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1、第十章重積分曲線(xiàn)積分與曲面積分第一節(jié)二重積分一、二重積分的概念1,引例求曲頂柱體的體積曲頂柱體:設(shè)有一立體,它的底是xOy 面上的有界閉區(qū)域D ,它的側(cè)面是以D 的邊界曲線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)而母線(xiàn)平行于z 軸的柱面, 它的頂是曲面zf (x, y) , f (x, y) 在有界閉區(qū)域D 上連續(xù),且f ( x, y)0,( x, y)D 。求曲頂柱體的體積( 1)將區(qū)域 D 任意分成 n 個(gè)小區(qū)域1, 2,L ,n且以i 表示第 i 個(gè)小區(qū)域的面積,分別以這些小區(qū)域的邊界曲線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn),作母線(xiàn)平行于 z 軸的柱面,這些小柱面把曲頂柱體分成n 個(gè)小曲頂柱體。以Vi 表示第 i 個(gè)小曲頂柱體的體積。曲頂柱體的體積為

2、:nVi 1Vi( 2)在每個(gè)小區(qū)域i(i1,2,L, n) 上 任 意 取 一 點(diǎn) (xi , yi ) , 作 乘 積f ( xi , yi )i (i1,2,L , n) ,則Vif (xi , yi )i(i1,2,L, n)作和式nf ( xi , yi )ii 1( 3)用 di 表示第 i 個(gè)小區(qū)域的直徑,記Max d1, d2 ,L , dn ,當(dāng)0 時(shí),和式nf ( xi , yi )i的極限就定義為曲頂柱體的體積,即i 1nV limf (xi , yi )i0i 112 二重積分的定義和在直角坐標(biāo)系中的表示定義 8.8設(shè) f (x, y) 是有界閉區(qū)域D 上的有界函數(shù)。將

3、區(qū)域D 任意分成 n 個(gè)小區(qū)域1,2 ,L,n且以i 表示第 i 個(gè)小區(qū)域的面積, 在每個(gè)小區(qū)域i (i1,2,L,n) 上任意取一點(diǎn) ( xi , yi ) ,作乘積 f (xi, yi )( i 1,2,L, n) , 并作和式nif ( xi , yi )i 。用 di表示第 i 個(gè)i 1小區(qū)域的直徑,記Max d1 ,d2 ,L , dn ,如果無(wú)論對(duì)D 怎樣分法,也無(wú)論點(diǎn)(xi , yi ) 怎n樣取法,只要當(dāng)0 時(shí),和式f (xi, yi )i的極限總存在, 則稱(chēng)此極限為f ( x, y) 在i 1D 上的二重積分,記作f ( x, y)d,即Dnf ( x, y)dlimf (

4、xi , yi )iD0i 1其中 f (x, y) 叫做被積函數(shù),f (x, y) d叫做被積表達(dá)式,x與 y 叫做積分變量,D 叫做積nd 叫做面積元素。分區(qū)域,f ( xi , yi )i叫做積分和,i1注意n( 1) limif ( xi , yi )i01( 2) limnf ( xi , yi )ii01存在時(shí),其極限I 與 D 的分法,點(diǎn) ( xi , yi ) 的取法無(wú)關(guān);存在時(shí),其極限I 與積分變量x, y 無(wú)關(guān);二重積分在直角坐標(biāo)系中可表示為:f (x, y) df (x, y)dxdyDD其中 dxdy 叫做直角坐標(biāo)系中面積元素。二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì) 1常數(shù)因子可以提到

5、積分號(hào)前,即kf (x, y) dkf (x, y)dxdyDD性質(zhì) 2 代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和,即2 f (x, y)g( x, y) df (x, y)dg( x, y)dDDD性質(zhì) 3 (對(duì)于區(qū)域的可加性)如果積分區(qū)域D 分成兩個(gè)區(qū)域,則f ( x, y)df ( x, y)df ( x, y)dDD1D2性質(zhì) 4 如果 f (x, y)g (x, y),( x, y)D ,則f (x, y)dg (x, y)dDD性質(zhì) 5 如果 f ( x, y)1,( x, y)D ,則f (x, y) dAD其中 A為 D的面積。性質(zhì) 6 如果 f (x, y) 在 D 上的最大值與最小值分

6、別為M 與 m ,則mAf ( x, y)dMAD性質(zhì) 7 (積分中值定理)如果 f (x, y) 在 D 上連續(xù),則在 D 上至少存在一點(diǎn)( , )D使得f (x, y)df ( ,) AD成立。二重積分的幾何意義三、二重積分的計(jì)算1 利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分( 1)設(shè)積分區(qū)域D 可表示為D(x, y) | 1( x)y2 ( x), a xb此類(lèi)區(qū)域的特點(diǎn)為:用平行于y 軸的直線(xiàn)穿過(guò)區(qū)域D 的內(nèi)部時(shí)與 D 的邊界曲線(xiàn)相交恰好兩個(gè)交點(diǎn),稱(chēng)為X 型區(qū)域。則f (x, y) db2 ( x)dx(8.6)f ( x, y)dya1 ( x)D( 2)設(shè)積分區(qū)域D 可表示為D(x, y) | 1(

7、 y)x2 ( y), cyd3此類(lèi)區(qū)域的特點(diǎn)為:用平行于 x 軸的直線(xiàn)穿過(guò)區(qū)域 D 的內(nèi)部時(shí)與 D 的邊界曲線(xiàn)相交恰好兩個(gè)交點(diǎn),稱(chēng)為 Y 型區(qū)域。則d2 ( y )f ( x, y)dx dy(8.7)f ( x, y)d1 ( y )Dc2 ( x)時(shí),把 x 看成常數(shù);在計(jì)算2 ( y)注意在計(jì)算f ( x, y)dyf (x, y) dx 時(shí),把 y1 ( x )1 ( y)看成常數(shù)。( 3)若區(qū)域 D 既不是 X 型區(qū)域,也不是 Y 型區(qū)域,則可用平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)把它分成幾個(gè)部分區(qū)域,使每個(gè)部分區(qū)域是X 型區(qū)域或 Y 型區(qū)域, 然后利用公式 (8.6)或(8.7) 計(jì)算。計(jì)算二重積

8、分的步驟:( 1)畫(huà)出積分區(qū)域圖,并確定積分區(qū)域的類(lèi)型;( 2)若積分區(qū)域 D 只是 X 型區(qū)域, 則用公式 (8.6) ,若積分區(qū)域 D 只是 Y 型區(qū)域,則用公式 (8.7) ,積分區(qū)域 D 既是 X 型區(qū)域又是 Y 型區(qū)域,則要根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)確定用 (8.6) 還是用 (8.7) 計(jì)算。例 1 計(jì)算二重積分exydxdy ,其中 D 由 x0, x1, y0, y1 圍成。D例 2 計(jì)算二重積分x2 ydxdy,其中 D 由 x0, y0, x2y21圍成。D例 3 計(jì)算二重積分(2 x y)dxdy ,其中 D 由 y1,2xy 30, x y 3 0 圍D成。例 4 計(jì)算二重積分

9、ex2dxdy,其中 D 由 yx, yx2 圍成。D例 5 計(jì)算二重積分xydxdy,其中 D 由 y2x, yx 2圍成。D2利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分設(shè)通過(guò)原點(diǎn)的射線(xiàn)與區(qū)域D 的邊界曲線(xiàn)的交點(diǎn)不多余兩點(diǎn),則二重積分在極坐標(biāo)系下可表示為:f ( x, y) df (r cos , r sin ) rdrd( 8.8)DD其中 rdrd叫做極坐標(biāo)系中面積元素。在極坐標(biāo)系下的二重積分,也要化為二次積分計(jì)算:(1)極點(diǎn) O 在區(qū)域 D 之外,此時(shí)積分區(qū)域D 可表示為D( r , ) | r1 ( ) rr2 ( ),則f ( r cos, r sin ) rdrdr2 ()( 8.9)f (r cos , r sin ) rdr dDr1 ( )(2)極點(diǎn) O 在區(qū)域 D 的邊界上,此時(shí)積分區(qū)域D 可表示為4D( r , ) | 0rr ( ),則f ( r cos, r sin)rdrdr ( )f (r cos, r sin) rdrd(8.10)0D(3)極點(diǎn) O 在區(qū)域 D 的內(nèi)部,此時(shí)積分區(qū)域D 可表示為D( r ,) | 0rr ( ),02則f

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