初等代數(shù)研究( 第7章 排列組合 )20111013

1、第七章第七章 排列與組合排列與組合 1 加法原理與乘法原理加法原理與乘法原理2 相異元素不許重復(fù)的排列與組合相異元素不許重復(fù)的排列與組合3 相異元素允許重復(fù)的排列與組合相異元素允許重復(fù)的排列與組合4 不盡相異元素的排列與組合不盡相異元素的排列與組合5 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理6 排列、組合的母函數(shù)排列、組合的母函數(shù)2名稱內(nèi)容分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理定義不同點(diǎn)完成一件事有n類辦法,完成一件事有n個步驟,加法原理加法原理 做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法。那麼完成這件事共有N = m1 + m2 + +

2、 mn種不同的方法。乘法原理乘法原理 做一件事，完成它需要分成n個步驟做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法,做第n步有mn 種不同的方法。那麼完成這件事共有N = mN = m1 1 m m2 2 m mn n 種不同的方法。只有每一步都完成才能達(dá)到目的.每類中的每一種辦法,都能達(dá)到目的. 1 加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理2022-4-23例例1. 書架上放有書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書本不同的數(shù)學(xué)書,5本不同的本不同的語文書語文書,6本不同的英語書本不同的英語書,(1)若從這些書中任取一本若從這些書中任取一本,有多少種不同的選法有多少種不同的選法?(2)若從這些書中取

3、數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各若從這些書中取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各 一本一本, 有多少種不同的選法有多少種不同的選法?(3)若從這些書中取不同科目的書兩本若從這些書中取不同科目的書兩本, 有多少種有多少種 不同的選法不同的選法?（1）共）共14本書本書11414C=（2）356=90（3）35+56+36=632022-4-24（1）5名同學(xué)報(bào)名參加名同學(xué)報(bào)名參加4項(xiàng)活動（每人限報(bào)項(xiàng)活動（每人限報(bào)1項(xiàng)），共有項(xiàng)），共有 種不同的報(bào)名方法種不同的報(bào)名方法（2）5名同學(xué)爭奪名同學(xué)爭奪4項(xiàng)競賽冠軍，項(xiàng)競賽冠軍，冠軍獲得者共有冠軍獲得者共有 種可能種可能5445基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 練習(xí)練習(xí)2022-4-25 例例

4、2.某車站有某車站有5個入口處，每個入口處每次個入口處，每個入口處每次只能進(jìn)一個人，問一小組只能進(jìn)一個人，問一小組8個人進(jìn)站的方案個人進(jìn)站的方案數(shù)有多少？數(shù)有多少？2022-4-262 相異元素不許重復(fù)的排列與組合相異元素不許重復(fù)的排列與組合一、相異元素的不重復(fù)排列一、相異元素的不重復(fù)排列 定義定義1: 排列排列 排列數(shù)排列數(shù) 或或 定理定理1: 分析分析:mnPmnA(1)(2)(1)mnPn nnnm1212(1)mmmnnnPn Pn nP(1)(2)(1).n nnnm!(1)(2)3 2 1.nn nn 2022-4-27推論推論1 約定約定 推論推論2 推論推論3 （上標(biāo)減（上標(biāo)減

5、1的變形）的變形）推論推論4 （下標(biāo)減（下標(biāo)減1的變形）的變形）推論推論5 （上、下標(biāo)同時減（上、下標(biāo)同時減1的變形）的變形） !rnnPnr0! 11(1)rrnnPn rP 1rrnnnPPnr11mmnnPnPP!nnn2022-4-282 相異元素不許重復(fù)的排列與組合相異元素不許重復(fù)的排列與組合例例1:求證求證:(1) (2)1(1)rrnnPnrP 11mmmnnnPmPP1! 2 2! 3 3! (1)! 1n nn 111(1)mmmmnnnnPmPnmPmP1mnP2022-4-29二、相異元素的不重復(fù)組合二、相異元素的不重復(fù)組合定義定義2 組合、組合、 組合數(shù)組合數(shù)定理定理2

6、推論推論3推論推論4 rnnrC !mmnnPCm1rrnnnCCnr11rrnnnCCr2 相異元素不許重復(fù)的排列與組合相異元素不許重復(fù)的排列與組合2022-4-210 組合性質(zhì)組合性質(zhì) 定理定理3.（1） （2 ） mnmnnCC11mmmnnnCCC2022-4-211排列與組合的區(qū)別和聯(lián)系：排列與組合的區(qū)別和聯(lián)系：名名 稱稱排排 列列組組 合合定義定義種數(shù)種數(shù)符號符號計(jì)算計(jì)算公式公式關(guān)系關(guān)系性質(zhì)性質(zhì) ，mnAmnC(1)(1)mnAn nnm!()!mnnAnm!0!1nnAn(1)(1)!mnn nnmCm!()!mnnCmnm10 nCmmmnnmACAmn mnnCC11mmmn

7、nnCCC從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元個元素，按一定的順序排成一列素，按一定的順序排成一列從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元個元素，把它并成一組素，把它并成一組所有排列的的個數(shù)所有排列的的個數(shù)所有組合的個數(shù)所有組合的個數(shù)11mmnnAnA2022-4-212例例2 證明范德蒙德恒等式：證明范德蒙德恒等式：0110rrrrnmnmnmn mC CC CC CC2022-4-213練習(xí)：練習(xí)：解方程解方程 （1） （2）112311nnnnnnnnCCCC111919kkCC2022-4-214三、相異元素的環(huán)狀排列三、相異元素的環(huán)狀排列定義定義3 從從 個不同元素中個不

8、同元素中,不重復(fù)地任取不重復(fù)地任取 個元素，不分首尾地依次排成一個環(huán)個元素，不分首尾地依次排成一個環(huán) 狀（或一條封閉曲線），叫做從狀（或一條封閉曲線），叫做從 個個 不同元素中取出不同元素中取出 個元素的環(huán)狀排個元素的環(huán)狀排 列，這樣取出的所有環(huán)狀排列的個數(shù)列，這樣取出的所有環(huán)狀排列的個數(shù) 叫做從叫做從 個不同元素個不同元素 中取出的環(huán)中取出的環(huán) 狀排列數(shù)狀排列數(shù). nnmmnm2022-4-215定理定理4 個不同元素的環(huán)狀全排列的種數(shù)是個不同元素的環(huán)狀全排列的種數(shù)是定理定理5 從從 個相異元素取出的個相異元素取出的 元環(huán)形排列的元環(huán)形排列的種數(shù)是種數(shù)是(1)!nnPnnnmn!mnPnmm

9、 nm2022-4-216例例4 （課本（課本P345） 教師教師2人和學(xué)生人和學(xué)生6人圍著一張人圍著一張圓桌就坐，有多少種不同的坐法？若圓桌就坐，有多少種不同的坐法？若 （1）不附任何條件；）不附任何條件； （2）兩位教師必須相鄰；）兩位教師必須相鄰； （3）兩位教師不在相鄰位置；）兩位教師不在相鄰位置； （4）學(xué)生）學(xué)生A 在兩教師之間。在兩教師之間。2022-4-217解排列組合問題遵循的一般原則解排列組合問題遵循的一般原則:1.有序有序- ; 無序無序- 2. 分類分類- ; 分步分步-3. 既有分類又有分步既有分類又有分步:4. 既有排列又有組合既有排列又有組合:5. 先先 后后6.

10、 正難正難7.分類分類排列排列組合組合加法加法乘法乘法先分類再分步先分類再分步先選后排先選后排要不重不漏要不重不漏則反則反特殊特殊一般一般四、應(yīng)用問題舉例四、應(yīng)用問題舉例2022-4-218常見方法常見方法:1. (一般適于相鄰問題一般適于相鄰問題)2. (一般適于不相鄰問題一般適于不相鄰問題)3. (至多、至少、不都等問題至多、至少、不都等問題)捆綁法捆綁法插空法插空法排除法排除法2022-4-219解題總結(jié)：解題總結(jié)： 注意區(qū)別注意區(qū)別“恰好恰好”與與“至少至少”例例7 從從6雙不同尺碼的鞋子中任取雙不同尺碼的鞋子中任取4只，其中只，其中恰好恰好有有2只鞋子配成一雙的不同取法共有（只鞋子配

11、成一雙的不同取法共有（ ） (A) 480種（種（B）240種種 （C）180種種 （D）120種種小結(jié)：小結(jié)：“恰好有一個恰好有一個”是是“只有一個只有一個”的意思。的意思?！爸辽僦辽儆幸粋€有一個”則是則是“有一個或一個以上有一個或一個以上”，可用分類討論法，可用分類討論法求解，它也是求解，它也是“沒有一個沒有一個”的反面，故可用的反面，故可用“排除法排除法”。解：解：12116522240CCCC練習(xí)：練習(xí)： 從從6雙不同尺碼的鞋子中任取雙不同尺碼的鞋子中任取4只，其中只，其中至少至少有有2只鞋子配成一雙，不同取法共有只鞋子配成一雙，不同取法共有 種種441 41262()255CCC20

12、22-4-220解題總結(jié)：解題總結(jié)： 特殊元素（或位置）優(yōu)先安排特殊元素（或位置）優(yōu)先安排例例 將將5列火車停在列火車停在5條不同的軌道上，其中列車條不同的軌道上，其中列車a不停不停在第一軌道上，列車在第一軌道上，列車b不停在第二軌道上，那么不同的不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有（停放方法有（ ）（A）120種種 （B）96種種 （C）78種種 （D）72種種解：解：4113433378AAAA練習(xí)：從練習(xí)：從7盆不同的盆花中選出盆不同的盆花中選出5盆擺放在主席臺前，盆擺放在主席臺前，其中有兩盆花不宜擺放在正中間，則一共有其中有兩盆花不宜擺放在正中間，則一共有_種種不同的擺放方法（用數(shù)字

13、作答）。不同的擺放方法（用數(shù)字作答）。解：解：14561800AA782334455AAAa在第二軌道在第二軌道a不在第二軌道不在第二軌道2022-4-221解題總結(jié)：解題總結(jié)： 分組問題分組問題例例9 9 9本不同的書，按下列條件分配，各有多少種分法？本不同的書，按下列條件分配，各有多少種分法？（1 1）分給甲乙丙三人，每人）分給甲乙丙三人，每人3 3本；本；（2 2）分成三組，每組）分成三組，每組3 3本；本；（3 3）分成）分成3 3組，一組組，一組5 5本，另外兩組各本，另外兩組各2 2本。本。注意是否注意是否“有序有序”2022-4-222鏈接高考鏈接高考1.1.（20092009北

14、京卷文）用數(shù)字北京卷文）用數(shù)字1 1，2 2，3 3，4 4，5 5組成的無重復(fù)數(shù)組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為字的四位偶數(shù)的個數(shù)為 （ ）A A8 8B B2424C C4848D D120120【答案【答案】C C2. 2. （20092009全國卷全國卷文）甲、乙兩人從文）甲、乙兩人從4 4門課程中各選修門課程中各選修2 2門，門，則甲、乙所選的課程中恰有則甲、乙所選的課程中恰有1 1門相同的選法有門相同的選法有（A A）6 6種種 （B B）1212種種 （C C）2424種種 （D D）3030種種 【答案】：【答案】：C C3.（2010年四川文科）由年四川文科）由1、2、3、

15、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字且字且1、2都不與都不與5相鄰的五位數(shù)的個數(shù)是相鄰的五位數(shù)的個數(shù)是（A）36 （B）32 （C）28 （D）24【答案【答案】A2022-4-2235. (2006 年全國卷年全國卷理第理第12題題) 設(shè)設(shè)I=1,2,3,4,5I=1,2,3,4,5，選擇，選擇I I的兩個非空集合的兩個非空集合A、B，要使，要使B中最中最小的數(shù)大于小的數(shù)大于A中的最大數(shù)，則不同的選擇方法共有（中的最大數(shù)，則不同的選擇方法共有（ ）種）種 A50 B49 C48 D47 難題！【答案【答案】B【答案【答案】B2022-4-224課堂練習(xí)課堂練習(xí) 習(xí)題七：習(xí)題七： 2 2 5

16、5題題 2022-4-225一、相異元素允許重復(fù)的排列一、相異元素允許重復(fù)的排列定義定義4 從從 個不同元素中，允許重復(fù)地任取個不同元素中，允許重復(fù)地任取 個按一定順序排成一列，叫做從個按一定順序排成一列，叫做從 個不同元素中取出的個不同元素中取出的 元素可重復(fù)排元素可重復(fù)排 列（簡稱重復(fù)排列）這樣取出的重列（簡稱重復(fù)排列）這樣取出的重 復(fù)排列的個數(shù)，可用符號復(fù)排列的個數(shù)，可用符號 表示表示定理定理6 mmnUnnmmnmnU3 相異元素允許重復(fù)的排列與組合相異元素允許重復(fù)的排列與組合2022-4-226例例2 （課本（課本P351） 由數(shù)碼由數(shù)碼1，2，3，4，5五個數(shù)字，可以組成多少個大于

17、五個數(shù)字，可以組成多少個大于23400的的五位數(shù)？五位數(shù)？2022-4-227二、相異元素允許重復(fù)的組合二、相異元素允許重復(fù)的組合定義定義5 從從 個不同元素里，允許重復(fù)地任取個不同元素里，允許重復(fù)地任取 個元素，不計(jì)順序地并成一組，叫個元素，不計(jì)順序地并成一組，叫 做從做從 個不同元素中取出的個不同元素中取出的 元可重元可重 復(fù)組合（簡稱重復(fù)組合）復(fù)組合（簡稱重復(fù)組合）.這樣取出的這樣取出的 元素重復(fù)組合的個數(shù)，可用符號元素重復(fù)組合的個數(shù)，可用符號 表示表示.nmmmnmnH2022-4-228定理定理7 分析分析: A B1mmnn mHC111111231mma a aa aa a aa

18、a1 1 11 21 2 311mmaaaaaaa aaa1 1 11 31 2 312mmaaaaaaa aaa11121nnnnnnn mn maaa aaaaa 121nnnnnnn mn ma aa aa aaa 2022-4-229 例例4 ( (課本課本P353)P353) 展開展開(x+y+z)5，并合并同類項(xiàng)，一共可，并合并同類項(xiàng)，一共可以得到多少項(xiàng)？以得到多少項(xiàng)？553721HC22x yzx x y z z 2022-4-230 例例6 ( (課本課本P354)P354) （1）將）將6個相同的有正反面的圓片任意一個相同的有正反面的圓片任意一擲，可能出現(xiàn)多少種不同結(jié)果？擲，

19、可能出現(xiàn)多少種不同結(jié)果？ （2）如果將它們各涂上不同的顏色，仍有）如果將它們各涂上不同的顏色，仍有正反面，可能擲出多少種不同結(jié)果？正反面，可能擲出多少種不同結(jié)果？ （1）7種 （2）262022-4-231 例例7（課本（課本P355）四元一次不定方程四元一次不定方程 x1+x2+x3+x4=6 （1）有多少組正整數(shù)解？）有多少組正整數(shù)解？ （2）有多少組非負(fù)整數(shù)解？）有多少組非負(fù)整數(shù)解？ 一般地，一次不定方程一般地，一次不定方程 x1+x2+xr=n （1）正整數(shù)解有）正整數(shù)解有 組組(nr)； （2）非負(fù)整數(shù)解有）非負(fù)整數(shù)解有 組。組。11rnC11rn rC 2022-4-232例例8

20、方程方程 3x1+x2+x3+x4+x5+x6=3 的非負(fù)整數(shù)解有多少組？的非負(fù)整數(shù)解有多少組？2022-4-233一、不盡相異元素的排列一、不盡相異元素的排列定義定義6 把把 個不盡相異的元素按照一定的順個不盡相異的元素按照一定的順 序排成一列，叫做序排成一列，叫做 個不盡相異元素個不盡相異元素 的全排列的全排列定理定理8 如果在如果在 n個元素中，有個元素中，有n1個個 a1 ， n2個個 a2 ， nk個個 ak ， 那么這那么這 n個不盡相異元素的全排列數(shù)個不盡相異元素的全排列數(shù) 是是 nn12,knnnn12!.!knn nn4 不盡相異元素的排列與組合不盡相異元素的排列與組合202

21、2-4-234 例例1 ( (課本課本P357)P357) 一個球隊(duì)與八個球隊(duì)個比賽一場，問一個球隊(duì)與八個球隊(duì)個比賽一場，問4勝、勝、3負(fù)、負(fù)、1平的可能情形有多少種？平的可能情形有多少種？8!2804!3!1! 4384280C C 2022-4-235 例例2 ( (課本課本P357)P357) 將將5個相同的紅球和個相同的紅球和5個相同的白球排成一列，個相同的白球排成一列，首尾不許同色，共有多少種不同的排法？首尾不許同色，共有多少種不同的排法？228!1404! 4!A482140C2022-4-236 例例3 ( (課本課本P357)P357) 某市有某市有7條南北向的街，條南北向的街

22、，5條東西向的街，從條東西向的街，從西南角的西南角的A點(diǎn)到東北角的點(diǎn)點(diǎn)到東北角的點(diǎn)B，經(jīng)最短路程，經(jīng)最短路程，有多少種不同走法？有多少種不同走法？10!2106! 4!610210CAB2022-4-23712! !nrr rr 例例4 ( (課本課本P358)P358) 求展開式求展開式(a1+ a2 + + an )r中，含中，含 a1r1a2r2 anrn的系數(shù)（的系數(shù)（r為正整數(shù)，為正整數(shù)， ）1niirra1r1a2r2 anrn =a1 a1 a2 a2 an an1r a 1個2r a 2個nr a n個2022-4-238 例例5（課本（課本P358）不定方程不定方程 x1+x

23、2+x3+x4=7 有多少組正整數(shù)解？有多少組正整數(shù)解？ 一般地，一次不定方程一般地，一次不定方程 x1+x2+xr=n （1）正整數(shù)解有）正整數(shù)解有 組組(nr)； （2）非負(fù)整數(shù)解有）非負(fù)整數(shù)解有 組。組。11rnC11rn rC 2022-4-239二、不盡相異元素的組合二、不盡相異元素的組合定義定義7 從從n個不盡相異的元素中，取出個不盡相異的元素中，取出r（rn）個元素而不考慮其次序時，叫做）個元素而不考慮其次序時，叫做n個個不盡相異元素中取出不盡相異元素中取出r個的組合個的組合4 不盡相異元素的排列與組合不盡相異元素的排列與組合2022-4-240 例例9 ( (課本課本P361)

24、 P361) 540不同的正因數(shù)有多少個？不同的正因數(shù)有多少個？540=2233 5(2+1)(3+1 )(1+1)=24 定理定理9（見課本（見課本P362）2022-4-241一、二項(xiàng)式定理一、二項(xiàng)式定理5 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理222110baCbaCaCba-nn-nnnnnnnn-n-nnbCabC112022-4-242二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn) 通過探索通過探索,13世紀(jì)阿拉伯人已經(jīng)知道兩項(xiàng)和的世紀(jì)阿拉伯人已經(jīng)知道兩項(xiàng)和的n次方的展開結(jié)果次方的展開結(jié)果:222332234432234555322345()2()33()464()510105abaabbabaa babbabaa ba bab

25、babaa ba ba babb 2022-4-243二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn) 為了便于看出規(guī)律，我們把它補(bǔ)充完整為了便于看出規(guī)律，我們把它補(bǔ)充完整:01222332234432234555322345()1()()2()33()464()510105ababababaabbabaa babbabaa ba babbabaa ba ba babb 2022-4-244二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn) 為了便于研究其中的規(guī)律為了便于研究其中的規(guī)律, 1544年年Stifel把公式中字母的系數(shù)提把公式中字母的系數(shù)提取出來取出來,稱為二項(xiàng)式系數(shù)稱為二項(xiàng)式系數(shù). 他發(fā)現(xiàn)其中每個數(shù)是其上方緊鄰他發(fā)現(xiàn)其中每個數(shù)是其上方緊鄰兩數(shù)之

26、和兩數(shù)之和. 用公式表示為用公式表示為:11112113311464115 10 105111kkknnnCCC這個結(jié)果，中國數(shù)學(xué)家楊輝早在這個結(jié)果，中國數(shù)學(xué)家楊輝早在13世紀(jì)就發(fā)現(xiàn)了。世紀(jì)就發(fā)現(xiàn)了。45二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn) 通過進(jìn)一步研究，通過進(jìn)一步研究， 1654年年P(guān)ascal發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)的規(guī)律發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)的規(guī)律,即即通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式:1111211331146411510 1051!()!(1)(2)(1)1 2 3knnFk nkn nnnkk 1713年年,Bernoulli對上面的對上面的公式給出了證明。公式給出了證明。2022-4-246一、二項(xiàng)式定理一、二項(xiàng)式

27、定理5 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理定理定理10222110baCbaCaCba-nn-nnnnnnnn-n-nnbCabC11二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)：二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)： 1rn-rrrnTC ab2022-4-247二、二項(xiàng)展開式的性質(zhì)二、二項(xiàng)展開式的性質(zhì)5 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理性質(zhì)性質(zhì)1：在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端等距離：在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端等距離 的任意兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等的任意兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等-0122knnnnnnnCCCCC性質(zhì)性質(zhì)2：性質(zhì)性質(zhì)4 4：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二

28、項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大。數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大。性質(zhì)性質(zhì)3 3：( (a+ +b) )n的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系 數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和。數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和。rn rnnCC2022-4-248三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例例例2. 在在 的展開式中，有多少個有理項(xiàng)？的展開式中，有多少個有理項(xiàng)？5 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理1004()ab例例4. 設(shè)設(shè)求求 的值的值.52345012345(23)xaa xa xa xa xa x22024135()()aaaaaa例例8. 設(shè)設(shè)nN*，求證：，求證： 能被能被64整除整除.

29、22389nn2022-4-249三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例5 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理1.在在(1+x)10的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大為的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大為 ； 在在(1-x)11的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大為的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大為 。1213579111111111111112._;_nnnnCCCCCCCCC。510C611C21n102511,C3.（x-2)9的展開式中，第的展開式中，第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 是（是（ ） A.4032 B.-4032 C.126 D.-126C4.(a+b)n展開式中，第展開式中，第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n是多

30、是多少少? 誤解誤解 n=10. 正解正解 n=9，10或或11.(為什么為什么?)2022-4-2505 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理5. 2C02n+C12n+2C22n+C32n+2C2k2n+C2k+12n+C2n-12n+2C2n2n=_.322n-1練習(xí)：練習(xí)：P380.習(xí)題習(xí)題 23、25、272022-4-251 對于三項(xiàng)和的對于三項(xiàng)和的n次冪，可以如下計(jì)算次冪，可以如下計(jì)算00000!()()()!()!()!()!()!()!nnnn kkknknkn kk lln kk llklklnabcabcabck nknknabcabck nkl kll klnk5 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理

31、四、多項(xiàng)式定理四、多項(xiàng)式定理2022-4-252 具體寫出來是具體寫出來是01222233222232234()1()()222()3336333()abcabcabcabcaabacbbccabcaa ba cababcacbb cbccabc5 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理四、多項(xiàng)式定理四、多項(xiàng)式定理2022-4-253 為了保持展開后的對稱性，我們把展開式寫成為了保持展開后的對稱性，我們把展開式寫成012222()1()()222abcabcabcabcaabbacbcc33223222234()3336333()abcaa babba cabcb cacbccabc5 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理四、

32、多項(xiàng)式定理四、多項(xiàng)式定理2022-4-254把公式中字母的系數(shù)提取出來把公式中字母的系數(shù)提取出來經(jīng)過仔細(xì)觀察，我們發(fā)現(xiàn)上一三經(jīng)過仔細(xì)觀察，我們發(fā)現(xiàn)上一三角形可以摞在下一三角形的上方，角形可以摞在下一三角形的上方，構(gòu)成一個正四面體。構(gòu)成一個正四面體。四面體中的每一個數(shù)等于其肩上四面體中的每一個數(shù)等于其肩上三個數(shù)之和。三個數(shù)之和。111 111 1121133363133 11446 12 64 12 12 4146415 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理四、多項(xiàng)式定理四、多項(xiàng)式定理2022-4-255 同樣的方法，我們可以得到四項(xiàng)和的同樣的方法，我們可以得到四項(xiàng)和的n次冪的計(jì)算公式次冪的計(jì)算公式0000000!()()()!()!()!()!()!()!()!()!nnnn kkknkln kk ll mmklnnkln kk ll mmklmnabcdabcd