《超級畫板》支持下的高三數(shù)學(xué)探究式教學(xué)(共7頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上超級畫板支持下的高三數(shù)學(xué)探究式教學(xué)-橢圓中特殊角的性質(zhì)教學(xué)實踐與反思 林 風(fēng) （福建省福州第三中學(xué)） 摘要：本節(jié)課是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中以信息技術(shù)（超級畫板）為平臺，以建立知識網(wǎng)絡(luò)為目標，以培養(yǎng)學(xué)生探究能力為宗旨的研討課，在教學(xué)設(shè)計時力求通過信息技術(shù)手段、更新高三復(fù)習(xí)方式、深化數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，通過案例記錄，夾敘夾議師生在預(yù)設(shè)與生成的碰撞、交流過程中的精彩片斷，是生動活潑的教學(xué)敘事和反思。關(guān)鍵詞：超級畫板；探究式教學(xué)；高三復(fù)習(xí)根據(jù)新課標下的高考立足“考查雙基”、“能力立意”，力求在知識的交匯處考查學(xué)生探究能力和創(chuàng)新意識的精神，筆者設(shè)計了超級畫板支持下的一節(jié)高三數(shù)學(xué)探究課橢圓中

2、特殊角的性質(zhì)，以“角”的討論為線索，讓學(xué)生在探究中溫故知新，自主學(xué)習(xí)，有效整合，從而真正提高高三復(fù)習(xí)的有效性。筆者在教學(xué)中著力體現(xiàn)以下四個要點。一、探究的問題要關(guān)注知識的“附著點”“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，沒有問題就無從“探究”。以問題作為的切入點是探究性學(xué)習(xí)的重要特征。新課程標準認為，形成探究性教學(xué)的最大特點就是學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)中得到一個明確的任務(wù)，或者在某一情境中自己發(fā)現(xiàn)問題。根據(jù)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的特點以及高考試題的規(guī)律，找好一個好的“話題”最為重要，“話題”要體現(xiàn)“低起點、緩坡度、高立意”的教學(xué)設(shè)計理念，實現(xiàn)輻射廣、變化多、內(nèi)涵深的教學(xué)效果?！敖恰边@個橢圓知識的“附著點”，鏈接著橢圓中的許多知識點、

3、能力點（如橢圓的定義、橢圓解題的通性通法等），在發(fā)現(xiàn)問題和解決問題過程中能有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)中溫故知新和激發(fā)學(xué)生探究欲望。筆者在教學(xué)中從“圓的直徑所對的圓周角是直角”作為引子，讓學(xué)生類比到橢圓中，產(chǎn)生一連串的“問題鏈”，鏈接相關(guān)的知識“結(jié)點”，并以一個特殊橢圓為例開始探究之旅。課堂上讓學(xué)生由“圓的直徑所對的圓周角是直角”類比到橢圓，并展開一系列的探究。生1：（問題1）若A1、A2 是橢圓 的長軸兩個頂點，P是橢圓上任意異于A1、A2 的點，則A1PA2=900 ？（圖1）或者若B1、B2 是橢圓 的短軸的兩個頂點，P是橢圓上任意異于B1、B2 的點，則B1PB2=900 ？（圖2）（學(xué)生議論紛紛

4、，有說直角，有說銳角、也有說不一定） 圖1 圖2（教師現(xiàn)場借助超級畫板演示不同的型橢圓以及測算A1PA2的值，讓學(xué)生觀察、猜測、驗證）注：超級畫板具有優(yōu)良的操作簡易性，其中獨特的參數(shù)設(shè)置功能可以簡便地體現(xiàn)圓與橢圓、雙曲線之間的幾何變換。具體操作如下：用鼠標點擊原點點擊菜單下的“作圖”下的圓錐曲線（標準圓錐曲線），在跳出的框中填寫長軸為：a，短軸為：b，點擊確定得到一個圓的圖形，點擊菜單下的“變量尺”，在出現(xiàn)的對話框中變量欄中填上a，同樣再操作一次，在對話框的變量欄中填上b，點擊確定，在主界面上出現(xiàn)可以調(diào)控的a，b控制條，隨著a，b的變化，畫面上的圓變?yōu)闄E圓（而且橢圓的大小也可以任意調(diào)整）。圓的

5、性質(zhì)就變化為橢圓的性質(zhì)。讓角的知識“附著點”變成探究學(xué)習(xí)的“生長點”。同時橢圓和雙曲線之間的切換也可以在“作圖”菜單下直接點選雙曲線的項目就將原來的橢圓轉(zhuǎn)換為雙曲線。這樣可以非常方便地在課堂教學(xué)中實現(xiàn)不同問題情景之間的變換和探究。二、探究教學(xué)不能脫離復(fù)習(xí)的“核心點”高三數(shù)學(xué)探究性教學(xué)應(yīng)該做到知識理解、技能演練、能力提升和諧發(fā)展，通過設(shè)疑引導(dǎo)、知識建構(gòu)、交流互動、自主學(xué)習(xí)等教學(xué)方式讓學(xué)生主動參與，把教學(xué)的核心點做足、挖透，使知識的回顧與學(xué)生的認知活動合拍共振，通過問題提出、問題解決、問題發(fā)現(xiàn)等一系列環(huán)節(jié)實現(xiàn)串聯(lián)知識、溫習(xí)技能、提升能力的目的，通過探究把教學(xué)落腳點定位在高三復(fù)習(xí)的“主旋律”上。生2

6、：我觀察超級畫板的演示過程和屏幕上A1PA2的值（圖1）變化發(fā)現(xiàn)A1PA2是鈍角，這是因為P是橢圓上的動點，設(shè)P的坐標為，把角度問題轉(zhuǎn)化為三角形的邊長問題進而轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的函數(shù)的研究（即函數(shù)法），設(shè)P(x,y)，|PA1|=，|PA2|=，|A1A2|=4，因為-2x2（P是橢圓上任意異于A1、A2的點）,所以由余弦定理得cosA1PA2=，因此A1PA2是鈍角。生3：角度問題還可以利用向量這個工具來解決（即向量法）=（-2-x，-y），=（2-x，-y），=x2-4+y2=，因為-2x900。生5：我有更簡明的解法，記得課堂上曾經(jīng)討論過橢圓一個簡單而重要的性質(zhì)，即橢圓上的點與長軸兩個頂點的連

7、線的斜率乘積等于，以及三角知識就可以得到A1PA2是鈍角。而且這個問題的結(jié)論可以推廣為一般性的結(jié)論，即A1、A2是橢圓 （ab0）的兩個頂點，P是橢圓上任意異于A1、A2的點，則A1PA2900。 （教室里一片贊許聲，掌聲）三、探究式教學(xué)要成為創(chuàng)新思維的“增長點”傳統(tǒng)教學(xué)方式下的探究性教學(xué)常常是問題情景單一、思維形式固化、想象空間有限、難以即時調(diào)控，費時費力又費神，而借助超級畫板的作圖、測量、變換、動畫、跟蹤、演示等功能，學(xué)生從中可以直觀、動態(tài)、全面地觀察各個情況下特殊角的特性，概括共性，發(fā)展思維，對問題的觀察和聯(lián)想的維度與空間更為開放和開闊，似乎相互獨立的橢圓中特殊角問題變成是聯(lián)系、動態(tài)、整

8、體的逐步發(fā)展深化的“探索鏈”，問題發(fā)生過程的更為具體、生動和深刻，問題的某些結(jié)論“所見即所得”的效果，大大縮短了思維的長度、拓展了問題思考的容量、凸顯個性化學(xué)習(xí)，學(xué)生敢想、愛想，會想，激發(fā)出許多靈感，不斷涌現(xiàn)出創(chuàng)新思維的“增長點”，豐富了探究學(xué)習(xí)的形式和手段，這正是超級畫板輔助教學(xué)的優(yōu)勢和價值所在。師：我們解決了橢圓上任意一點與頂點（特殊點）夾角問題之后，請大家思考這個問題的其他形式。1.從特殊到一般入手生6：生4的解法啟發(fā)我思考這樣的問題，如果把頂點A1、A2看作為特殊的關(guān)于原點對稱的兩點，那么一般地若A、B兩點關(guān)于原點對稱（如圖4），則對于橢圓上任意一點P，APB的大小可以通過以AB為直徑

9、作輔助圓的方法得知APB可能是直角、也可能是銳角、也可能是鈍角。 圖4（學(xué)生們對此獨特的思考角度給予掌聲鼓勵）2.從形“點“的變化入手生7：我考慮把頂點條件改為“焦點“后的特殊角問題（如圖5），即橢圓上任意一點P與它的兩個焦點連線所成的角F1PF2的大小問題。如圖，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上異于A1、A2的點，則F1PF2=900 ？（教師演示超級畫板，全班同學(xué)沉浸在思考中） 圖5下面我參考生3的解法，用函數(shù)法和向量法都可以得到F1PF2900， 即：設(shè)P（x，y），=(-1-x,-y), =(1-x,-y),如果F1PF2=900,則, 由得x2=-8，這時無解。因此F1PF29

10、00。生8：由=0和化簡得，因此得到進一步的結(jié)論F1PF2是銳角。生9：我用基本不等式和反證法證明F1PF2900，否則假設(shè)F1PF2=900，由于橢圓焦點三角形中隱含著橢圓的定義，即|PF1|+|PF2|=2a（定值），設(shè)|PF1|=r1、|PF1|=r2，則r1r2=6，但是因為r1r2=4， 這就出現(xiàn)了矛盾，所以不存在滿足條件的點P，因此F1PF2900。生10：我覺得把橢圓和圓聯(lián)系起來結(jié)果比較簡明，以O(shè)為圓心，F(xiàn)1F2為直徑作圓(學(xué)生上臺制作如圖6)，根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系得到PF1PF2=900，問題的實質(zhì)就是判斷橢圓中b與c的大小關(guān)系，只要c比b小即可。 圖6（學(xué)生嘖嘖稱好）師

11、：上述解法主要繼承了問題1的解法，也有新的解法（如反證法、幾何法），說明問題的解決既有共性的也有個性的。3.從量的變化著眼生11：我觀察到超級畫板在演示時F1PF2不僅是銳角，而且有個變化范圍的限定，應(yīng)該有個最大值？即：如圖7，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個焦點，A1、A2是橢圓的兩個頂點，P是橢圓上任意異于A1、A2 ，求F1PF2 的最大值？我觀察圖象覺得當點P 在短軸的頂點位置時取到最大值。雖然用一般方法（二次函數(shù)法，導(dǎo)數(shù)法）估計都能解決，但我更喜歡借助橢圓定義，基本不等式求解：設(shè)|PF1|=r1、|PF1|=r2,則r1+r2=4，所以r1r2=4，cosF1PF2=, 所以cosF1PF2

12、，又因為0F1PF2, 所以0)的兩個焦點，求橢圓上的點P，使得F1PF2=900 （如圖8）。 圖8 圖9設(shè)，則，計算有點繁瑣，生14：可以回避比較復(fù)雜的計算，從直角圓橢圓這個線索求解，構(gòu)造以橢圓兩個焦點為直徑的圓x2+y2=a2-3（如圖9），數(shù)形結(jié)合比較簡潔，設(shè)P(x，y)，則消去y，得（3-a2）x2+a4-6a2=0，消去x，得a2y2-3y2-9=0，即，因為，因此，若|y|=，a2=6，即a=有2個點P，這時b=c，圓與橢圓相交于短軸的兩個端點；若|y|3a26，即ac，圓和橢圓相離，有0個點P；若0|y|6，即a時有4個點P，這時bc，這時橢圓與圓交于四個點，即有4個點P。（其

13、他學(xué)生臉上露出贊賞的笑容）師：太妙了！橢圓中本沒有圓，大家心中有了圓，問題就可以獲得“圓”滿的解決（笑聲）。超級畫板的測算功能為教學(xué)提供了很大的方便，極大地方便了教學(xué)，具體操作如下：點擊菜單下的“作圖”，從中可以實現(xiàn)六類計算，（1）數(shù)值計算；（2）向量、向量內(nèi)積的計算；（3）曲線方程的測算（直線、圓、圓錐曲線對應(yīng)的方程等）；（4）各種角的計算（如方向角、直線到直線的角、兩條直線的夾角、向量的角；（5）長度、距離、面積；（6）復(fù)數(shù)（代數(shù)式、三角式）導(dǎo)數(shù)與積分（函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極（最）大值、極（最）小值、積分下和、積分和、積分下和、數(shù)值積分），正是這樣一種強大的技術(shù)支持，使得我們的教學(xué)設(shè)計可以更開

14、放、更科學(xué)、更有效。 “一花引來萬花開”，學(xué)生隨之在課堂上提出許多問題，由于篇幅關(guān)系，僅例舉一二如下：若F1、F2是橢圓（或雙曲線）的兩個焦點，求橢圓（雙曲線）上的點P，使得F1PF2=600 （或F1PF2=300 ，F(xiàn)1PF2=450）。若F1、F2是橢圓（或雙曲線）上關(guān)于原點對稱的兩個點，求橢圓（雙曲線）上的點P，使得F1PF2=900 。若F1、F2是橢圓（或雙曲線）的兩個焦點，求橢圓（雙曲線）上的點P，使得（為給定常數(shù)）。 若F1、F2是橢圓（或雙曲線）的兩個焦點，求的取值范圍。注：從特殊到一般、形“點“的變化、量的變化、靜態(tài)與動態(tài)等等，這些數(shù)學(xué)研究的主要“元素”和內(nèi)容在超級畫板平臺

15、上可以流暢完美地呈現(xiàn)，許多問題的改變只是彈“指”一揮間的操作，如生13問題中，要使、不同問題場景的切換只需在屏幕上的a，b控制條中加以調(diào)整即可實現(xiàn)。超級畫板優(yōu)于同類軟件的一個好用的性能就是可以直接作出直線與圓錐曲線的交點（只需在菜單中選取，并在直線與圓錐曲線相交處點擊，就會出現(xiàn)交點以及文字提示），為教學(xué)解決了“燃眉”之急，拓展了圓錐曲線的研究的廣闊空間，課堂上常會出現(xiàn)“節(jié)外生枝處、常有暗香來”熱烈情境，這也是教師對超級畫板愛不釋手的原因之一。四、探究的目的要提升學(xué)生學(xué)習(xí)的“高觀點”探究式教學(xué)的終極追求應(yīng)該是促進學(xué)生理解數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)、改變學(xué)習(xí)方式。本案例把“角”作為高三知識的溫故知新的平臺的同

16、時，立足在知識的交匯點（解析幾何、平面幾何、三角函數(shù) 、函數(shù)、不等式、平面向量等）進行全面的輻射、深入的概括，“一題多解”、“一題多變”、“多題一解”只是一種知識技能回顧和訓(xùn)練的方式，而貫穿其間的三條線索：知識發(fā)展：知道從一個圓的性質(zhì)進行類比到橢圓，橢圓研究從頂點到焦點（更一般的關(guān)于原點對稱的兩點等），從靜態(tài)橢圓到動態(tài)橢圓（含參數(shù)）。特殊角的定性，定量、最值、參數(shù)發(fā)展和深化的過程，解題技能方法：坐標法、平面幾何方法、平面向量、均值不等式、三角函數(shù)等；數(shù)學(xué)本質(zhì)：點坐標，角三角形，幾何代數(shù)、向量等、顯性的知識回顧與隱性的能力目標融匯交錯。而超級畫板的平臺則為三者的深度挖掘以及和諧發(fā)展提供了“大舞臺”，同時無形中也提升了學(xué)生的信息技術(shù)素養(yǎng)。橢圓中特殊角的討論承載了解析幾何解題的主體內(nèi)容和核心價值（如坐標法、數(shù)學(xué)幾何、分類討論、等價轉(zhuǎn)化等），讓學(xué)生從不同的知識側(cè)面，用不同的思維方式進行觀察、思考、探究、提升則是教學(xué)的目的。教師在教學(xué)中重在方法上、思想上、觀點上適時點撥、概括提升，使學(xué)生對知識本質(zhì)有深入的理解，達到做一題，明白一串道理，鞏固一串知識，培養(yǎng)一串能力，掌握一串處理問題的方法，真正實現(xiàn)親身體