§8多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用習題與答案

1、 # 第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用A題 # #1、填空題1)設(shè)fx,y)=x2,y2,x2y2y),y2 # # # #2)設(shè)z=x+y+f(x一y),且當y=0時，z=x2,則z二3)設(shè)f(x,y)=x2-arctany-y2arctan,貝y()ydx(0,y)4)設(shè)z=1，x,I,x2，y)，若已知：當x二0時，z二ln(y2),則dz二 # # # #設(shè)z二f(x,y),由z5，xz4，yz3二1所確定，則f6,0)=x設(shè)z=y+ln彳，則在點M6,1,1)的法線方程為20曲面x2,2y2,3z2=12上點G,-2,1)處的切平面方程為8)設(shè)f(x,y,z)=x,y2,xz，則fG,y

2、,z)在G,0,1)沿方向了=2了-2了，花的方向?qū)?shù)為2、下列函數(shù)的定義域并圖示111)z=+x+yx-y2)x1-x2-y2 3、求下列各極限1一Ay1)lim-a,y)(o,i)a2,y22)lim2一廠+4(a,y)(0,0)Ay3)lim(x,y)(2,0)yy2,2x4、問函數(shù)Z在何處間斷.y2一2x5、求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)u2,v21)suv,C0S22)zsinx3)zlntany4)uxzx2y26、曲線f=4在點6,4,5）處的切線對于x軸的傾角是多少?y=47、設(shè)fCy)=X+(y-1)arcsin求f(x,1).x8、d2zd2zd2z求下列函數(shù)的_,厲,顧y1)z=ar

3、ctanx2)zyx #9、求下列函數(shù)的全微分1)yx2y2 # # # #2)U=Xyz10、求函數(shù)z=當x=2,y=1,=0.01,y=0.03時的全增量和全微分.x2y211、計算6.02、+6.93、的近似值.12、已知邊長為x=6cm與y=8cm的矩形，如果x邊增加5cm而y邊減少10cm，問這個矩形的對角線的近似變化怎樣？ 13、x,z,z設(shè)Z=U2lnV，而U,V=3X2y,求,-T-y,x,y14、設(shè)zarcsin匕-y,而x=3t,15、eax(y-z.，而yaSinx,a21duzcosx,求一；一.dx16、求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)（其中f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）1）UfC2-

4、y2,exy2)uxy,xyz17、設(shè)zf(3xxy,cosy丿,求求，z # 2zy2I2z2z18、設(shè)z二fx2,y2丿，其中/就有二階導(dǎo)數(shù)求亦,隔2z2z2z19、求下列函數(shù)的亦，跖，吝（其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）1) # # # #2)z=fC,x,y丿,其中u=xey # # 3)z=fbinx,cosy,ex,yxzzz20、設(shè)一=ln，求=及亍.zyxy21、設(shè)z，zG,y)由方程FCz,x2)，0確定，求dz.22、設(shè)x，x(y,z),y，y(x,z),z，z(x,z)都是由方程F(x,y,z)，0所確定的具有連續(xù)dxdydz偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，求d-頁dx-23、設(shè)2sin(x+2

5、y-3z)=x+2y-3z，計算+二.dxdy24、求下列方程組所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)dydz1)設(shè)x+y+z，1求dIx2+y2+z2，1dzx，eu+usmvdu-u-v-v2)設(shè)求，Ty，eu-ucosv-x-y-x-y25、求曲線y22mx,z2m-x在點gyo,z）處的切線和法線方程.26、求出曲線xt,y12,z=t3上的點，使在該點的切線平行于平面x2yz=4.27、求橢球面x2+2y2+z21上平行于平面x-y2z=0的切平面方程.28、求函數(shù)zx2+y2在點（1,2）處沿從點（1,2）到點（,23）的方向的方向?qū)?shù).29、求函數(shù)ux2+y2+z2沿曲線xt，y=t2，z=t

6、3在點（1,1,1）處的切線正方向（對應(yīng)于t增大的方向）的方向?qū)?shù).30、設(shè)f6,y,z)x2+2y2+3z2+xy+3x一2y一6z求gradf(0,0,0)及gradfG,1,1).31、問函數(shù)uxy2z在點P（1,-1,2）處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大？并求此方向?qū)?shù)的最大值.32、求函數(shù)f（x,yLe2人y22y丿的極值.33、求函數(shù)zxy在適合條件x+y=1下的極大值.34、欲選一個無蓋的長方形水池，已知底部造價為每平方米a元，側(cè)面造價為每平方米b元,現(xiàn)用A元造一個容積最大的水池，求它的尺寸.35、要造一個容積等于定數(shù)k的長方體無蓋水池，應(yīng)如何選擇水池的尺寸，方可使它的表面積最小.36

7、、在平面xoy上求一點，使它到x0，y=0及x+2y-16=0三直線的距離平方之和為最小.1、填空題1)arcsm*2+y2)2)3)4)5)6)7)8)9)10)11)12)13)設(shè)fGy)sinx2y設(shè)z，其定義域為 # #xy0已知函數(shù)zfvx+y,x-y)x2y2，則丁oxdyTOC o 1-5 h z函數(shù)fx,y,z)Z，則df)Iy丿)fx,y)在點(x,y)處可微分是f(x,y)在該點連續(xù)的的條件，f,y)在點Cx,y)處連續(xù)是fG,y)在該點可微分的的條件zf(x,y)在點(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)$及匸存在是f(x,y)在該點可微分的條件由方程xyz+x2+y2+z22所確定的函數(shù)z

8、z(x,y)在點(1,0,，1)處的全微分為處的值為xo2u設(shè)ue-xsin，貝y在點 HYPERLINK l bookmark4yoxoy設(shè)z3+y(ax+y)，f，具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則釜13x2+2y212c小由曲線1c繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點b,3,2z0外側(cè)的單位法向量為曲面x3+y3+z34上任一點的切平面在坐標軸上的截距平方和為 #y2+z2 # #y2+xz，則fG,y,z)在G,0,1)沿方向“2“2“+“的方向 # 導(dǎo)數(shù)為2、求函數(shù)fx,y)=(力”)的定義域，并求limf(x,y).hi-yz=e-kn2tcosnx丿(x,y中03、證明：lim（x,y）T（0,0）

9、xy # # #4、證明下列極限不存在1）limx2y2Cr,y）T（0,0）x2y2（x，y）22）lim-（x,yL（0,0）x2y45、求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)1)z=60上任何點處的切平面在各坐標軸上的截距之和為一常數(shù).2、求函數(shù)u二x+y+z在球面x2y2z2二1上點g，yo,zo)處沿球面在該點的外法線方向的方向?qū)?shù).21、設(shè)l=(cos,sin),求函數(shù)f(x,y)=x2-xy+y2在點(1,1)處沿方向l的方向?qū)?shù),并分別確定角，使這個導(dǎo)數(shù)有最大值最小值等于022、證明：曲面F(x-az,y-bz)=0上任意點處的切平面與直線-=壬=z平行(a，b為ab常數(shù)).TOC o 1-5 h

10、 zuvwu2v2w223、求平面一xyz=1的三截距之積在條件一+廠+二1之下的最小值.a2b2c2a2b2c21)24、經(jīng)過2,1,廳的所有的平面中，哪一個平面與坐標面圍成的立體體積最?。孔钚◇w積是I3丿多少？25、拋物面z二x2y2被平面x+y+z=1截成一橢圓，求原點到這個橢圓的最長與最短距離.1、討論函數(shù)fC,y)=)in(x,y)h(0,0)/在3,0丿點處的連續(xù)性，偏(x,y_(0,0)2+y2丿smx2y20 # #導(dǎo)數(shù)存在性，可微性.2、tan2x丿y，求害及孑.exoy3、設(shè)z_zCy)由方程z2_xyf(y,z)所確定，求|，I及釜-4、設(shè)z=z(x,y)由方程z二x2+

11、Jyxet2dt所確定，求，字zoxoy5、設(shè)y=/G,而t是由方程F(,y,0所確定的x，y的函數(shù)，其中/，F(xiàn)都具有OfOFOfOFdy_OxOtOtOx6、一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證明：dxOfOFOF+OtOyOt設(shè)u_f(x,y,z，9C2,ey,z_0，y_sinx,其中f，都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),7、Iu_x2yO2zO2zO2zO2z設(shè)變換v_x+ay可把方程6亦而示_0轉(zhuǎn)化為議_0，求常數(shù)a-8、求橢球面X22y23z2二21上某點M處的切平面”的方程，使”過已知直線L: # x一6y一32z一1飛1一T9、求函數(shù)z二x2-xy,y2在區(qū)域|x|+|y|0,x-y0)2)tx,yy-x

12、0,x0,x2+y20,x2+y202)z_xylcos(xy-sin2xy)”,竺二x“cosxy)-sin2xyy1()cc3、1)12)43)24、x,yy2-2x-0s1vs1-u5、1)_uvu2，vuv2 # # #TOC o 1-5 h zz22xz2x2x3)_csc,_-cscxyyyy2yuy-1u1牛uy亠14)_xz,_xzlnx,_xzlnxxzyzzz26、7、fx,1)_14x8、1)2z_/2xy、2z_/2xyx2x2+y2y2x2+y22z_y2-x2xyx2+y2-=yxln2y,=x(x-1)yx一2,，dy2，9、1)dz(ydxxdy)2)dz=yz

13、xyz1dx+zxyzlnxdy+yxyzlnxdz2y2210、Az0.02,dy=0.0311、2.9512、5cm13、=蘭ln(3x-2y)+y23x23x214、dz=dt13t4t316、1)dudx17、18、19、2)dzdxdu(3x-2y)y2dydu15、=eaxsinxdxdu=2xf1SA，祁=一2yf1+曲叭竺=f+yf+yf,色=xf+xf,色dx1“2八3,dy3dz3xf-f(3x一y,cosy)=x2d2z-=4x2f”+2f,dx2d2zdxdy=4xyf，1)戛=f+-fdx211y22d2zy222Qxdy/+1廣12y22丿竺=蘭廣+蘭fdy2y32

14、y422dz=xe2yf+eyf+xeyf+f+eyfdxdyuuyuxuxyu=fx2e2y+f+f+f)xey+fdy2uuuyuyuyyd2z3)=ex+yf一sinxf+cos2xf+2ex+ycosxf+e2(x+y)f”dx231111333224 #224 2zex,yf一cosxsinyf”,ex,ycosxf”一ex,ysinyf”,e2(x,y)f”xy312133233ex+yfcosyf+sin2yf”2ex+ysinyf”+e20+y)f”33222323、21、dzdxy-z石x-ydyz-xdzx-y-cosvsinvueutinv-cosv)+1yeutinv-

15、cosv)+1cosveuivsinv+euyuStinv-cosv)+1xu*eu(sinv-cosv),120、22、24、25、26、28、30、3132、34、x-x切線方程：z-z01y02z0法線方程：(x-x)+(y-yy02z0-z)00P1(-1及P(13927丿27、切平面方程：x-y,2z1129、7614224 #224 #224 #224 #gradf(0,0,0)3-2-6k，gradf(1,1,1)6+3gradu2了-4j+k是方向?qū)?shù)取最大值的方向，此方向?qū)?shù)的最大值為|gradu|21極小值：f(,-1(11)33、極大值：z亍廳V22丿224 #224 #

16、224 #224 #x=y=長寬3aa2b3a 23、 #35、當長，寬都是32k，而高232k為時，表面積最小36、(816,5污丿 #23、 # #23、 #B解答及提示1、填空題1)x,yx2+y21,y02)f(0,1)=13)2x-2yx4)dx-dy5)充分，必要6)必要7)dz二dx-2dy兀,8)-e丿9)別Z=yf”(xy)+(x+y)+ay(x+y)xy2、3、4、110)52,3)11)64,y)0“x2+y2“1,y24x提示：xy證明下列極限不存在12)I(1,2,-2)2ln4513)3x2y21)lim)x”0 x2y2+x-y)2x=yx2y2=0 x”ox2y

17、2+(x-y)2y=2xlim #23、 # #23、 #5、1)竺=y2(L+xy)y-1x=G+xy)ylnG+xy)+xy1+xy-2)3)zz=-kn2e-kn2tcosnx=-ne-tsinnxtx()(22k2+y2k2+y2zxiz二exx2+y2xyz3二exyyyx2y丿2(x2+y2)(x2+y2)xy2丿xy2k2)lim=y”ox2+y4k2+1x=ky2求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) #23、 #6、提示：(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)按定義求 #23、 C,y)=C,y)=_x2xy3)x2+y2豐02+y22,0 x2C2y2)c)x2+y2豐02+y20 #23、 # 23、 #1

18、0、dudxlx=fi+yf2)1+yb11、d2zdxdy=-2廣+g12x+g2+xyg2213、x=eucosv提示：由解出Iy=eusinvu=u(x,y)v=vx,y)再解x=eucosv一.或者由直接分別求對于x,對于y的偏導(dǎo)數(shù)，通過解關(guān)于Iy=eusinvdxQuQudxdyQvQv,dududvQv或dx，dy的萬程組解出東，dy，dx，dy14、d2u提示：將匕，n看作中間變量通過復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)運算求得新方程為気=015、d2z=2y2zez-2xy3z-y2z2ezdx2z-xy17、-1g)21，-1丿-fg，221竺=g1金+fJ18、提示：切向球法平法切線方程：口=Z

19、z!=L-1，切線萬程：169-1 #23、 # #23、 #法平面方程：16x+9y-z-24=020、21、22、dudlx,x0,df=cos0+sin0a)0=b)0=5dl，丿44提示：令G(x,y,z)=F(x-ay,y-bz),已知曲線在任意點處的法向量即為、=x0+y0+z0處沿球面在該點的外法線方向的方向?qū)?shù)0y05z0c)0=3或744 #23、 # #23、 n=g,g,gxyz”（）a2b2c2u2v2w2_提示：考慮孔,v,w）=在條件茨+藥+7T=1之下的最小值由拉格朗日乘數(shù)法得最小值為33abc1D624、提示：設(shè)平面方程為Ax+By+Cz+D=0,問題即求：V2

20、二在條件36A2B2C22A+B+3C+D=0下的最小值，由拉格朗日乘數(shù)法得平面方程為：x+2y+6z一60，最小體積是3,Zx2+y225、提示：問題可看作d2x2+y2+z2在條件下的最值,Ix+y+z1 #23、 # 23、 #解：x2+y2+z2+九2+y2)+u1)求得最長距離為：9+53，最短距離為：9-53C解答及提示1)因為02)3)2+y2)sinlim|x2+y0由夾逼準則知:xT0yt0limxT0yt02+y2lin10,又因f(0,0)0,所以f(x,y)在(0,0)處連續(xù)x2+y2根據(jù)定義f(x,y)在(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)為:(x-sin廣(0,0)limf6+x,

21、0)-f(0,0)lim巫=0 xxT0 xxT0 x同理可得f(0,0)0yzf(0+x,0+y)f(0,0)Lx+(y1sin1(x)2+(y)2f(0,0)x+f(0,0)y+Ax+(y1xyEx+(y1sin(、】()-(xb+(yb門而lim()()0 xt0vAx)2+vAy)2yt0丿所以f(x,y)在(0,0)處可微分1sin(x)2+(y)21、解：兩邊取對數(shù)有：lnz-1丄Intan4 兩邊對x求偏導(dǎo)有：-冒_zOx1ysec2yxtanx故孑_Oxx2tan2,x丿丄-iyysec2x同理：Oz_-Oyy2y,亠丿lntan+tanX丿xyy-1ysec2xOzOz2、解

22、：兩邊分別對x求偏導(dǎo)有：2z_1+f,故Ox2OxOx2z-f2OzOzOz1+f同理由：2z_1+f1+f，得：_一丁Oy12OyOy2z-f2Oz1O2z對方程=_兩邊同時求y的偏導(dǎo)有：_Ox2z-fOxOy2dz2Oz,將咯=斗代入上式有:Oy2z-f2O2z_OxOy1+f1+f,2-f-ff2z-f21222z-f丿z-廣丿2-2-2f+2f”一ff+f+f廣1212丫122221(z-fj24、解：方程可表示為：z_x2+fy-xet2dt-Jxet2dtaa(a為任意常數(shù))對方程兩邊求x的偏導(dǎo)數(shù)有:_2x+e(y-x(1)ezOxOzOx，所以字=Ox4xz一2ze(y-x2，2

23、z+ez同理得字=2Oy2ze(y-x2z+ezOF5、由題意可知:dt_dxdxOF，dt_dyOF等，由y_f,t(x,y),兩邊對x求導(dǎo)有: # #OtOt #4 ddxdxdtQxdtdydydx丿，得：dydxdfdfdt+dxdtdx1_dfdt_dtdy #4 #將上面偏導(dǎo)代入即得結(jié)果6、解：dudxdfdfdydfdz+dxdydxdzdxdy易見一=cosxdx #4 # #4 #由甲V2,ey,z厶0，對方程兩邊求x的導(dǎo)數(shù)有:dz八心dz2xp+eycosxp2x卩+eycosxp+p=0，得一二一12123dxdxp37、解法dzdzdzdxdudv竺=_2竺+a竺dxd

24、udv #4 # #4 #d2zdx2竺+2注+空du2dudvdv2I6+a_a2=0依題意a應(yīng)滿足：門,a=310+5a豐0解法二：將z視為以x，y為中間變量的u，v的二元復(fù)合函數(shù),x=y=av2va+2_uva+2dxa從而d=0Z2dx=ady=_1dva+2dua+2由題意可得dy=1dva+2TOC o 1-5 h z注=4竺_4a空+a2注dx2du2dudvdv2江=_2亡+(a_2)空+a空dxdydu2dudvdv2將上述結(jié)果代入原方程，經(jīng)整理后可得(10+5a歸+(6+a_a2止=0dudvdv2 #4 # #4 #竺=竺竺*竺空=丄竺一丄竺dudxdudydua2dxa

25、2dyd2zdudvad2zdx+dxdydy丿1d2zdxa2dx2dva2dxdydvd2zdy、dy2dv丿 #4 # #4 #d2zdy22ad2z+a-2d2z1(a+2)2dx2G+2dxdyG+2 4 #代入上式得Ia一3=01故a=3a+2豐0Q2zQ2zQ2zQ2z廠Q2zQ2z依題意6+=0，即=6+Qx2QxQyQy2Qy2Qx2QxQyd2z=2a6d2z+a3d2z令d2z=。得QuQva+22Qx2a+22Qx*QuQv #4 # #4 #8、解：令Fy,z)=x2+2y2+3z2-21,F2x，F(xiàn)xy=4y，F(xiàn)=6z橢球面在點z #4 #即xx+2yy+3zz=2100因為平面兀過直線L,故直線L上任意兩點,(1)如點6,3,斤，V2丿0,0,2丿應(yīng)滿足平面