微分中值定理zhm學習教案

1、微分微分(wi fn)中值定理中值定理zhm第一頁，共47頁。一、羅爾一、羅爾(Rolle)(Rolle)定理定理(dngl)(dngl)二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理(dngl)(dngl)三、柯西三、柯西( (Cauchy) )中值定理中值定理第1頁/共47頁第二頁，共47頁。設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在點在點 0 x的某鄰域的某鄰域),(0 xU內(nèi)內(nèi) 有定義并且在有定義并且在 0 x處可導，如果對任意處可導，如果對任意 的的),(0 xUx ，有，有 )()()()(00 xfxfxfxf 或或 則則 .0)(0 xf 1.引理（費馬引理（費馬

2、(Fermat)定理定理(dngl)） xyo0 x.)(,0)(00的的為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱若若xfxxf 駐駐點點第2頁/共47頁第三頁，共47頁。2. 羅爾（羅爾（Rolle）定理）定理(dngl) 則在則在 (a,b) 內(nèi)至少存在內(nèi)至少存在(cnzi)一點一點 ，使，使 f() =0 .設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)(hnsh) f (x) 滿足條件：滿足條件：1) 在在閉閉區(qū)間區(qū)間 a,b上連續(xù)上連續(xù).2) 在在開開區(qū)間區(qū)間(a,b)內(nèi)可導內(nèi)可導.3) f (a) = f (b).3 , 132)(12定理定理滿足滿足上上在區(qū)間在區(qū)間驗證驗證例例Rollexxxf 第3頁/共47頁第四頁，共47頁。物

3、理物理(wl)(wl)解釋解釋: :變速變速(bin s)直線運動在折返點處直線運動在折返點處,瞬時速度等于零瞬時速度等于零.幾何幾何(j h)(j h)解解釋釋: :ab1 2 xyo)(xfy C.,)(的的在該點處的切線是水平在該點處的切線是水平上至少有一點上至少有一點則弧則弧處縱坐標相等處縱坐標相等、點點在在連續(xù)光滑曲線連續(xù)光滑曲線CABBAxfy 第4頁/共47頁第五頁，共47頁。3、羅爾定理還指出、羅爾定理還指出(zh ch)了這樣的一個事實：了這樣的一個事實：若若 f (x) 可導，則可導，則 f(x)=0 的任何兩個的任何兩個(lin )實根之實根之間，至少有間，至少有 f(x

4、) =0 的一個實根的一個實根.例例2 2 不求導數(shù)不求導數(shù), , 判斷函數(shù)判斷函數(shù) f(x) = (x f(x) = (x 1) (x 1) (x 2) (x 2) (x 3)3)的導數(shù)的導數(shù)f f(x)(x)有幾個零點及這些有幾個零點及這些(zhxi)(zhxi)零點所在的范零點所在的范圍圍. .第5頁/共47頁第六頁，共47頁。4. 注意注意 1)若羅爾定理的三個條件中有一個不滿若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足足,其結(jié)論可能其結(jié)論可能(knng)不成立不成立.例如例如(lr)(lr), 011)( )0 ,12,12xxf xxxx 1 , 1,)()2 xxxfx1yo11 ,0,)

5、()3 xxxfx1yox1yo第6頁/共47頁第七頁，共47頁。2) 羅爾定理的三個條件是充分不必要的羅爾定理的三個條件是充分不必要的,即若有即若有一個不滿足一個不滿足(mnz),其結(jié)論也可能成立其結(jié)論也可能成立.例如例如(lr),3, 1,1,yxx 第7頁/共47頁第八頁，共47頁。例例3 3.10155的的正正實實根根有有且且僅僅有有一一個個小小于于證證明明方方程程 xx證證, 15)(5 xxxf設(shè)設(shè), 1 , 0)(連連續(xù)續(xù)在在則則xf. 3)1(, 1)0( ff且且由零點由零點(ln din)定理定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使,),1 , 0(011xxx 設(shè)另

6、有設(shè)另有. 0)(1 xf使使,)(10件件之間滿足羅爾定理的條之間滿足羅爾定理的條在在xxxf使得使得之間之間在在至少存在一個至少存在一個),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾(modn),.為為唯唯一一實實根根即即 為方程小于為方程小于1的正實根的正實根.0 x第8頁/共47頁第九頁，共47頁。說明說明(shum(shumng):ng):證明證明 在在 內(nèi)有根用內(nèi)有根用零點零點定理定理. .0)( xf),(ba證明證明 在在 內(nèi)有根用內(nèi)有根用羅爾羅爾定理定理. .0)( xf),(ba例例4 4.)()(), 0(:, 0)(, 1)

7、0(, ), 0(, 0)( ffaaffaDaCxf 使使至少存在一點至少存在一點證明證明設(shè)設(shè)第9頁/共47頁第十頁，共47頁。關(guān)鍵技巧關(guān)鍵技巧: 根據(jù)根據(jù)(gnj)題意會知道如何構(gòu)造輔助函數(shù)題意會知道如何構(gòu)造輔助函數(shù).即構(gòu)造的輔助即構(gòu)造的輔助(fzh)函數(shù)函數(shù)F(x) 應(yīng)滿足關(guān)系式應(yīng)滿足關(guān)系式F(x) = f(x) .0)()(),(:, 0)()(, ),(,)( ffbabfafbaDbaCxf使使至少存在一點至少存在一點證明證明設(shè)設(shè)例例5 5第10頁/共47頁第十一頁，共47頁。).()(:bfaf 去掉了去掉了與羅爾定理相比條件中與羅爾定理相比條件中注意注意).()()( faba

8、fbf 結(jié)論亦可寫成結(jié)論亦可寫成則在則在 (a,b) 內(nèi)至少內(nèi)至少(zhsho)存在一點存在一點 ，使，使 f (b) f (a) = f ()(ba) (a,b) .Lagrange 中值定理中值定理(dngl)： 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 滿足條件：滿足條件：1) 在在閉閉區(qū)間區(qū)間 a,b上連續(xù)上連續(xù).2) 在在開開區(qū)間區(qū)間(a,b)內(nèi)可導內(nèi)可導.第11頁/共47頁第十二頁，共47頁。作輔助作輔助(fzh)函數(shù)函數(shù)證明證明(zhngmng)：,)()()()(xabafbfxfxF , ,)(baCxF 則有則有( )( , ) ,F xD a b , )()()()(bFabbfaafb

9、aF ,)(上滿足羅爾定理的條件上滿足羅爾定理的條件在在即即baxF.0)(,),( Fba使得使得內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點在在,0)()()( abafbff 即即).)()()(abfafbf 故有故有拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式(gngsh)第12頁/共47頁第十三頁，共47頁。ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM幾何幾何(j h)解釋解釋:.,ABCAB線平行于弦線平行于弦在該點處的切在該點處的切一點一點上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧.Lagrange1 , 0arctan)(中值定理的條件中值定理的條件上滿足上滿足在在驗證驗證xxf 例例1第13頁/共47頁第十四頁

10、，共47頁。,),()(內(nèi)可導內(nèi)可導在在設(shè)設(shè)baxf, ,00baxxx , )10(0 xx記記則有則有, )10()()()(000 xxxfxfxxf即即. )10()(0 xxxfy增量增量(zn lin) (zn lin) y y 的的精確表達式精確表達式拉格朗日中值公式又稱有限拉格朗日中值公式又稱有限(yuxin)增量公式增量公式.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(dngl)又稱有限增量定理又稱有限增量定理(dngl).拉格朗日中值定理也稱為拉格朗日中值定理也稱為微分中值定理微分中值定理第14頁/共47頁第十五頁，共47頁。兩個兩個(lin )推論推論:(1) 設(shè)設(shè) f (x) 在

11、在 (a,b) 內(nèi)可導且內(nèi)可導且 f (x)=0，則，則 f(x)=C.(2) 設(shè)設(shè) f (x) , ,g(x) 在在 (a,b) 內(nèi)可導且內(nèi)可導且 f (x) =g (x) ， 則則 f(x)=g(x) C. )()(, ),(,212121xfxfxxbaxx 有有時時只須證明對只須證明對第15頁/共47頁第十六頁，共47頁。拉格朗日中值定理的應(yīng)用拉格朗日中值定理的應(yīng)用: 1、用、用 Lagrange 中值定理證明中值定理證明(zhngmng)等式：等式：例例2 21cossin22 xx證明證明.),( x說明說明(shumng)(shumng)欲證欲證 時時, , ,)(Axf Ix

12、, 0)( xf,0Ix 且且.)(0Axf 使使只需證在只需證在 I 上上練習練習(linx)：).,(,2cotarcarctan xxx 證明證明第16頁/共47頁第十七頁，共47頁。2、用、用 Lagrange 中值定理中值定理(dngl)證明不等式：證明不等式：Step1 找出適當找出適當(shdng)的函數(shù)的函數(shù) f (x) 及區(qū)間及區(qū)間,Step2 驗證驗證 f (x) 滿足滿足Lagrange 中值定理中值定理(dngl)條條件件,Step3 對對 f ( ) 作適當放大或縮小，推出所要證作適當放大或縮小，推出所要證的結(jié)果的結(jié)果.例例3 3.costantancos:,2022

13、 證明證明若若第17頁/共47頁第十八頁，共47頁。例例4 4.)1ln(1,0:xxxxx 時時當當證明證明證證),1ln()(xxf 設(shè)設(shè), 0)(上滿足拉氏定理的條件上滿足拉氏定理的條件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即第18頁/共47頁第十九頁，共47頁。則在則在 (a,b) 內(nèi)至少內(nèi)至少(zhsho)存在一點存在一點 ，使，使 Cauchy 中值定理中值定理(dngl) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)、 g (x) 滿足條件：

14、滿足條件：1) 在在閉閉區(qū)間區(qū)間 a,b上連續(xù)上連續(xù).2) 在在開開區(qū)間區(qū)間(a,b)內(nèi)可導內(nèi)可導且且 g (x) 0 .)()()()()()( gfbgagbfaf 第19頁/共47頁第二十頁，共47頁。證證作輔助作輔助(fzh)函數(shù)函數(shù), )()()()()()()(xgagbgafbfxfx ,),(,)(內(nèi)可導內(nèi)可導在在上連續(xù)上連續(xù)在在則則babax , )()()()()()()()(bagbgagbfbgafa 且且,0)(),( 使使定理知：至少存在一點定理知：至少存在一點由由baRolle,0)()()()()()( gagbgafbff即即.)()()()()()( gfa

15、gbgafbf 第20頁/共47頁第二十一頁，共47頁。幾何幾何(j h)解釋解釋:)()()()()()( gfagbgafbf )()(tfytgx)(af)(bf)()(ddtgtfxy 注意注意(zh (zh y):y):xyo弦的斜率弦的斜率(xil)(xil)切線斜率切線斜率)(ag)(bg)( g.,)(),(ABfgCAB該點處的切線平行于弦該點處的切線平行于弦在在上至少有一點上至少有一點在曲線弧在曲線弧 AB第21頁/共47頁第二十二頁，共47頁。,)(xxg 當當, 1)(,)()( xgabagbg)()()()()()( gfagbgafbf ).()()( fabaf

16、bfLagrange 中值定理中值定理(dngl)是是Cauchy 中值定理中值定理(dngl) 的特例的特例.第22頁/共47頁第二十三頁，共47頁。例例).0()1(2)(, )1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一點至少存在一點證明證明內(nèi)可導內(nèi)可導在在上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)分析分析(fnx):結(jié)論結(jié)論(jiln)可變可變形為形為 2)(01)0()1(fff xxxf)()(2第23頁/共47頁第二十四頁，共47頁。例例證證,)(2xxg 設(shè)設(shè),1 , 0)(),(條條件件上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在則則xgxf有有內(nèi)至少存在一點內(nèi)

17、至少存在一點在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即).0()1(2)(, )1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一點至少存在一點證明證明內(nèi)可導內(nèi)可導在在上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)第24頁/共47頁第二十五頁，共47頁。1. 1. 微分中值定理的條件、結(jié)論微分中值定理的條件、結(jié)論(jiln)(jiln)及及關(guān)系關(guān)系羅爾定理羅爾定理(dngl)(dngl)拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理)()(afbf xxg )()()(afbf xxF )(費馬引理費馬引理中值定理的數(shù)學符號簡潔表述中值定理

18、的數(shù)學符號簡潔表述: P125第25頁/共47頁第二十六頁，共47頁。2. 微分中值定理微分中值定理(dngl)的應(yīng)的應(yīng)用用(1) 證明證明(zhngmng)恒等式恒等式(2) 證明證明(zhngmng)不等式不等式(3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論證明有關(guān)中值問題的結(jié)論關(guān)鍵關(guān)鍵: : 利用逆向思維利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)設(shè)輔助函數(shù)第26頁/共47頁第二十七頁，共47頁。中值定理中值定理(dngl)的數(shù)學符號簡潔表述的數(shù)學符號簡潔表述: P125;0)(, ),()()(),(,)1( fbabfafbaDbaCf使使且且);()()(),(),(,)2( fabafbfbabaDbaCf ，使使.

19、)()()()()()(),(),(, 0)(),(,)3( gfagbgafbfbabaxxgbaDbaCgf ，使使且且第27頁/共47頁第二十八頁，共47頁。1. 填空題填空題3415 函數(shù)函數(shù)4)(xxf在區(qū)間在區(qū)間 1, 2 上滿足拉格朗日定理上滿足拉格朗日定理條件條件, 則中值則中值._ 第28頁/共47頁第二十九頁，共47頁。一、一、 填空題：填空題：1 1、 函數(shù)函數(shù)4)(xxf 在區(qū)間在區(qū)間1,21,2上滿足拉格朗日中值上滿足拉格朗日中值定理，則定理，則=_=_ _ _. .2 2、 設(shè)設(shè))4)(3)(2)(1()( xxxxxf， 方 程方 程0)( xf有有_個根，它們分

20、別在區(qū)間個根，它們分別在區(qū)間_上上. .3 3、 羅 爾 定 理 與 拉 格 朗 日 定 理 之 間 的 關(guān) 系 是羅 爾 定 理 與 拉 格 朗 日 定 理 之 間 的 關(guān) 系 是_._.4 4、 微分中值定理精確地表達函數(shù)在一個區(qū)間上的微分中值定理精確地表達函數(shù)在一個區(qū)間上的_與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的_之間之間的關(guān)系的關(guān)系. .5 5、 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I上的導數(shù)上的導數(shù)_ _，那，那么么)(xf在區(qū)間在區(qū)間I上是一個常數(shù)上是一個常數(shù). .練練 習習 題題第29頁/共47頁第三十頁，共47頁。二、試證明對函數(shù)二、試證明對函數(shù)rqxpxy 2應(yīng)用拉

21、氏中值定理應(yīng)用拉氏中值定理 時所求得的點時所求得的點 總是位于區(qū)間的正中間總是位于區(qū)間的正中間 . .三、證明等式三、證明等式21arctan1arcsin22 xxx )1 , 0( x . .四、設(shè)四、設(shè)0 ba，1 n，證明，證明 )()(11banababanbnnnn . .五、五、 證明下列不等式：證明下列不等式： 1 1、baba arctanarctan； 2 2、時時當當1 x，exex . .六六、證證明明方方程程015 xx只只有有一一個個正正根根 . .第30頁/共47頁第三十一頁，共47頁。七、設(shè)函數(shù)七、設(shè)函數(shù))(xfy 在在0 x的某鄰域內(nèi)且有的某鄰域內(nèi)且有n階導數(shù)

22、，階導數(shù)，且且)0()0()0()1( nfff試用柯西中值定理試用柯西中值定理證明：證明：!)()()(nxfxxfnn ， （10 ）. .八、設(shè)八、設(shè))(xf在在 ba, 內(nèi)上連續(xù)，在內(nèi)上連續(xù)，在( (ba,) )內(nèi)可導，若內(nèi)可導，若 ba 0, ,則在則在( (ba,) )內(nèi)存在一內(nèi)存在一 點點，使，使 )()()()(baffabfbaf . .第31頁/共47頁第三十二頁，共47頁。一、一、1 1、3415；2 2、3,(1,2),(2,3),(3,4)3,(1,2),(2,3),(3,4)；3 3、前者是后者的特殊情形、前者是后者的特殊情形, ,加加)()(bfaf 即可；即可；

23、4 4、增量、增量, ,導數(shù)；導數(shù)；5 5、恒為零、恒為零. .練習題答練習題答案案第32頁/共47頁第三十三頁，共47頁。法國法國(f u)數(shù)學家數(shù)學家,他是一位律師他是一位律師(lsh),數(shù)學數(shù)學(shxu)只是他的業(yè)余愛好只是他的業(yè)余愛好. 他興趣廣泛他興趣廣泛,博博覽群書并善于思考覽群書并善于思考,在數(shù)學上有許多在數(shù)學上有許多重大貢獻重大貢獻. 他特別愛好數(shù)論他特別愛好數(shù)論, 他提出他提出的費馬大定理的費馬大定理:,2無整數(shù)解方程時當nnnzyxn至今尚未得到普遍的證明至今尚未得到普遍的證明.他還是微積分學的先驅(qū)他還是微積分學的先驅(qū) ,費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中費馬引

24、理是后人從他研究最大值與最小值的方法中 提煉出來的提煉出來的.第33頁/共47頁第三十四頁，共47頁。法國法國(f u)數(shù)學家數(shù)學家.他在方程他在方程(fngchng)論論, 解析函數(shù)論解析函數(shù)論,及數(shù)論及數(shù)論(shln)方面都作出了重要的貢獻方面都作出了重要的貢獻,近百近百余年來余年來, 數(shù)學中的許多成就都直接或間數(shù)學中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作接地溯源于他的工作,他是對分析數(shù)學他是對分析數(shù)學 產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一.第34頁/共47頁第三十五頁，共47頁。法國法國(f u)數(shù)學家數(shù)學家, 他對數(shù)學的貢獻主要他對數(shù)學的貢獻主要(zhyo)集中集中在微積分

25、學在微積分學,柯柯 西全集西全集(qunj)共有共有 27 卷卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學其中最重要的的是為巴黎綜合學 校編寫的校編寫的分析教程分析教程, 無窮小分析概論無窮小分析概論, 微積微積分在幾何上的應(yīng)用分在幾何上的應(yīng)用 等等, 有思想有創(chuàng)建有思想有創(chuàng)建, 響廣泛而深遠響廣泛而深遠 .對數(shù)學的影對數(shù)學的影他是經(jīng)典分析的奠基人之一他是經(jīng)典分析的奠基人之一,他為微他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展積分所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展. 復(fù)變函數(shù)和微分方程方面復(fù)變函數(shù)和微分方程方面 . 一生發(fā)表論文一生發(fā)表論文800余篇余篇, 著書著書 7 本本 , 第35頁/共47頁第三十六頁，共47

26、頁。.0,)1 , 0(:,01322210210 nnnxaxaxaaxnaaaa滿足滿足少存在一個少存在一個內(nèi)至內(nèi)至在在證明證明練習：設(shè)練習：設(shè)第36頁/共47頁第三十七頁，共47頁。例例4 4.)1 , 0(23423內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一個個實實根根在在證證明明方方程程cbacxbxax 證證由由Rolle定理定理(dngl)知知,)()(234xcbacxbxaxxf 設(shè)設(shè),1 , 0)(連續(xù)連續(xù)在在則則xf,)1 , 0()(可導可導在在xf. 0)1()0( ff且且. 0)(),1 , 0(00 xfx使使.)1 , 0(0內(nèi)的實根內(nèi)的實根即為方程在即為方程在x說明說明(shu(

27、shumng):mng):證明證明 在在 內(nèi)有根用內(nèi)有根用零點零點定理定理. .0)( xf),(ba證明證明 在在 內(nèi)有根用內(nèi)有根用羅爾羅爾定理定理. .0)( xf),(ba第37頁/共47頁第三十八頁，共47頁。.0)()()(),(),(,)(, 0)()(, ),(,)( fgfbabaDbaCxgbfafbaDbaCxf使使證明：至少存在一點證明：至少存在一點設(shè)設(shè)推廣推廣(tugung):.0)()(),(:, 0)()(, ),(,)( ffbabfafbaDbaCxf使使至少存在一點至少存在一點證明證明設(shè)設(shè)例例.0)()(),(:, 0)()(, ),(,)( ffbabfaf

28、baDbaCxf使使至少存在一點至少存在一點證明證明設(shè)設(shè)例例6 6第38頁/共47頁第三十九頁，共47頁。.)()(,)(:,)(的零點的零點一定有一定有的兩個零點之間的兩個零點之間在在證明證明可導可導設(shè)設(shè)例例xfxfxfxf （即例（即例5 5）設(shè)設(shè),0)()(2121xxxfxf 欲證欲證:, ),(21xx 使使0)()( ff只要只要(zhyo)證證0)()( ff e e亦即亦即0 )( xxxfe作輔助作輔助(fzh)函數(shù)函數(shù), )()(xfexFx 驗證驗證)(xF在在,21xx上滿足上滿足羅爾定理條件羅爾定理條件.提示提示(tsh):第39頁/共47頁第四十頁，共47頁。證：證

29、：210 xx )()()(1221xfxfxxf 12)(xf 0)(121 fx. )()()(2121xfxfxxf ,(2122xxx 不妨不妨(bfng)設(shè)設(shè) )0()()()(1221fxfxfxxf )(21 )011x 0)0(,0)( fxf0, 021 xx有有.)()()(2121xfxfxxf 例例 設(shè)設(shè) , 證明對任意證明對任意第40頁/共47頁第四十一頁，共47頁。0)0(,0)( fxf0, 021 xx有有.)()()(2121xfxfxxf 例例 設(shè)設(shè) , 證明對任意證明對任意”“0)( xf題設(shè)條件題設(shè)條件可減弱為可減弱為.)(單調(diào)減少”單調(diào)減少”“xf 第41頁/共47頁第四十二頁，共47頁。練習：練習：),1(e .lncos1sin 試證至少存在一點試證至少存在一點 ，使