《等差數(shù)列前項(xiàng)和公式》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載一、設(shè)計(jì)理念等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)讓學(xué)生在具體的問(wèn)題情境中經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展，讓學(xué)生利用自己的原有認(rèn)知結(jié) 構(gòu)中相關(guān)的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，自主地在教師的引導(dǎo)下促進(jìn)對(duì)新知識(shí)的建構(gòu)，因?yàn)榻?gòu)主義學(xué) 習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程在教學(xué)過(guò)程中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，從介紹高斯的算法開(kāi)始，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的求法通 過(guò)設(shè)計(jì)一些從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般的問(wèn)題，層層鋪墊，組織和啟發(fā)學(xué)生獲得公式 的推導(dǎo)思路，并且充分引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)自主、合作、探究學(xué)習(xí)，通過(guò)生生互動(dòng)和師生互動(dòng) 等形式，讓學(xué)生在問(wèn)題解決中學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)同時(shí)根據(jù)我校的特點(diǎn)，為了促進(jìn)成

2、績(jī)優(yōu)秀學(xué)生的發(fā)展，還設(shè)計(jì)了選做題和探索題，進(jìn)一步培養(yǎng)優(yōu)秀生用函數(shù)觀點(diǎn)分析、解 決問(wèn)題的能力，達(dá)到了分層教學(xué)的目的二、背景分析本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容是高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)必修5（人教 A 版）中第二章的第三節(jié)內(nèi)容本節(jié)課主要研究如何應(yīng)用倒序相加法求等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和以及該求和公式的應(yīng)用等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中比較常見(jiàn)，因此等差數(shù)列求和就成為我們?cè)趯?shí)際生活中經(jīng)常遇到的一類(lèi)問(wèn)題同時(shí)，求數(shù)列前n 項(xiàng)和也是數(shù)列研究的基本問(wèn)題，通過(guò)對(duì)公式推導(dǎo)，可以讓學(xué)生進(jìn)一步掌握從特殊到一般的研究問(wèn)題方法三、學(xué)情分析1、學(xué)生已掌握的理論知識(shí)角度：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，掌握了等差數(shù)列的基本性質(zhì)，有了一定的知識(shí)準(zhǔn)備

3、。2、學(xué)生了解數(shù)列求和歷史角度：大部分學(xué)生對(duì)高斯算法有比較清晰的認(rèn)識(shí)，并且知道此算法原理，但在高斯算法中數(shù)列1，2，3， ， 100 只是一個(gè)特殊的等差數(shù)列，對(duì)于一般的等差數(shù)列的求和方法和公式學(xué)生還是一無(wú)所知。3、學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律角度：本節(jié)課采取了循序漸進(jìn)、層層深入的教學(xué)方式，以問(wèn)題 解答的形式，通過(guò)探索、討論、分析、歸納而獲得知識(shí)，為學(xué)生積極思考、自主探究搭學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載建了理想的平臺(tái)，讓學(xué)生去感悟倒序相加法的和諧對(duì)稱(chēng)以及使用范圍。四、教學(xué)目標(biāo)1、類(lèi)比高斯算法，探求等差數(shù)列前n 項(xiàng)和公式，理解公式的推導(dǎo)方法；2、能較熟練地應(yīng)用等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式解決相關(guān)問(wèn)題；3、經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程，

4、體會(huì)層層深入的探索方式，體驗(yàn)從特殊到一般、具體到抽象的 研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思與邏輯推理的能力；4、通過(guò)生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹(shù)立學(xué)生求真的勇氣和自信 心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的情感，體驗(yàn)在學(xué)習(xí)中獲得成功；五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 1、教學(xué)重點(diǎn)： 等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用 2、教學(xué)難點(diǎn)： 公式推導(dǎo)的思路 3、重難點(diǎn)解決的方法策略： 本課在設(shè)計(jì)上采用了從特殊到一般、從具體到抽象的教學(xué)策 略。利用分類(lèi)討論、類(lèi)比歸納的思想，層層深入。通過(guò)學(xué)生自主探究，分析、整理出推 導(dǎo)公式的不同思路，同時(shí)，借助多媒體的直觀演示，幫助學(xué)生理解，通過(guò)教師的點(diǎn)撥引

5、 導(dǎo)、師生互動(dòng)、講練結(jié)合，突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)。六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情景，提出問(wèn)題欣賞圖片泰姬陵：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是 17 世紀(jì)莫臥兒帝國(guó)皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛(ài)妃所建。它宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世 界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲嵌，圖案之細(xì)致令人叫絕。傳說(shuō)陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100 層，奢靡之程度，可見(jiàn)一斑。問(wèn)題 1：你能計(jì)算出這個(gè)圖案一共花了多少顆寶石嗎？教師活動(dòng)： 利用多媒體，展示泰姬陵的圖片，并截取出三角形寶石圖案，引導(dǎo)學(xué)生觀察 寶石數(shù)目變化情況。學(xué)生活動(dòng)： 欣賞之余觀察三角形中寶石變化情況并嘗試解決問(wèn)題 1.

6、 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載活動(dòng)預(yù)設(shè)：（1）能得到的信息：從上到下，寶石數(shù)目以1 為公差依次遞增，構(gòu)成等差數(shù)列。（2）需要解決的問(wèn)題： 100 層中究竟共有多少顆寶石？【設(shè)計(jì)意圖】（1）教師先用多媒體展示彩圖呈現(xiàn)的問(wèn)題，使學(xué)生進(jìn)入問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué) 生的興趣，并使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生產(chǎn)生活。（2）以問(wèn)題的提出作為引入方式，使學(xué)生帶著問(wèn)題學(xué)習(xí)新課，更有目的性。（二）探究等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式教師活動(dòng)： 指出此數(shù)列的求和方法在1787 年已被高斯解決，讓學(xué)生講高斯故事。學(xué)生活動(dòng)： 學(xué)生根據(jù)課前的搜集簡(jiǎn)介高斯“ 神速求和” 的故事：小高斯上小學(xué)四年級(jí)時(shí)，一次數(shù)學(xué)老師布置了一道數(shù)學(xué)習(xí)題：把從1 到 100

7、的自然數(shù)加起來(lái)，和是多少？年僅10歲的小高斯略一思索就得到答案：5050，這使老師非常吃驚。問(wèn)題 1：高斯是采用了什么方法來(lái)巧妙地計(jì)算出答案的呢？教師活動(dòng)： 指導(dǎo)學(xué)生快速找出規(guī)律。學(xué)生活動(dòng)： 高斯算法解決： 1 + 2 + 3 + + 50 + 51 + + 98 + 99 + 100=？活動(dòng)預(yù)設(shè)： 高斯算法： 1+100=101,2+99=101， ， 50+51=101，所以原式 =50 （ 1+101）=5050 問(wèn)題 2：在高斯算法中實(shí)際上利用了等差數(shù)列通項(xiàng)的哪種性質(zhì)？教師活動(dòng)： 引導(dǎo)學(xué)生思考高斯算法的技巧性及理論依據(jù)。學(xué)生活動(dòng)： 利用高斯算法計(jì)算答案，并指出算法的技巧性以及高斯算法隱

8、藏的等差數(shù)列 項(xiàng)的何種性質(zhì)?；顒?dòng)預(yù)設(shè)： 構(gòu)造數(shù)列：a 11,a22,a 9999,a 100100，則有性質(zhì)：等差數(shù)列 an中，若 mnpq ，則ama napa 。【設(shè)計(jì)意圖】 高斯算法首尾組合的思想揭示了等差數(shù)列“ 角標(biāo)和相等，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)和相等”的特征，為等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)的“ 倒序相加法” 做好鋪墊，開(kāi)啟了更深入、更細(xì)致的研究大門(mén)。學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載問(wèn)題 3：你能否利用高斯算法解決一般等差數(shù)列的求和問(wèn)題？方法 1：分類(lèi)討論法教師活動(dòng)： 給出一般數(shù)列：設(shè)等差數(shù)列a n前 n 項(xiàng)和為S ，S na 1a 2a3a ，則如何用有限的項(xiàng)表示S ？學(xué)生活動(dòng)： 類(lèi)比高斯算法，分小組討論并

9、探求等差數(shù)列前n 項(xiàng)和公式。活動(dòng)預(yù)設(shè)： 以小組為單位投影學(xué)生推導(dǎo)過(guò)程，并讓其對(duì)過(guò)程做出解釋和說(shuō)明。a1a 1a2a2a3a 3a n2an2an1ananan其中1結(jié)果預(yù)測(cè)：（1）學(xué)生沒(méi)有對(duì) n 的奇偶進(jìn)行討論，不嚴(yán)密地得出答案；（2）學(xué)生對(duì) n 的奇偶進(jìn)行討論，但對(duì)于n 是奇數(shù)時(shí)的推導(dǎo)遇到障礙。問(wèn) 題4 ： 利 用 等 差 數(shù) 列 性 質(zhì) ： 若 mnpq ， 則amanapa。 得 出 ：a 1aan a1ana2?，究竟一共有多少個(gè)a 1a ？教師活動(dòng)： 提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生討論，并抽小組成員發(fā)表本組觀點(diǎn)。學(xué)生活動(dòng)： 再次以小組為單位以n 的奇偶為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解。活動(dòng)預(yù)設(shè)：（1

10、）當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)：SnSna1n(a1ann)an1an22a2（2）當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)：Snna121 (a1an211anan21an211anSnan)12問(wèn)題 5：an1學(xué)習(xí)好資料n1歡迎下載落單了，如何處理a使得我們公式能夠統(tǒng)一形式？2n21n2n)腳標(biāo)的關(guān)系。教師活動(dòng)： 提示學(xué)生觀察a的腳標(biāo)與(a1a學(xué)生活動(dòng)： 以小組為單位討論a1的處理辦法。2活動(dòng)預(yù)設(shè)： 不難發(fā)現(xiàn)，an1的腳標(biāo)與(a 1an)腳標(biāo)滿足如下關(guān)系：212n211n，故有anSnn21 (a1an)2n21(a1an)an1an1222n21(a1an)a1an2n(a1an)S nn(a 1an)。2從而得到：無(wú)論

11、n 取偶數(shù)還是奇數(shù)，都有2【設(shè)計(jì)意圖】（1）類(lèi)比高斯算法將首尾分組進(jìn)行 “ 配對(duì)” ，發(fā)現(xiàn)需要對(duì) n 的奇偶進(jìn)行討論，順應(yīng)學(xué)生思路，自然過(guò)渡，學(xué)生容易聯(lián)想，也充分體現(xiàn)了新課改中尊重學(xué)生主體性的原則；（2）引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)中間項(xiàng)an1的解決辦法的過(guò)程中，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)研究數(shù)列實(shí)際上2 就是對(duì)腳標(biāo)數(shù)的研究。方法 2：倒序相加法問(wèn)題 6：對(duì) n 的奇偶討論過(guò)于復(fù)雜，能否回避對(duì) n的討論呢？教師活動(dòng)： 由此引入倒序相加法：Sna1a na2a3)2(a 3pan2an1n2an)(an1a 2)(ana 1)Snanan1ana3a2a12S n(a 1)(a 2a n1aan2)(aa 3由性質(zhì)“ 若

12、 mnpq ，則amaa ” 可得：n2Snn(a1an)學(xué)習(xí)好資料12an歡迎下載Snn a)（等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式）【設(shè)計(jì)意圖】（1）數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決講究最優(yōu)化原則，因此引導(dǎo)讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)方法的 多樣性，但需要尋求高效率的方法；（2）倒序相加求和法是數(shù)列求和常用方法之一，方法比公式本身更為重要，也為以后數(shù) 列求和的學(xué)習(xí)做好鋪墊；（三）公式理解和深化公式一、S nn(a 1an)2問(wèn)題 1：此公式中有哪些變量，已知哪些量可求另外量？教師活動(dòng)： 引導(dǎo)學(xué)生找出變量 學(xué)生活動(dòng)： 觀察公式，找出變量?；顒?dòng)預(yù)設(shè)： 此公式中，共有四個(gè)變量：S n, , n a a ，可知三求一?！驹O(shè)計(jì)意圖】 讓學(xué)生

13、從變量上理解公式，從形式上初步了解如何由已知探求未知，在頭 腦中初步建構(gòu)公式的適用情況。問(wèn)題 2：此公式還可進(jìn)行怎樣的變形？教師活動(dòng)： 引導(dǎo)學(xué)生從 a 下手對(duì)公式進(jìn)行變形，投影學(xué)生的變形過(guò)程。學(xué)生活動(dòng)： 嘗試對(duì)公式進(jìn)行變形?；顒?dòng)預(yù)設(shè)： 公式二、S nna 1n n1) d2【設(shè)計(jì)意圖】（1）讓學(xué)生學(xué)會(huì)在舊知與新知之間搭建橋梁，運(yùn)用舊知鞏固新知，利用舊 知得出新知；（2）體會(huì)知識(shí)之間的整體性和關(guān)聯(lián)性，感受運(yùn)用舊知推導(dǎo)新知的成功和喜悅。問(wèn)題 3：觀察、對(duì)比公式一、二，你能得出什么結(jié)論有利于你解題時(shí)對(duì)公式進(jìn)行篩選？教師活動(dòng)： 引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)公式中的變量進(jìn)行總結(jié)。學(xué)生活動(dòng)： 總結(jié)出兩公式的區(qū)別及適用情

14、況?；顒?dòng)預(yù)設(shè)：（1）在兩個(gè)公式，五個(gè)變量中：a n d an,S ，可知三求二（2）若已知學(xué)習(xí)好資料歡迎下載a ，優(yōu)先選用公式一，若已知d ，優(yōu)先選用公式二。【設(shè)計(jì)意圖】 通過(guò)兩公式的對(duì)比研究，可進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)公式的記憶，公式一、二的 區(qū)別可提高學(xué)生的做題速度和質(zhì)量，再一次體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美和精準(zhǔn)性。（四）公式應(yīng)用、反饋評(píng)價(jià) 課堂練習(xí)之“ 爭(zhēng)分奪秒” ：1+3+5+7+9+11+13+15= 11+21+31+41+51+61= -60-50-40-30-20-10= 1+2+3+ +n= 教師活動(dòng)： 分析解決問(wèn)題，組織學(xué)生交流、討論，再進(jìn)行公式的應(yīng)用?！驹O(shè)計(jì)意圖】 透過(guò)此題，培養(yǎng)學(xué)生 課堂

15、練習(xí)之“ 你爭(zhēng)我搶”熟練地選取恰當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行求解。1. 求等差數(shù)列 1，4，7， 的前 100 項(xiàng)的和 教師活動(dòng)： 引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)審題，找出相關(guān)已知量，將已知和未知建立聯(lián)系，將舊知與新 知結(jié)合解題，尋求解題最簡(jiǎn)便的方法，投影學(xué)生解題過(guò)程并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)。學(xué)生活動(dòng)： 交流、討論，選取最優(yōu)方法。課堂練習(xí)之“ 男女對(duì)抗” ：1已知等差數(shù)列 an 中， a， d=1 ，則該數(shù)列前 9 項(xiàng)和 S9等于（） A.55 B.45 C.35 D.25 2已知等差數(shù)列 an 中,a2+a8=8, 則該數(shù) 列前 9 項(xiàng)和 S9等于( ) A.18 B.27 C.36 D.45 教師活動(dòng)： 引導(dǎo)學(xué)生利用通項(xiàng)性質(zhì)求和

16、。學(xué)生活動(dòng)： 運(yùn)用通項(xiàng)性質(zhì)“ 等差數(shù)列an中，若 mnpq ，則a manapa ” 巧解變式。【設(shè)計(jì)意圖】 讓學(xué)生理解前 n 項(xiàng)和公式的S 另一變形：再次對(duì)通項(xiàng)性質(zhì)進(jìn)行鞏固。學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載六、布置作業(yè) 1. 課本 P46習(xí)題 2.3 ，第 1 題（1）（3）七、板書(shū)設(shè)計(jì)一、等差數(shù)列前n 項(xiàng)和：3.3 等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和四、課堂練習(xí)S na 1a2a n二、公式的推導(dǎo) 方法一：分類(lèi)討論法 方法二：倒序相加法 三、深化公式 公式 1、公式 2、變形：（主板書(shū)）（副板書(shū)）（輔助性板書(shū)）八、教學(xué)反思“ 等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和” 的推導(dǎo)不只一種方法，本節(jié)課是通過(guò)介紹高斯的算法，探究 這種方法如何推廣