中考數(shù)學壓軸題 二次函數(shù)動點問題(一)

1、2012中考數(shù)學壓軸題選講（一）1.如圖：拋物線經(jīng)過A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點. （1） 求拋物線的解析式. （2）已知AD = AB（D在線段AC上），有一動點P從點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動；同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動，經(jīng)過t 秒的移動，線段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情況下，拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ+MC的值最??？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由。（注：拋物線的對稱軸為）解：設(shè)拋物線的解析式為，依題意得：c=4且 解得 所以 所求的拋物線的解析式為（2）連接DQ，在RtAOB中，所以AD

2、=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD =7 5 = 2因為BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQBD，所以PDB=QDB因為AD=AB，所以ABD=ADB，ABD=QDB，所以DQAB所以CQD=CBA。CDQ=CAB，所以CDQ CAB 即所以AP=AD DP = AD DQ=5 = ， 所以t的值是（3）答對稱軸上存在一點M，使MQ+MC的值最小理由：因為拋物線的對稱軸為所以A（- 3，0），C（4，0）兩點關(guān)于直線對稱連接AQ交直線于點M，則MQ+MC的值最小過點Q作QEx軸，于E，所以QED=BOA=90 DQAB， BAO=QDE， DQE A

3、BO 即 所以QE=，DE=，所以O(shè)E = OD + DE=2+=，所以Q（，）設(shè)直線AQ的解析式為則 由此得 所以直線AQ的解析式為 聯(lián)立由此得 所以M則：在對稱軸上存在點M，使MQ+MC的值最小。2.如圖9，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象的頂點為D點，與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點， A點在原點的左側(cè)，B點的坐標為（3，0），OBOC ，tanACO（1）求這個二次函數(shù)的表達式（2）經(jīng)過C、D兩點的直線，與x軸交于點E，在該拋物線上是否存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由（3）如圖10，若點G（2，y）是該

4、拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，APG的面積最大？求出此時P點的坐標和APG的最大面積.（1）由已知得：C（0，3），A（1，0） 1分將A、B、C三點的坐標代入得 解得： 所以這個二次函數(shù)的表達式為： （2）存在，F(xiàn)點的坐標為（2，3） 理由：易得D（1，4），所以直線CD的解析式為：E點的坐標為（3，0），由A、C、E、F四點的坐標得：AECF2，AECF以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，存在點F，坐標為（2，3） （3）過點P作y軸的平行線與AG交于點Q，易得G（2，3），直線AG為設(shè)P（x，），則Q（x，x1），PQ 當時，APG的面

5、積最大，此時P點的坐標為， 3.如圖，已知拋物線與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）。求拋物線的解析式；設(shè)拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使得PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標;若不存在，請說明理由;若點M是拋物線上一點，以B、C、D、M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M的坐標。解析：拋物線與y軸交于點C（0，3），設(shè)拋物線解析式為，根據(jù)題意，得，解得拋物線的解析式為存在. 由得，D點坐標為（1，4），對稱軸為x1.若以CD為底邊，則PDPC，設(shè)P點坐標為(x,y)，根據(jù)勾股定理，得，即y4x.又P點(x,y)在拋物線

6、上，即解得，應舍去.，即點P坐標為.若以CD為一腰，因為點P在對稱軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P與點C關(guān)于直線x1對稱，此時點P坐標為（2，3）。符合條件的點P坐標為或（2，3）.由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根據(jù)勾股定理,得CB,CD,BD,，,BCD90,設(shè)對稱軸交x軸于點E，過C作CMDE，交拋物線于點M，垂足為F，在RtDCF中，CFDF1, CDF45,由拋物線對稱性可知，CDM24590,點坐標M為（2，3），DMBC, 四邊形BCDM為直角梯形, 由BCD90及題意可知，以BC為一底時，頂點M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況;以CD為一底或以BD為一底

7、，且頂點M在拋物線上的直角梯形均不存在。綜上所述，符合條件的點M的坐標為（2，3）。4.已知：拋物線yax2bxc與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OBOC）是方程x210 x160的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x2（1）求A、B、C三點的坐標；（2）求此拋物線的表達式；（3）求ABC的面積；（4）若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EFAC交BC于點F，連接CE，設(shè)AE的長為m，CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；（5）在（4）的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值，若

8、存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時BCE的形狀；若不存在，請說明理由解：（1）解方程x210 x160得x12，x28點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OBOC點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8）又拋物線yax2bxc的對稱軸是直線x2由拋物線的對稱性可得點A的坐標為（6，0）A、B、C三點的坐標分別是A（6，0）、B（2，0）、C（0，8）（2）點C（0，8）在拋物線yax2bxc的圖象上c8，將A（6，0）、B（2，0）代入表達式y(tǒng)ax2bx8，得eq blcrc (avs4alco1(036a6b8,04a2b8)解得eq blcrc (avs4

9、alco1(af(2,3),bf(8,3)所求拋物線的表達式為yeq f(2,3)x2eq f(8,3)x8（3）AB8，OC8SABC eq f(1,2)88=32（4）依題意，AEm，則BE8m，OA6，OC8， AC10EFAC BEFBAC eq f(EF,AC)eq f(BE,AB)即eq f(EF,10)eq f(8m,8) EFeq f(405m,4)過點F作FGAB，垂足為G，則sinFEGsinCABeq f(4,5)eq f(FG,EF)eq f(4,5) FGeq f(4,5)eq f(405m,4)8mSSBCESBFEeq f(1,2)（8m）8eq f(1,2)（8

10、m）（8m）eq f(1,2)（8m）（88m）eq f(1,2)（8m）meq f(1,2)m24m自變量m的取值范圍是0m8（5）存在 理由：Seq f(1,2)m24meq f(1,2)（m4）28且eq f(1,2)0，當m4時，S有最大值，S最大值8m4，點E的坐標為（2，0） BCE為等腰三角形5.已知拋物線與軸的一個交點為A(-1,0)，與y軸的正半軸交于點C直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與軸的另一個交點B的坐標；當點C在以AB為直徑的P上時，求拋物線的解析式；坐標平面內(nèi)是否存在點，使得以點M和中拋物線上的三點A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點的坐標；若不存

11、在，請說明理由解：對稱軸是直線：，點B的坐標是(3,0) 說明：每寫對1個給1分，“直線”兩字沒寫不扣分如圖，連接PC，點A、B的坐標分別是A(-1,0)、B (3,0)，AB4在RtPOC中，OPPAOA211， b 當時， 存在理由：如圖，連接AC、BC設(shè)點M的坐標為當以AC或BC為對角線時，點M在x軸上方，此時CMAB，且CMAB由知，AB4，|x|4，x4點M的坐標為當以AB為對角線時，點M在x軸下方過M作MNAB于N，則MNBAOC90四邊形AMBC是平行四邊形，ACMB，且ACMBCAOMBNAOCBNMBNAO1，MNCOOB3，0N312點M的坐標為綜上所述，坐標平面內(nèi)存在點，

12、使得以點A、B、C、M為頂點的四邊形是平行四邊形其坐標為（說明：求點M的坐標時，用解直角三角形的方法或用先求直線解析式，然后求交點M的坐標的方法均可，請參照給分）2012中考數(shù)學壓軸題選講（一）1.如圖：拋物線經(jīng)過A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點. （1） 求拋物線的解析式. （2）已知AD = AB（D在線段AC上），有一動點P從點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動；同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動，經(jīng)過t 秒的移動，線段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情況下，拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ+MC的值最??？若存在，請求出點M的坐標；若

13、不存在，請說明理由。（注：拋物線的對稱軸為）2.如圖9，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象的頂點為D點，與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點， A點在原點的左側(cè)，B點的坐標為（3，0），OBOC ，tanACO（1）求這個二次函數(shù)的表達式（2）經(jīng)過C、D兩點的直線，與x軸交于點E，在該拋物線上是否存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由（3）如圖10，若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，APG的面積最大？求出此時P點的坐標和APG的最大面積.3.如圖，已知拋物線與x軸

14、交于A（1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）。求拋物線的解析式；設(shè)拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使得PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標;若不存在，請說明理由;若點M是拋物線上一點，以B、C、D、M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M的坐標。4.已知：拋物線yax2bxc與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OBOC）是方程x210 x160的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x2（1）求A、B、C三點的坐標；（2）求此拋物線的表達式；（3）求ABC的面積；（4）若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EFAC交BC于點F，連接CE，設(shè)AE的長為m，CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值