橢圓中四邊形面積最值問題一例--教學(xué)設(shè)計

1、橢圓中四邊形面積最值問題一例-教學(xué)設(shè)計 揚(yáng)中市第二高級中學(xué) 劉向陽一、 引入問題背景：生活中我們經(jīng)常要研究最優(yōu)解的問題。在解析幾何中，運(yùn)動是曲線的靈魂，在形的運(yùn)動中必然伴隨著量的變化，而在變化中，往往重點變量的變化趨勢，由此產(chǎn)生圓錐曲線中的中的最值問題等. 本課重點是借助對常見的面積問題的研究提煉出解決此類問題的思想方法和基本策略，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用.二、 教學(xué)內(nèi)容分析：解決橢圓最值問題，不僅要用到橢圓定義、方程、幾何性質(zhì)，還常用到函數(shù)、方程、不等式及三角函數(shù)等重要知識，綜合性強(qiáng)，聯(lián)系性廣,策略性要求高.其基本的思想是函數(shù)方程思想、化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想，基本策略主要是代數(shù)和幾何兩個角度分析.

2、 由于圓錐曲線是幾何圖形，研究的量也往往是幾何量，因此借助幾何性質(zhì)，利用幾何直觀來分析是優(yōu)先選擇；但幾何直觀往往嚴(yán)謹(jǐn)性不強(qiáng)，難以細(xì)致入微，在解析幾何中需要借助代數(shù)的工具來實現(xiàn)突破.幾何方法主要結(jié)合圖形的幾何特征，借助橢圓的定義以及平面幾何知識尋找存在“最值”的位置;代數(shù)方法主要是將幾何量及幾何關(guān)系用代數(shù)形式表示,建立目標(biāo)函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，再借助函數(shù)、方程、不等式等知識解決問題.三、 學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析：橢圓的最值問題的解決，涉及的知識面廣，需要綜合運(yùn)用平面幾何、代數(shù)、不等式等相關(guān)知識，還需要較強(qiáng)的運(yùn)算技能和分析問題解決問題的能力.在本課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生可能存在的問題有：知識的聯(lián)系性和

3、系統(tǒng)性較弱，難以調(diào)動眾多的知識合理地解決問題；運(yùn)算能力不強(qiáng)，算得慢，易算錯，影響問題解決的執(zhí)行力；問題解決的策略性不強(qiáng)，就題論題，對問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識模糊等現(xiàn)象.再加上學(xué)生對復(fù)習(xí)課的認(rèn)識比較片面，對復(fù)習(xí)課缺乏新鮮感。由于橢圓的最值問題涉及到圖形運(yùn)動和數(shù)量變化，學(xué)生往往缺乏對問題的直覺把握和深切的感受，教學(xué)中可通過幾何畫板直觀的呈現(xiàn)數(shù)、式、形的聯(lián)動變化，使學(xué)生逐步形成多元聯(lián)系的觀點。四、 教學(xué)目標(biāo)：1、 在學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)上進(jìn)一步理解橢圓定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)。2、 橢圓中最值問題產(chǎn)生原因（ “動因”）如何分析3、 能從代數(shù)和幾何兩個角度分析和解決橢圓最值問題，掌握解決最值問題的基本策略。4

4、、 掌握求橢圓最值問題的一般方法，在問題的提出、建模、解模的過程中形成方法體系。重點：會求橢圓的最值問題難點：參數(shù)的引入、建模過程、解模的方法五、教學(xué)過程設(shè)計（一）課前準(zhǔn)備：我們已經(jīng)復(fù)習(xí)了橢圓的概念、方程、幾何性質(zhì)，那么橢圓有那些性質(zhì)呢？生：頂點坐標(biāo)、橢圓上點的范圍、對稱性、離心率（二）問題提出已知橢圓C： 上兩點、 過橢圓中心O的直線與橢圓C交于E、F兩點，其中點E在第一象限，求四邊形AEBF面積的最大值。分析問題：問題（1）：我們能從題目中得到哪些信息？（頂點坐標(biāo)、焦點位置、E位置，目標(biāo)求四邊形面積的最大值）問題（2）：哪些是定量、哪些是變量？問題（3）：求不規(guī)則四邊形面積有哪些常見方法？

5、（割補(bǔ)法：化為規(guī)則四邊形，分割成兩個三角形）問題（4）：怎樣分割這個四邊形，這樣分割的好處是什么？以EF為底進(jìn)行分割 ；（板書）以AB為底進(jìn)行分割 （板書）問題（5）：怎樣表示出要求的目標(biāo)函數(shù)AEBF的面積？選取什么變量來表示？學(xué)生小組討論（選EF直線斜率，選E點坐標(biāo)）3分鐘問題（6）：提出問題，為什么要用直線EF的斜率來建立目標(biāo)函數(shù)？欲求四邊形AEBF面積的最大值，說明四邊形是變化的，否則只能求值，那么是誰讓四邊形變化呢？從已知看應(yīng)該是直線EF，因為A,B是定點，那么直線EF又為什么動呢？已知它過原點，所以斜率使其運(yùn)動，這樣就分析出了四邊形AEBF面積的“動因”，從而用“動因”（即斜率）來建

6、立目標(biāo)函數(shù)。四邊形AEBF的“動因”也可以看作是點E，F(xiàn)，因為直線EF動可以看作是點E,F在動，一個主動，一個被動，這是因為直線EF過原點，兩點只能確定一條直線，所以一旦E確定，F(xiàn)也隨之確定。我們知道，當(dāng)一條直線過一定點的情況下，欲使之運(yùn)動，可以從兩個方面做到：一是使其斜率變化；二是讓其再過一動點，所以對于四邊形AEBF面積“動因”的分析，表面不同，但本質(zhì)上一致。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的“動因”分析出來后，即可利用“動因”來建立目標(biāo)函數(shù)，然后尋找“動因”范圍（定義域），進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最值。問題（7）：由E、F的對稱性，當(dāng)直線EF轉(zhuǎn)動過程中，你能發(fā)現(xiàn)什么？教師幾何畫板演示，注意陰影變化情況學(xué)生會發(fā)現(xiàn) （

7、板書）我們所求的四邊形面積又可以怎樣表示？ 這樣轉(zhuǎn)化的好處是什么？（有兩條邊固定，把變量向定量轉(zhuǎn)化-化歸思想）（板書）（三）解決問題：學(xué)生動手嘗試多角度建模解決問題（獨立思考解決問題）。10分鐘幻燈展示：（1）設(shè)EF的斜率為k問題轉(zhuǎn)化為求 的最值。（2）設(shè)點E（3）AB方程為以AB作底可化為有線性規(guī)劃去絕對值為（4）以AO,BO作底E的橫縱坐標(biāo)做高（5）三角代換 求最值可讓學(xué)生自由展示，教師加以補(bǔ)充。（四）歸納總結(jié)，思維拓展：回顧解決問題的方法：（1） （2）先平方再基本不等式 （3）線性規(guī)劃 聯(lián)立使判別式為0（4）三角代換 求最值師：總結(jié)很全面，大家有沒有注意到點變時所有問題都?xì)w結(jié)為求 的最

8、值？那么， 的幾何意義是什呢？（五）問題探究：學(xué)生分組討論：發(fā)現(xiàn) 是與AB平行且過原點的直線。 表示的是點E到直線 的距離。本題可以轉(zhuǎn)化為點E到AB距離的最值。幾何畫板演示解釋本質(zhì)當(dāng)EF為AB共軛直徑時四邊形面積最大。（六）退化與推廣請同學(xué)們思考下面兩個問題：退化：一直半徑為R的圓上兩點，直線EF過原點與圓交于E,F兩點，其中E在第一象限，求四邊形面積最大值。推廣：已知橢圓C： 上兩點A（0，a）B(b,0) 過橢圓中心O的直線與橢圓C交于E、F兩點，其中點E在第一象限，求四邊形AEBF面積的最大值。【設(shè)計意圖：讓學(xué)生理解事物是在不斷變化的，揭示事物內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)價值。在復(fù)習(xí)教學(xué)中有必要給學(xué)生機(jī)會重新審視過去做過大量問題的特征，并嘗試提出一些自己的具有創(chuàng)造性的問題?！浚ㄆ撸┱n堂小結(jié)、能力升華通過本節(jié)課學(xué)習(xí)你有哪些收獲？（1） 掌握了求最值的基本策略（代數(shù)、幾何），會求橢圓中的有關(guān)最值問題（引入變元-建模-解模）。（2） 解決橢圓中“最值”問題的方法：【1】 借助幾何圖形，尋找存在“最值”的特殊位置【