2.1多邊形的外角和

1、本節(jié)內(nèi)容2.1多 邊 形第2課時 如圖2-6，EDF是五邊形ABCDE的一個外角.在多邊形的每個頂點(diǎn)處取一個外角，它們的和叫作這個多邊形的外角和. 多邊形的內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫作這個多邊形的一個外角.圖2-6動腦筋 我們已經(jīng)知道三角形的外角和為360，那么四邊形的外角和為多少度呢？ 如圖2-7，在四邊形ABCD的每一個頂點(diǎn)處取一個外角，如1，2，3，4. 1 +2 +3 +4 = 4 180 - 360 = 360. 1 +DAB = 180，2 +ABC = 180， 3 +BCD = 180， 4 +ADC = 180，又 DAB +ABC +BCD +ADC = 3

2、60， 四邊形的外角和為360.圖2-7探究 三角形的外角和是360，四邊形的外角和是360，n邊形（n為不小于3的任意整數(shù)）的外角和都是360嗎？n邊形的外角和與邊數(shù)有關(guān)系嗎？ 類似于求四邊形外角和的思路，在n邊形的每一個頂點(diǎn)處取一個外角，其中每一個外角與它相鄰的內(nèi)角之和為180. 因此，這n個外角與跟它相鄰的內(nèi)角之和加起來是n 180，將這個總和減去n邊形的內(nèi)角和（n-2 )180所得的差即為n邊形的外角和.n 180-（n-2 )180 =n-（n-2 ) 180 = 2180 = 360 . n 邊形的外角和與邊數(shù)沒有關(guān)系.結(jié)論任意多邊形的外角和等于360.由此得出：例2 一個多邊形的

3、內(nèi)角和等于它外角和 的5倍，它是幾邊形？舉例解 設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則它的內(nèi)角和等于(n-2) 180.由題意得(n-2) 180=5360，解得 n=12.因此這個多邊形是十二邊形.觀察 三角形具有穩(wěn)定性， 那么四邊形呢？用4 根木條釘成如圖2-8 的木框，隨意扭轉(zhuǎn)四邊形的邊，它的形狀會發(fā)生變化嗎？圖2-8 我們發(fā)現(xiàn)，四邊形的邊長不變，但它的形狀改變了， 這說明四邊形具有不穩(wěn)定性. 在實(shí)際生活中，我們經(jīng)常利用四邊形的不穩(wěn)定性，例如圖2-9 （a）中的電動伸縮門、圖2-9 （b）中的升降器.有時又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，例如在圖2-9 （c）中的柵欄兩橫梁之間加釘斜木條，構(gòu)成三角形，這是為了利

4、用三角形的穩(wěn)定性.圖2-9（a）（c）（b）1. 一個多邊形的每一個外角都等于45， 這個多邊形是幾邊形？它的每一個內(nèi)角 是多少度？練習(xí)答：這個多邊形是八邊形， 每個內(nèi)角是135.2. 如圖，求圖中x的值.答：x =60.3. 舉出日常生活中利用四邊形不穩(wěn)定性的一些例子.答：有種衣架是根據(jù)平行四邊形的不穩(wěn)定性，用同樣 長的木條構(gòu)成的幾個相連的菱形，每個頂點(diǎn)處都 有一個掛鉤，不僅美觀，而且實(shí)用，如下圖： 答：有種衣架是根據(jù)平行四邊形的不穩(wěn)定性，用同樣 長的木條構(gòu)成的幾個相連的菱形，每個頂點(diǎn)處都 有一個掛鉤，不僅美觀，而且實(shí)用，如下圖： 液晶電視的雙臂旋轉(zhuǎn)伸縮可懸掛支架也用到了四邊形的不穩(wěn)定性，調(diào)

5、節(jié)幅度大，可上下左右及前后多方向調(diào)節(jié)滿足客戶觀看需要，如下圖：中考 試題例1 若一個正多邊形的一個外角是40，則這個正多邊形的邊數(shù)是 （ ） A. 10 B.9 C.8 D.6解析 根據(jù)任意多邊形的外角和均為360及正多邊形各外角度數(shù)都相等知360 40= 9. 故選B.B例2 某多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則此多邊形的邊數(shù)是 （ ） A. 5 B.6 C.7 D.8解析 設(shè)邊數(shù)為n，則 (n-2) 180= 3360， n=8，故選D.D例3一個多邊形的每個內(nèi)角均為108,則這個多邊形是 （ ）A七邊形B六邊形C五邊形D四邊形C中考中多邊形內(nèi)角和是經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容之一，一般出現(xiàn)在選擇題或填空題較前位置，雖然難度并不大，但同樣可以靈活處理.法一：利用內(nèi)角和公式. (n2)180=108n解得n=5法二：利用外角和是定值. (180108)n=360解得n=5解析例4 當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加1時，它的內(nèi)角和與外角和 （ ）A. 都不變.B. 內(nèi)角和增加180，外角和不變 C. 內(nèi)角和增加180，外角和減少180. D. 都增加180.解析 多邊形的外角和為360與邊數(shù)無關(guān)，由內(nèi)角和公式(n-