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文檔簡介
1、. 以高等數(shù)學(xué)為背景的高考數(shù)學(xué)試題的研究定邊四中 世鵬摘要:本文通過調(diào)查研究的方法,以近幾年來全國各地的高考題中的高等數(shù)學(xué)背景下的中學(xué)數(shù)學(xué)問題為依據(jù),探析了此類問題的命題背景,充分說明了高等數(shù)學(xué)背景下中學(xué)數(shù)學(xué)問題的特點。給出了以高等數(shù)學(xué)為背景的中學(xué)數(shù)學(xué)問題的特點及應(yīng)對策略和建議,為促進(jìn)學(xué)生有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解地掌握數(shù)學(xué)、恰當(dāng)?shù)剡\用數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)提供一個可借鑒的思路和途徑。關(guān)鍵詞:中學(xué)數(shù)學(xué)問題、分析、教學(xué)、高觀點 縱觀近幾年的課程改革,向量、算法、概率論、導(dǎo)數(shù)、定積分等容被逐一下放到中數(shù)學(xué)必修課本中,中學(xué)數(shù)學(xué)里高等數(shù)學(xué)的含量正一步步擴(kuò)大。選修課程分別由假設(shè)干專題組成,有些看起來很深奧,幾乎都是高
2、等數(shù)學(xué)的容。選修22導(dǎo)數(shù)與微積分;選修系列3:選修31數(shù)學(xué)史選講、選修33球面上的幾何、選修34對稱與群;選修系列4:選修44幾何證明選講、選修42矩陣與變換、選修43平面坐標(biāo)系中幾種常見變換、選修44極坐標(biāo)與參數(shù)方程、選修45不等式、選修46初等數(shù)論初步。由此可見選修課程中所涉及的容都是高等數(shù)學(xué)的根底容,現(xiàn)在把它們引入到高中數(shù)學(xué)課程中,并不是要把這些容簡化下放,而是想抓住這些數(shù)學(xué)容的精華把它們的根本思想介紹給高中學(xué)生。有些專題是中學(xué)課程*些容的延伸,有些專題是通過典型實例介紹數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用方法,它們即呈現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)多個分支,又兼顧了數(shù)學(xué)史,并凸現(xiàn)了其中的思想方法。作為一名高中數(shù)學(xué)教師,不斷地
3、從高等數(shù)學(xué)中汲取豐厚的營養(yǎng),使之效勞于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),是一項很有意義的工作。隨著中學(xué)數(shù)學(xué)里高等數(shù)學(xué)的含量進(jìn)一步擴(kuò)大,近幾年來高考試卷中以高等數(shù)學(xué)為背景的高考試題出現(xiàn)的頻率越來越高,本文以近幾年來全國各地的高考題中的高等數(shù)學(xué)背景下的中學(xué)數(shù)學(xué)問題為依據(jù),探析了此類問題的命題背景,充分說明了高等數(shù)學(xué)背景下中學(xué)數(shù)學(xué)問題的特點。下面以近幾年的各省市的高考題為例,來探究高觀點下的中學(xué)數(shù)學(xué)問題的命題背景:以高等數(shù)學(xué)的符號、概念為背景的問題命題1:2013年理10設(shè)表示不大于的最大整數(shù),則對任意實數(shù),有:命題透視:此題是一道以數(shù)學(xué)分析中取整函數(shù)為背景的性質(zhì)應(yīng)用題。對任意的實數(shù),記不超過的最大整數(shù)為,通常稱函數(shù)為
4、取整函數(shù),又稱高斯函數(shù),高斯函數(shù)有以下幾個性質(zhì):高斯函數(shù)是一個不減函數(shù),即對任意假設(shè)則;假設(shè)則;由這條性質(zhì)可推得選項D成立;假設(shè),則。此題考察學(xué)生對取整符號的理解,以及對取整函數(shù)高斯函數(shù)概念的理解和性質(zhì)的掌握。高等數(shù)學(xué)中涉及很多數(shù)學(xué)符號,比方表示直和、表示連乘符號、表示求和符號等。命題2:2012年理3函數(shù)在處的極限 A.不存在 B.等于6 C.等于3 D.等于0此題主要考察函數(shù)的左、右極限與極限的概念。解:依題意可知:因此函數(shù)在處的極限不存在。命題3:2012年理3函數(shù)的值域是:解:因為且,所以函數(shù)的值域是。此題考察了行列式的計算,要熟記行列式計算的概念。以高等數(shù)學(xué)根本公式為背景的問題 在普
5、通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書選修系列45不等式選講是這樣表達(dá)柯西不等式的:設(shè)與是兩組實數(shù),則有當(dāng)向量與向量共線時,等號成立,即當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。雖然課標(biāo)對這一局部容要求不高,但這是一個很好的高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)知識點的交匯。以此為背景可以設(shè)計很多題目。命題4:2013年理13設(shè)且滿足:,則 命題透視:此題以求解代數(shù)式的值的形式考察了柯西不等式的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵是如何巧妙利用柯西不等式等號成立的條件來求解的值,理解柯西不等式等號成立的條件是關(guān)鍵。解:由柯西不等式得:,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。由得:所以有,再結(jié)合得: 所以。例1:2014年理15A設(shè)且則的最小值為 解:由柯西不等式可知 將代入得。例2
6、:2013年理15A設(shè)均為正數(shù),且則的最小值為 解:由柯西不等式可知當(dāng)時,取得最小值2.以高等數(shù)學(xué)中矩陣知識點為背景的問題 矩陣的相關(guān)理論是高等數(shù)學(xué)中高等代數(shù)的知識點,而在普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書選修系列42矩陣與變換中給出了二階矩陣的定義,以及矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)。命題5:2014年理21矩陣的逆矩陣求矩陣求矩陣的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量命題透視:此題是以高等代數(shù)中的矩陣為背景,考察了逆矩陣的概念,如何求解矩陣的特征值和特征向量.結(jié)合中學(xué)的向量知識,考察了學(xué)生對新情景下知識的理解、抽象概括能力以及閱讀理解、對新知識的遷移能力以及綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力
7、,表達(dá)了在高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的銜接處命題。解:1因為矩陣是矩陣的逆矩陣,且所以2矩陣的特征多項式為令得矩陣的特征值為或,所以是矩陣的屬于特征值的一個特征向量,是矩陣的屬于特征值的一個特征向量。例3: (2014年卷矩陣,,向量,為實數(shù),假設(shè)求的值。解:由,得因為所以故 解得 所以以高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)思想為背景的問題初等數(shù)學(xué)中經(jīng)常用不等式、配方等方法求最值,這些方法的優(yōu)點是學(xué)生熟悉,易于掌握。但這些方法往往是技巧性要求較高,特別是對較復(fù)雜的問題;另一方面是使用面較窄,只能解一些較特殊的問題。自從導(dǎo)數(shù)這塊容注入到中學(xué)教材之后,利用導(dǎo)數(shù)作為工具已成為高中學(xué)生研究函數(shù)性質(zhì)的重要手段。這使得原本就受命題者青
8、睞的導(dǎo)數(shù)幾乎成了數(shù)學(xué)高考中的主角,根本上是每年必考的知 識點之一。用導(dǎo)數(shù)方法求極值,求函數(shù)的單調(diào)性,有固定程序可循,技巧性要求低一些,適用面廣一些,機(jī)制和最值也容易分清。以及用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式等是導(dǎo)數(shù)思想命題重難點。命題6:設(shè)函數(shù)。試判斷函數(shù)的零點個數(shù);假設(shè)當(dāng)時,函數(shù)與的圖像有兩個公共點,求的取值圍。解:因為令得或 顯然方程的根的判別式當(dāng)或時,方程有兩個非零實根,此時函數(shù)有3個零點;當(dāng)時,方程有兩個相等的非零實根,此時函數(shù)有2個零點;當(dāng)時,方程有兩個相等的零實根,此時函數(shù)有1個零點;當(dāng)時,方程沒有實根,此時函數(shù)有1個零點;綜上所述:當(dāng)或時,函數(shù)有3個零點;當(dāng)時,函數(shù)有2個零點;當(dāng)時,函數(shù)有1
9、個零點.設(shè),則因為, 所以 設(shè),則令解得列表如下:+0-0+由此可知在,上是增函數(shù),在上是減函數(shù)。當(dāng)時,取得極大值當(dāng)時,取得極小值,而,。如果函數(shù)與的圖像有兩個公共點,則函數(shù)與的圖像有兩個公共點,所以或。命題透視:此題考察了三次函數(shù)的零點個數(shù)問題和構(gòu)造函數(shù)求解不等式問題,兩個問題都用到了導(dǎo)數(shù)思想。即從高等數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)思想分析:構(gòu)造輔助函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)性質(zhì)。考察了函數(shù)的單調(diào)性和極值以及函數(shù)圖像等性質(zhì)。例4:函數(shù),。求的單調(diào)區(qū)間與極值;假設(shè)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像在區(qū)間上有公共點,數(shù)的取值圍。五、以高等數(shù)學(xué)中積分思想為背景的問題普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書選修22北師版中,增加了微積分的局部知識
10、。這即可以增強(qiáng)高中數(shù)學(xué)的人文價值,也使學(xué)生掌握更有用的變量數(shù)學(xué)知識,有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng),還可發(fā)揮微積分對初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用,促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高。命題7:2014年理8假設(shè),則解:因為是常數(shù),所以,所以可以設(shè)所以解得:。此題考察了定積分的計算,注意假設(shè)定積分的積分上限和積分下限都是常數(shù),則它的結(jié)果是一個數(shù)值。由此可見,初等數(shù)學(xué)的解法實際上是高等數(shù)學(xué)思想的具體表達(dá)。初等數(shù)學(xué)思想是高等數(shù)學(xué)思想的簡單表達(dá),也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的根底。用高等數(shù)學(xué)的思想去認(rèn)識、理解和解決初等數(shù)學(xué)問題,可以進(jìn)一步充實初等數(shù)學(xué)的*些理論的論述深度,以及進(jìn)一步熟練地掌握用初等方法解決問題的技能。六、以高等數(shù)學(xué)為背
11、景的中學(xué)數(shù)學(xué)問題的特點及應(yīng)對策略和建議一以高等數(shù)學(xué)為背景的中學(xué)數(shù)學(xué)問題的特點通過對高考試卷中高等數(shù)學(xué)背景下的中學(xué)數(shù)學(xué)問題的分析,可以得出高觀點下的中學(xué)數(shù)學(xué)問題有如下幾個特點:1、觀點高所謂觀點高是指這些問題的設(shè)計來源于高等數(shù)學(xué),所編擬的新題的背景是具有普遍意義的高等數(shù)學(xué)容。高觀點下中學(xué)數(shù)學(xué)問題從不同的角度抓住了初、高等數(shù)學(xué)的銜接點,立意新、背景深。這類問題或以高等數(shù)學(xué)符號、概念直接出現(xiàn);或以高等數(shù)學(xué)的概念、定理作為依托融于初等數(shù)學(xué)知識中,能夠借助實例和直觀為中學(xué)生所承受的,強(qiáng)調(diào)學(xué)生的理解和應(yīng)用的,不追求嚴(yán)格的證明和邏輯推理;或表達(dá)高等數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法和推理方法。落點低落點低是指這類問題
12、的設(shè)計雖來源于高等數(shù)學(xué),但解決的方法卻是中學(xué)所學(xué)的初等數(shù)學(xué)知識,對學(xué)生思維的抽象性、邏輯性以及學(xué)生的理解力和自學(xué)能力提出了更高的要求,為進(jìn)入高校學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)做好準(zhǔn)備,從而有利于高校選拔人才。突出能力的考察這種聯(lián)系高等數(shù)學(xué)背景的高觀點數(shù)學(xué)問題,在考察知識的根底上,側(cè)重考察各種能力,高考考察各種能力的同時,以考察思維能力為核心,不追求知識的覆蓋面,而追求知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點。這種以能力立意的高觀點試題選拔的不再是對數(shù)學(xué)知識死記硬背、生搬硬套的學(xué)生,而是對數(shù)學(xué)概念、定理和公式有深刻的理解和結(jié)實的掌握,具有運用數(shù)學(xué)知識和方法解決問題能力的學(xué)生。它能寬角度、多觀點地考察數(shù)學(xué)素養(yǎng),有層次地深入考察數(shù)學(xué)的理性思
13、維,它既能實現(xiàn)高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的接軌,又能有效地考察學(xué)生的思維能力和繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能。二以高等數(shù)學(xué)為背景的中學(xué)數(shù)學(xué)問題的應(yīng)對策略對于以能力為立意的高觀點下的中學(xué)數(shù)學(xué)問題,學(xué)生要轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)態(tài)度,對數(shù)學(xué)概念、定理和公式能有深刻的理解和結(jié)實掌握,并且能靈活運用數(shù)學(xué)知識和方法解決實際問題的能力;教師要改變課堂教學(xué)重結(jié)論輕過程的做法,要引導(dǎo)學(xué)生自己構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò),對知識形成的來龍去脈要搞清楚,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)展探究性學(xué)習(xí),逐漸培養(yǎng)學(xué)生獨立分析問題、判斷問題、解決問題的能力。只有這樣,才能不斷開展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,才能到達(dá)以不變應(yīng)萬變。題海戰(zhàn)術(shù)已不能在高考中取勝,純粹的承受性學(xué)習(xí)在面對高觀點下的中學(xué)數(shù)學(xué)問題時已是
14、無能為力了。比方在概念課中,數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是在教師指導(dǎo)下,調(diào)動學(xué)生認(rèn)知構(gòu)造中的已有感性經(jīng)歷和知識,去感知材料,經(jīng)過思維加工產(chǎn)生認(rèn)識飛躍,最后組織成完整的概念圖式的過程。中學(xué)有些數(shù)學(xué)問題如果不在高等數(shù)學(xué)的知識背景下來解釋,仍將模糊不清,甚至疑問重重。教師如果應(yīng)用高觀點解釋中學(xué)數(shù)學(xué)難點,將會受到意想不到的教學(xué)效果。在不脫離中學(xué)數(shù)學(xué)的課程標(biāo)準(zhǔn)和教材的前提下,教師可以對重要的概念和知識聯(lián)系上作必要的拓寬。教師如果能站在高等數(shù)學(xué)的角度,溝通初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系,居高臨下地去解釋,將會更有利于學(xué)生深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的精華及其后續(xù)開展。建議對于我們從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)的教師,要加強(qiáng)教育教學(xué)理論學(xué)習(xí)和對高等數(shù)學(xué)
15、知識的在學(xué)習(xí)。我們大多數(shù)一線教師經(jīng)過多年的任教,將在大學(xué)學(xué)過的高等數(shù)學(xué)知識幾乎都忘記了,這樣就存在數(shù)學(xué)教師自身數(shù)學(xué)水平簡化,缺少從高等數(shù)學(xué)的高觀點審視和處理中學(xué)數(shù)學(xué)知識的能力的問題??傊?,作為一名高中數(shù)學(xué)教師要用新課程標(biāo)準(zhǔn)審視常規(guī)教學(xué),隨時對自己的工作及專業(yè)能力的開展進(jìn)展評估,樹立終身學(xué)習(xí)的意識,在實踐中不斷學(xué)習(xí),不斷對自己的教育教學(xué)進(jìn)展研究、反思,對自己的知識與經(jīng)歷進(jìn)展重組,使自己的知識構(gòu)造具有前瞻性,在反復(fù)的思考中使自身的專業(yè)素質(zhì)、教學(xué)能力和科研水平都得到提高,從而實現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)教師的自我開展、終生開展。從而適應(yīng)新課改的開展。參考文獻(xiàn):1普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀教育,2013年2梁紅2012全國高考真題詳解理科數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù),201
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