積分的性質(zhì)4，對任何，在上也可積.于是，由 （1）定義了一個以積分上限為自變量的函數(shù)，稱為變上限的定積分.類似可定義變下限的定積分： . （2）與統(tǒng)稱為變限積分.注意，在變限積分（1）與（2）中，不可再把積分變量寫成，以免與積分上、下限的相混淆. 變限積分所定義的函數(shù)有著重要的性質(zhì)由于因此下面只討論變上限積分的情形

2、 定理99 若在上可積，則由(1)式所定義的函數(shù)在上連續(xù) 證 對上任一確定的點，只要，按定義式(1)有 因在上有界，可設(shè)于是，當(dāng)時有 當(dāng)時則有由此得到 即證得在點連續(xù)由的任意性，在上處處連續(xù) 口 定理910 (原函數(shù)存在定理) 若在上連續(xù)，則由(1)式所定義的函數(shù)在上處處可導(dǎo)，且 （3） 證 對上任一確定的，當(dāng)且時，按定義式（1）和積分第一中值定理，有 由于在點連續(xù)，故有 由在上的任意性，證得是在上的一個原函數(shù) 口 本定理溝通了導(dǎo)數(shù)和定積分這兩個從表面看去似不相干的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系；同時也證明了“連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)”這一基本結(jié)論，并以積分形式給出了的一個原函數(shù)正因為定理910的重要作用而被譽

3、為微積分學(xué)基本定理 此外，又因的任意兩個原函數(shù)只能相差一個常數(shù)，所以當(dāng)為連續(xù)函數(shù)時，它的任一原函數(shù)必滿足 若在此式中令，得到，從而有再令,有這是牛頓-萊布尼茨公式的又一證明.定理911 (積分第二中值定理) 設(shè)函數(shù)在上可積.()若函數(shù)在上減,且,則存在 ,使 ()若函數(shù)在上增,且,則存在 ,使 推論 設(shè)函數(shù)在上可積, 若函數(shù)為單調(diào)函數(shù),則存在,使 積分第二中值定理以及它的推論是今后建立反常積分收斂判別法的工具 二 換元積分法與分部積分法 定理912 (定積分換元積分法) 若函數(shù)在上連續(xù)，在上連續(xù)可微，且滿足 ，則有定積分換元公式： （9） 證 由于(9)式兩邊的被積函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，因此它們的

4、原函數(shù)都存在設(shè)是在上的一個原函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)微分法 可見是的一個原函數(shù)根據(jù)牛頓一萊布尼茨公式，證得 從以上證明看到，在用換元法計算定積分時，一旦得到了用新變量表示的原函數(shù)后，不必作變量還原，而只要用新的積分限代人并求其差值就可以了這就是定積分換元積分法與不定積分換元積分法的區(qū)別，這一區(qū)別的原因在于不定積分所求的是被積函數(shù)的原函數(shù)，理應(yīng)保留與原來相同的自變量；而定積分的計算結(jié)果是一個確定的數(shù)，如果(9)式一邊的定積分計算出來了，那么另一邊的定積分自然也求得了.注 如果在定理912的條件中只假定為可積函數(shù)，但還要求是單調(diào)的，那么（9）式仍然成立.（本節(jié)習(xí)題第14題）例 計算解 令，當(dāng)由變到時，由0

5、增到1，故取應(yīng)用公式(9)，并注意到在第一象限中，則有 例2 計算解 逆向使用公式(9)，令當(dāng)由變到時，由1減到0，則有 例3 計算解 令，當(dāng)從變到時，從0增到1.于是由公式（9）及得到 對最末第二個定積分作變換，有 它與上面第三個定積分相消故得 事實上，例3中的被積函數(shù)的原函數(shù)雖然存在，但難以用初等函數(shù)來表示，因此無法直接使用牛頓一萊布尼茨公式可是像上面那樣，利用定積分的性質(zhì)和換元公式(9)，消去了其中無法求出原函數(shù)的部分，最終得出這個定積分的值 換元積分法還可用來證明一些特殊的積分性質(zhì)，如本節(jié)習(xí)題中的第5，6，7等題 定理9.13 (定積分分部積分法)若為上的連續(xù)可微函數(shù)，則有定積分分部積

6、分公式： （10）證 因為是在上的一個原函數(shù)，所以有+ .移項后即為(10)式 為方便起見，公式(10)允許寫成 （）例4 計算解 例5 計算和解 當(dāng)時，用分部積分求得 移項整理后得到遞推公式：由于重復(fù)應(yīng)用遞推式(11)便得 令，可得因而這兩個定積分是等值的由例5結(jié)論(12)可導(dǎo)出著名的沃利斯(Wallis)公式： 事實上，由把(12)代人，得到由此又得因為所以而故得（即式）.三 泰勒公式的積分型余項若在上、有階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則有 這是推廣的分部積分公式，讀者不難用數(shù)學(xué)歸納法加以證明下面應(yīng)用公式導(dǎo)出泰勒公式的積分型余項.設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)令，（或）利用(14)式得 ，其中即為泰勒公式的階余項由此求得， 這就是泰勒公式的積分型余項 由于連續(xù)，在上保持同號，因此由推廣的積分第一中值定理，可將式寫作，其中這就是以前所熟悉的拉格朗日型余項 如果直接用積分第一中值定理于(15)，則得，