CH第二型曲線積分PPT課件

1、第二節(jié)第二節(jié)一、第二型曲線積分的概念與性質(zhì)一、第二型曲線積分的概念與性質(zhì)二、二、 第二型曲線積分的計(jì)算法第二型曲線積分的計(jì)算法 第二型曲線積分 第十一章 第1頁/共19頁一、一、 第二型曲線積分的概念與性質(zhì)第二型曲線積分的概念與性質(zhì)1. 引例引例: 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在在 xOy 平面內(nèi)從點(diǎn)平面內(nèi)從點(diǎn) A 沿光滑曲線弧沿光滑曲線弧 L 移動到點(diǎn)移動到點(diǎn) B, 求移求移“大化小大化小” “常代變常代變”“近似和近似和” “取極限取極限”變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功解決辦法解決辦法:動過程中變力所作的功動過程中變力所作的功W.

2、第2頁/共19頁1) “大化大化小小”.2) “常代變常代變”把把L分成分成 n 個小弧段個小弧段,有向小弧段有向小弧段近似代替近似代替, 則有則有所做的功為所做的功為F 沿沿則則用有向線段用有向線段 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)在在第3頁/共19頁3) “近似近似和和”4) “取極限取極限”(其中其中 為為 n 個小弧段的個小弧段的 最大長度最大長度)第4頁/共19頁2. 定定義義.設(shè)設(shè) L 為為xOy 平面內(nèi)從平面內(nèi)從 A 到到B 的一條的一條有向光滑有向光滑弧弧,若對若對 L 的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn)的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn), 都存在都存在,在有向曲線弧在有向曲線弧 L 上上對對

3、坐標(biāo)的曲線積分坐標(biāo)的曲線積分,則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)或或第二類曲線積分第二類曲線積分.其中其中,L 稱為稱為積分弧段積分弧段 或或 積分曲線積分曲線 .稱為稱為被積函數(shù)被積函數(shù) , 在在L 上定義了一個向量函數(shù)上定義了一個向量函數(shù)極限極限記作記作第5頁/共19頁若若 為空間曲線弧為空間曲線弧 , 記記稱為對稱為對 x 的曲線積分的曲線積分;稱為對稱為對 y 的曲線積分的曲線積分.若記若記, 對坐標(biāo)的曲線積分也可寫作對坐標(biāo)的曲線積分也可寫作類似地類似地, 第6頁/共19頁第二型曲線積分與曲線第二型曲線積分與曲線 L 的方向有關(guān)，對同一曲線，的方向有關(guān)，對同一曲線，當(dāng)方向由當(dāng)方向由 A

4、到到 B 改為由改為由 B 到到 A 時，每一小曲線段的時，每一小曲線段的方向都改變，從而小曲線段的投影方向都改變，從而小曲線段的投影也隨之也隨之改變符號，故有改變符號，故有而第一型曲線積分的被積分表達(dá)式是函數(shù)值與弧長的而第一型曲線積分的被積分表達(dá)式是函數(shù)值與弧長的乘積，它與曲線乘積，它與曲線 L 的方向無關(guān)的方向無關(guān). 這是兩類曲線積分的這是兩類曲線積分的一個重要區(qū)別一個重要區(qū)別. 定積分是第二類曲線積分的特例定積分是第二類曲線積分的特例. 對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向方向 !第7頁/共19頁定理定理:在有向光滑弧在有向光滑弧 L 上有定義且上有定

5、義且L 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為則曲線積分則曲線積分連續(xù)連續(xù),存在存在, 且有且有二、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法二、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法第8頁/共19頁特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，終終點(diǎn)點(diǎn)為為起起點(diǎn)點(diǎn)為為 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 則則.)(:)2(dcyyxxL，終點(diǎn)為，終點(diǎn)為起點(diǎn)為起點(diǎn)為 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 則則第9頁/共19頁.,)()()(:)3( 終點(diǎn)終點(diǎn)起點(diǎn)起點(diǎn)推廣推廣ttztytx 第10頁/共19頁例例1. 計(jì)算計(jì)算其中其中L 為沿拋物線為沿拋物線解法解法1 取取 x 為參數(shù)為參數(shù)

6、, 則則解法解法2 取取 y 為參數(shù)為參數(shù), 則則從點(diǎn)從點(diǎn)的一段的一段. 第11頁/共19頁例例2. 計(jì)計(jì)算算其中其中 L 為為(1) 半徑為半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的圓心在原點(diǎn)的 上半圓周上半圓周, 方向?yàn)槟鏁r針方向方向?yàn)槟鏁r針方向;(2) 從點(diǎn)從點(diǎn) A ( a , 0 )沿沿 x 軸到點(diǎn)軸到點(diǎn) B ( a , 0 ). 解解: (1) 取取L的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為(2) 取取 L 的方程為的方程為則則則則第12頁/共19頁例例3. 計(jì)算計(jì)算其中其中L為為(1) 拋物線拋物線 (2) 拋物線拋物線 (3) 有向折線有向折線 解解: (1) 原式原式(2) 原式原式(3) 原式原式第13頁/共19頁1. 定義定義2. 性質(zhì)性質(zhì)(1) L可分成可分成 k 條有向光滑曲線弧條有向光滑曲線弧(2) L 表示表示 L 的反向弧的反向弧對坐標(biāo)的曲線積分必須注意對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)第14頁/共19頁3. 計(jì)計(jì)算算 對有向光滑弧對有向光滑弧 對有向光滑弧對有向光滑弧第15頁/共19頁 對空間有向光滑弧對空間有向光滑弧 :第16頁/共19頁1. 已已知知為折線 ABCOA(如圖), 計(jì)算提示提示:思考與練習(xí)思考與練習(xí)