2014年數學建模國賽B題

1、2014高教社杯全國大學生數學建模競賽承諾書我們仔細閱讀了全國大學生數學建模競賽章程和全國大學生數學建模 競賽參賽規(guī)則（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學生數學建模 競賽網站下載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵 件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問 題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的 成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表 述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。 如有違反競賽

2、章程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們授權全國大學生數學建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行 公開展示（包括進行網上公示，在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發(fā)表 等）。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）：我們的報名參賽隊號為（8位數字組成的編號）：27027006所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜簩氹u文理學院參賽隊員（打印并簽名）：1.李思怡2. 甘功偉3. 史少陽指導教師或指導教師組負責人（打印并簽名）：李曉波（論文紙質版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以 上內容請仔細核對，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯誤，論文可能被取 消評獎資

3、格。）日期：2014年0匕月15日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2014高教社杯全國大學生數學建模競賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：對創(chuàng)意平板折疊桌的最優(yōu)化設計摘要本文主要研究了創(chuàng)意平板折疊桌的相關問題。對于問題一，首先，我們根據所提供的已知尺寸的長方形平板和桌面形狀， 桌高的要求，以圓桌面中心作為原點建立了相應的空間直角坐標系，分別求出了 各個桌腿的長度，根據在折疊過程中，鋼筋穿過的每個點距離桌面的高度相同這 一性質，

4、利用MATLAB程序計算出了每根木棒卡槽的長度和桌腳底端每個點的坐 標，其中卡槽長度依次為（從最外側開始，單位：cm）： 0、4.3564、7.663、10.3684、 12.5926、14.393、15.8031、16.8445、17.5314、17.8728，并且根據底端坐標 擬合出了桌腳邊緣線的方程并進行了檢驗。另外，我們通過桌腳邊緣線的變化 圖像來描述折疊桌的折疊過程。對于問題二，我們以用材最少為目標函數，以穩(wěn)固性好為約束條件，通過對 桌腿進行力學分析和幾何分析得到了使得用材最少且穩(wěn)固性好的圓桌需要滿足 的條件是鋼筋穿過 最長腿的位置滿足一個不等式。并且，當平板的 長為 163.470

5、2cm,寬為80cm,厚度為3cm,最外側桌腿鋼筋處到桌腿底端的距離與桌腿的長度之比為0.4186時，木板的用材最小，其對應的體積V為392330 cm3。對于問題三，為了滿足客戶需求，使得生產的折疊桌盡可能接近客戶所期望 的形狀，我們給出了軟件設計的基本算法。我們考慮了 “操場形桌面和雙曲線 形桌面，得到了“操場形桌面的的創(chuàng)意平板折疊桌槽長為（從最外側開始，單 位：cm）： 0、4.3564、7.6637、10.3684、12.5926、14.3930、15.8031、16.8445、 17.5314、17.8728; “曲線形”桌面的創(chuàng)意平板折疊桌槽長為（從最外側開始， 單位：cm）： 0

6、、1.5756、2.8917、3.9886、4.9005、5.6532、6.2641、6.7397、 7.0741、7.2501。最后，給出了兩種桌面的動態(tài)變化圖。關鍵字：曲線擬合最優(yōu)化設計幾何模型 折疊桌桌腳邊緣線一、問題重述問題背景某公司生產一種可折疊的桌子，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤 成一張平板。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接， 鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑 動的自由度。桌子外形由直紋曲面構成，造型美觀。附件視頻展示了折疊桌的動 態(tài)變化過程。目標任務建立數學模型討論下列問題：1 .給定長方形平板尺寸為120

7、 cm義50 cm義3 cm,每根木條寬2.5 cm, 連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側木條的中心位置，折疊后桌子的高度為 53 cm。建立模型描述此折疊桌的動態(tài)變化過程，在此基礎上給出此折疊桌的設 計加工參數（例如，桌腿木條開槽的長度等）和桌腳邊緣線（圖4中紅色曲線） 的數學描述。2 .折疊桌的設計應做到產品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對于任意給 定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設計要求，討論長方形平板材料和折疊桌的最 優(yōu)設計加工參數，例如，平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等。對于桌高70 cm, 桌面直徑80 cm的情形，確定最優(yōu)設計加工參數。3 .公司計劃開發(fā)一種折疊桌設計軟件，根據客戶任

8、意設定的折疊桌高度、 桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸 和切實可行的最優(yōu)設計加工參數，使得生產的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形 狀。我們團隊的任務是幫助給出這一軟件設計的數學模型，并根據所建立的模型 給出幾個自己設計的創(chuàng)意平板折疊桌。給出相應的設計加工參數，畫出至少8 張動態(tài)變化過程的示意圖。二、問題分析針對問題一，對于給定某些參數的平板，要建立模型來描述折疊桌的動態(tài)變 化過程，就必須確定未知參數，如，折疊桌的各個桌腿長以及所穿鋼筋所活動區(qū) 域的卡槽長。根據題意，可以了解到長方形平板的寬度即為圓桌桌面的直徑，因 此，可以建立相應的空間直角坐標系，利用一定的

9、數學方程通過桌面直徑以及桌 腿（各木條）的寬度計算出每個桌腿的長度，進而利用其長度和已知的桌高求出 個木條的開槽長度。另外，折疊桌的動態(tài)變化過程可由鋼筋在卡槽中的運動軌跡 來描述。針對問題二，為了達到最優(yōu)的加工方案，我們可以將多目標優(yōu)化做一轉化， 選擇以用材最少為目標函數，即選擇的木板所用的體積最少為目標，以穩(wěn)固性好 和加工方便為約束條件，利用受力和幾何圖形分析，將所需考慮的平板尺寸、鋼 筋位置、開槽長度三個設計參數用未知量表示，采用和問題一類似的數學方法計 算未知量為何值時，目標函數的最小值。針對問題三，為了滿足客戶對于折疊桌樣式與尺寸的需求，我們可以采用與 問題一與問題二中類似的分析方法，

10、給出其算法思想，最后可以通過程序得出相 應的設計參數和某些創(chuàng)意桌面的動態(tài)圖。三、符號說明與問題假設符號說明符號意義桌腿最外側向內的順序描述X第i根桌角邊緣線的長度is第i根桌腿的長度i平面時第i根桌腿鋼條所在位置距離圓桌邊緣的距z離i離立體時第i根桌腿鋼條所在位置距離圓桌邊緣的距P,離i同。.第i根桌腿的卡槽長度iH第i根桌腿底端到圓桌平面的高度i平板體積大小模型假設1 .假設桌子的高度包括桌子的厚度。2 .假設問題二中桌腿寬度為2.5cm，木板厚度為3cm。3 .假設在此問題中，忽略鋼筋自身的直徑。4 .假設桌腳與地面完全接觸并且忽略各個木條間的縫隙。四、模型建立與求解問題一：模型建立根據問

11、題首先我們可以建立幾何模型1對問題一進行求解。（1）計算每根桌腿的長度根據題目所給條件，組成桌腿的每根木條的寬度為2.5cm，另外，我們知道 所給木板的寬度等于折疊后圓形桌的直徑，即桌面直徑為50cm，也就是說，該 圓桌左右兩邊共有20根木條。由于折疊后的圓桌關于平行于長方形木板的寬的一條直徑對稱，因此折疊桌 的相關性質我們只需考慮圓桌的左半邊或右半邊，又由于，折疊后的圓桌的一邊 也是互相對稱的，故本文中只以圓桌的1/4為研究對象，即只研究10根木條的 相關變化趨勢。結合以上分析，我們做出折疊前的長方形木板的俯視圖，并且以圓桌的圓心 為坐標原點，以垂直于桌面的為z軸，平行于長方形寬的直徑為y軸

12、，垂直于該 直徑的為x軸，建立空間直角坐標系，如圖1所示：軸的坐標J e (-25, 25X = 1,2,3 ,10由于每根木條的寬度相同，顯然，) 為等差數列。ii由圖1及已知條件可知，每根木條的寬度的中點在圓上，所以=-23.75，J2 =-23.75 + 2.5，y. = -23.75 + (i- 1)x2.5由于(x , y.)位于圓周上，因此有12 + y.2 = 252將y/弋入上述圓的方程中便可以得到、的值已知木板長120cm,即兩邊分別長60cm，則第i條桌腿長s= 60-x,因此，只需要求出各點在圓上的坐標即可求出各個腿長。(2)計算每根桌腿的槽長大小由于鋼筋在旋轉過程中不發(fā)

13、生任何形變，因此，通過對折疊過程的分析可以 知道，每根桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對應其鋼條高度的距離是相同的， 圓桌高度是53cm，厚度是3cm，所以實際桌高應該是50cm因為鋼筋固定在桌腿最外側木條的中心位置，所以鋼筋固定點到圓桌邊緣的距離p = sii 2根據三角形相似和勾股定理可得，最外側桌腿中的鋼條到圓桌邊緣對應其高度的距離l，并且滿足P 2 = h + l 2，由上式即可解出l1 i 4ii具體分析圖如圖2：最外側桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對應其鋼條高度的距離是 d = l + x,即桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對應其鋼條高度的距離也為d ,平面時每根桌腿鋼條所在位置距離圓

14、桌邊緣的距離Z ： i立體時每根桌腿鋼條所在位置距離圓桌邊緣的距離p ： i每根卡槽的長度用立體時鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離和平板時鋼筋與 圓形桌面邊緣之間的距離之差表示Q=p- J (3)桌角邊緣線的數學描述由(2)求得立體時每根桌腿鋼條所在位置距離圓桌邊緣的距離pi,每根桌每根桌腿所在位置距離圓腿鋼條所在位距離圓桌的高度為h，每根桌腿長為s 2i桌的垂直高度為Hi,如圖所示利用相似三角形原理，圖3每根桌腿所在位置距離圓桌的垂直高度示意圖為了研究桌角邊緣線的相關形式，我們對H （i = 1,2, ,10）,即對桌角邊緣點 的三維坐標進行多項式擬合，其形式如下：z - a x + a x2

15、+ a x3 + + a xm + b y + b y2 + b y3 + + b yn + c123m123n問題一模型求解（1）由于桌腿的寬度為2.5cm，且圓形桌的直徑等于木板的寬，即為50cm， 所以以圓形桌兩邊對稱，一邊有20條桌腿，我們以桌面的1/4為研究對象，即 共10條桌腿。根據所建立的直角坐標系，利用等差數列下不同的y求解不同的圓桌邊緣長 ix，進而利用s - 60 - x , i -1,2, ,10求得桌腿長。在MATLAB中進行編程得到 iii10條桌腿的長度分別為（單位；厘米）（具體程序見附錄1）12345678910s 52.19 46.83 43.46 41.00

16、39.12 37.67 36.58 35.79 35.28 35.03 i表1桌腿的長度表因為桌高h-53-3-50cm,由表1可知最外側的桌腿長為52.19cm，而最外側 桌腿一定與垂直方向存在夾角，故最長腿長度一定大于垂直高度，即52.19>50， 所以所得結果符合題意。（2）由題意可知立體時最外側桌腿鋼條所在位置距離圓桌邊緣的距離sp - t - 26.09291 2最外側桌腿中的鋼條到圓桌邊緣對應其高度h - 25，可以得到最外側桌腿中2h的鋼條到圓桌邊緣對應其高度的距離l -、；p 2 -（h）2 - 7.486511 12最外側桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對應其鋼條高度的距

17、離是4-l1 + x1 =7.8062根據桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對應其鋼條高度的距離是相同的，通 過計算得到立體時鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離和平板時鋼筋與圓形桌面邊 緣之間的距離，每根卡槽的長度用立體時鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離和平板 時鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離之差，在MATLAB中對10條桌腿的卡槽的長度 計算進行編程，得到10條桌腿的卡槽長度由外側向內分別為（單位：厘米）（具 體程序見附錄2）i12345678910Qi04.357.6610.36 12.59 14.39 15.80 16.84 17.53 17.87（3）求解桌腳邊緣點的坐標在MATLAB中解出對每根桌腿

18、所在位置距離圓桌的高度為Hi,即20根桌腿 邊緣點的三維坐標如下表3所示：i12345678910xi22.7717.1314.3812.9912.3412.1212.1112.1812.2712.32yi-23.75-21.25-18.75-16.25-13.75-11.25-8.75-6.25-3.75-1.25zi-50-46.66-43.41-40.55-38.17-36.26-34.78-33.71-33.01-32.66i11121314151617181920xi12.3212.2712.1812.1112.1212.3412.9814.3717.1322.77yi1.253.7

19、56.258.7511.2513.7516.2518.7521.2523.75z.-32.66-33.01-33.71-34.78-36.26-38.17-40.55-43.41-46.66-50I表3桌腿最底端三維坐標表根據上述坐標，對其做散點圖，圖像如下：（具體程序見附錄3）-32-34-36-38-40-42-44-46-48-501416182022-5240圖4桌角邊緣線示意圖在MATLAB中關于x與y進行擬合，由于三次擬合貼近度最高，所以我們采 用三次進行擬合，得到擬合結果為z = -1.7219 x + 0.0810 x 2 0.0013 x3 0.0294 y 2 21.337

20、6（4）誤差分析為了更好的說明擬合的貼近度，我們在MATLAB中作出擬合圖像如下：（具體 程序見附錄4）-30-35-40-45-5050121416182022-50圖5擬合圖像與原圖的對比圖由圖5明顯的可以看到，原曲線和擬合曲線貼合度很高，另外，我們對其做 了誤差分析，利用方差的大小，來判斷擬合結果是否合理，最后計算得到方差為 0.0356,所以認為擬合結果是合適的。(5)桌腳邊緣線的動態(tài)描述圖6折疊桌動態(tài)變化過程圖我們通過作出不同時刻的桌腳邊緣線的圖像來反映其折疊的動態(tài)過程問題二：模型建立我們設出木板長為a cm，寬為b cm，厚度為c cm.根據題目所給條件，我們 知道圓形桌的直徑等于

21、木板的寬。由于桌腿的寬度為2.5cm，所以以圓形桌的1/4為研究對象，共有16條桌 腿。(1)計算每根桌腿的長度我們如圖所建立的坐標系進行分析得，y e (-b,b) j為等差數列遞增t 2 2 ib由于每根木條的寬度的中點在圓上，所以y =-匕+1.25，12bby = +1.25 + 2.5，y = +1.25 + (i - 1)x 2.522i 2圓的方程為"2 + y：= (|)2將y/弋入圓的方程中解出X因為木板長a cm,即一邊長-cm,則桌腿長s = a -x2 2(2)計算每根桌腿的槽長大小我們令a為最外側鋼筋位置到桌腿底端的距離與最外側桌腿長之比每根桌腿中的鋼條到所

22、平行的圓桌直徑對應其鋼條高度的距離是相同的，圓 桌高度是ecm，厚度是ccm，所以實際桌高應該是(e-c)cmp = (1-a )s根據三角形相似和勾股定理可得li，li為最外側桌腿中的鋼條到圓桌邊緣對應其高度的距離p；= (1-a )h)2 +12圖7立體分析圖由上式解出I1的值d = l + x，最外側桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對應其鋼條高度的距離是即桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對應其鋼條高度的距離也為di，則 l. = d - x平面時每根桌腿鋼條所在位置距離圓桌邊緣的距離ZJ 了 (1-a )si + xi -x.立體時每根桌腿鋼條所在位置距離圓桌邊緣的距離p： p2 = (1

23、-a ) h )2+12 每根卡槽的長度用立體時鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離和平板時鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離之差表示Q = p - zt (3)列出目標函數3我們以用材最少為目標函數，即木板體積最小：min V = a . b . c(4)約束條件的確定對最外側桌腿和最內側桌腿畫出如圖所示切面進行受力分析4要使桌子的穩(wěn)定性最好，就是使桌子所受的桌面壓力在桌腿上分力的合力是 豎直向下的，則兩個分桌腿所受的力是相同的，根據物理學原理分析可得p1=p16由圖分析且在直角三角形中運用勾股定理我們可知k = (1-a )、，s：-h 2，又因b-x為 x + 2k = BP k = 1122聯立上述

24、兩式得到(1-a )=2 J（s 2 一 h2）b一 x2 i為了描述清晰，我們令g=5，因為鋼筋處到最短桌腿長的距離要小于其桌腿長，即約束條件為弋;h 2) b一 x 21問題二：模型求解(1)由假設知桌腿寬度為2.5cm,圓形桌的直徑等于木板的寬，即為b = 80 cm, 所以以圓形桌兩邊對稱，一邊有32條桌腿，我們以桌面的1/4為研究對象，即 共16條桌腿。根據所建立的直角坐標系，利用等差數列下不同的y,求解不同的x,，解得圓桌邊緣長，桌腿長S =。- x i = 1,2, ,16在MATLAB中進行編程得到16條桌腿的 i 2 i長度由外側向內分別為（單位:厘米）80.3290、73.

25、3409、68.7811、65.2819、 62.4399、60.0689、58.0646、56.3620、54.9174、53.7001、52.6882、51.8652、 51.2194、50.7419、50.4268、50.2701 （具體程序見附錄 5）（2）由假設知木板高度c = 3 cm，由題意可知桌高e = 70 cm，最外側桌腿中的鋼 條到圓桌邊緣對應其高度（1-a） h = （1-a）（e-c）因此，可以得到最外側桌腿中的鋼條到圓桌邊緣對應其高度的距離 l1 =；：p： -（1-a ） h ）2 .最外側桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對應其鋼條高度 的距離是4=ij I根據桌腿

26、中的鋼條到所平行的圓桌直徑對應其鋼條高度的距離是相同的，通 過計算得到立體時鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離和平板時鋼筋與圓形桌面邊 緣之間的距離，每根卡槽的長度用立體時鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離和平板 時鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離之差，在MATLAB中對16條桌腿的卡槽的長度 計算進行編程，得到16條桌腿的卡槽長度由外側向內分別為（單位：厘米） 0、1.4895、2.8327、4.1484、5.4526、6.7368、7.9831、9.1703、10.2772、 11.2846、12.1757、12.9369、13.5574、14.0294、14.3470、14.5067 （具體 程序見附錄

27、6）在MATLAB中解得當a = 163,4702,a = 0.4186時，即平板的長為163.4702cm, 寬為80cm,厚度為3cm,最外側桌腿鋼筋處到桌腿底端的距離與桌腿的長度之比 為0.4186時，木板的體積V最小為392330cm3 （具體程序見附錄7）問題三：類似于前兩問的分析方法，我們這里給出設計折疊桌的算法流程圖：第一步：求解木桌邊緣長第二步：求解木桌每根桌腿長第三步：求解木桌每根桌腿的槽長第四步：得到折疊桌的設計方案首先，我們以“操場形”折疊桌為例，設計其最優(yōu)參數并作出其動態(tài)變化圖.圖11 “操場形”折疊桌俯視圖設計加工參數：木板的長為150cm,寬為50cm,厚度為3cm

28、,桌腿的寬度為2.5cm,每條桌腿的開槽長度如下表4：i 12345678910Qi 04.357.6610.3612.59 14.39 15.80 16.84 17.53 17.87表4 “操場形”折疊桌每根桌腿的槽長表所做出的動態(tài)過程示意圖如下，共8張（具體程序見附錄8）-20 -30-60-40-2020 0 -20204060W-30-40200_-10 _-20 -30-40 503040102020 0-20-50-40-30-20-100-10-60-40-206020 0-200-5-10-15-20-25-30-35-40-45200-2-040-30-20-10010203040變化的過程總圖如下:0-10-20-30-40-60-40-200204060對于“操場型”桌面的折疊桌，形式比較大