浴缸加水策略模型

1、關(guān)于如何控制浴缸水溫的模型摘要人們平時(shí)洗澡時(shí)用的簡(jiǎn)單浴缸很容易受時(shí)間、人類(lèi)活動(dòng)等各種因素影響而使水溫變涼，因此，需要建立一個(gè)浴缸的水溫模型來(lái)讓整個(gè)浴缸盡可能保持適宜的溫度。關(guān)1 .問(wèn)題重述簡(jiǎn)單浴缸只是一個(gè)水容器，即不帶二次加熱系統(tǒng)和循環(huán)噴流的功能，所以其很容易受時(shí)間等因素的影響而使水溫降低，因此就需要在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候用水龍頭注入熱水，使水溫上升并接近初始溫度。本文要求用建模的方法研究出最佳策略使得用盡可能少的水來(lái)保持初始溫度，并且考慮模型對(duì)人的運(yùn)動(dòng)體溫形狀及浴缸形狀體積的依賴(lài)程度，考慮加入泡泡劑后模型的結(jié)果。2 .問(wèn)題分析第一問(wèn)：需要建立一個(gè)模型來(lái)找出最佳的加水策略。因此解決這個(gè)問(wèn)題需要找到水的溫

2、度隨時(shí)間的變化函數(shù)以及加水時(shí)的水溫變化函數(shù)。結(jié)合兩函數(shù)得出加水時(shí)間及每次加水量與最終用水量的函數(shù)關(guān)系，利用窮舉法得出最佳的的加水方案。第二問(wèn)：需要考慮浴缸的形狀、體積以及人的運(yùn)動(dòng)等因素對(duì)模型的依賴(lài)程度，即需要對(duì)模型做靈敏度分析以確定模型對(duì)各種因素的敏感程度。第三問(wèn)：因加入了泡泡劑使得模型中的水面蒸發(fā)散熱以及對(duì)流散熱受到影響，需將水面上的泡泡考慮為有一定保溫能力的某種材料，重新優(yōu)化加入泡泡劑后的最佳加水策略。3 .模型假設(shè)1）人在浴缸內(nèi)產(chǎn)生熱的功率是恒定；2）加泡沫劑后泡泡細(xì)膩且均勻的覆蓋在水面上;3）將人的比熱容近似看作水的比熱容；4）浴室內(nèi)無(wú)風(fēng)且溫度及飽和氣壓是恒定不變的;4 .符號(hào)說(shuō)明變量

3、符號(hào)變量含義t時(shí)間P人體在水中產(chǎn)熱的功率溫度V水的體積v水龍頭水的流量p水的密度水的比熱容表面積熱量5.模型建立與求解5.1 問(wèn)題一：浴缸和水物理狀態(tài)對(duì)溫度的影響浴缸中水的溫度之所以會(huì)降低，是因?yàn)樗粌H在上表面會(huì)形成蒸發(fā)散熱，還會(huì)與浴缸發(fā)生熱交換，所以，此部分針對(duì)水和浴缸的吸熱放熱的物理反應(yīng)，利用其能量平衡方程，建立了一個(gè)數(shù)學(xué)模型，繼而在適宜的時(shí)間加熱水保證水的溫度在舒適的范圍之內(nèi)。5.1.1 浴缸水溫模型的建立：首先考慮人沒(méi)有進(jìn)入浴缸，即靜止的浴缸因散熱蒸發(fā)以及池壁與水的熱傳導(dǎo)對(duì)水溫造成的影響。根據(jù)熱能守衡原理有水池中減少的熱能名與因蒸發(fā)散熱及熱傳導(dǎo)引起的熱量損耗”的關(guān)系如下：解釋圖(1)假

4、設(shè)浴缸是標(biāo)準(zhǔn)的立方體，水與空氣接觸時(shí)，水汽化帶走的熱量以及水面與空氣的熱傳導(dǎo)通過(guò)假定室內(nèi)溫度濕度恒定，室內(nèi)無(wú)風(fēng)等理想條件，定出水的蒸發(fā)換熱功率可以假設(shè)人熱為恒溫的即以以恒定的功率產(chǎn)憶，則：Pi=heS2Ti-t2PJPPV為水的蒸發(fā)換熱系數(shù)p為水面水蒸氣的薄飽和氣壓，pv、pv、he都可視為常數(shù)故令k=he(FV-PV)可得：P=kS2T-丁2根據(jù)傅里葉熱傳導(dǎo)公式可得出水與空氣的傳熱功率：2=Ti-T2%S2/d浴缸四壁的熱傳導(dǎo)功率為：T1-T2S3c可以假設(shè)整個(gè)過(guò)程人體始終是恒溫的，即以恒定的功率產(chǎn)熱P4,故得浴缸內(nèi)水在無(wú)人狀態(tài)下的散熱功率為：P-P-PE+P4P二一Ti-T2kS2bS2/

5、dcS3P4利用能量守恒可知浴缸內(nèi)水的瞬時(shí)變化的能量即為散熱功率PVCdT=-Ti-T2kS2S2/dc0P4dt通過(guò)式子畫(huà)出溫度隨時(shí)間變化曲線(xiàn)02040608D100120U0160180加入水時(shí)帶來(lái)了熱量同時(shí)也排出了與浴缸內(nèi)的水，給出二者功率可以算出瞬時(shí)的浴缸內(nèi)能量變化：R=QCT3（其Q為流量t為進(jìn)入水的溫度）由上式不難得出加水時(shí)浴缸內(nèi)熱能的瞬時(shí)變化：一dTVCT1-T2k&S2sPQ：CT3-1dt得出加水時(shí)的溫度變化曲線(xiàn)5.1.2 模型的求解：此時(shí)需要在浴缸內(nèi)水溫不太低時(shí)加水，而且加水后水溫不可以太高盡可能的使水溫接近讓人感到舒適的溫度，在這里假浴缸內(nèi)水的最高溫度為42最低溫度34,

6、因?yàn)榧铀牧髁亢图尤胨臏囟仁强梢院侠硪?guī)定的，不妨在此假設(shè)一個(gè)固定的溫度及流量。這樣就可以確定加水的間隔以及每一次加水的時(shí)長(zhǎng)的范圍，可以在這一溫度區(qū)間內(nèi)任取兩值可以算出對(duì)應(yīng)單位時(shí)長(zhǎng)的耗水量，利用窮舉發(fā)算出最小耗水時(shí)對(duì)應(yīng)的溫度，通過(guò)這個(gè)溫度得出對(duì)應(yīng)的加水時(shí)長(zhǎng)以及間隔。通過(guò)分析得出模型的結(jié)果便是均勻的在最低溫度加水最低溫度附近不斷的間歇加水每次加水時(shí)間和間隔時(shí)間都非常的短，但現(xiàn)實(shí)情況并不允許這樣快的開(kāi)關(guān)頻率。為了實(shí)現(xiàn)最小的耗水量實(shí)際生活中可以盡量在感到溫度較低時(shí)加水在感到溫度合適時(shí)停止加水5.2 問(wèn)題二：模型對(duì)各因素的依賴(lài)程度在第一問(wèn)中對(duì)人的運(yùn)動(dòng)視為的定值現(xiàn)實(shí)中人可能在泡澡在跳舞對(duì)于泡澡的情況即時(shí)

7、之前的分析對(duì)于人在水中跳舞的情況需考慮到其加大了水的散熱面積以及增加了人的即功率p4變大s2變大得出幾個(gè)對(duì)應(yīng)的不同曲線(xiàn)口L1J1LL1J2040608D100120U01601802040608D100120140160180對(duì)于浴缸的形狀與體積得出不同的溫度變化曲線(xiàn)由于考慮到了人的體積不同可以轉(zhuǎn)化為人的體表面積不同通過(guò)轉(zhuǎn)化公式得出人的幾種想對(duì)應(yīng)的面積對(duì)應(yīng)不同的曲線(xiàn)圖W203040606070800W20304050807080接和不同的圖可以對(duì)其做分析可以看出浴缸體積越大溫度的變化越慢即可以適當(dāng)?shù)难娱L(zhǎng)加水的時(shí)間形狀主要看上表面積與體積的比值這個(gè)值越大溫度就會(huì)變化得越快，人的運(yùn)動(dòng)情況圖可以看出

8、越是大的運(yùn)動(dòng)雖然產(chǎn)生了更多的熱但是也會(huì)帶走更多的熱量，即運(yùn)動(dòng)幅度約大問(wèn)題三：泡泡浴劑對(duì)模型的影響加入泡泡浴劑后模型的水面可以化簡(jiǎn)為一層空氣膜，因?yàn)榕菖萆媳砻娲嬖谡舭l(fā)散熱以及與空氣的熱傳導(dǎo)且表面積會(huì)大許多，泡泡的傳熱性能不好，所以在此僅考慮泡泡氣膜的熱傳導(dǎo)可以簡(jiǎn)化之前的模型不用考慮蒸發(fā)散熱水溫變化會(huì)變得緩慢許多，對(duì)于模型的結(jié)果更加的支持。這種情況只需增加加水的時(shí)間間隔即可使水溫維持在一比較穩(wěn)定的范圍內(nèi)。模型的誤差分析與檢驗(yàn)及推廣1）誤差分析：主要誤差在于題中所用的數(shù)據(jù)是各種數(shù)據(jù)的合理值中任取的，在實(shí)際中這些產(chǎn)數(shù)相互之間可能有聯(lián)系，即參數(shù)的選取的合理性不能保證，會(huì)導(dǎo)致模型的對(duì)應(yīng)策略的不同，但由于策

9、略都指向均勻放水的策略。分析后的模型不受參數(shù)的影響，而在實(shí)際情況下的策略需要精確的測(cè)定其中的每一項(xiàng)參數(shù)才能找到對(duì)應(yīng)的策略。模型優(yōu)點(diǎn)：.我們充分考慮了浴缸在開(kāi)放空間內(nèi)吸收散熱的大部分情況，使得模型很符合實(shí)際意義。.模型利用窮舉法和畫(huà)圖法，將所有舒適溫度情況下，注入水的情況考慮了進(jìn)去，尋求到了最適的溫度下的，熱水的最小需求量，提高了模型的實(shí)用性和可操作性。.我們將加入泡泡劑以及人體表面積的因素考慮進(jìn)去，使得模型適用范圍更廣，更具參考性。.模型還考慮了浴缸不同材質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)不同而對(duì)水散熱造成的不一樣的影響。還有水面飽和氣壓與浴室氣壓之差對(duì)水蒸發(fā)帶走熱量的影響。使模型涉及的內(nèi)容更全面具體。模型缺點(diǎn)：.我們沒(méi)有考慮對(duì)流帶走熱量的情況，在無(wú)風(fēng)的情況下，對(duì)流影響較小。.傅里葉熱傳導(dǎo)方程并不是固定的，是隨池壁的厚度的不同而改變的，而我們假設(shè)是固定的，以方便