高中數(shù)學(xué)必修二 專題6.5 平面向量的坐標(biāo)表示-同步培優(yōu)專練

1、 專題6.4 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示知識儲備一平面向量的坐標(biāo)表示1.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為i，j，取i，j作為基底.對于平面內(nèi)的任意一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得axiyj.平面內(nèi)的任一向量a都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a(x，y).2.在直角坐標(biāo)平面中，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).【思考】點的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)有什么區(qū)別和聯(lián)系？【答案】區(qū)別表示形式不同向量a(x，y)中間用等號連接，而點A(x，y)中間沒有等號意義不同點A(x，y)的坐標(biāo)(x，y)表示點A在平面直角

2、坐標(biāo)系中的位置，a(x，y)的坐標(biāo)(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示點，也可以表示向量，敘述時應(yīng)指明點(x，y)或向量(x，y)聯(lián)系當(dāng)平面向量的起點在原點時，平面向量的坐標(biāo)與向量終點的坐標(biāo)相同二平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，數(shù)學(xué)公式文字語言表述向量加法ab(x1x2，y1y2)兩個向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和向量減法ab(x1x2，y1y2)兩個向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的差已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量(x2x1，y2y1)，即任意一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點

3、的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo).三 .平面向量的坐標(biāo)運算:（1）若，則；（2）若，則；（3）設(shè)，則，.【注意】向量共線的坐標(biāo)形式極易寫錯，如寫成x1y1x2y20或x1x2y1y20都是不對的，因此要理解并熟記這一公式，可簡記為：縱橫交錯積相減.四 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a與b的夾角為.則abx1x2y1y2.(1)若a(x，y)，則|a|2x2y2或若表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則a(x2x1，y2y1)，(2)abx1x2y1y20.(3)【思考】若兩個非零向量的夾角滿足cos 0，則兩向量的夾角一定是鈍

4、角嗎？【答案】不一定，當(dāng)cos 0時，兩向量的夾角可能是鈍角，也可能是180.能力檢測姓名：_ 班級：_ 得分：_注意事項：本試卷滿分150分，考試時間120分鐘，試題共16題答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置 一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1（2021天津高二學(xué)業(yè)考試）已知向量則的坐標(biāo)為（ ）ABCD【答案】A【解析】.2（2021貴州黔東南苗族侗族自治州高一期末）已知平面向量，且，則下列正確的是（ ）AB或4CD【答案】C【解析】因為，所以，所以.故選：C.3（20

5、21江西上饒市高三一模（文）已知向量，若，則x的值為（ ）A2BCD【答案】D【解析】因為，所以，解得.故選：D4（2020江西吉安市高三其他模擬（文）已知，若，則（ ）ABC2D【答案】D【解析】，則，故選：D.5（2020四川省綿陽南山中學(xué)高三月考（文）已知向量，則與的夾角為（）ABCD【答案】B【解析】因為向量，所以,又因為,所以,故選B.6（2020全國高三其他模擬（文）在中，為的中點，都在線段上，且，則（ ）ABC-2D2【答案】A【解析】如圖，建立直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，故選A7（2021陸良縣中樞鎮(zhèn)第二中學(xué)高二期末）設(shè)，向量，若，則等于（ ）ABCD【答案】C【解析】，所以，

6、解得或，故選C8（2021山東高三專題練習(xí)）已知向量則的模的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】因為，所以，因為，所以，所以，故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分9（2020全國高一單元測試）已知兩點，與平行，且方向相反的向量可能是（ ）ABCD【答案】AD【解析】，A選項， ，故滿足題意D選項，故滿足題意B、C選項中的不與平行，故選：AD10（2020全國高三其他模擬）已知向量，則（ ）ABCD與的夾角為【答案】ACD【解析】因為，所以，所以，故A正確；因為，所以與不平

7、行，故B錯誤；又，故C正確；因為，所以與的夾角為，故D正確.故選ACD11（2021江蘇高一）已知向量，若，則（ ）A或B或C或D或【答案】AC【解析】因為向量，所以，若，則，即，解得或，故A正確，B錯；當(dāng)時，；當(dāng)時，；故C正確，D錯.故選AC.12（2020黃梅國際育才高級中學(xué)高三期中）已知四邊形是邊長為2的正方形，為平面內(nèi)一點，則（ ）A最小值為B最大值為C無最小值D無最大值【答案】AD【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系則，.設(shè)，則，所以，所以當(dāng)，時，取得最小值，無最大值.故選AD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）13（2021四川南

8、充市高一期末）已知向量，且，則_【答案】1【解析】因為，所以.14（2021安徽阜陽市高三期末（文）已知向量滿足，且，則_【答案】【解析】根據(jù)題意得：因為，由于，所以15（2021北京房山區(qū)高一期末）已知，則與方向相同的單位向量的坐標(biāo)為_【答案】【解析】設(shè)與方向相同的單位向量坐標(biāo)為，則，解得 或因為與的方向相同，所以，與同方向的單位向量是.16（2021山東高三專題練習(xí)）已知平面向量，.若，則實數(shù)x的值是_；若與的夾角為銳角，則實數(shù)x的取值范圍是_.【答案】 【解析】， 因為與的夾角為銳角，所以, , 三、解答題（本大題共4小題，共70分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程

9、或演算步驟）17（本小題滿分10分）（2020山東德州市高一期末）已知向量在同一平面上，且.（1）若，且，求向量的坐標(biāo)（2）若，且與垂直，求的值.【解析】（1），設(shè)，即 ，則.，或.（2），即即則18（本小題滿分12分）（2021南昌市江西師大附中高一期末）已知向量，.（1）求向量的長度的最大值；（2）設(shè)，且，求的值.【解析】（1）由題意，向量，可得，則.因為，所以，即.即當(dāng)時， 的最大值為3.（2）由，則，又由，得，因為，所以，即，解得，可得，所以.19（本小題滿分12分）（2021江蘇高一）已知向量，（1）若點，三點共線，求的值；（2）若為直角三角形，且為直角，求的值【解析】（1），點，三點共線，和共線，解得；（2）為直角三角形，且為直角，解得20（本小題滿分12分）（2021江蘇高一）如圖所示，在矩形ABCD中，點M為邊BC的中點，點N在邊CD上.（1）若點N為線段CD上靠近D的三等分點，求的值;（2）若，求此時點N的位置.【解析】（1）如圖建系，則，（2）設(shè)，則，解得因此，此時點為線段上靠近的三等分點21（本小題滿分12分）已知向量，kt為正實數(shù)，.（1）若求k的最大值；（2）是否存在kt使得？若存在，求出k的取值范圍，若不存在，請說明理由.【解析】（1）因為向量，kt為正實數(shù)，所以.因為所以， ，當(dāng)且僅當(dāng)