妙用平幾知識(shí)解決解幾高考試題--89

1、妙用平幾知識(shí)解決解幾高考試題一前言眾所周知，圓錐曲線試題是高考的一大“攔路虎”.不管是教師還是學(xué)生，在解決方法上往往過(guò)分強(qiáng)調(diào)“純代數(shù)”的解法.即通過(guò)引進(jìn)坐標(biāo)系，建立點(diǎn)與坐標(biāo)，曲線與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，從而用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題.這些方法屬于通性通法，固然是必須重點(diǎn)講解和掌握的，但是它們的計(jì)算量偏大，很多考生就是因?yàn)槿唛L(zhǎng)的計(jì)算半途而廢.因此，如何另辟蹊徑，減少運(yùn)算量是高三一線老師必須認(rèn)真思考的問(wèn)題圓錐曲線屬于解析幾何的內(nèi)容，幾何是學(xué)生在初中就已經(jīng)接觸到的知識(shí).學(xué)生在初中就已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面幾何的一些性質(zhì)，再加上高中幾何知識(shí)的補(bǔ)充與強(qiáng)化，學(xué)生有了較為全面的平面幾何知識(shí)，較好的

2、應(yīng)用平面幾何的能力.因此，在解決圓錐曲線的相關(guān)問(wèn)題中，如果我們能夠?qū)⑵矫鎺缀蔚闹R(shí)應(yīng)用上去，抓住解析幾何問(wèn)題的本質(zhì)特征“幾何性”，結(jié)合圓錐曲線的知識(shí)進(jìn)行求解，那么可以使問(wèn)題的解決變得清爽簡(jiǎn)明，自然簡(jiǎn)約，收到事半功倍的效果.二舉例類型1:三角形或梯形中位線的性質(zhì)例1:2019年浙江卷理科第15題X2V2已知橢圓一+-=1的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方.若線段PF的中點(diǎn)在95以原點(diǎn)O為圓心，OF為半徑的圓上，則直線PF的斜率是解析：如圖1,設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1,線段PF的中點(diǎn)為M,連接OM,PF1.由已知有OF|=|0耳=OM=2,PFj=4.由PF|+|PF=2a可得PF=2.故MF=

3、1.作OH_LMF,則tan/OFH=OH=J15，所以直線OF的斜率是壓.HF分析：觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)OM是三角形FFP的中位線，結(jié)合中位線的性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)，將直線PF的斜率轉(zhuǎn)化成tan/OFH.例2.2017年全國(guó)II卷第16已知F是拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則FN圖2解析：如圖2所示，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)F',作MB_Ll于點(diǎn)B,NAU于點(diǎn)A,由拋物線的解析式可得準(zhǔn)線方程為X=2，則AN=2,FF'=4,ANFF'在直角梯形ANFF'中，中位線BM=3,由拋物線的定義

4、有MF=MB=3,結(jié)2合題意有MN=MF=3,故FN=|FM|+|NM|=3+3=6分析：借助梯形中位線的性質(zhì)，充分運(yùn)用平幾知識(shí)，結(jié)合拋物線性質(zhì)求解.類型2:等腰三角形的性質(zhì)或判定例3:2019年江蘇卷理科第17題x2y2.八一一如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:二十七=1(abA0)的焦點(diǎn)為E(1,0),ab222、52(1,0).過(guò)52作x軸的垂線l,在x軸的上萬(wàn)，l與圓F2:(x1)+y=4a交于點(diǎn)A,與橢圓C交于點(diǎn)D.連接AFi并延長(zhǎng)交圓F2于點(diǎn)B,連接BF2交橢圓C于點(diǎn)E,連接DR.已知_5DFi=.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo).2圖322解析：由知橢圓方程為

5、x-+L=1.如圖3,連接EF1.由于BF2=2a,EF1+EF2=2a,43所以EF=EB故/B=/BF1E.又BF2=AF2,所以/B=ZBAF故有3/BFE=ZBAF2,所以EFi/AF2,故EF_Lx軸，所以點(diǎn)E-1,-I.2分析：充分挖掘圖形中隱含的幾何關(guān)系，緊扣三角形BF2A和BEF1是等腰三角形，等量代換得到NBF1E=/BAF2,從而有EF1/AF2例4:2016年全國(guó)I卷理科解幾壓軸試題設(shè)圓x2+y2+2x15=0的圓心為A,直線l過(guò)點(diǎn)B(10)且與x軸不重合.l交圓A于C,D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.證明EA+|EB為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程.(2)略.圖4解

6、析：顯然圓A的圓心為A(1,0),半徑為4.如圖4所示，由于AC=AD,故&ACD為等腰三角形，所以/ACD=/ED.取AC/BE,所以/ACD=/EB,DH此有/EBD=/EDBED=EB/W4EA+|EB=|EA+|ED=AD|=4為定值.因?yàn)锳(1,0)B(1,0)為定點(diǎn)，E為動(dòng)點(diǎn)，EA+|EB=4AB,根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)E的軌跡是以A(-1,0),B(1,0)為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓.即a=2,c=1,b=J3,點(diǎn)E的軌22跡方程為=1.43分析：本題既運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)，又運(yùn)用等腰三角形的判定，結(jié)合橢圓性質(zhì)求解.類型3:圓的性質(zhì)例5:2019年全國(guó)I卷文科第21題已知A,B

7、關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，AB=4,圓M過(guò)點(diǎn)A,B且與直線x+2=0相切.(1)略.(2)是否存在定點(diǎn)P,使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，MA_MP為定值？并說(shuō)明理由解析：設(shè)M(x,y).由已知有r=|MA=|x+2,AO=2,MO=Jx2+y2.在直角三角形2222MOA中，由MO+AO=AM得y2=4x.故圓心M的軌跡是拋物線，軌跡方程為2y=4x.分析:對(duì)于第二問(wèn)，解決的關(guān)鍵在于求出動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.要抓住題目所給的幾何特征.由題目條件可知A,B兩點(diǎn)是圓x2+y2=4直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，是運(yùn)動(dòng)的.由于圓M經(jīng)過(guò)A,B所以圓心M必定在線段AB的垂直平分線上.又圓與直線x+2=0相切，所以動(dòng)圓M必須滿足以下三個(gè)條件

8、：1圓心在線段AB的垂直平分線上；2圓過(guò)點(diǎn)A,B;3圓與直線x=-2相切.例6.2018年江蘇卷第12題B(5,0),以AB為直在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線l：y=2x上再等一象限內(nèi)的點(diǎn)徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D.若福CD=0,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為圖5解析：如圖5所示，由已知可得/BAO=二.設(shè)直線l的傾斜角為e,則tane=2且4/ABx=二十日，故kAB=tan!日+二=一3，因而直線AB方程為y=3x+15,與直線l:4.4y=2x聯(lián)立得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.分析：結(jié)合圖形運(yùn)用平幾知識(shí)可知MBD為等腰直角三角形.觀察圖形發(fā)現(xiàn)直線AB的傾斜角與直線l的傾斜角滿足關(guān)系式/ABx=+8,從而巧

9、妙求出直線AB方程.本題充分運(yùn)用平幾知識(shí)，解題思路十分簡(jiǎn)潔，大道至簡(jiǎn).類型4:三角形內(nèi)角平分線定理例7:2013年山東高考理科第22題橢圓C:二十£=1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)分別是Fi,F2，離心率為近，過(guò)Fi且垂直于ab2X軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1.2(I)求橢圓C的方程(+y2=1)4(n)點(diǎn)p是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn),連接PF1,PF2，設(shè)/F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M(m,0),求m的取值范圍；解析：如圖6所示，在APFF2中，因?yàn)镻M平分NF1PF2,所以由三角形內(nèi)角平分線定理可得pFi|_|PF2|PF1|+|PF2|2=m>

10、;33-m2,3:32.l.解得PF1=-y=(m+8)又點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，所以a-c<PF1<a+c2 一一33即ac<=(m+J3)<a+c,解得m='I3 .22分析：抓住圖形特征，將幾何中的“內(nèi)角平分線定理”，“合分比定理”，“橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離范圍”巧妙地聯(lián)系起來(lái).類型5:正弦定理或余弦定理例8:2012年遼寧高考理科第20題22xy_設(shè)橢圓C:二十，=1(aAb>0)的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn)，abT一直線l的傾斜角為60：,AF=2FB15(1)求橢圓的離心率.(2)如果AB=一，求橢圓方程(略)4

11、圖7解析：設(shè)C為橢圓的左焦點(diǎn).由已知有ZBFC=120、NAFC=60，,BC+BF=AC+AF=2a設(shè)BF=m，則AF=2m在ABFC中，由余弦定理有(2amj=(2cj+m22，2cm，cos120,解得222a2-c2m=2ac在MFC中，由余弦定理有(2a2mj=(2c/+(2m-22c2mcos60c,解得2a-c故2(a-c)=a-c,解得$=22ac2a-c3分析：本題巧妙地在兩個(gè)三角形中運(yùn)用余弦定理，得到a和c的關(guān)系式，從而求出e.整個(gè)解題過(guò)程避開了復(fù)雜的坐標(biāo)運(yùn)算，聯(lián)立直線方程與橢圓方程等等，給人一種耳目一新，清新脫俗的感覺(jué).這就啟發(fā)我們，當(dāng)用常規(guī)解法比較難以入手時(shí)，不妨轉(zhuǎn)而觀

12、察圖形的幾何特征，將幾何元素研究清楚，運(yùn)用相關(guān)的幾何知識(shí)加以解決，這樣往往會(huì)有出其不意的效果.類型6：三角形三邊長(zhǎng)的關(guān)系例9:2012年四川高考理科第19題22已知橢圓+L=1的左焦點(diǎn)為F,直線x=m與橢圓相交于點(diǎn)A,B,當(dāng)AFAB的周長(zhǎng)最43大時(shí)，AFAB的面積是圖8解析：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為C,根據(jù)橢圓的定義有AFBF+AC十BC=4IIAF=4-AC,解得=4QBF=4-BCFAB的周長(zhǎng)c=AF+bf|+|ab=8+|ab-(|ac+|bc)觀察圖形,有AC+BC|>|AB,當(dāng)且僅當(dāng)直線x=m過(guò)右焦點(diǎn)C時(shí)取等號(hào).故cW8,即AFAB的周長(zhǎng)的最大值為8.此時(shí)，A1,3I：因此面積為3.2

13、分析：本題用到幾何中“三角形的兩邊之和大于第三邊”這個(gè)重要結(jié)論來(lái)做.整個(gè)過(guò)程沒(méi)有很復(fù)雜煩瑣的計(jì)算，但是卻處處洋溢著思維的火花.整個(gè)過(guò)程自然明了，大道至簡(jiǎn).類型7:綜合性問(wèn)題例10.2017年全國(guó)I卷第15題22已知雙曲線C:與一與=1的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心，b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的ab一條漸近線交于M,N兩點(diǎn).若/MAN=60：,則C的離心率為.圖9解析：如圖9所示，作AP_LMN,因?yàn)閳AA與雙曲線C的一條漸近線b交于M,N兩點(diǎn)，則MN為雙曲線的漸近線y=一x上的點(diǎn)，且A(a,0),a|AMRAN|=b,而AP_LMN,所以/PAN=30、點(diǎn)A(a,0)到直線y=x的a距離|AP|二

14、JbJ_.在RtAPAN中，cos/PAN=PA1：2|NA|.一22，代入計(jì)算得a=3b,2b2、3.3b3即a=J3b，由c2=a2+b2得c=2b,所以e=ca例11:2013年全國(guó)卷高考理科第21題22已知雙曲線C:xr4=1的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為3,y=2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間ab的距離為展.(1)求a,b(略)(2)設(shè)過(guò)F2的直線l與C的左右兩支分別相交于A,B兩點(diǎn),且AFj=|BFj.證明：AF2,AB,BF2成等比數(shù)列22解析：由第一步可知,雙曲線C的方程為-y-=1.18-fiBFi-BF2=2.(1)根據(jù)雙曲線的定義，有111,(1)+(2)得AF2BF2=4.觀察

15、圖形可jjAFzl-AFi=2.知AB=4.作F1D_LAB,則D為AB中點(diǎn).故BD=2由(1)有BF1|=2+|BF2=BD+|BF2=DF2222222在直角AF1DF2中,|F1F2=|F1D|+|DF2=|BF1-BD|+|DF2即IBF12_4+BF=36，解得|BF；2=20故BF2AF2=(|BF1_2)(2+|AF1|)=BF1-2)|BF1+2)=16八一一一2一顯然BF2AF2=AB，得證.分析：本題涉及眾多幾何元素，將平面幾何元素的特征發(fā)揮得淋漓盡致.求解過(guò)程精彩紛呈，環(huán)環(huán)相扣.通過(guò)本題，我們進(jìn)一步體會(huì)到幾何法的價(jià)值，感受到幾何法在圓錐曲線中的妙用例12:2019年全國(guó)I卷理科第16題22已知雙曲線C:4=1(a>0,bA0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F1的直線與C的ab兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn).若F1A=AB,F1BF2B=0,則C的離心率為圖11解析：如圖11所示，由于O為F1F2中點(diǎn)，A為F1B中點(diǎn)，所以AF1_LAO,OA/F2B.由/AOF1=/BF2O,ZOBF2=ZBF2O,ZAOF1=/BOF2,可得AOBF2為正三角形.b一故=J3,則C的離心率為2.a三