數(shù)分平面曲線的弧長與曲率

1、xoy0MA nMB 1M2M1 nM設(shè)設(shè)A、B是是曲曲線線弧弧上上的的兩兩個(gè)個(gè)端端點(diǎn)點(diǎn)，在在弧弧上上插插入入分分點(diǎn)點(diǎn)BMMMMMAnni ,110并依次連接相鄰分點(diǎn)得一內(nèi)接折線，當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目并依次連接相鄰分點(diǎn)得一內(nèi)接折線，當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無限增加且每個(gè)小弧段都縮向一點(diǎn)時(shí)，無限增加且每個(gè)小弧段都縮向一點(diǎn)時(shí)，此折線的長此折線的長|11 niiiMM的極限存在，則稱此極限為的極限存在，則稱此極限為曲線弧曲線弧AB的弧長的弧長.平面曲線弧長的概念平面曲線弧長的概念并稱曲線 是可求長的，并稱極限 為曲線的弧長 1、參數(shù)方程情形、參數(shù)方程情形C)(txx )(tyy ,t)(tx)(ty,Cdttytxs)

2、()(22定理10.1 設(shè)沒有自交點(diǎn)的非閉平面曲線若是可求長的，且弧長為的參數(shù)方程為與在上連續(xù)可微，則ABDABADDBABADDB性質(zhì) 設(shè)是一條沒有自交點(diǎn)的非閉的是上一點(diǎn)，則和也是可求長的，并且的弧長等于的弧長與弧長的和 可求長的平面曲線.如果ABABDABADDBABADDBAB定義2 設(shè)是一條沒有自交點(diǎn)的閉的任取一點(diǎn)將分成兩段非閉曲線，如果和都是可求長的，則稱閉的平面曲線是可求長的，并把的弧長與弧長的和定義為的弧長 平面曲線.在ABDABDdttytxs)()(22注1 根據(jù)性質(zhì)，顯然定義2中是否可求點(diǎn)的選擇無關(guān)，并且當(dāng)可求長時(shí)，其弧長也與注2 公式也可以直接推廣到有自交點(diǎn)的（非）閉的長

3、與點(diǎn)的選擇無關(guān).平面曲線的情形 C)(txx )(tyy ,t)(tx)(ty,)(tx)(tyC設(shè)平面曲線的參數(shù)方程為.若與在上連續(xù)可微，且與不同時(shí)為零，則稱為一條光滑曲線 定義3 C)(txx )(tyy ,tCdttytxs)()(22推論 設(shè)平面曲線為一光滑曲線，則是可求長的，且弧長為 的參數(shù)方程為若C)sin(ttax)cos1 (tay0a)cos1 ()(tatxtatysin)(dttadttytxs2022022)cos1 (2)()(adtta82sin220例1 求擺線一拱的弧長. 由公式得 解C)(xfy ,bax)(xf,badxxfsba)(12若曲線則當(dāng)在上連續(xù)可

4、微時(shí)，此曲線為的方程為一光滑曲線，它的弧長公式為2、直角坐標(biāo)情形、直角坐標(biāo)情形2xxeey0 x0 ax2xxeey4122xxeey22)(1002aaaxxaeedxeedxxfs例2 求懸鏈線從到一段的弧長. 由公式得 解曲線弧為曲線弧為)( )( rr 其中其中)( 在在, 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr .)()(22 drrs 3、極坐標(biāo)情形、極坐標(biāo)情形弧長弧長)0()cos1 (aardadrrs022022)cos1 (22)()(ada82cos40例3 求心形線的周長. 解 由公式得dtty

5、txs)()(22t0P)(),(tytxPdyxtst)()()(22若將定理1中公式的上限改為變量，就得到曲線由端點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的弧長,即 由于被積函數(shù)連續(xù)，所以有 )()()(22tytxts 與 dttytxds)()(22稱為弧微分. dttytxds)()(22)(txx )(tyy ,tCPQQRCPQQR 考察由參數(shù)方程 給出的光滑曲線我們看到弧段與而其彎曲程度卻很不一樣.從點(diǎn)移動(dòng)至?xí)r，切線轉(zhuǎn)比動(dòng)點(diǎn)從移動(dòng)至?xí)r切線轉(zhuǎn)過的角度要大得多.二 曲率曲線上各點(diǎn)處的彎曲程度是描述曲線局部性態(tài)的又一重要標(biāo)志.的長度相差不多曲線過的角度這反映為當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿( ) t( ( ), ( )P x ty t(

6、)( )tttP( (), ()Q x tty ttPQsksPQ設(shè)表示曲線在點(diǎn)處切線的傾角，表示動(dòng)點(diǎn)由沿曲線移至?xí)r切線傾角的增量.若之長為則稱為弧段的平均曲率 曲率的定義00limlimtsdKssds KCP如果存在有限極限 則稱此極限為曲線在點(diǎn)處的曲率 曲率計(jì)算公式 C( )( )arctan( )y ttx t( )( )arccot( )x tty t( )x t( )y tdttytxds)()(22由于假設(shè)為光滑曲線，故總有 或 又若與二階可導(dǎo)，則由弧微分可得 3222( )( )( )( )( )( )( )( )dtx t y tx t y tdss txtyt3222( )

7、( )( )( )( )( )x t y tx t y tKxtyt( )yf x322(1)yKy所以曲率計(jì)算公式為 若曲線由表示，則相應(yīng)的曲率公式為cosxatsinybt02t sinxat cosxat cosybt sinybt 3222( )( )( )( )( )( )x t y tx t y tKxtyt332222222222(sincos)()sin)ababKatbtabtb例4 求橢圓解 由于因此按公式得橢圓上任意點(diǎn)處的曲率為上曲率最大和最小的點(diǎn).0ab0,t3,22tmax2aKbmin2bKaabR1KR當(dāng)時(shí)，在（長軸端點(diǎn)）處曲率最大，而在（短軸端點(diǎn)）處曲率最小，且 若橢圓成為圓時(shí)，顯然有即在圓上各點(diǎn)處的曲率相同，其值為半徑的倒數(shù).容易知道，直線上處處曲率為零 CP0K P1KPP設(shè)曲線在其上一點(diǎn)處的曲率若過點(diǎn)作一個(gè)半徑為的圓，使它處有相同的切線，并在點(diǎn)近旁與曲線位于切線的同側(cè). 在點(diǎn)CP我們把這個(gè)圓在點(diǎn)處的曲率圓或密切圓. 稱為曲線CPP曲率圓的半徑和圓心稱為曲線在點(diǎn)處的曲率半徑和曲率中心.由曲率圓的定義與曲率圓既有相同可以知道，曲線在點(diǎn)的切線，又有相同的曲率和凸性. 平面曲線弧長的概念平面曲線弧長的概念 小結(jié)小結(jié)求弧長的公式求弧長的公式弧微分的概念弧微分的概念極坐標(biāo)系下極坐標(biāo)系下參數(shù)方程情形下參數(shù)方程情形下直角坐標(biāo)系下直角坐標(biāo)系下