第七章有限單位沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法10級(jí)通信

1、第七章 FIR濾波器的設(shè)計(jì)主要內(nèi)容主要內(nèi)容 概述概述 線(xiàn)性相位線(xiàn)性相位 FIR DF FIR DF 約束條件和頻率響應(yīng)約束條件和頻率響應(yīng) 窗函數(shù)法窗函數(shù)法 頻率取樣法頻率取樣法7.1 7.1 概述：概述：IIR IIR 和和 FIR FIR 比較比較nIIR與與FIR性能特性比較性能特性比較nIIR數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器：n幅頻特性較好；但相頻特性較差；幅頻特性較好；但相頻特性較差； n有穩(wěn)定性問(wèn)題；有穩(wěn)定性問(wèn)題；nFIR數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器：n可以嚴(yán)格線(xiàn)性相位，又可任意幅度特性可以嚴(yán)格線(xiàn)性相位，又可任意幅度特性n因果穩(wěn)定系統(tǒng)因果穩(wěn)定系統(tǒng)n可用可用 FFT 計(jì)算計(jì)算n但階次比但階次比 IIR

2、 濾波器要高得多濾波器要高得多nIIR 與與 FIR 設(shè)計(jì)方法比較設(shè)計(jì)方法比較nIIR DF：n無(wú)限沖激響應(yīng)，無(wú)限沖激響應(yīng)，H(Z) 是是 z-1 的有理分式，的有理分式，借助于模擬濾波器借助于模擬濾波器設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)方法，階數(shù)低（同樣性能要求）。其優(yōu)異的幅頻特性是，階數(shù)低（同樣性能要求）。其優(yōu)異的幅頻特性是以非線(xiàn)性相位為代價(jià)的。以非線(xiàn)性相位為代價(jià)的。n缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：只能設(shè)計(jì)特定類(lèi)型的濾波器，不能逼近任意的頻響。只能設(shè)計(jì)特定類(lèi)型的濾波器，不能逼近任意的頻響。 nFIR DF：n有限沖激響應(yīng)，系統(tǒng)函數(shù)有限沖激響應(yīng)，系統(tǒng)函數(shù) H(Z) 是是 z-1 的多項(xiàng)式，的多項(xiàng)式，采用直采用直接逼近要求的頻率響應(yīng)

3、接逼近要求的頻率響應(yīng)。設(shè)計(jì)靈活性強(qiáng)。設(shè)計(jì)靈活性強(qiáng)n缺點(diǎn)：缺點(diǎn)： 設(shè)計(jì)方法復(fù)雜；設(shè)計(jì)方法復(fù)雜； 延遲大；延遲大； 階數(shù)高。階數(shù)高。nFIR DF 的技術(shù)要求：的技術(shù)要求：n通帶頻率通帶頻率p，阻帶頻率，阻帶頻率s 及最大衰減及最大衰減p，最小衰減，最小衰減sn很重要的一條是保證很重要的一條是保證 H(z) 具有具有線(xiàn)性相位線(xiàn)性相位。7.1 7.1 概述：概述：IIR IIR 和和 FIR FIR 比較比較7.1 7.1 概述：概述：FIR DF FIR DF 設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)方法nFIR 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器n設(shè)計(jì)設(shè)計(jì) FIR 濾波器的任務(wù)：濾波器的任務(wù)：n給定要求的頻率特性，按一定的最佳逼近準(zhǔn)則，

4、選給定要求的頻率特性，按一定的最佳逼近準(zhǔn)則，選定定 h(n) 及階數(shù)及階數(shù) N。n兩種設(shè)計(jì)方法：兩種設(shè)計(jì)方法： 窗函數(shù)加權(quán)法窗函數(shù)加權(quán)法 頻率采樣法頻率采樣法7.1 7.1 概述：概述：FIR DF FIR DF 零極點(diǎn)零極點(diǎn)n FIR濾波器的濾波器的I/O 關(guān)系：關(guān)系：10Nry(n)h(r)x(nr) 0 1 21( ), , , ,.,h nnNn FIR 濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)：濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)：12110011NNNrNrh( )zh( )z.h(N)H(z)h(r)zz 在在 Z 平面上有平面上有 N-1 個(gè)零點(diǎn)；在原點(diǎn)處有一個(gè)（個(gè)零點(diǎn)；在原點(diǎn)處有一個(gè)（N-1）階極點(diǎn)，永）階極點(diǎn)

5、，永遠(yuǎn)穩(wěn)定。遠(yuǎn)穩(wěn)定。n FIR 系統(tǒng)定義：系統(tǒng)定義：一個(gè)數(shù)字濾波器一個(gè)數(shù)字濾波器 DF 的輸出的輸出 y(n)，如果僅取決于，如果僅取決于有限有限個(gè)過(guò)去的輸入和現(xiàn)在的輸入個(gè)過(guò)去的輸入和現(xiàn)在的輸入x(n), x(n-1),. ., x(n-N+1)，則稱(chēng)之，則稱(chēng)之為為 FIR DF。 n FIR 濾波器的單位沖激響應(yīng)：濾波器的單位沖激響應(yīng)：n FIR DF 的頻率響應(yīng)為：的頻率響應(yīng)為：FIR 濾波器的最重要特點(diǎn)是能實(shí)現(xiàn)線(xiàn)性相位。濾波器的最重要特點(diǎn)是能實(shí)現(xiàn)線(xiàn)性相位。具有線(xiàn)性具有線(xiàn)性相移特性的相移特性的 FIR 濾波器是濾波器是 FIR 濾波器中應(yīng)用最廣泛的濾波器中應(yīng)用最廣泛的一種。一種。1j ()

6、r0()( )H ()eNjj nnH eh n e H()：幅度函數(shù)，它是一個(gè)取值可正可負(fù)的實(shí)函數(shù)。：幅度函數(shù)，它是一個(gè)取值可正可負(fù)的實(shí)函數(shù)。 () = arg H(ejw) 為數(shù)字濾波器的相位函數(shù)。為數(shù)字濾波器的相位函數(shù)。 7.1 概述：概述：FIR DF 頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)n信號(hào)通過(guò)信號(hào)通過(guò)線(xiàn)性濾波器線(xiàn)性濾波器時(shí)，其時(shí)，其幅度和相位可能會(huì)發(fā)生改變幅度和相位可能會(huì)發(fā)生改變，濾波器增益濾波器增益 |H()|和相位和相位 () 可能會(huì)隨頻率的變化而可能會(huì)隨頻率的變化而改變。改變。n如：如：輸入正弦信號(hào)輸入正弦信號(hào) Acos(n0) 則：則：輸出為輸出為 |H(0)| Acos(n0)，其中相移，

7、其中相移(0) 輸出頻率和輸入頻率相同，但幅度和相位都發(fā)生了變化輸出頻率和輸入頻率相同，但幅度和相位都發(fā)生了變化n輸出信號(hào)比輸入信號(hào)滯后的樣點(diǎn)數(shù)輸出信號(hào)比輸入信號(hào)滯后的樣點(diǎn)數(shù) n (位移位移) 可由下式求得可由下式求得: 設(shè)：設(shè)：n00 000()n- 濾波器在數(shù)字頻率濾波器在數(shù)字頻率0 處的相位延遲（位移）處的相位延遲（位移） 由于相位延遲由于相位延遲 n 的不同，最終產(chǎn)生了相位失真。的不同，最終產(chǎn)生了相位失真。 確保不產(chǎn)生相位失真的辦法：使確保不產(chǎn)生相位失真的辦法：使不同頻率不同頻率的信號(hào)通過(guò)濾波器時(shí)有的信號(hào)通過(guò)濾波器時(shí)有相同的延遲相同的延遲 n。 7.1 概述：相位失真概述：相位失真n

8、對(duì)對(duì)不同的頻率不同的頻率有有恒定的相移恒定的相移，會(huì)產(chǎn)生相位失真，會(huì)產(chǎn)生相位失真. 如：方波如：方波 y(t) 可以用無(wú)數(shù)奇次諧波的正弦波的疊加來(lái)得到：可以用無(wú)數(shù)奇次諧波的正弦波的疊加來(lái)得到： 41111y(t)sin( t)sin(3 t)sin(5 t)sin(7 t)sin(9 t)3579 若每個(gè)正弦波相移若每個(gè)正弦波相移/2 弧度：弧度： 確保所有頻率具有相同相位延遲的簡(jiǎn)單方法：確保所有頻率具有相同相位延遲的簡(jiǎn)單方法： 隨著頻率的變化而改變相位，使濾波器具有隨著頻率的變化而改變相位，使濾波器具有線(xiàn)性相位特性，線(xiàn)性相位特性，即使所有頻率的相位延遲保持恒即使所有頻率的相位延遲保持恒定，這

9、種方法可通過(guò)使系統(tǒng)的相位函數(shù)定，這種方法可通過(guò)使系統(tǒng)的相位函數(shù)()為頻為頻率率的的線(xiàn)性函數(shù)線(xiàn)性函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。來(lái)實(shí)現(xiàn)。 7.1 概述：相位失真概述：相位失真p41111y (t)=cos( t)cos(3 t)cos(5 t)cos(7 t)cos(9 t)3579 可見(jiàn)相移之后正弦波之和已不再是方波。可見(jiàn)相移之后正弦波之和已不再是方波。7.2 線(xiàn)性相移線(xiàn)性相移FIR DF 約束條件和頻率響應(yīng)約束條件和頻率響應(yīng)n三個(gè)內(nèi)容：三個(gè)內(nèi)容： 約束條件約束條件n恒延時(shí)濾波恒延時(shí)濾波n偶對(duì)稱(chēng)：恒相延時(shí)和恒群延時(shí)同時(shí)成立偶對(duì)稱(chēng)：恒相延時(shí)和恒群延時(shí)同時(shí)成立 n奇對(duì)稱(chēng)：僅恒群延時(shí)成立奇對(duì)稱(chēng)：僅恒群延時(shí)成立 頻率響應(yīng)

10、頻率響應(yīng)nType I：h(n) 偶對(duì)稱(chēng)、偶對(duì)稱(chēng)、N 為奇數(shù)為奇數(shù)nType II：h(n) 偶對(duì)稱(chēng)、偶對(duì)稱(chēng)、N 為偶數(shù)為偶數(shù)nType III：h(n) 奇對(duì)稱(chēng)、奇對(duì)稱(chēng)、N 為奇數(shù)為奇數(shù)nType IV：h(n) 奇對(duì)稱(chēng)、奇對(duì)稱(chēng)、N 為偶數(shù)為偶數(shù) FIR DF 零極點(diǎn)分布零極點(diǎn)分布相延時(shí)：相延時(shí)： ( )( )p 群延時(shí)：群延時(shí)： ()()gdd .1 線(xiàn)性相移線(xiàn)性相移FIR DF 約束條件：恒延時(shí)濾波約束條件：恒延時(shí)濾波n恒延時(shí)濾波恒延時(shí)濾波 n濾波器的延時(shí)有相延時(shí)和群延時(shí)兩種濾波器的延時(shí)有相延時(shí)和群延時(shí)兩種10()()()( )|()|( )NjjnjjjnH eh n

11、eH eeHe 令令j( )= arg H(e ) 恒延時(shí)濾波器：恒延時(shí)濾波器：p() 或或g() 是是不隨不隨變化的常量，變化的常量，這這時(shí)濾波器具有線(xiàn)性相位特性。時(shí)濾波器具有線(xiàn)性相位特性。( ) （負(fù)號(hào)是因?yàn)橄到y(tǒng)必有時(shí)延）（負(fù)號(hào)是因?yàn)橄到y(tǒng)必有時(shí)延） 由于由于 FIR 濾波器的頻率響應(yīng)為濾波器的頻率響應(yīng)為 :1010()( )( )cossinNjj nnNnH eh n eh nnjn w(w)01010( )sin( )arg()arctan( )cosNjnNnh nnH eh nn 故故: n恒相延時(shí)和恒群延時(shí)同時(shí)成立恒相延時(shí)和恒群延時(shí)同時(shí)成立n要使要使p、g 都不隨都不隨 變化變化

12、,() 必須是一條過(guò)原點(diǎn)直線(xiàn)必須是一條過(guò)原點(diǎn)直線(xiàn).1 線(xiàn)性相移線(xiàn)性相移FIR DF 約束條件：恒延時(shí)濾波約束條件：恒延時(shí)濾波于是于是: 1010( )sinsintan()cos( )cosNnNnh nnh nn 1100( )sincos( )cossinNNnnh nnh nn 100( ) in()Nnh n sn h(0)sin()h(N-1)sinh(n)sin-nh(N-0 h(1)sinh(0)sin()h(N-1 h (1 1 -( hN-1)(N-2)s)s)sinin-(-n)si(nN(N-1-n-2) N-1in 0) .1 線(xiàn)性相移線(xiàn)

13、性相移FIR DF 約束條件：恒延時(shí)約束條件：恒延時(shí)可以證明，當(dāng)可以證明，當(dāng) 112 ( )() (0nN-1)Nh nh Nn 且且 12( )( )pgN 上式成立，此時(shí)上式成立，此時(shí)恒相延時(shí)和恒群延時(shí)同時(shí)成立時(shí)，線(xiàn)性相位恒相延時(shí)和恒群延時(shí)同時(shí)成立時(shí)，線(xiàn)性相位濾波器的濾波器的必要條件必要條件是：是： 不管不管 N 為偶數(shù)，還是為偶數(shù)，還是 N 為奇數(shù)，系統(tǒng)為奇數(shù)，系統(tǒng)沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) h(n) 都關(guān)于中心點(diǎn)都關(guān)于中心點(diǎn) (N-1)/2 偶偶對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)。當(dāng)。當(dāng) N 為奇數(shù)時(shí)對(duì)稱(chēng)中心軸位于整數(shù)為奇數(shù)時(shí)對(duì)稱(chēng)中心軸位于整數(shù)樣點(diǎn)上樣點(diǎn)上; 當(dāng)當(dāng) N 為偶數(shù)時(shí)對(duì)稱(chēng)中心軸位于非整為偶數(shù)時(shí)對(duì)稱(chēng)中心軸位于非整

14、數(shù)樣點(diǎn)上。數(shù)樣點(diǎn)上。h(n) 為偶對(duì)稱(chēng)，為偶對(duì)稱(chēng)，N 為偶數(shù)為偶數(shù)012N 7nh(n)h(n) 為偶對(duì)稱(chēng)，為偶對(duì)稱(chēng)，N 為奇數(shù)為奇數(shù)012N 6nh(n).1 線(xiàn)性相移線(xiàn)性相移FIR DF 約束條件：恒延時(shí)約束條件：恒延時(shí)02( ) 于是有：于是有： 1010( )sincos()tancot2sin()( )cosNnNnh nnh nn 1100j ( )()H( )e( )( )cossinNNjj nnnH eh n eh nnjn n只要求恒群延時(shí)成立只要求恒群延時(shí)成立 若只要求群延時(shí)若只要求群延時(shí)g() 為一常數(shù)，則為一常數(shù)，則相移特性為不過(guò)原相移特性為不過(guò)原點(diǎn)的

15、直線(xiàn)。點(diǎn)的直線(xiàn)。0()2 1010( )sin( )arg()arctan2( )cosNjnNnh nnH eh nn 故故.1 線(xiàn)性相移線(xiàn)性相移FIR DF 約束條件：恒群延時(shí)約束條件：恒群延時(shí)1100( )coscos( )sinsinNNnnh nnh nn 10( )cos()0Nnh nn 可以證明，當(dāng)可以證明，當(dāng) 112 ( )() (0nN-1)Nh nh Nn 且且 12( )gN 上式成立，此時(shí)上式成立，此時(shí)故故.1 線(xiàn)性相移線(xiàn)性相移FIR DF 約束條件：恒群延時(shí)約束條件：恒群延時(shí)FIR濾波器單獨(dú)滿(mǎn)足恒定群延時(shí)的必要條件為：濾波器單獨(dú)滿(mǎn)足恒

16、定群延時(shí)的必要條件為： 沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) h(n) 對(duì)中心點(diǎn)對(duì)中心點(diǎn) (N-1)/2 成成奇對(duì)稱(chēng)奇對(duì)稱(chēng)。此時(shí)，無(wú)論。此時(shí)，無(wú)論 N 為奇為奇數(shù)或偶數(shù)，濾波器的相頻特性均為線(xiàn)性，并包含有數(shù)或偶數(shù)，濾波器的相頻特性均為線(xiàn)性，并包含有/2 的固定相移：的固定相移： 因此，信號(hào)通過(guò)此類(lèi)濾波器時(shí)不僅產(chǎn)生因此，信號(hào)通過(guò)此類(lèi)濾波器時(shí)不僅產(chǎn)生 (N-1)/2 個(gè)取樣點(diǎn)的延遲，還將個(gè)取樣點(diǎn)的延遲，還將產(chǎn)生產(chǎn)生 90o 的相移，通常這類(lèi)濾波器又被稱(chēng)為的相移，通常這類(lèi)濾波器又被稱(chēng)為 90o 移相器，并具有很好的移相器，并具有很好的應(yīng)用價(jià)值。應(yīng)用價(jià)值。N-1( )22 1111222NNNhh Nh 當(dāng)當(dāng) N 為奇數(shù)

17、時(shí)為奇數(shù)時(shí)，故，故102Nh 012N 7h(n) 為奇對(duì)稱(chēng)，為奇對(duì)稱(chēng)，N 為偶數(shù)為偶數(shù)nh(n)012N 6h(n) 為奇對(duì)稱(chēng)，為奇對(duì)稱(chēng)，N 為奇數(shù)為奇數(shù)nh(n).1 線(xiàn)性相移線(xiàn)性相移FIR DF 約束條件：恒群延時(shí)約束條件：恒群延時(shí)00,()1 2( )(1) N h nh Nn 相相時(shí)時(shí)延延和和群群時(shí)時(shí)延延同同時(shí)時(shí)成成立立n 奇對(duì)稱(chēng)：奇對(duì)稱(chēng)：() 對(duì)所有的頻率成分都有一個(gè)對(duì)所有的頻率成分都有一個(gè) 90相移。相移。因此，因此，有四種類(lèi)型的有四種類(lèi)型的 FIR DF： 7.2.1 7.2.1 線(xiàn)性相移線(xiàn)性相移 FIR DF FIR DF 約束條件約束條件n線(xiàn)性相位約束條件線(xiàn)

18、性相位約束條件n對(duì)于任意給定的值對(duì)于任意給定的值 N，當(dāng)，當(dāng) FIR 濾波器的濾波器的 h(n) 相對(duì)其中心點(diǎn)相對(duì)其中心點(diǎn) (N-1)/2 是對(duì)稱(chēng)時(shí)，不管是偶對(duì)稱(chēng)還是奇對(duì)稱(chēng)，是對(duì)稱(chēng)時(shí)，不管是偶對(duì)稱(chēng)還是奇對(duì)稱(chēng)，此時(shí)濾波器的此時(shí)濾波器的相移特性是線(xiàn)性的，且群延時(shí)都是相移特性是線(xiàn)性的，且群延時(shí)都是 = (N-1)/2 。n偶對(duì)稱(chēng)偶對(duì)稱(chēng) ： () 為過(guò)原點(diǎn)的，斜率為為過(guò)原點(diǎn)的，斜率為 - 的一條直線(xiàn)的一條直線(xiàn)0,()221 2()(1) N h nh Nn 僅僅 群群 時(shí)時(shí) 延延 同同 時(shí)時(shí) 成成 立立INIINIIINIVN 類(lèi)類(lèi)型型 ： h h( (n n) )偶偶對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)， 為為奇奇數(shù)數(shù)類(lèi)類(lèi)型型

19、 ： h h( (n n) )偶偶對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)， 為為偶偶數(shù)數(shù)類(lèi)類(lèi)型型： h h( (n n) )奇奇對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)， 為為奇奇數(shù)數(shù)類(lèi)類(lèi)型型： h h( (n n) )奇奇對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)， 為為偶偶數(shù)數(shù)7.2.2 7.2.2 線(xiàn)性相移線(xiàn)性相移 FIR DF FIR DF 頻率響應(yīng)：頻率響應(yīng)：Type IType Inh(n) 偶對(duì)稱(chēng)，偶對(duì)稱(chēng)，N 為奇數(shù)（恒相時(shí)延、恒群時(shí)延為奇數(shù)（恒相時(shí)延、恒群時(shí)延n此時(shí)，由于此時(shí)，由于 h(n) 序列的長(zhǎng)度為奇數(shù)，因此濾波器的頻率序列的長(zhǎng)度為奇數(shù)，因此濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)可進(jìn)行以下響應(yīng)函數(shù)可進(jìn)行以下拆分（前后對(duì)稱(chēng)部分、中心點(diǎn)）拆分（前后對(duì)稱(chēng)部分、中心點(diǎn)）：1111121200

20、121()( )( )( )2NNNNjwjwjnwjNnnwjnwnnNH eh n eh n eh n ehe h(n) 為偶對(duì)稱(chēng)，為偶對(duì)稱(chēng)，N 為奇數(shù)為奇數(shù)012N 6nh(n)對(duì)上式的第二和式作變量替換（對(duì)上式的第二和式作變量替換（n=N-1-m) 后得到后得到:1111122(1)2001()( )(1)2NNNjwjwjnwj NwjnwnnNH eh n eh Nn eehe 由對(duì)稱(chēng)條件由對(duì)稱(chēng)條件1( )()h nh Nn 則則 H(ej) 表示為：表示為：111220111220111220(1)11221()( )21( )21( )12c s2o2NNjjnNNjnNNjn

21、j NjnNNjjjjwjnnnNH eh nheNehh nNehheeeeeneeNn 令令 12Nnn 則上式為則上式為 1 11221120()211()2 ()cos 22( )cos( )NNnnjjNNjjNNH eehhnnea nneH 7.2.2 7.2.2 線(xiàn)性相移線(xiàn)性相移 FIR DF FIR DF 頻率響應(yīng)：頻率響應(yīng)：Type IType I 由此可以看出其線(xiàn)性相位特性。由于由此可以看出其線(xiàn)性相位特性。由于 cos(n) 對(duì)于對(duì)于 =0、2都是偶對(duì)稱(chēng)，所以都是偶對(duì)稱(chēng)，所以幅度函數(shù)幅度函數(shù)H() 對(duì)對(duì)=0、2也是偶對(duì)稱(chēng)也是偶對(duì)稱(chēng)。其中其中1( )()21( )2 ()2

22、Na nh n0Na nhn n0 幅度函數(shù)：幅度函數(shù)：120H( )( )cosNna nn 相位函數(shù)：相位函數(shù)：N-1( )-2 0246800.81h(n)0246800.81a(n)0120123frequency Unit:piMagnitudeMagnitude Response012-30-20-100frequency Unit:piPhasePhase ResponseN=9H(w)7.2.2 線(xiàn)性相移線(xiàn)性相移 FIR DF 頻率響應(yīng)：頻率響應(yīng)：Type Inh(n) 偶對(duì)稱(chēng)，偶對(duì)稱(chēng)，N 為偶數(shù)（恒相時(shí)延、恒群時(shí)延為偶數(shù)（恒相時(shí)延、恒群時(shí)延

23、n由于由于h(n) 序列的長(zhǎng)度為偶數(shù)，因此濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)可拆分序列的長(zhǎng)度為偶數(shù)，因此濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)可拆分成如下成如下兩部分（前后對(duì)稱(chēng)部分，中心點(diǎn)處無(wú)值）兩部分（前后對(duì)稱(chēng)部分，中心點(diǎn)處無(wú)值）：7.2.2 線(xiàn)性相移線(xiàn)性相移 FIR DF 頻率響應(yīng)：頻率響應(yīng)：Type IIh(n) 為偶對(duì)稱(chēng)，為偶對(duì)稱(chēng)，N 為偶數(shù)為偶數(shù)012N 7nh(n)對(duì)上式的第二和式作變量替換（對(duì)上式的第二和式作變量替換（n=N-1-m) 后得到后得到:由對(duì)稱(chēng)條件由對(duì)稱(chēng)條件1( )()h nh Nn 則則 H(ej) 表示為：表示為：1112200()( )( )( )NnNNNjjnjnjnnnH eh n eh

24、 n eh n e 11221001()()( )()NNjjnj NjnnnH eh n eh Nn ee 令令 2Nnn，則上式為：，則上式為： 120112120122()cos ()(jnj NwjjnnnNNNjH eh neneeNnhe 11212212122212()()()cos() ( )cos() ( )NNjwjwnNNjwjnrNH eehnnweb nnweH 其中其中22212( )(), ,.,/Nb nhn nN （注意（注意 n 從從1 開(kāi)始，即開(kāi)始，即 b(0)=0或或沒(méi)有定義）沒(méi)有定義） 7.2.2 線(xiàn)性相移線(xiàn)性相移 FIR DF 頻率響應(yīng)：頻率響應(yīng)：T

25、ype II7.2.2 線(xiàn)性相移線(xiàn)性相移 FIR DF 頻率響應(yīng)：頻率響應(yīng)：Type II 與所設(shè)計(jì)的與所設(shè)計(jì)的 b(n) 或或 h(n) 無(wú)關(guān)，恒為無(wú)關(guān)，恒為 0。這種類(lèi)型（即。這種類(lèi)型（即 h(n) 偶對(duì)偶對(duì)稱(chēng)，稱(chēng)，N為偶數(shù)）為偶數(shù)）不能用于高通或帶阻濾波器不能用于高通或帶阻濾波器。 2）由于）由于 cos(n-1/2) 對(duì)于對(duì)于 =是奇對(duì)稱(chēng)是奇對(duì)稱(chēng)，所以，所以，H(w) 對(duì)對(duì) =也是奇對(duì)稱(chēng)；也是奇對(duì)稱(chēng)；以以 =0 =0、22為偶對(duì)稱(chēng)為偶對(duì)稱(chēng)。 幅度函數(shù)幅度函數(shù)：N2rn 11H ( )b(n) cos (n-)2 相位函數(shù)：相位函數(shù)：N-1( )-2 024600.81

26、h(n)0246800.81b(n)01200.511.52frequency Unit:piMagnitudeMagnitude Response012-30-20-100frequency Unit:piPhasePhase ResponseN=8n 從從1開(kāi)始開(kāi)始Hr (w)注意：注意： 1) 在在 = 處，有：處，有：21102( )( )cosNrnHb nn 111111222(1)(1)0001111112222001()22()( )(1)( )11( )2 sin() 2 ( )sin() 2212 ( )sin2NNNjjnj Njnjnj NjnnnnN

27、NNNjjnnNjH eh n eh Nn eeh n eeeNNeh njneh nnnjNehn 1120Nn nh(n) 奇對(duì)稱(chēng)，奇對(duì)稱(chēng)，N 為奇數(shù)（恒群時(shí)延為奇數(shù)（恒群時(shí)延nh(n) 長(zhǎng)度為奇數(shù)，拆分成前后兩部分：長(zhǎng)度為奇數(shù)，拆分成前后兩部分：7.2.2 線(xiàn)性相移線(xiàn)性相移 FIR DF 頻率響應(yīng)：頻率響應(yīng)：Type III對(duì)上式的第二和式作變量替換，并利用對(duì)稱(chēng)條件對(duì)上式的第二和式作變量替換，并利用對(duì)稱(chēng)條件 h(n)=-h(N-1-n)，得，得:111121002()( )( )( )NNNjjnjnjnNnnnH eh n eh n eh n e 012N 6h(n) 為奇對(duì)稱(chēng)，為奇對(duì)

28、稱(chēng)，N 為奇數(shù)為奇數(shù)nh(n)Hr (w)7.2.2 線(xiàn)性相移線(xiàn)性相移 FIR DF 頻率響應(yīng)：頻率響應(yīng)：Type III12Nnn ，則上式為：，則上式為： 111222()()( )sin( )NNjjn jH eec nneH 其中其中1212212( ), ,.,()/Nc nhnnN令令幅度函數(shù)幅度函數(shù)：121( )( )sinNrnHc nn （）相位函數(shù)：相位函數(shù)：2N-1( )-2 02468-0.4-0.6h(n)0246800.81c(n)01200.511.5frequency Unit:piMagnitudeMagnitude Re

29、sponse012-30-20-10010frequency Unit:piPhasePhase Response0.5pi n 從從1開(kāi)始開(kāi)始與與 c(n) 或或 h(n) 的值無(wú)關(guān)，因此，這種類(lèi)型的濾波器的值無(wú)關(guān)，因此，這種類(lèi)型的濾波器不適用于低通、不適用于低通、帶阻或高通濾波器設(shè)計(jì)帶阻或高通濾波器設(shè)計(jì) 2）由于）由于 sin(n) 對(duì)于對(duì)于 =0、2 都是奇對(duì)稱(chēng)，所以，都是奇對(duì)稱(chēng)，所以，H(w) 以以 =0、 、2為奇對(duì)稱(chēng)為奇對(duì)稱(chēng)。 注意：注意： 1) 在在 =0 和和 處，有：處，有：1210()( )sinNjnH ec nn 7.2.2 線(xiàn)性相移線(xiàn)性相移 FIR DF 頻率響應(yīng)：頻

30、率響應(yīng)：Type III7.2.2 線(xiàn)性相移線(xiàn)性相移 FIR DF 頻率響應(yīng)：頻率響應(yīng)：Type IVnh(n) 奇對(duì)稱(chēng)，奇對(duì)稱(chēng)，N 為偶數(shù)（恒群時(shí)延為偶數(shù)（恒群時(shí)延1122212()()()( )sin()( )nNNjwjjH eed nneH 012N 7h(n) 為奇對(duì)稱(chēng)，為奇對(duì)稱(chēng)，N 為偶數(shù)為偶數(shù)nh(n)其中其中21 2 322( ), , ,.,NNd nhnn 211( )d( )sin-2NrnHnn 122N （ ）7.2.2 線(xiàn)性相移線(xiàn)性相移 FIR DF 頻率響應(yīng)：頻率響應(yīng)：Type IV02468-0.4-0.6h(n)0246800.20.40.

31、60.81d(n)01200.511.5frequency Unit:piMagnitudeMagnitude Response012-30-20-10010frequency Unit:piPhasePhase Response0.5pi Hr (w)與與 d(n) 或或 h(n) 的取值無(wú)關(guān)，因此傳輸函數(shù)的取值無(wú)關(guān)，因此傳輸函數(shù) H(z) 在在 z = 1 處為零點(diǎn)。處為零點(diǎn)。顯然，這種類(lèi)型顯然，這種類(lèi)型不能用于實(shí)現(xiàn)低通濾波器不能用于實(shí)現(xiàn)低通濾波器。2）由于）由于 sin(n-1/2) 在在 =處偶對(duì)稱(chēng)，在處偶對(duì)稱(chēng)，在0、2 是奇對(duì)稱(chēng)，所以，是奇對(duì)稱(chēng)，所以，H(w) 以以 = 偶對(duì)稱(chēng)，偶對(duì)

32、稱(chēng)，0、2為奇對(duì)稱(chēng)為奇對(duì)稱(chēng)。 注意：注意： 1) 在在 =0 處，有：處，有：21102()( )sin()NjnH ed nn 表表7-1 四種線(xiàn)性相位四種線(xiàn)性相位FIR濾波器特性濾波器特性n 一般的一般的 FIR DF 的零、極點(diǎn)：的零、極點(diǎn)：1111100()()( )( )( )( )NNnNNnNnnf zH zh n zzh n zz 在在z=0處，有一個(gè)（處，有一個(gè)（N-1）階的極點(diǎn)，故濾波器穩(wěn)定；）階的極點(diǎn)，故濾波器穩(wěn)定； 其零點(diǎn)要求其零點(diǎn)要求 f(z)=0，根據(jù)代數(shù)理論，它為，根據(jù)代數(shù)理論，它為 N-1階多階多項(xiàng)式，應(yīng)有項(xiàng)式，應(yīng)有 N-1 個(gè)根，所以有個(gè)根，所以有 N-1 個(gè)

33、零點(diǎn)。如果個(gè)零點(diǎn)。如果 h(n) 為實(shí)數(shù)值，其根肯定是共軛對(duì)稱(chēng)的。為實(shí)數(shù)值，其根肯定是共軛對(duì)稱(chēng)的。7.2.3 線(xiàn)性相移線(xiàn)性相移 FIR DF 零極點(diǎn)分布零極點(diǎn)分布1( )()h nh Nn 1,.,0Nn11001( )( )()NNnnnnH zh n zh Nn z 令：令：m=N-1-n)()()()(1)1(10)1(10)1( zHzzmhzzmhzHNNmmNNmmN于是：于是： )()(1)1( zHzzHN7.2.3 線(xiàn)性相移線(xiàn)性相移 FIR DF 零極點(diǎn)分布零極點(diǎn)分布n線(xiàn)性相移線(xiàn)性相移 FIR DF 的零極點(diǎn)：的零極點(diǎn)： 如果如果 zi 是是 H(z) 的零點(diǎn)，即的零點(diǎn)，即

34、H(zi) = 0 則則 H(z-1) =0，即，即 zi-1 亦為亦為 H(z) 的零點(diǎn)。的零點(diǎn)。 n 上面提到上面提到 Zi 肯定是共軛的，故肯定是共軛的，故 Zi* 亦必為其零點(diǎn)亦必為其零點(diǎn)n 于是零點(diǎn)有：于是零點(diǎn)有：11,*,*iiiiz z zz1-1Za1Za21/bb7.2.3 線(xiàn)性相移線(xiàn)性相移 FIR DF 零極點(diǎn)分布零極點(diǎn)分布總結(jié)總結(jié): :1) 一般情況，一般情況， ijiierz ，有四個(gè)零點(diǎn)，有四個(gè)零點(diǎn)： ijiierz ijiierz *ijiierz 11ijiierz 11*)( 2) r=1，單位圓上的零點(diǎn)：，單位圓上的零點(diǎn)： iijijiezez - (共軛對(duì)共

35、軛對(duì)) 3) 位于實(shí)軸上的實(shí)數(shù)：位于實(shí)軸上的實(shí)數(shù)：b, 1/b (實(shí)軸上的倒數(shù)對(duì)實(shí)軸上的倒數(shù)對(duì))。4) zi =1：?jiǎn)瘟泓c(diǎn)：?jiǎn)瘟泓c(diǎn) 11*iiiizzzz思路：思路：理想數(shù)字濾波器理想數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)的 FIR 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器()( )jjnddnHeh n e 10()( )NjjnnH eh n e窗窗函函數(shù)數(shù)截截短短( )( )dh nh n 要求：要求：7.3 FIR DF 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法窗函數(shù)設(shè)計(jì)法hd(n) 無(wú)限長(zhǎng)，且非因果無(wú)限長(zhǎng)，且非因果 h(n) 有限長(zhǎng)，且因果有限長(zhǎng)，且因果 n設(shè)所要求的設(shè)所要求的 DF 的頻率響應(yīng)是的頻率響應(yīng)是 Hd(ejw)，需要注需要注意：意：它

36、可能是低通、高通、帶通和帶阻它可能是低通、高通、帶通和帶阻 FIR DF，沒(méi)有特指某種類(lèi)型的數(shù)字濾波器。，沒(méi)有特指某種類(lèi)型的數(shù)字濾波器。n不管是何種不管是何種 FIR DF，它的頻率響應(yīng)是頻域中的，它的頻率響應(yīng)是頻域中的周期函數(shù)，周期為周期函數(shù)，周期為 2，所以它可以展開(kāi)為傅氏，所以它可以展開(kāi)為傅氏級(jí)數(shù)形式：級(jí)數(shù)形式：()( )jjnddnHehn e 12( )()jjnddh nHeed 7.3.1 7.3.1 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法：窗函數(shù)設(shè)計(jì)法：基本原理基本原理 式中式中 hd(n) 是傅里葉系數(shù)，也是單位取樣響應(yīng)序列。是傅里葉系數(shù)，也是單位取樣響應(yīng)序列。 由傅里葉級(jí)數(shù)理論可得：由傅里葉級(jí)數(shù)理論

37、可得： 7.3.1 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法：基本原理窗函數(shù)設(shè)計(jì)法：基本原理因此，所要求的因此，所要求的 DF 的系統(tǒng)函數(shù)便可求得：的系統(tǒng)函數(shù)便可求得：n顯然，顯然，Hd(z) 是非因果的，且是非因果的，且 hd(n) 的持續(xù)時(shí)間為的持續(xù)時(shí)間為 - +，物理上不可實(shí)現(xiàn)。物理上不可實(shí)現(xiàn)。n我們可以采用我們可以采用逼近逼近 Hd(ejw) 的方法的方法 首先把首先把 hd(n) 先截短為有限項(xiàng)先截短為有限項(xiàng)，把，把 hd(n) 截為截為2N+1項(xiàng)，得：項(xiàng)，得：( )( )nddnHzhn z ( )( )nddnHzh n z MNnndznhzH)()(1然后把截短后的然后把截短后的 hd(n) 右移，使之

38、變成因果性的右移，使之變成因果性的序列。序列。 令令 H(z) 等于等于 H1(z) 乘以乘以 z-M 得：得：令令 h(n)= hd (n-M), n=0, 1, 2, ., 2M，則，則 210()( )( )MMMn MndnndMhH zzH zhnMn zz 20( )( )MnnH zh n z 20()( )MjjnnH eh n e 頻率響應(yīng)頻率響應(yīng) z=ejn顯然顯然nH(z) 是是物理可實(shí)現(xiàn)物理可實(shí)現(xiàn)的的n其沖激響應(yīng)其沖激響應(yīng) h(n) 的的持續(xù)持續(xù)時(shí)間時(shí)間也是也是有限有限的的n選擇選擇 hd(n) = hd(N-1-n)，保證，保證H(z) 具有線(xiàn)性具有線(xiàn)性相位相位。 7

39、.3.1 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法：基本原理窗函數(shù)設(shè)計(jì)法：基本原理n 將將 hd(n) 截短：截短： 0( ),|( ),dh n nMh n else相當(dāng)于將相當(dāng)于將 hd(n ) 與一窗函數(shù)與一窗函數(shù) wR(n) 相乘，即相乘，即( )( )( )dRh nh n wn7.3.2 7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs Gibbs 效應(yīng)效應(yīng)其中其中10,|( ),R nMwn else 在一定意義上來(lái)看，窗函數(shù)決定了我們能夠在一定意義上來(lái)看，窗函數(shù)決定了我們能夠 “看到看到” 多多少個(gè)原來(lái)的沖激響應(yīng)，少個(gè)原來(lái)的沖激響應(yīng)，“窗窗” 這個(gè)用詞的含義也就在此。這個(gè)用詞的含義也就在此。n 窗函數(shù)的頻譜：窗函數(shù)

40、的頻譜： jM-jM-jMjjnjnRR-jnn -M2M+12M+1-jj-j222-jj-j222e-eeW (e )w (n)ee1-e(2M1)Nee-esinsin22sinsinee-e22 = =此矩形窗譜為一鐘形偶函數(shù)，此矩形窗譜為一鐘形偶函數(shù)，在在 +2/N 之間為其主之間為其主瓣，主瓣寬度瓣，主瓣寬度 = 4/N，在主瓣兩側(cè)有無(wú)數(shù)幅度逐漸在主瓣兩側(cè)有無(wú)數(shù)幅度逐漸減小的旁瓣減小的旁瓣, 見(jiàn)圖所示。見(jiàn)圖所示。22sin(/ )()sin(/ )jRNWe 2/N-2/N主瓣主瓣第第1個(gè)旁瓣個(gè)旁瓣第第2個(gè)旁瓣個(gè)旁瓣7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效應(yīng)效應(yīng)1212()()(

41、)()()jjjdRjjdRH eHeWeHeWed n 截短，根據(jù)時(shí)域相乘映射為頻域卷積，得：截短，根據(jù)時(shí)域相乘映射為頻域卷積，得：為便于分析，我們假定為便于分析，我們假定 |Hd(ejw)| 是理想低通濾波器是理想低通濾波器 LPF。式中積分等于式中積分等于由由 c 到到 c 區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi) WNej(w-) 下的面積，隨著下的面積，隨著變化，變化，窗函數(shù)的主瓣和不同正負(fù)、不同大小的旁瓣移入和移出積分區(qū)窗函數(shù)的主瓣和不同正負(fù)、不同大小的旁瓣移入和移出積分區(qū)間間，使得此面積發(fā)生變化，使得此面積發(fā)生變化， 也即也即 |H(ejw)| 的大小產(chǎn)生波動(dòng)。的大小產(chǎn)生波動(dòng)。-wc0wc()jRWe 7.

42、3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效應(yīng)效應(yīng)02N2NWR()-c0cHd()8950.08950.04680.0468卷積卷積-wc0wc-Hd()7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效應(yīng)效應(yīng)n現(xiàn)在分析幾個(gè)特殊頻率點(diǎn)的濾波器性能：現(xiàn)在分析幾個(gè)特殊頻率點(diǎn)的濾波器性能： = 0 時(shí)：時(shí)： 由于一般情況下都滿(mǎn)足由于一般情況下都滿(mǎn)足 c 2 / N，因此，因此，H(0) 的值近似等于窗譜函數(shù)的值近似等于窗譜函數(shù) WR(ejw) 與與軸圍出的軸圍出的整個(gè)面整個(gè)面積積。 02N 2N WR()-wc0wc-Hd()ccj01R1H (e )W ( )d2 =c 時(shí)時(shí)： 此時(shí)窗譜主瓣

43、一半在積分區(qū)間內(nèi)一半在區(qū)間外，因此，窗譜曲線(xiàn)圍出此時(shí)窗譜主瓣一半在積分區(qū)間內(nèi)一半在區(qū)間外，因此，窗譜曲線(xiàn)圍出的面積，近似為的面積，近似為=0 時(shí)時(shí)所圍面積的一半所圍面積的一半，即，即 。011122()()() cccjjRcH eH ewd 111()H (0)2cH -wc0wcHd()w =wcWR(w-)7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效應(yīng)效應(yīng)=c - 2/N 時(shí)，正肩峰時(shí)，正肩峰 此時(shí)窗譜主瓣全部處于積分區(qū)間內(nèi)，而其中一個(gè)最大負(fù)瓣剛好移出積分此時(shí)窗譜主瓣全部處于積分區(qū)間內(nèi)，而其中一個(gè)最大負(fù)瓣剛好移出積分區(qū)間，這時(shí)得到最大值，形成正肩峰。之后，隨著區(qū)間，這時(shí)得到最大值，形成正肩

44、峰。之后，隨著值的不斷增大，值的不斷增大，H(ejw) 的值迅速減小，此時(shí)進(jìn)入濾波器過(guò)渡帶。的值迅速減小，此時(shí)進(jìn)入濾波器過(guò)渡帶。=c + 2/N 時(shí)，負(fù)肩峰時(shí)，負(fù)肩峰 此時(shí)窗譜主瓣剛好全部移出積分區(qū)間，而其中一個(gè)最大負(fù)瓣仍全部處于區(qū)此時(shí)窗譜主瓣剛好全部移出積分區(qū)間，而其中一個(gè)最大負(fù)瓣仍全部處于區(qū)間內(nèi)，因此得到最小值，形成負(fù)肩峰。之后，隨著間內(nèi)，因此得到最小值，形成負(fù)肩峰。之后，隨著值的繼續(xù)增大，值的繼續(xù)增大， H(ejw) 的值振蕩并不斷減小，形成濾波器阻帶波動(dòng)。的值振蕩并不斷減小，形成濾波器阻帶波動(dòng)。112121 089502()().( )cccRcHwdHMaxNN 1120 08950

45、().( )cHHMinN -wc0wcHd()WR(w-)2cw wN -wc0wcHd()WR(w-)2cw wN 7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效應(yīng)效應(yīng)過(guò)渡帶：過(guò)渡帶：正負(fù)肩峰之間的頻帶正負(fù)肩峰之間的頻帶。其寬度等于窗口頻譜的主瓣寬度。其寬度等于窗口頻譜的主瓣寬度。 對(duì)于矩形窗對(duì)于矩形窗 WR(ejw), 此寬度為此寬度為 4/N。 肩峰及波動(dòng)：這是由窗函數(shù)的旁瓣引起的肩峰及波動(dòng)：這是由窗函數(shù)的旁瓣引起的。旁瓣越多，波動(dòng)越快、越多。相對(duì)值越大，波動(dòng)越厲害，肩峰越強(qiáng)。旁瓣越多，波動(dòng)越快、越多。相對(duì)值越大，波動(dòng)越厲害，肩峰越強(qiáng)。肩峰肩峰和波動(dòng)與所選窗函數(shù)的形狀有關(guān)，要改善阻帶的衰減

46、特性只能通過(guò)改變窗和波動(dòng)與所選窗函數(shù)的形狀有關(guān)，要改善阻帶的衰減特性只能通過(guò)改變窗函數(shù)的形狀。函數(shù)的形狀。 在對(duì)在對(duì) hd(n) 截短時(shí)，由于窗函數(shù)的頻譜具有旁瓣，這些旁瓣在與截短時(shí)，由于窗函數(shù)的頻譜具有旁瓣，這些旁瓣在與 Hd(ejw) 卷積時(shí)產(chǎn)生了通帶內(nèi)與阻帶內(nèi)的波動(dòng)，稱(chēng)為卷積時(shí)產(chǎn)生了通帶內(nèi)與阻帶內(nèi)的波動(dòng)，稱(chēng)為吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象。長(zhǎng)度長(zhǎng)度 N 的改變只能改變的改變只能改變 坐標(biāo)的比例及窗函數(shù)坐標(biāo)的比例及窗函數(shù) WR(ejw) 的絕對(duì)大小，但不的絕對(duì)大小，但不能改變肩峰和波動(dòng)的相對(duì)大?。ㄒ?yàn)椴荒芨淖兇昂瘮?shù)主瓣和旁瓣的相對(duì)比能改變肩峰和波動(dòng)的相對(duì)大小（因?yàn)椴荒芨淖兇昂瘮?shù)主瓣和旁瓣的相對(duì)比例，

47、波動(dòng)是由旁瓣引起的），例，波動(dòng)是由旁瓣引起的），即增加即增加 N，只能使通、阻帶內(nèi)振蕩加快，過(guò)，只能使通、阻帶內(nèi)振蕩加快，過(guò)渡帶減小，但相對(duì)振蕩幅度卻不減小。渡帶減小，但相對(duì)振蕩幅度卻不減小。n 加窗處理對(duì)理想矩形頻率響應(yīng)的影響：加窗處理對(duì)理想矩形頻率響應(yīng)的影響：結(jié)論：結(jié)論：過(guò)渡帶寬度與窗的寬度過(guò)渡帶寬度與窗的寬度 N 有關(guān)，隨之增減而變化。有關(guān)，隨之增減而變化。 阻帶最小衰減（與旁瓣的阻帶最小衰減（與旁瓣的相對(duì)幅度相對(duì)幅度有關(guān)）只由窗函數(shù)決定，與有關(guān)）只由窗函數(shù)決定，與 N 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。 7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效應(yīng)效應(yīng)7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效應(yīng)效應(yīng)n設(shè)計(jì)設(shè)

48、計(jì)FIR DF時(shí)，窗函數(shù)不僅可以時(shí)，窗函數(shù)不僅可以影響過(guò)渡帶寬影響過(guò)渡帶寬度度，還能，還能影響肩峰和波動(dòng)的大小影響肩峰和波動(dòng)的大小，因此，選擇窗，因此，選擇窗函數(shù)應(yīng)使其頻譜：函數(shù)應(yīng)使其頻譜：主瓣寬度盡量小，以使過(guò)渡帶盡量陡。主瓣寬度盡量小，以使過(guò)渡帶盡量陡。旁瓣相對(duì)于主瓣越小越好旁瓣相對(duì)于主瓣越小越好，這樣可使肩峰和波動(dòng)減小，這樣可使肩峰和波動(dòng)減小，即能量盡可能集中于主瓣內(nèi)。，即能量盡可能集中于主瓣內(nèi)。n對(duì)于窗函數(shù)，對(duì)于窗函數(shù)，這兩個(gè)要求是相互矛盾的這兩個(gè)要求是相互矛盾的，要根據(jù)需要，要根據(jù)需要進(jìn)行折衷的選擇，進(jìn)行折衷的選擇，7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效應(yīng)效應(yīng).3

49、、各種窗函數(shù)。、各種窗函數(shù)。 1. 矩形窗矩形窗(Rectangle Window) 前面已分析過(guò)，其頻率響應(yīng)為前面已分析過(guò)，其頻率響應(yīng)為1(1)2sin(/2)()sin(/2)jNjRNWee 2. 三角形窗三角形窗(Bartlett Window)21,0(1)12( )212,(1)112BrnnNNnnNnNN其頻率響應(yīng)為：其頻率響應(yīng)為： 1()22sin()4()2 sin(/2)NjjBrNNWee 3. 漢寧漢寧(Hanning)窗窗升余弦窗升余弦窗1211222( )0.51cos()( )1()( )()2()( )0.5()0.25()12 ()()1HnNNjjRNRj

50、HnHnRRNNjjRHnnnRnNWeFT RnWeWeFT WnWWNWeWeN當(dāng)當(dāng)N1時(shí)，時(shí)，N-1N， 22( )0.5( )0.25()()HnRRRWWWWNN旁瓣相互抵消，能量更加集中在主瓣，但主瓣寬度增加一倍 4. 漢明漢明(Hamming)窗窗改進(jìn)的升余弦窗改進(jìn)的升余弦窗2( )0.540.46cos()( )1HmNnnRnN其頻域函數(shù)其頻域函數(shù)WHm (e j)為為22()()11()0.54() 0.23() 0.23()22( )0.54() 0.23() 0.23()11jjjjNNHmRRRjHmRRRWeW eW eW eWW eWWNN其幅度函數(shù)其幅度函數(shù)WH

51、m()為為當(dāng)當(dāng)N1時(shí)，可近似表示為時(shí)，可近似表示為22( )0.54( )0.23()0.23()BlRRRnWWWNN 5. 布萊克曼布萊克曼(Blackman)窗窗24( )0.420.5cos0.08cos( )11BlNnnnRnNN其頻域響應(yīng)為其頻域響應(yīng)為22()()11R22()()11()0.42()0.25()()0.04()()jjjjNNBlRRjjNNRRWeW eWeW eW eW e其幅度函數(shù)為其幅度函數(shù)為22( )0.42( )0.25()()11440.04()()11BlRRRRRWWWWNNWWNN圖圖 常用的窗函數(shù)常用的窗函數(shù) 圖圖 常用窗函數(shù)的幅頻特性常用

52、窗函數(shù)的幅頻特性(a)矩形窗；矩形窗；(b)巴特利特窗巴特利特窗(三角形窗三角形窗)；(c)漢寧窗；漢寧窗；(d)哈明窗；哈明窗；(e)布萊克曼窗布萊克曼窗 圖圖 理想低通加窗后的幅度特性理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5) (a)矩形窗；矩形窗；(b)巴特利特窗巴特利特窗(三角形窗三角形窗)；(c)漢寧窗；漢寧窗； (d)哈明窗；哈明窗；(e)布萊克曼窗布萊克曼窗 6. 凱塞凱塞貝塞爾窗貝塞爾窗(Kaiser-Basel Window) 002201( )( ),01( )21 (1)11( )1( ) )! 2 kkkInnNInNxIxk式中式中 I I0 0(x)(x)是零

53、階第一類(lèi)修正貝塞爾函數(shù)，是零階第一類(lèi)修正貝塞爾函數(shù)， 可用下面級(jí)數(shù)計(jì)算：可用下面級(jí)數(shù)計(jì)算： 一般一般I0(x)取取1525項(xiàng)，便可以滿(mǎn)足精度要項(xiàng)，便可以滿(mǎn)足精度要求。求。參數(shù)可以控制窗的形狀。一般參數(shù)可以控制窗的形狀。一般加大，加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為49。當(dāng)。當(dāng)=5.44時(shí)，窗函數(shù)接近哈明窗。時(shí)，窗函數(shù)接近哈明窗。=7.865時(shí)，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。凱塞時(shí)，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。凱塞窗的幅度函數(shù)為：窗的幅度函數(shù)為：(1)/21( )(0)2( )cosNkkknWnn表表 六種窗函數(shù)的基本參數(shù)六種窗函數(shù)的基本參數(shù) 下面總結(jié)用窗函數(shù)設(shè)計(jì)下面總

54、結(jié)用窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟。濾波器的步驟。 (1)根據(jù)技術(shù)要求，構(gòu)造理想線(xiàn)性相位濾波器根據(jù)技術(shù)要求，構(gòu)造理想線(xiàn)性相位濾波器的頻率響應(yīng)的頻率響應(yīng)Hd(ej) ，求出其單位取樣響應(yīng)，求出其單位取樣響應(yīng)hd(n)。1)()2jjddHeh ne d (2)根據(jù)對(duì)過(guò)渡帶及阻帶衰減的要求，根據(jù)對(duì)過(guò)渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗選擇窗函數(shù)的形式函數(shù)的形式，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度N。 設(shè)待求濾波器的過(guò)渡帶用設(shè)待求濾波器的過(guò)渡帶用表示，它近似表示，它近似等于窗函數(shù)主瓣寬度。（可查表）等于窗函數(shù)主瓣寬度。（可查表） (3) 確定理想濾波器的確定理想濾波器的截止頻率截止頻率，求出實(shí)際，求出實(shí)際設(shè)計(jì)的濾

55、波器的單位取樣響應(yīng)設(shè)計(jì)的濾波器的單位取樣響應(yīng)h(n)： h(n)=hd(n)w(n) (4)驗(yàn)算技術(shù)指標(biāo)是否滿(mǎn)足要求。設(shè)計(jì)出的驗(yàn)算技術(shù)指標(biāo)是否滿(mǎn)足要求。設(shè)計(jì)出的濾波器頻率響應(yīng)用下式計(jì)算：濾波器頻率響應(yīng)用下式計(jì)算：10()( )Njj nnH eh n eP343 例例 7-1nnnnnnnheeHcccHPcjjHP,)()sin()()sin()(,)(10 其他，頻率響應(yīng)：頻率響應(yīng)：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)：理想高通濾波器理想高通濾波器nnnnnnnheeHccccBPccccjjBP1212111200)()(sin)()(sin)(,)(頻率響應(yīng)：頻率響應(yīng)：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)：理

56、想帶通濾波器理想帶通濾波器nnnnnnnnnheeHccccBPccccjjBP12211221100)()(sin)()(sin)()(sin)(,)(頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)：理想帶阻濾波器理想帶阻濾波器N12和低通時(shí)的情況一樣，為了得到有限長(zhǎng)的和低通時(shí)的情況一樣，為了得到有限長(zhǎng)的h(n)需用一長(zhǎng)為需用一長(zhǎng)為N的窗函數(shù)的窗函數(shù)w(n)截?cái)嘟財(cái)?h d(n) 。 按照線(xiàn)性相位濾波器的要求，按照線(xiàn)性相位濾波器的要求，h(n)必須是必須是偶對(duì)偶對(duì)稱(chēng)稱(chēng)的，并且濾波器的時(shí)延常數(shù)的，并且濾波器的時(shí)延常數(shù))(相位響應(yīng)均為相位響應(yīng)均為 同時(shí)為了保證同時(shí)為了保證高通、帶阻濾波器高通、帶阻

57、濾波器的可實(shí)現(xiàn)性，的可實(shí)現(xiàn)性，N必須為奇數(shù)必須為奇數(shù).7.4 頻率采樣設(shè)計(jì)法頻率采樣設(shè)計(jì)法 窗函數(shù)法是從時(shí)域出發(fā)，把理想的窗函數(shù)法是從時(shí)域出發(fā)，把理想的hd(n)用一定形狀的窗口函數(shù)截成有限長(zhǎng)的用一定形狀的窗口函數(shù)截成有限長(zhǎng)的h(n),以以此此h(n)來(lái)近似理想的來(lái)近似理想的hd(n)，從而頻率響應(yīng)，從而頻率響應(yīng)H(ejw)也近似于理想的頻率響應(yīng)也近似于理想的頻率響應(yīng)Hd(ejw)。 頻域采樣法是從頻域出發(fā)，對(duì)理想的頻率響應(yīng)頻域采樣法是從頻域出發(fā)，對(duì)理想的頻率響應(yīng)Hd(ejw)加以等間隔采樣，以采樣值來(lái)近似逼近理想的加以等間隔采樣，以采樣值來(lái)近似逼近理想的Hd(ejw)。即：即：2()( )j

58、ddkNeHHk以此以此H Hd d(k)(k)作為實(shí)際作為實(shí)際FIRFIR濾波器的頻率特性的抽樣值濾波器的頻率特性的抽樣值H(k)H(k)： ( )( ), 0,1,.,1dH kHkkN由由DFTDFT定義，用有限長(zhǎng)的序列定義，用有限長(zhǎng)的序列H(k)H(k)可得：可得：21010 11( )( ), , ,.,NjnkNkh nH k ekNN10()( )NjwjwnnH eh n e10( )( )NnnH zh n z由由h(n)h(n)可求得實(shí)際濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：可求得實(shí)際濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：21110002110012011( )( )( )1 ( )11 ( )1NNNjnknn

59、NnnkNNjnknNknNNjkkNH zh n zH k ezNH kezNzH kNez則：該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：則：該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：12011()( )( )1j NNjjjkz ekjNeH eH zH kNee2jkNNNNezz經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，有：經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，有： (1)1N20sin()2()( )Nsin()2kj NNjjkwNH eeH k ewkN12011()( )( )1jNNjjjkz ekjNeH eH zH kNee稱(chēng)為內(nèi)插函數(shù)稱(chēng)為內(nèi)插函數(shù)(1)2sin2( )sin2NjNeN2,0,1,2,1;1, i=k 2 (-k)0, ik wi iNNwN令101(1)

60、()22()( ) (), sin ()212 ()sin2NjwkkNj NjwNH eH kwkNwkNNwkeew kNNN即：參考教材參考教材P126-128 由上面的分析知：由上面的分析知：h(n)的頻率響應(yīng)的頻率響應(yīng)H(ejw)在采在采樣點(diǎn)上的值嚴(yán)格地等于所希望的值樣點(diǎn)上的值嚴(yán)格地等于所希望的值Hd(k),而在采而在采樣點(diǎn)之間的值樣點(diǎn)之間的值H(ejw) 是由各采樣值的內(nèi)插函數(shù)是由各采樣值的內(nèi)插函數(shù)的疊加而成，因而會(huì)有一定的誤差。的疊加而成，因而會(huì)有一定的誤差。101(1)()22()( ) (), sin ()212 ()sin2NjwkkNj NjwNH eH kwkNwkNN