2007蒼南縣“姜立夫杯”數(shù)學競賽高一試卷(浙江省)

1、競賽數(shù)學情況調(diào)查測試卷2005年8月27日一、選擇題(每題6分，共36分)x21、函數(shù)y =(x R, x豐1)的遞增區(qū)間是()x 1(A) 2,)(C) i ,02、方程 2002x+ 2003x + 2004x = 2005x x(A) 0 個(B) 1 個(B) ( a ,0或2, + s)(D) ( a ,1 2或2 +)2006的實根個數(shù)為()(C) 2個(D)至少3個3、 f(x) = asinx + bx + c?ln(x + px2 + 1) + 4 (a,b,c 為實數(shù))，且 f(lglog 310)= 5,那么f(lglg3)的值是()(A) 5( B) 3(C) 3( D

2、)隨 a,b,c而變n4、 假設(shè)函數(shù)f(x) = a2sin2x + (a 2)cos2x的圖象關(guān)于直線x =三對稱，貝V a的值等于()(A)2或 2( B) 1 或1( C) 1 或2( D) 1 或 2coa a cosyacoa 3 cosy5、+ = 1，貝U COSa + cos 3 的值等于()cos( aacos (3 y)(A) 1( B) 2(C),2(D) ¥6、在數(shù)列an滿足，a1 = 2+ . 3, an+ 2(1 an) = 1 + an，貝U a2005 的值為()(A) 2 +3( B) 23( C)3 2(D) 2 3二、填空題(每題9分，共54分)

3、7、在厶 ABC 中，3sinA + 4cosB= 6,4sinB + 3cosA = 1,那么/C 的度數(shù)為 ax8、 函數(shù)y=的反函數(shù)圖象關(guān)于點(一1,4)成中心對稱，那么實數(shù)a=xa 19、一個4元集合S的所有子集的元素和(空集的元素和認為是零)的總和等于16040，貝U S的元素之和等于10、假設(shè) 3f(x 2005) + 4f(2005 x) = 5(x 2005)，對所有實數(shù) x 成立，那么 f(x)的解析式是 f(x) = .11、 函數(shù) f(x) = . 2x2 3x + 4+ x2 2x的最小值是 .12、 正整數(shù)n不超過2005,并且能表示成不少于60個連續(xù)正整數(shù)之和，那么

4、，這樣的正整數(shù)n有個.三、解答題 (每題 20 分，共 60 分)13、函數(shù) y= sinx + asin2xcosx.(1 )當sinx = 1時，求y的值； (2分)18 分(2)假設(shè)函數(shù)的最大值為1,求實數(shù)a的取值范圍14、n2(n > 4)個正數(shù)排成 n行n列ana12a13a1na21a22a23a2na31a32a33a3na41a42a43a4nan1an2an3ann其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有的公比都相等，ail + a22 + + ann.13 十 ©a24= 1, a42= , a43=，求 S=8 1615、某公司離火車站 4

5、0千米，有 12名該公司的職員出差， 須從公司出發(fā)趕到火車站， 他們步行的速度為 4 千米時，當時公司僅有一輛同時可送 4 人的轎車，其速度為 52 千 米時 . 要求在 3 小時內(nèi)將 12名職員送到車站， 還希望轎車第一批送的職員能盡早地到車 站買票 . 試問第一批職員最早能比 3 小時提前多少時間趕到車站 .江蘇省蘇州實驗中學2005年暑期競賽數(shù)學情況調(diào)查測試卷(參考答案)(x 1)2+ 2(x 1) + 111、B 原函數(shù)即為y = (x 1) + 2,由對勾函數(shù)x Ix I的增減性立知選B.2、 B原方程即為I00! + 2005 + 2004 =x 2006，考查兩個函數(shù)y =200

6、2 x2003 x 2004 x2002 + 2003 + 2004和y= x 2006，前者為減函數(shù)，后者為增函數(shù)，它們的圖象200520052005B.有且只有一個交點，故對應的方程有且只有一個根，從而選igig3，故3、C 容易判斷 f(x) + f( x) = 8，且 lglog 310 = lglg10lg3有 f(lglog 310)+ f(lglg3) = 8,從而 f(lglg3) = 3.選 C4、C 函數(shù) f(x) = a2sin2x + (a 2)cos2xnrn的圖象關(guān)于直線 x = 對稱，那么f( 8)應取得函數(shù)的最大值或最小值。所以，cnna2sin( x 2) +

7、 (a 2)cos(石 x 2) = ±.a4+ (a 2)2，由此解得a= 1或一2.選C3cos a+ 2+ cos a 5、 A由題意得3cos a aacos 3 + + cos 31=2,即+ 3cos a+ 23cos a acos 3 + 1，用余弦的和與差公式展開并利用合分比定理，可得acos 3 23cos a cos 23 sin a sin ?asin 3 sin?"_，即332sin1sin_2_cos 3 cosl2acos a cos 3 = 4sin ?sin2 36、C首先易得anM 1,COS a32sin1sin1Q .故cos 3=(1

8、 cos a )(1 cos 3 )，故 cos a+ COS 3 = 1.選 A1 + an r否那么有0= 2的矛盾。所以有an+ 2=，貝y an+4 =1 an1 + an+ 21 an+ 21 + an1 + 1 an1 + an1 _1 an1-a?從而我們可得1an+4 = =an+ 41a，an為周期為8周期數(shù)列.故a200512 + ,3：.j' 3 2.選 C_ 1 _=a250x 8+ 5= a5= a4+ 1= = a17、30° 或 150 °兩式平方相加，得9 + 16+ 24(si nAcosB + sin BcosA) = 37,即有

9、124sin(A + B) = 12,所以 sinC = 2，故/ C = 30° 或 150°8、3 反函數(shù)關(guān)于點(一1,4)對稱，那么原函數(shù)關(guān)于點(4, 1),又原函數(shù)即為1y= 1-，由平移規(guī)律立得其對稱中心為(a+ 1, 1)，與(4, 1)比擬得a= 3.x a 19、 2005在求所有子集元素和總和的時候，集合的每一個元素都被重復求和計算23 =8次，故集合S的元素之和為16040 = 2005810、 一 5x 令t = x 2005，那么原函數(shù)方程就變?yōu)?3f(t) + 4f( t) = 5t，對此式中以一t 代 t 得3f( t) + 4f(t) = 5t

10、,由兩式消去 f( t)可得-7f(t) = 35t，故 f(t) = 5t, 即卩 f(x)= 5x.11、 2 原函數(shù)的定義域為(一R ,0 U 2, + )，且在(一 ,0上為增函數(shù)，在2, + ) 為減函數(shù)，又f(0) = 2, f(2) = . 6>2，所以原函數(shù)的最小值為2.12、 6 可以計算出 1 + 2+ 3+ - + 62= 1953, 1 + 2+ 3 + + 63= 2022，這樣看來，2005 最多可表示為62個連續(xù)正整數(shù)的和。下面分3種情況說明：(1)假設(shè)n表示為62個連續(xù)正整數(shù)的和，那么滿足要求的 n只有一個為1953 (因為2 + 3+ 4+ 63= 20

11、22>2005); ( 2) 假設(shè)n表示61個連續(xù)正整數(shù)的和，設(shè)其中最小的正整數(shù)為m，那么由m+ (m + 1) + + (m +60)=61(2m + 60)2=61(m + 30)< 2005可得 mW 2,從而滿足要求的n 有兩個：1 + 2 + +61 = 1891和2 + 3+- + 62= 1952; (3)假設(shè)n表示60個連續(xù)正整數(shù)的和，設(shè)其中最小的正整數(shù)為m,那么由m + (m + 1) + + (m+ 59) =( J) = 30(2m + 59)W 2005 可得 mW 3,從而滿足要求的62= 1950.n 有二個為：1+ 2+ + 60= 1830, 2 +

12、 3+ 61= 1890 及 3 + 4 + +綜合(1) (2) ( 3)得滿足要的正整數(shù) n共有6個，它們?yōu)椋?953、1891、1952、1830、 1890 和 1950.13、(1)顯然，當 sinx = 1，時 y= 1(2)由(1 )知，函數(shù)值中必有1，從而問題就是求使對任意 x，總有sinx + asin2xcosx 1, 即g = sinx + asin2xcosx 10成立的a的取值范圍。令 t = sinx (t 1,1),那么g = sinx + a(2si nxcos2x) 1 = sinx + 2asi nx(1 si n2x) 1 = 2at3 + (1 + 2a

13、)t 1=(t - 1)( 2at2 2at+ 1)0,即 2at2 + 2at 10 在 t 1,1時由t 1 0恒成立知，問題即要求使2at2 2at+ 1結(jié)合a<0得，2 < av 01綜合上述1、2、3,得所求a的取值范圍為2,1414、設(shè)第一行數(shù)的公差為d,各列的公比為q,那么第二行的公差是 dq,第四行的公差為dq3,于是，由題設(shè)得出方程組a24 = (an+ 3d)q= 13 1 a42 = (an + d)q = &133a43=8+dq = 16因為n2個數(shù)均為正數(shù)，可知只能有1Ian=± 2' 1I d=± 2q=±

14、 11an = d= q =2從而，對于任意1 k n,有k 1akk = a1kq= an+ (k 1)dqk 1S= 1 丄 2 +3 22 2 2這類數(shù)列的求和，我們通常用錯位相減法，給11兩邊乘以一可得恒成立的a的取值范圍。1)當a= 0時,10顯然滿足題意1)210在t 1,1時恒成立，故有2)當a>0時，2 1即為t2 +1-(t1(-2a242a1 211(1 )2(-)0242a結(jié)合a>0得，10a-43)當a<0時，即為 t2+1-2at -121+丄4 2a> 0在t 1,1時恒成立，故有1 -S 2(1) - (2),得 12 212212n12*

15、 12n11 1(1 -)2、2n' n21m n2 2A，車站稱為B。顯然，職員必須分為 3批乘車，每批4人，按乘 不在車上的職員讓他們在到達火車站之前保持步故可求得15、把出發(fā)地稱為車先后分別稱他們?yōu)榧捉M、乙組、丙組。 行前進。假定轎車把甲組送到離 A的x千米處，然后返回接乙組。當轎車接到乙組后，把乙組x和y的值。z千米，那么有送y千米，再返回接丙組，顯然整個過程決定于設(shè)在3小時內(nèi)從公司到火車站至少須乘車z 40 z5243,解得z91。這說明乙，丙兩組至少乘車距離為39191千米。為了使甲組極早趕到火車站,3應使乙、丙兩組盡量減少乘車距離，所以，乙、丙兩組乘車距離均為2)當轎車送出甲組x千米之后返回，當接到乙組時,已耗時2x52 491y