數(shù)學建模初等模型課件

1、初等模型 中國地質大學數(shù)學建?；爻醯饶Ｐ腿绻芯繉ο蟮臋C理比較簡單，一般用靜態(tài)、線性、確定性模型描述就能達到建模的目的時，我們基本上可以用初等數(shù)學的方法來構造和求解模型。通過下面的幾個實例我們能夠看到，用很簡單的數(shù)學方法就可以解決一些有趣的實際問題。2 第二章 初等模型2.1 艦艇的會合2.2 公平的席位分配2.3 雙層玻璃窗的功效2.4 汽車剎車距離2.5 崖高的估算3某航空母艦派其護衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛 行員，護衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快 返回與其匯合并通報了航母當前的航速與方 向，問護衛(wèi)艦應怎樣航行，才能與航母匯合。2.1 艦艇的會合4令：則上式可簡記成 ：A(0,b)XYB(0

2、,-b)P(x,y)O航母 護衛(wèi)艦 1 2 即：可化為：記v2/ v1=a通常a1 則匯合點 p必位于此圓上。 （護衛(wèi)艦的路線方程）（航母的路線方程 ）即可求出P點的坐標和2 的值。本模型雖簡單，但分析極清晰且易于實際應用 52.2 公平的席位分配設有A、B兩個單位，各有人數(shù) 、 個，現(xiàn)在要求按人數(shù)選出 個代表召開一次代表會議。那么怎樣分配這 個席位呢？一般的方法是令： 若 恰好是兩個整數(shù)，就以 分別作為A，B兩個單位的席位數(shù)，即可以獲得一個完全合理的分配方案。當 不是兩個整數(shù)時，那么怎樣分配才合理呢？下面我們就來討論這個問題。 6公平的席位分配系別 學生 比例 20席的分配 人數(shù) （%） 比

3、例 結果 甲 103 51.5 乙 63 31.5 丙 34 17.0總和 200 100.0 20.0 2021席的分配 比例 結果10.815 6.615 3.570 21.000 21問題三個系學生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會議共20席，按比例分配，三個系分別為10，6，4席?，F(xiàn)因學生轉系，三系人數(shù)為103, 63, 34, 問20席如何分配。若增加為21席，又如何分配。比例加慣例對丙系公平嗎系別 學生 比例 20席的分配 人數(shù) （%） 比例 結果 甲 103 51.5 10.3 乙 63 31.5 6.3 丙 34 17.0 3.4 總和 200 100.0 2

4、0.0 20系別 學生 比例 20席的分配 人數(shù) （%） 比例 結果 甲 103 51.5 10.3 10 乙 63 31.5 6.3 6 丙 34 17.0 3.4 4總和 200 100.0 20.0 2021席的分配 比例 結果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 217“公平”分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標 人數(shù) 席位 A方 p1 n1B方 p2 n2當p1/n1= p2/n2 時，分配公平 p1/n1 p2/n2 對A的絕對不公平度p1=150, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=1050, n1=10, p1

5、/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者對A的不公平程度已大大降低!雖二者的絕對不公平度相同若 p1/n1 p2/n2 ，對 不公平A p1/n1 p2/n2=58公平分配方案應使 rA , rB 盡量小設A, B已分別有n1, n2 席，若增加1席，問應分給A, 還是B不妨設分配開始時 p1/n1 p2/n2 ，即對A不公平 對A的相對不公平度將絕對度量改為相對度量類似地定義 rB(n1,n2) 將一次性的席位分配轉化為動態(tài)的席位分配, 即“公平”分配方法若 p1/n1 p2/n2 ，定義91）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，則這

6、席應給 A2）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，應計算rB(n1+1, n2)應計算rA(n1, n2+1)若rB(n1+1, n2) p2/n2 問：p1/n1rA(n1, n2+1), 則這席應給 B10當 rB(n1+1, n2) 車身的平均長度15英尺(=4.6米)“2秒準則”與“10英里/小時加一車身”規(guī)則不同剎車距離反應時間司機狀況制動系統(tǒng)靈活性制動器作用力、車重、車速、道路、氣候 最大制動力與車質量成正比，使汽車作勻減速運動。車速常數(shù)反應距離制動距離常數(shù)18假 設 與 建 模 1. 剎車距離 d 等于反應距離 d1 與制動距離 d2 之和2. 反應距離 d1與車速 v成

7、正比3. 剎車時使用最大制動力F，F(xiàn)作功等于汽車動能的改變;F d2= m v2/2F mt1為反應時間且F與車的質量m成正比19 反應時間 t1的經驗估計值為0.75秒?yún)?shù)估計 利用交通部門提供的一組實際數(shù)據(jù)擬合 k模 型最小二乘法 k=0.06計算剎車距離、剎車時間車速(英里/小時) (英尺/秒)實際剎車距離（英尺）計算剎車距離（英尺）剎車時間（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）3

8、47.13.680117.3464（506）444.84.320“2秒準則”應修正為 “t 秒準則”模 型車速(英里/小時)剎車時間（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里/小時）010104040606080t（秒）1234212.5 崖高的估算假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功 能的計算器，你也許會出于好奇心想用扔下 一塊石頭聽回聲的方法來估計山崖的高度， 假定你能準確地測定時間，你又怎樣來推算 山崖的高度呢，請你分析一下這一問題。我有一只具有跑 表功能的計算器。22方法一假定空氣阻力不計，可以直接利用自由落體運動的公式來計算。例如， 設t

9、=4秒，g=9.81米/秒2，則可求得h78.5米。 我學過微積分，我可以做 得更好，呵呵。 23除去地球吸引力外，對石塊下落影響最大的當 屬空氣阻力。根據(jù)流體力學知識，此時可設空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系 數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得： 令k=K/m，解得 代入初始條件 v(0)=0，得c=g/k，故有 再積分一次，得： 24若設k=0.05并仍設 t=4秒，則可求 得h73.6米。 聽到回聲再按跑表，計算得到的時間中包含了 反應時間 進一步深入考慮不妨設平均反應時間 為0.1秒 ，假如仍 設t=4秒，扣除反應時間后應 為3.9秒，代入 式，求得h69.9米。 多測幾次，取平均值再一步深入考慮代入初始條 件h(0)=0，得到計算山崖高度的公式： 將e-kt用泰勒公式展開并 令k 0+ ，即可得出前面不考慮空氣阻力時的結果。25還應考慮回聲傳回來所需要的時間。為此，令石塊下落 的真正時間 為t1，聲音傳回來的時間記 為t2，還得解一個方程組： 這一方程組是非線性的，求解不太容易，為