線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性課件

1、9-2 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性是揭示動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不變的本質(zhì)特征的兩個(gè)重要的基本結(jié)構(gòu)特性?？柭?0年代初首先提出狀態(tài)可控性和可觀測(cè)性。其后的發(fā)展表明,這兩個(gè)概念對(duì)回答被控系統(tǒng)能否進(jìn)行控制與綜合等基本性問(wèn)題,對(duì)于控制和狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題的研究,有著極其重要的意義。系統(tǒng)可控性指的是控制作用對(duì)被控系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出進(jìn)行控制的可能性?？捎^測(cè)性反映由能直接測(cè)量的輸入輸出的量測(cè)值來(lái)確定反映系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性的狀態(tài)的可能性。為什么經(jīng)典控制理論沒(méi)有涉及到可控性和可觀測(cè)性問(wèn)題?這是因?yàn)榻?jīng)典控制理論所討論的是SISO系統(tǒng)輸入輸出的分析和綜合問(wèn)題,它的輸入輸出間的動(dòng)態(tài)關(guān)系可以唯一地由傳遞函數(shù)所確定

2、。因此,給定輸入,則一定會(huì)存在唯一的輸出與之對(duì)應(yīng)。反之,對(duì)期望輸出信號(hào),總可找到相應(yīng)的輸入信號(hào)(即控制量)使系統(tǒng)輸出按要求進(jìn)行控制,不存在能否控制的問(wèn)題。此外,輸出一般是可直接測(cè)量,不然,則應(yīng)能間接測(cè)量。否則,就無(wú)從進(jìn)行反饋控制和考核系統(tǒng)所達(dá)到的性能指標(biāo)。因此,在這里不存在輸出能否測(cè)量(觀測(cè))的問(wèn)題。所以,無(wú)論是從理論還是實(shí)踐,經(jīng)典控制理論和技術(shù)一般不涉及到能否控制和能否觀測(cè)的問(wèn)題。現(xiàn)代控制理論中著眼于對(duì)表征MIMO系統(tǒng)內(nèi)部特性和動(dòng)態(tài)變化的狀態(tài)進(jìn)行分析、優(yōu)化和控制。狀態(tài)變量向量的維數(shù)一般比輸入向量的維數(shù)高,這里存在多維狀態(tài)能否由少維輸入控制的問(wèn)題。此外,狀態(tài)變量是表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)變化的一組內(nèi)部變量

3、,有時(shí)并不能直接測(cè)量或間接測(cè)量,故存在能否利用可測(cè)量或觀測(cè)的輸入輸出的信息來(lái)構(gòu)造系統(tǒng)狀態(tài)的問(wèn)題。一、 線性連續(xù)系統(tǒng)的可控性本節(jié)首先從物理直觀性來(lái)討論狀態(tài)可控的基本含義,然后再引出狀態(tài)可控性的定義。下面將看到,這種從直觀到抽象的討論,對(duì)于理解可控性嚴(yán)格定義的確切含義是有益的。1. 可控性的直觀討論狀態(tài)可控性反映輸入u(t)對(duì)狀態(tài)x(t)的控制能力。如果狀態(tài)變量x(t)由任意初始時(shí)刻的任意初始狀態(tài)引起的運(yùn)動(dòng)都能由輸入(控制項(xiàng))來(lái)影響,并能在有限時(shí)間內(nèi)控制到空間原點(diǎn),那么稱(chēng)系統(tǒng)是可控的,或者更確切地說(shuō),是狀態(tài)可控的。否則,就稱(chēng)系統(tǒng)為不完全可控的。下面通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)明可控性的意義 。該電橋系統(tǒng)中,電源電

4、壓u(t)為輸入變量,并選擇兩電容器兩端的電壓為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)。試分析電源電壓u(t)對(duì)兩個(gè)狀態(tài)變量的控制能力。例 某電橋系統(tǒng)的模型如圖1所示 。圖1 電橋系統(tǒng) 由電路理論知識(shí)可知,若圖1所示的電橋系統(tǒng)是平衡的,電容C2的電壓x2(t)是不能通過(guò)輸入電壓u(t)改變的,即狀態(tài)變量x2(t)是不可控的,則系統(tǒng)是不完全可控的。 若圖1所示的電橋系統(tǒng)是不平衡的, 兩電容的電壓x1(t)和x2(t)可以通過(guò)輸入電壓u(t)控制,則系統(tǒng)是可控的。由狀態(tài)空間模型來(lái)看,當(dāng)選擇兩電容器兩端電壓為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)時(shí),可得如下?tīng)顟B(tài)方程: 由上述狀態(tài)方程可知,狀態(tài)變量x2(t)的值,即

5、電橋中電容C2的電壓,是自由衰減的,并不受輸入u的控制。因此,該電壓的值不能在有限時(shí)間內(nèi)衰減至零,即該狀態(tài)變量是不能由輸入變量控制到原點(diǎn)。具有這種特性的系統(tǒng)稱(chēng)為狀態(tài)不可控的。例 某并聯(lián)雙水槽系統(tǒng)如圖2所示,其截面積均為A,它們通過(guò)閥門(mén)O均勻地輸入等量液體,即其流量QO相同。圖2 并聯(lián)雙水槽系統(tǒng) 當(dāng)閥門(mén)1和2的開(kāi)度不變時(shí),設(shè)它們?cè)谄胶夤ぷ鼽c(diǎn)鄰域閥門(mén)阻力相等并可視為常數(shù),記為R。圖中h1(t)和h2(t)分別為水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分別為流量。該雙水槽系統(tǒng)的狀態(tài)可控性可分析如下:對(duì)本例的流體力學(xué)系統(tǒng),假設(shè)對(duì)兩個(gè)水槽的流入和流出的水流體已處于平衡。下面僅考慮流量QO的變化量QO所引起的

6、水槽水位的變化。由各水槽中所盛水量的平衡關(guān)系和流量與壓力(水面高度)的關(guān)系,有 其中代表平衡工作點(diǎn)附近的變化量。選上述方程中變化量h1和h2為狀態(tài)變量,將狀態(tài)變量帶入方程中并消去中間變量Q1和Q2消去,則有解上述狀態(tài)方程,可得由上述解可知,當(dāng)初始狀態(tài)x1(0)和x2(0)不等時(shí),則x1(t)和x2(t)的狀態(tài)軌跡完全不相同,即在有限時(shí)間內(nèi)兩條狀態(tài)軌線不相交。因此,對(duì)該系統(tǒng),無(wú)論如何控制流入的流量QO(t),都不能使兩水槽的液面高度的變化量h1(t)和h2(t)在有限時(shí)間內(nèi)同時(shí)為零,即液面高度不完全能進(jìn)行任意控制。上面用實(shí)際系統(tǒng)初步說(shuō)明了可控性的基本含義,可控性在系統(tǒng)狀態(tài)空間模型上的反映可由如下

7、兩個(gè)例子說(shuō)明。例: 給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型與結(jié)構(gòu)圖分別為本例中,狀態(tài)變量x1的運(yùn)動(dòng)只受初始狀態(tài)x1(0)的影響,與輸入無(wú)關(guān),即輸入u(t)不可控制x1(t)的運(yùn)動(dòng),而且x1(t)不能在有限時(shí)間內(nèi)衰減到零。因此,狀態(tài)x1(t)不可控,則整個(gè)系統(tǒng)是狀態(tài)不完全可控的。1/s-1-21/s由該狀態(tài)方程可知,狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)都可由輸入u單獨(dú)控制,可以說(shuō),x1(t)和x1(t)都是單獨(dú)可控的。對(duì)該狀態(tài)方程求解后可得x1(t)-x2(t)=e-3tx1(0)-x2(0)即狀態(tài)x1(t)和x1(t)總是相差一個(gè)固定的,不受u(t)控制的函數(shù)值。例: 給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為因此,x1(t)和x1

8、(t)不能在有限時(shí)間內(nèi)同時(shí)被控制到零或狀態(tài)空間中的任意狀態(tài),只能被控制在滿足由狀態(tài)方程解所規(guī)定的狀態(tài)空間中的曲線上。所以,雖然狀態(tài)x1(t)和x2(t)都是單獨(dú)可控的,但整個(gè)系統(tǒng)并不可控。前面4個(gè)例子,可通過(guò)直觀分析來(lái)討論系統(tǒng)的狀態(tài)可控性,但對(duì)維數(shù)更高、更復(fù)雜的系統(tǒng),直觀判斷可控性是困難的。下面將通過(guò)給出狀態(tài)可控性的嚴(yán)格定義,來(lái)導(dǎo)出判定系統(tǒng)可控性的充要條件。2. 狀態(tài)可控性的定義由狀態(tài)方程及狀態(tài)方程求解公式可知,狀態(tài)的變化主要取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)和初始時(shí)刻之后的輸入,與輸出y(t)無(wú)關(guān)。因此研究討論狀態(tài)可控性問(wèn)題,即輸入u(t)對(duì)狀態(tài)x(t)能否控制的問(wèn)題,只需考慮系統(tǒng)在輸入u(t)的作用和狀

9、態(tài)方程的性質(zhì),與輸出y(t)和輸出方程無(wú)關(guān)。對(duì)線性連續(xù)系統(tǒng),我們有如下?tīng)顟B(tài)可控性定義。定義1 若線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)對(duì)初始時(shí)刻t0(t0T,T為時(shí)間定義域)和初始狀態(tài)x(t0),存在另一有限時(shí)刻t1(t1t0,t1T),可以找到一個(gè)控制量u(t),能在有限時(shí)間t0,t1內(nèi)把系統(tǒng)狀 態(tài)從初始狀態(tài)x(t0)控制到原點(diǎn),即x(t1)=0,則稱(chēng)t0時(shí)刻的狀態(tài)x(t0)可控;若對(duì)t0時(shí)刻的狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都可控,則稱(chēng)系統(tǒng)在t0時(shí)刻狀態(tài)完全可控;簡(jiǎn)稱(chēng)為系統(tǒng)可控。對(duì)上述狀態(tài)可控性的定義有如下討論:1. 控制時(shí)間t0,t1是系統(tǒng)狀態(tài)由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)所需的有限時(shí)間。對(duì)時(shí)變系統(tǒng),控制時(shí)間的長(zhǎng)短,即t1-t0的

10、值,與初始時(shí)刻t0有關(guān)。對(duì)于定常系統(tǒng),該控制時(shí)間與t0無(wú)關(guān)。所以,對(duì)于線性定常系統(tǒng)狀態(tài)可控性,可不必在定義中強(qiáng)調(diào)“在所有時(shí)刻狀態(tài)完全可控”,而為“某一時(shí)刻狀態(tài)完全可控,則系統(tǒng)狀態(tài)完全可控”。2. 在上述定義中,對(duì)輸入u(t)沒(méi)有加任何約束,只要能使?fàn)顟B(tài)方程的解存在即可。如果矩陣A(t)和B(t)以及向量u(t)的每個(gè)元素都是t的分段連續(xù)函數(shù),則狀態(tài)方程存在唯一解。u(t)為分段連續(xù)的條件,在工程上是很容易滿足的。3. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)可控性判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B)狀態(tài)可控性判據(jù)有許多不同形式,包括格拉姆矩陣判據(jù)秩判據(jù)模態(tài)判據(jù)（1）格拉姆矩陣判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B)狀態(tài)完全可控

11、的充要條件為:存在t1(t10),使得如下可控格拉姆(Gram)矩陣為非奇異的（2）秩判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B)狀態(tài)完全可控的充要條件為:定義如下的可控性矩陣Qc=B AB An-1B滿秩, rankQc=rankB AB An-1B=n證明如下:對(duì)于線性定常系統(tǒng),由可控性定義可知,其狀態(tài)可控性與初始時(shí)刻無(wú)關(guān)。因此,不失一般性,可設(shè)初始時(shí)刻t0為0。根據(jù)狀態(tài)方程解的表達(dá)式,有證明 在證明可控性判據(jù)之前,下面首先證明線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全可控等價(jià)于下述方程對(duì)任意的初始狀態(tài)x(0)有控制輸入u(t)的解。由可控性的定義有,若可控,則應(yīng)存在t1(t10)和分段連續(xù)的u(t),使得x(t1)=0,即

12、即因此,線性定常系統(tǒng)狀態(tài)可控的充要條件為:上述方程對(duì)任意的x(0)有輸入u(t)的解。下面將利用該方程證明判別狀態(tài)可控性的充要條件。由凱萊-哈密頓定理,有因此代入得：令： 若系統(tǒng)是可控的，那么對(duì)于任意給定的初始狀態(tài)x(0)都應(yīng)從上述方程中解出 f0，f1，fn 1來(lái)。這就要求系統(tǒng)可控性矩陣的秩為n，即rank B AB A2B An 1B = n例題： 試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可控性解 由狀態(tài)可控性的代數(shù)判據(jù)有因此,該系統(tǒng)狀態(tài)完全可控。 例題： 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為判斷其狀態(tài)可控性。 解：系統(tǒng)的可控性矩陣為Qc = B AB A2B = rankQc= 2 n 所以系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控。 2 1 1

13、11 1 3 2 2 22 2 5 4 4 44 4對(duì)角規(guī)范型判據(jù)：對(duì)為對(duì)角規(guī)范形的線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B), 有：1) 若A的所有特征值互異,則系統(tǒng)可控的充要條件為：B中不包含元素全為0的行；2) 若A有重特征值,則系統(tǒng)可控的充要條件為：重特征值對(duì)應(yīng)的B中的行線性無(wú)關(guān)。（3） 模態(tài)判據(jù)例題：判斷下述系統(tǒng)的狀態(tài)可控性例題：對(duì)于如圖所示的系統(tǒng)，列寫(xiě)該系統(tǒng)的狀態(tài)方程，并判斷該系統(tǒng)的可控性。約旦規(guī)范形判據(jù)：對(duì)為約旦規(guī)范形的線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B),有:1) 若A為每個(gè)特征值都只有一個(gè)約旦塊的約旦矩陣,則系統(tǒng)可控的充要條件為對(duì)應(yīng)A的每個(gè)約旦塊的B的分塊的最后一行都不全為零;2) 若A為某個(gè)特征值有

14、多于一個(gè)約旦塊的約旦矩陣,則系統(tǒng)可控的充要條件為對(duì)應(yīng)A的每個(gè)特征值的所有約旦塊的B的分塊的最后一行線性無(wú)關(guān)。模態(tài)判據(jù)不僅可判別出狀態(tài)可控性,而且更進(jìn)一步地指出是系統(tǒng)的哪一模態(tài)(特征值或極點(diǎn))和哪一狀態(tài)不可控。這對(duì)于進(jìn)行系統(tǒng)分析和反饋校正是非常有幫助的。解 由對(duì)角型判據(jù)可知,A為特征值互異的對(duì)角線矩陣,且B中各行不全為零,故系統(tǒng)狀態(tài)完全可控。例題： 試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。解 A的每個(gè)特征值都只有一個(gè)約旦塊,但對(duì)應(yīng)于特征值-4的約旦塊的B的分塊的最后一行全為零,故狀態(tài)x1和x2不可控,則系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控。狀態(tài)空間x1-x2-x3不完全可控狀態(tài)子空間x1-x2不完全可控狀態(tài)變量x3完全可控狀

15、態(tài)變量x2完全不可控狀態(tài)變量x1完全不可控解 由于A中特征值-4的兩個(gè)約旦塊所對(duì)應(yīng)的B的分塊的最后一行線性無(wú)關(guān),且A中特征值-3的約旦塊所對(duì)應(yīng)的B的分塊的最后一行不全為零,故系統(tǒng)狀態(tài)完全可控。解 由于A中特征值-4的兩個(gè)約旦塊所對(duì)應(yīng)的B的分塊的最后一行線性相關(guān),故該系統(tǒng)的狀態(tài)x1,x2和x4不完全可控,則系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控。狀態(tài)空間x1-x2-x3-x4不完全可控狀態(tài)子空間x1-x2-x4不完全可控狀態(tài)變量x3完全可控PBH秩判據(jù)： 線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B)狀態(tài)完全可控的充必條件為:對(duì)于所有的i,下式成立:rankiI-A B=n 解 由方程|iI-A|=0,可解得矩陣A的特征值分別為1,2

16、和3。對(duì)特征值1=1,有例題： 試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。對(duì)特征值2=2,有對(duì)特征值3=3,有由PBH秩判據(jù)可知, 該系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控?？煽匦耘袚?jù)小結(jié)判定方法特點(diǎn)判據(jù)秩判據(jù)規(guī)范型判據(jù)PBH秩判據(jù)可控性矩陣Qc=B AB An-1B滿秩約旦標(biāo)準(zhǔn)形中同一特征值對(duì)應(yīng)的B矩陣分塊的最后一行線性無(wú)關(guān)對(duì)于所有特征值 , rankI-A B=n計(jì)算簡(jiǎn)便可行。缺點(diǎn)為不知道狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點(diǎn))可控易于分析狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點(diǎn))可控。缺點(diǎn)為需變換成標(biāo)準(zhǔn)形易于分析哪些特征值(極點(diǎn))可控。缺點(diǎn)為需求系統(tǒng)的特征值二、 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出可控性在控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)中,系統(tǒng)的被控制量往往不

17、是系統(tǒng)的狀態(tài)變量,而是系統(tǒng)的輸出變量。因此,有必要研究系統(tǒng)的輸出能否控制的問(wèn)題。經(jīng)典控制理論討論的為SISO系統(tǒng)輸入輸出的分析和綜合問(wèn)題,其輸入輸出間動(dòng)態(tài)關(guān)系可以唯一地由傳遞函數(shù)所確定。因此,對(duì)給定的期望輸出響應(yīng),輸入則唯一地確定,不存在輸出能否控制的問(wèn)題。但對(duì)于MIMO系統(tǒng),由于輸入向量和輸出向量是多維的,因此,存在r維的輸入能否控制m維的輸出的可控性問(wèn)題。定義：若線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C,D),對(duì)初始時(shí)刻t0(t0T,T為系統(tǒng)的時(shí)間定義域)和任意初始輸出值y(t0),存在另一有限時(shí)刻t1(t1t0,t1T),可以找到一個(gè)輸入控制向量u(t),能在有限時(shí)間t0,t1內(nèi)把系統(tǒng)從初始輸出y(

18、t0)控制到原點(diǎn),即y(t1)=0,則稱(chēng)系統(tǒng)輸出完全可控,簡(jiǎn)稱(chēng)為系統(tǒng)輸出可控。若系統(tǒng)存在某個(gè)初始輸出值y(t0)不滿足上述條件,則稱(chēng)此系統(tǒng)是輸出不完全可控的,簡(jiǎn)稱(chēng)為輸出不可控。定理：線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C,D)輸出完全可控的充要條件為輸出可控性矩陣CB CAB CAn-1B D滿秩,即rank CB CAB CAn-1B D=m其中m為輸出向量的維數(shù)。 例題：試判斷如下系統(tǒng)的輸出可控性解 由輸出可控性的代數(shù)判據(jù)有rankCB CAB D=rank2 0 0=1=m故系統(tǒng)輸出完全可控。 對(duì)例題中的系統(tǒng),因?yàn)楣氏到y(tǒng)是狀態(tài)不完全可控的。因此,由例題可知,輸出可控性與狀態(tài)可控性是不等價(jià)的兩個(gè)不同

19、概念,它們之間亦沒(méi)有必然的聯(lián)系。本節(jié)首先從物理直觀性來(lái)討論狀態(tài)可觀測(cè)性的基本含義,然后再引出狀態(tài)可觀測(cè)性的定義。下面將看到,這種從直觀到抽象的討論,對(duì)于理解可觀測(cè)性嚴(yán)格定義的確切含義是有益的。本節(jié)講授順序?yàn)?可觀測(cè)性的直觀討論狀態(tài)可觀測(cè)性的定義線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性判據(jù)三、 線性連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性1. 可觀測(cè)性的直觀討論狀態(tài)可觀測(cè)性反映系統(tǒng)外部可直接或間接測(cè)量的輸出y(t) 來(lái)確定或反映系統(tǒng)狀態(tài)的能力。如果系統(tǒng)的任何內(nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化都可由系統(tǒng)的外部輸出y(t)唯一地確定,那么稱(chēng)系統(tǒng)是可觀測(cè)的,或者更確切地說(shuō),是狀態(tài)可觀測(cè)的。否則,就稱(chēng)系統(tǒng)為狀態(tài)不完全可觀測(cè)的。下面通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明可觀

20、測(cè)性的意義。例 考慮右圖所示的電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)由輸出變量的值確定狀態(tài)變量值的能力問(wèn)題。當(dāng)電阻R1=R2,電感L1=L2,輸入電壓u(t)=0,以及兩個(gè)狀態(tài)變量的初始狀態(tài)x1(t0)=x2(t0)且為任意值時(shí),必定有i3(t)=0,即輸出變量y(t)恒為零。因此,由恒為零的輸出y(t)顯然不能確定通過(guò)兩個(gè)電感的電流值i1(t)和i2(t),即由輸出y(t)不能確定狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)的值。該電網(wǎng)絡(luò)模型中,u(t)為輸入電壓, y(t) =i3(t)為輸出變量,通過(guò)兩電感的電流i1(t)和i2(t)分別為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)。圖 電網(wǎng)絡(luò)但當(dāng)電阻R1R2或電感L1L2時(shí),則上述由輸出y

21、(t)不能確定狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)的值的特性可能不成立。這種能由輸出變量值確定狀態(tài)變量值的特性稱(chēng)為狀態(tài)可觀測(cè),若由輸出變量值不能唯一確定出狀態(tài)變量值的特性則稱(chēng)為狀態(tài)不可觀測(cè)。從狀態(tài)空間模型上看，當(dāng)選擇兩電感的電流i1(t)和i2(t)分別為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)時(shí)，狀態(tài)空間模型為當(dāng)電路中電阻值R1=R2=R,電感值L1=L2=L時(shí),若輸入電壓u(t)突然短路,即u(t)=0,則狀態(tài)方程為顯然,當(dāng)狀態(tài)變量的初始狀態(tài)為x1(t0)=x2(t0)且為任意值時(shí),上述狀態(tài)方程的解必有x1(t)=x2(t),故有y(t)=i3(t)=0,即輸出變量y(t)恒為零。因此,由觀測(cè)到的恒為零的

22、輸出變量y(t)不能確定狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)的值,即由輸出i3(t)不能確定通過(guò)兩個(gè)電感的電流值i1(t)和i2(t)。但當(dāng)電路中電阻值R1R2或電感值L1L2時(shí),則上述由輸出y(t)不能確定狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)的值的特性可能不成立。這種由可測(cè)量的輸出變量的值能惟一確定狀態(tài)變量的值的特性稱(chēng)為狀態(tài)可觀測(cè),若不能惟一確定則稱(chēng)為狀態(tài)不可觀測(cè)。 例：右圖所示的電網(wǎng)絡(luò)中,電源電壓u(t)為輸入,電壓y(t)為輸出,并分別取電容電壓uC(t)和電感電流iL(t)為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)。因此,由輸出變量y(t)顯然不能確定電壓值uC(t),即由輸出y(t)不能確定狀態(tài)變量x1(

23、t)的值。故,該電網(wǎng)絡(luò)在開(kāi)關(guān)K斷開(kāi)后,是狀態(tài)不可觀測(cè)的。當(dāng)開(kāi)關(guān)K在t0時(shí)刻斷開(kāi)后,顯然電容C和電阻R1構(gòu)成一階衰減電路,電容電壓uC(t)的變化只與初始狀態(tài)uC(t0)有關(guān),與衰減電路外其他信號(hào)無(wú)關(guān)。例:給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為由狀態(tài)方程可知:狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)可分別由初始狀態(tài)x1(t0)和x2(t0)唯一決定,并可表示為xi(t)=e-txi(0) i=1,2因此,輸出變量y(t)可表示為y(t)=e-tx1(0)+x2(0)由y(t)的解可知,由y(t)并不能唯一地分別確定初始狀態(tài)x1(t0)和x2(t0),進(jìn)而唯一地確定狀態(tài)變量x1(t)和x2(t),即x1(t)和x2(t)

24、是狀態(tài)不可觀測(cè)的,整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)是不完全可觀測(cè)的。前面3個(gè)例子,可通過(guò)直觀分析來(lái)討論系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性,但對(duì)維數(shù)更高、更復(fù)雜的系統(tǒng),直觀判斷可觀測(cè)性是困難的。下面將通過(guò)給出狀態(tài)可觀測(cè)性的嚴(yán)格定義,來(lái)導(dǎo)出判定狀態(tài)可觀測(cè)性的充要條件。2. 狀態(tài)可觀測(cè)性的定義對(duì)線性系統(tǒng)而言,狀態(tài)可觀測(cè)性只與系統(tǒng)的輸出y(t),以及系統(tǒng)矩陣A和輸出矩陣C有關(guān),與系統(tǒng)的輸入u(t)和輸入矩陣B無(wú)關(guān),即討論狀態(tài)可觀測(cè)性時(shí),只需考慮系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)即可。上述結(jié)論可證明如下:對(duì)線性定常系統(tǒng)(A,B,C),其狀態(tài)和輸出的解分別為因?yàn)榫仃嘇,B,C和輸入u(t)均已知,故上式的右邊第二項(xiàng)可以計(jì)算出來(lái),也是已知項(xiàng)。故可以定義如下輔助

25、輸出:研究狀態(tài)可觀測(cè)性問(wèn)題,即為上式對(duì)任意的初始狀態(tài)x(t0)能否由輔助輸出y-(t)來(lái)唯一確定的問(wèn)題。所以線性系統(tǒng)狀態(tài)可觀測(cè)性僅與輸出y(t),以及系統(tǒng)矩陣A和輸出矩陣C有關(guān),與輸入矩陣B和輸入u(t)無(wú)關(guān)。也就是說(shuō),分析線性系統(tǒng)的可觀測(cè)性時(shí),只需考慮齊次狀態(tài)方程和輸出方程即可。因此,我們有如下線性系統(tǒng)狀態(tài)可觀測(cè)性的定義。對(duì)線性連續(xù)系統(tǒng),我們有如下?tīng)顟B(tài)可觀測(cè)性定義。定義：若線性連續(xù)系統(tǒng)對(duì)初始時(shí)刻t0(t0T,T為時(shí)間定義域)和初始狀態(tài)x(t0),存在另一有限時(shí)刻t1(t1t0,t1T),根據(jù)在有限時(shí)間區(qū)間t0,t1內(nèi)量測(cè)到的輸出y(t),能夠唯一地確定系統(tǒng)在t0時(shí)刻的初始狀態(tài)x(t0),則稱(chēng)

26、在t0時(shí)刻的狀態(tài)x(t0)可觀測(cè);若對(duì)t0時(shí)刻的狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都可觀測(cè),則稱(chēng)系統(tǒng)在t0時(shí)刻狀態(tài)完全可觀測(cè);若存在某個(gè)狀態(tài)x(t0) 不可觀測(cè)，稱(chēng)此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全可觀測(cè)的,簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)為狀態(tài)不可觀測(cè)。對(duì)上述狀態(tài)可觀測(cè)性的定義有如下注記。1.對(duì)于線性定常系統(tǒng),由于系統(tǒng)矩陣A(t)和輸出矩陣C(t)都為常數(shù)矩陣,與時(shí)間無(wú)關(guān),因此不必在定義中強(qiáng)調(diào)“在所有時(shí)刻狀態(tài)完全可觀測(cè)”,而為“某一時(shí)刻狀態(tài)完全可觀測(cè),則系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀測(cè)”。2.上述定義中的輸出觀測(cè)時(shí)間為t0,t1,并要求t1t0。這是因?yàn)?輸出變量y(t)的維數(shù)m一般總是小于狀態(tài)變量x(t)的維數(shù)n。否則,若m=n且輸出矩陣C(t)可逆,則x

27、(t)=C-1(t)y(t)即狀態(tài)變量x(t)可直接由輸出y(t)確定。由于m0),使得如下可觀測(cè)格拉姆(Gram)矩陣為非奇異的（2）秩判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,C) 完全可觀測(cè)的充要條件為:定義如下的可觀測(cè)性矩陣滿秩,即 rankQo=n證明 對(duì)于線性定常系統(tǒng),由可觀測(cè)性定義可知,其狀態(tài)可觀測(cè)性與初始時(shí)刻無(wú)關(guān)。因此,不失一般性,可設(shè)初始時(shí)刻t0為0。根據(jù)輸出方程解的表達(dá)式,有y(t)=CeAtx(0)由可觀測(cè)性的定義可知,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)是否完全可觀測(cè),等價(jià)于上述方程是否有x(0)的唯一解問(wèn)題。將凱萊-哈密頓定理代入上式：例： 試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性解 由狀態(tài)可觀測(cè)性的代數(shù)判據(jù)

28、有而系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)n=2,所以系統(tǒng)狀態(tài)不完全可觀測(cè)。對(duì)角規(guī)范型判據(jù)：對(duì)為對(duì)角規(guī)范形的線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,C), 有：1) 若A的所有特征值互異,則系統(tǒng)可觀測(cè)的充要條件為：C中不包含元素全為0的列；2) 若A有重特征值,則系統(tǒng)可觀測(cè)的充要條件為：重特征值對(duì)應(yīng)的C中的列線性無(wú)關(guān)。（3） 模態(tài)判據(jù)約旦規(guī)范形判據(jù)：對(duì)為約旦規(guī)范形的線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,C),有:1) 若A為每個(gè)特征值都只有一個(gè)約旦塊的約旦矩陣,則系統(tǒng)可觀測(cè)的充要條件為對(duì)應(yīng)A的每個(gè)約旦塊的C的分塊的第一列不全為零;2) 若A為某個(gè)特征值有多于一個(gè)約旦塊的約旦矩陣,則系統(tǒng)可觀測(cè)的充要條件為對(duì)應(yīng)A的每個(gè)特征值的所有約旦塊的C的分塊的

29、第一列線性無(wú)關(guān)。模態(tài)判據(jù)不僅可判別出狀態(tài)可觀測(cè)性,而且更進(jìn)一步地指出是系統(tǒng)的哪一模態(tài)(特征值或極點(diǎn))和哪一狀態(tài)不可觀測(cè)。這對(duì)于進(jìn)行系統(tǒng)分析、狀態(tài)觀測(cè)器和反饋校正是非常有幫助的。例： 試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性。解 由定理4-8可知,A為特征值互異的對(duì)角線矩陣,但C中的第2列全為零,故該系統(tǒng)的狀態(tài)x2不可觀測(cè),則系統(tǒng)狀態(tài)不完全可觀測(cè)。狀態(tài)空間x1-x2不完全可觀測(cè)狀態(tài)變量x1完全可觀測(cè)狀態(tài)變量x2完全不可觀測(cè)解 由于A為每個(gè)特征值都只有一個(gè)約旦塊,且對(duì)應(yīng)于各約旦塊的C的分塊的第一列都不全為零,故系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀測(cè)。解 由于A中特征值-4的兩個(gè)約旦塊所對(duì)應(yīng)的C的分塊的第一列線性相關(guān),該系統(tǒng)的狀態(tài)

30、x1,x2和x4不完全可觀測(cè),則系統(tǒng)狀態(tài)不完全可觀測(cè)。狀態(tài)空間x1-x2-x3-x4不完全可觀測(cè)狀態(tài)變量x1-x2-x4不完全可觀測(cè)狀態(tài)變量x3完全可觀測(cè)PBH秩判據(jù)： 線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,C)狀態(tài)完全可觀測(cè)的充要條件為:對(duì)于所有的i,下式成立:例題：試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性。解 由方程|I-A|=0,可解得矩陣A的特征值分別為-1,-2和-3。對(duì)特征值1=-1,有列3=列2-列1故該系統(tǒng)狀態(tài)不完全可觀測(cè)?？捎^測(cè)性判據(jù)小結(jié)判定方法特點(diǎn)判據(jù)代數(shù)判據(jù)規(guī)范性判據(jù)PBH秩判據(jù)可觀測(cè)性矩陣Qo滿秩約旦標(biāo)準(zhǔn)形中同一特征值對(duì)應(yīng)的C矩陣分塊的第一列線性無(wú)關(guān)對(duì)于所有特征值 , rankI-A C=n計(jì)算簡(jiǎn)

31、便可行。缺點(diǎn)為不知道狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點(diǎn))可觀測(cè)易于分析狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點(diǎn))可觀測(cè)。缺點(diǎn)為需變換成標(biāo)準(zhǔn)形易于分析哪些特征值(極點(diǎn))可觀測(cè)。缺點(diǎn)為需求系統(tǒng)的特征值補(bǔ)充可控性和可觀測(cè)判據(jù)： 對(duì)單輸入系統(tǒng)，(sI-A) -1b無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消是系統(tǒng)完全可控的 充要條件。對(duì)單輸出系統(tǒng)，c(sI-A) -1無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消是系統(tǒng)完全可觀測(cè)的 充要條件。結(jié)論：對(duì)單輸入單輸出系統(tǒng)，傳遞函數(shù)G(s)=c(sI-A) -1b無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消是系統(tǒng)完全可控可觀測(cè)的充要條件。傳遞函數(shù)描述的只是可控又可觀測(cè)部分；傳遞函數(shù)中消去的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)于不可控或不可觀測(cè)模態(tài)。例題：為使 描述的系統(tǒng)可控又可觀測(cè)，問(wèn)a應(yīng)滿

32、足什么條件？例題：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)（1）寫(xiě)出系統(tǒng)可控不可觀測(cè)的動(dòng)態(tài)方程；（2）寫(xiě)出系統(tǒng)可觀測(cè)不可控的動(dòng)態(tài)方程；例題：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù) （1）寫(xiě)出系統(tǒng)可控不可觀測(cè)的動(dòng)態(tài)方程；（2）寫(xiě)出系統(tǒng)可觀測(cè)不可控的動(dòng)態(tài)方程；解： 本節(jié)主要講述線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)可控性/可觀測(cè)性的定義和判據(jù)。由于線性連續(xù)系統(tǒng)只是線性離散系統(tǒng)當(dāng)采樣周期趨于無(wú)窮小時(shí)的無(wú)限近似,所以離散系統(tǒng)的狀態(tài)可控性/可觀測(cè)性的定義與線性連續(xù)系統(tǒng)的極其相似,可控性/可觀測(cè)性判據(jù)則在形式上基本一致。四、線性離散系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性本節(jié)的主要內(nèi)容為:線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)可控性線性定常離散系統(tǒng)的可觀測(cè)性連續(xù)動(dòng)態(tài)方程離散化后的狀態(tài)可控性和可觀測(cè)性1.

33、 線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)可控性定義定義： 對(duì)線性時(shí)變離散系統(tǒng)x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)若對(duì)任意非零初始狀態(tài)x(l),存在控制作用序列u(k),使系統(tǒng)在第n步上達(dá)到到原點(diǎn),即x(n)=0,則稱(chēng)狀態(tài)在時(shí)刻l可控;若狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都可控,則稱(chēng)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控;若存在某個(gè)狀態(tài)不可控,稱(chēng)此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全可控的,簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)為狀態(tài)不可控。在上述狀態(tài)可控性定義中,只要求在n步之內(nèi)尋找控制作用,使得系統(tǒng)狀態(tài)在第n步上到達(dá)原點(diǎn)。這是因?yàn)?可以證明,若離散系統(tǒng)在n步之內(nèi)不存在控制作用使得對(duì)任意初始狀態(tài)控制到原點(diǎn),則在n步以后也不存在控制作用使?fàn)顟B(tài)在有限步之內(nèi)控制到原點(diǎn)。故在上述定義中,只要求

34、系統(tǒng)在n步之內(nèi)尋找控制作用。定理 (線性定常離散系統(tǒng)可控性秩判據(jù)) 對(duì)線性定常離散系統(tǒng)x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)，有如下?tīng)顟B(tài)可控性判據(jù):1) 若系統(tǒng)矩陣G為非奇異矩陣，則狀態(tài)完全可控的充要條件為如下定義的可控性矩陣:Qc=H GH Gn-1H滿秩，即rankQc=n2) 若系統(tǒng)矩陣G為奇異矩陣，則系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件為 rankQc=rankQc Gn2. 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)可控性判據(jù)證明 線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解如下:設(shè)在第n步上能使初始狀態(tài)x(0)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài),于是上式可記為即上式寫(xiě)成矩陣形式即為這是一個(gè)非齊次線性代數(shù)方程組,由線性方程組解的存在性理論可知,上式存在

35、控制序列u(0),u(1),u(n-1)的充要條件為rankH GH Gn-1H=rankH GH Gn-1H Gn x(0)考慮到系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)是屬于n維狀態(tài)空間中任意一個(gè)狀態(tài),因此上式等價(jià)于rankH GH Gn-1H=rankH GH Gn-1H Gn即證明了系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件為可控性矩陣滿足rankQc=rankQc Gn即定理的結(jié)論2)得以證明。rankH GH Gn-1H=rankH GH Gn-1H Gnx(0)當(dāng)系統(tǒng)矩陣G滿秩時(shí),顯然有rankGn=n因此rankH GH Gn-1H Gn=n 所以由結(jié)論1可知,在系統(tǒng)矩陣G滿秩時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件為r

36、ankQc=rankH GH Gn-1H=n注意：若離散系統(tǒng)可控，則經(jīng)n個(gè)采樣周期一定可以到達(dá)狀態(tài)空間原點(diǎn)，即 x(n)=0；若離散系統(tǒng)可控，由任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)一般也可以少于n個(gè)采樣周期rankQc=rankQc Gn解 由線性定常離散系統(tǒng)的可控性矩陣的定義有但因此rankQc=rankQc G2由定理的結(jié)論2可知,該系統(tǒng)狀態(tài)完全可控。例: 試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可控性解 G為非奇異陣，由系統(tǒng)狀態(tài)可控性判據(jù)有例: 試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可控性，若初始狀態(tài)x(0)=2 1 0T，確定使x(3)=0的控制序列u(0), u(1), u(2)；研究使x(2)=0的可能性2 線性定常離散系統(tǒng)

37、的可觀測(cè)性與線性連續(xù)系統(tǒng)一樣,線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性只與系統(tǒng)輸出y(k)以及系統(tǒng)矩陣G和輸出矩陣C有關(guān),即只需考慮齊次狀態(tài)方程和輸出方程即可。下面我們先引入線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)可觀測(cè)性的定義。對(duì)初始狀態(tài)x(l),根據(jù)在n個(gè)采樣周期內(nèi)采樣到的輸出向量y(k) 能唯一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0),則稱(chēng)狀態(tài)x(l)可觀;若對(duì)狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都可觀,則稱(chēng)系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀,簡(jiǎn)稱(chēng)為系統(tǒng)可觀。若存在某個(gè)狀態(tài)x(l)不可觀,稱(chēng)此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全可觀的,簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)為狀態(tài)不可觀。 定義： 若線性時(shí)變離散系統(tǒng)在線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性定義中,只要求以在n個(gè)采樣周期內(nèi)采樣到的輸出來(lái)確定系統(tǒng)的狀態(tài)。這是因?yàn)?/p>

38、,可以證明:如果由n個(gè)采樣周期內(nèi)的輸出向量序列不能唯一確定系統(tǒng)的初始狀態(tài),則由多于n個(gè)采樣周期的輸出向量序列也不能唯一確定系統(tǒng)初始狀態(tài)。對(duì)線性定常離散系統(tǒng),存在與線性定常連續(xù)系統(tǒng)在形式上完全一致的狀態(tài)可觀測(cè)性判據(jù)。滿秩,即 rankQo=n定理：線性定常連續(xù)系統(tǒng)(G,C)狀態(tài)完全可觀的充分必要條件為如下定義的可觀測(cè)性矩陣:證明 本定理的證明可直接由線性代數(shù)方程組的解唯一性理論給出。由線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的求解公式,可得y(0)=Cx(0)y(1)=Cx(1)=CGx(0) y(n-1)=Cx(n-1)=CGn-1x(0)將上述n個(gè)方程寫(xiě)成矩陣的形式,有因此,由線性方程的解存在性理論可知,無(wú)論輸出向量的維數(shù)是否大于1,上述方程有x(0)的唯一解的充分必要條件為rankQo=n由可觀測(cè)性的定義可知,上式亦為線性定常離散系統(tǒng)(G,C)狀態(tài)完全可觀的充要條件。例： 試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性解 由狀態(tài)可觀測(cè)性判據(jù)有系統(tǒng)完全可觀測(cè)注意：系統(tǒng)完全可觀測(cè)意味著至多經(jīng)n步便可由輸出y(k),y(k+1),y(k+n-1)的測(cè)量值來(lái)確定n個(gè)狀態(tài)變量。例： 試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性解 由狀態(tài)可觀測(cè)性判據(jù)有系統(tǒng)