高一數(shù)學(xué)競賽課講義練習(xí) 排序不等式與切比雪夫不等式

1、A4.排序不等式與切比雪夫不等式一、基礎(chǔ)知識排序不等式：設(shè),是的任意一個(gè)排列.則當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等.可簡記為反序和亂序和同序和.切比雪夫不等式：設(shè),則設(shè),則當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等.二、典型例題與基本方法1.用排序不等式證明：設(shè)是正數(shù),則當(dāng)且僅當(dāng)取等.2.用切比雪夫不等式證明：設(shè)是正數(shù),則當(dāng)且僅當(dāng)取等.3.已知,證明：4.設(shè)是的三邊長,證明：5.設(shè)且證明：6.設(shè)且求的最小值.7.設(shè)且滿足證明：8.設(shè)證明：B4.練習(xí) 姓名： 1.用切比雪夫不等式證明：設(shè)是正數(shù),則當(dāng)且僅當(dāng)取等.2.設(shè)求證：3.設(shè)都是正數(shù),且求證：A4.排序不等式與切比雪夫不等式參考解答一、基礎(chǔ)知識排序不等式：設(shè),是的任意一個(gè)排列.則當(dāng)且僅

2、當(dāng)或時(shí)取等.可簡記為反序和亂序和同序和.證明：.于是當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等.于是當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等.切比雪夫不等式：設(shè),則設(shè),則當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等.證明：法1由排序不等式知道于是即當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等.法2 于是于是當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等.二、典型例題與基本方法1.用排序不等式證明：設(shè)是正數(shù),則當(dāng)且僅當(dāng)取等.證明：由排序不等式知道即令于是即于是所以當(dāng)且僅當(dāng)取等.2.用切比雪夫不等式證明：設(shè)是正數(shù),則當(dāng)且僅當(dāng)取等.證明：不妨設(shè)則由切比雪夫不等式知所以當(dāng)且僅當(dāng)取等.3.已知,證明：證明：不妨設(shè)則由排序不等式知又于是再使用排序不等式得所以4.設(shè)是的三邊長,證明：證明：等價(jià)于證明再等價(jià)于(*)不妨設(shè)則又是的三邊長,所以從

3、而即因?yàn)閺亩此杂膳判虿坏仁街从谑?*)得證.從而5.設(shè)且證明：證明：不妨設(shè)則先切比雪夫不等式,再使用柯西不等式,最后使用平均值不等式得于是6.設(shè)且求的最小值.解：.不妨設(shè)則使用切比雪夫不等式有在使用柯西不等式得當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?所以的最小值為7.設(shè)且滿足證明：證明：因?yàn)樗杂炙圆环猎O(shè)于是這是因?yàn)樵趩握{(diào)遞增,在單調(diào)遞減.于是使用切比雪夫不等式得因?yàn)樗杂谑且驗(yàn)樗?.設(shè)證明：證明：即證因?yàn)橥碛谑怯谑侵豁氉C明(*)不妨設(shè)于是從而即所以又使用排序不等式得于是(*)得證.從而B4.練習(xí) 姓名： 1.用切比雪夫不等式證明：設(shè)是正數(shù),則當(dāng)且僅當(dāng)取等.證明：不妨設(shè)由切比雪夫不等式知所以當(dāng)且僅當(dāng)取等.2.設(shè)求證：證明：所證不等式等價(jià)于(*)不妨設(shè)則使用排序不等式得(*).